Распределение нулей,лежащих на критической прямой, линейных комбинацийl-функций Дирихле Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 16 Выпуск 3 (2015)

УДК 511

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ, ЛЕЖАЩИХ НА КРИТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ, ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ L-ФУНКЦИЙ ДИРИХЛЕ

До Дык Там (г. Белгород)

Аннотация

Некоторые проблемы теории чисел тесно связаны с нулями специальных функций, к которым относятся дзета-функция Римана ((s), L-функции Дирихле L(s, х) и др. Самой известной из этих функций является дзета-функция Римана. На полуплоскости Ks > 1 она задаётся рядом Дирихле

с(s) = n-s.

n=1

В 1859 г. Б. Риман высказал гипотезу о том, что все нетривиальные нули дзета-функции ((s) лежат на критической прямой. Г. Харди был первым, кто доказал, что на критической прямой лежит бесконечно много нулей дзета-функции Римана. В 1942 г. А. Сельберг получил правильную по порядку оценку числа нулей ((s), лежащих на отрезках критической прямой [T,T + H],H = T°-5+£. В 1984 году А. А. Карацуба доказал оценку Сельберга 1942 г. для случая отрезка критической прямой меньшей длины, т.е. для отрезка [T,T + H],H = T82 +£.

Для арифметических рядов Дирихле без эйлерова произведения правильные по порядку нижние оценки для числа их нулей на отрезках прямой Ks = 2 пока не получены. В 1980 г. С. М. Воронин доказал, что отрезок (2, 2 + iT] критической прямой содержит больше, чем

cTe 2о Vln ln ln ln T

нулей функции Дэвенпорта-Хейльброна. Тем самым С. М. Воронин впервые доказал, что на критической прямой лежит «аномально много» нулей арифметического ряда Дирихле без эйлерова произведения.

В 1989 г. А. А. Карацуба разработал новый метод оценок снизу числа нулей некоторых рядов Дирихле на отрезках критической прямой, с помощью которого существенно улучшил результат Воронина.

В 1991 г. А. А. Карацуба решил своим методом задачу о нижней оценке числа нулей, лежащих на интервале (2, 2 + iT] критической прямой, линейной комбинации аналогов функции Харди, соответствующих L(s,x)-функциям Дирихле.

184

ДО ДЫК ТАМ

В настоящей работе решается задача о числе нулей линейных комбинаций L—функций Дирихле на почти всех промежутках вида [T,T + H], H = X£, е > 0, X < T < 2X.

Ключевые слова: дзета-функция, нетривиальные нули, критическая прямая, L—функция Дирихле.

Библиография: 17 названий.

DISTRIBUTION OF THE ZEROS OF LINEAR COMBINATIONS OF L-DIRICHLET FUNCTIONS LYING ON THE CRITICAL LINE

Do Duc Tam (Belgorod)

Abstract

Some problems of the number theory are associated with the zeros of special functions, such as the Riemann zeta function ((s), Dirichlet L-functions L(s, x) and others. The Riemann zeta function is the most famous. On the half-plane Ks > 1, the Riemann zeta function is defined by Dirichlet series

<(s) = I] n-s■

n=1

In 1859, Riemann conjectured that all non-trivial zeros of the Riemann zeta function lie on the critical line Ks = 2. Hardy was the first to prove in 1914 that an infinity of zeros are on the critical line. In 1942, Selberg obtained lower bound of the correct order of magnitude for the number zeros of the Riemann zeta functions on intervals of critical line [T,T + H],H = Ta5+£. In 1984,

A. A. Karatsuba proved Selberg's result for shorter intervals of critical line [T,T + H],H = T82 +£. For arithmetic Dirichlet series satisfying a functional equation of Riemann type but admitting no Euler product expansions, lower bounds of the correct order of magnitude for the number of their zeros on intervals of the critical line Ks = 1/2 have not been obtained so far. The first to show that the critical line contains abnormally many zeros of an arithmetic Dirichlet series without Euler products was Voronin, who proved in 1980 that interval (0, T] of critical line contains more than

cTe /о Vln ln ln ln T

zeros of the Davenport-Heilbronn function. In 1989 A. A. Karatsuba developed a new method for obtaining lower bounds for the number zeros of certain Dirichlet series in intervals of critical line; by using this method, he substantially strengthened Voronin’s result. In 1991 Karatsuba solved (by his 1989 method) the problem of estimating the number zeros of linear combinations of functions which are analogous the Hardy function.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ, ЛЕЖАЩИХ НА КРИТИЧЕСКОМ ... 185

In the present paper we prove a theorem similar to the theorem of A. A. Ka-ratsuba (in 1991), but only for "almost all" intervals of the form (T,T + H), H = X£, where e is an arbitrary positive number, and X < T < 2X, X>Xa(e).

Keywords: the Riemann zeta function, non-trivial zeros, critical line, the Dirichlet L— function.

Bibliography: 17 titles.

1. Введение

Дзета-функцию Римана ввёл в математику Леонард Эйлер, которому принадлежит замечательное тождество, выражающее С(s) через эйлерово произведение

С(s) = П (Х — р) , Ks> 1

Бернхард Риман стал изучать дзета-функцию как функцию комплексного переменного. В 1859 г. Б. Риман [1] высказал гипотезу о том, что все нетривиальные нули дзета-функции С(s) лежат на критической прямой Ks = 2.

До исследования Г. Харди было неизвестно бесконечно ли много нулей дзета-функции Римана лежит на прямой Ks = 1 .В 1914 г. Харди [2] доказал, что на критической прямой лежит бесконечно много нулей дзета-функции С(s).

Пусть N0(T)— число нулей нечетного порядка функции С(0.5 + it), лежащих на промежутке (0, T]. В 1921 г. Г. Харди и Д. Литтлвуд [3] доказали следующую теорему:

Для любого е, 0 < е < 0.5 существуют T0 = T0(e) > 0,c = c(e) > 0 такие, что при T > T0,H = Tа5+е справедливо неравенство:

No(T + H) — No(T) > cH.

В 1942 г. А. Сельберг улучшил результат Харди и Литтлвуда. Он доказал, что при условиях теоремы Харди и Литтлвуда справедливо неравенство:

No(T + H) — No(T) > cHlnT. (1)

Из формулы Мангольдта

N (T ] = T — +O(ln T >

для числа N(T) нулей С(s) в прямоугольнике 0 < Ks < 1, 0 < Ss < T следует, что оценка Сельберга (1) является неулучшаемой по порядку роста при T ^ +то.

186

ДО ДЫК ТАМ

Сельберг [4] высказал гипотезу о том, что оценка (1) имеет место при меньших H, то есть, при H = Ta+£, где а положительная постоянная, меньшая 1

2 '

Ряд замечательных работ о нулях дзета-функции Римана выполнил А. А. Карацуба [5]—[14]. В 1984 г. А. А. Карацуба установил, что неравенство (1) справедливо при H = Т §2 +£. Тем самым он доказал гипотезу Сельберга о числе нулей дзета-функции Римана, лежащих на критической прямой. А. А. Карацуба [8] решил задачу о числе нулей дзета-функции Римана на очень коротких промежутках критической прямой «в среднем».

Для арифметических рядов Дирихле без эйлерова произведения правильных по порядку нижних оценок для числа их нулей на отрезках прямой Ks = 2 пока не получено.

В 1980 г. С. М. Воронин [16] доказал, что

No(T, f) > cTexP^VlnlnlnlnTj , (2)

где N0(T,f) — число нулей p функции Дэвенпорта-Хейльбронна f (s) таких, что Kp = 1, 0 < Qp < T. Тем самым С. М. Воронин впервые доказал, что на критической прямой лежит «аномально много» нулей арифметического ряда Дирихле без эйлерова произведения.

В 1989 г. А. А. Карацуба [12] разработал новый метод оценок снизу числа нулей некоторых рядов Дирихле на отрезках критической прямой, с помощью которого доказал следующее неравенство:

No(T,f) > T(lnT)°-5-£,

где е > 0 сколь угодно малое положительное число, T > T0(e). Оценка А. А. Ка-рацубы много точнее, чем оценка (2) С. М. Воронина.

В дальнейшем мы будем употреблять следующие обозначения и понятия. Через k,k1, • • • ,kN будем обозначать натуральные числа; K = [k1,k2, • • • , kN] — наименьшее общее кратное чисел k1, • • • , kN; х(п), Х1(п), • • • , Xn(п) — примитивные характеры Дирихле по модулям k,k1, • • • ,kN соответственно; L(s, х) — L—функцию Дирихле, отвечающую характеру Дирихле х:

L(s, х)

£

П=1

Х(п) ns ,

Ш > 1.

Для L- функции Дирихле с примитивным характером х по модулю k справедливо функциональное уравнение [17, c. 23]:

С(1 - s,x) = е(х)С (s,х),

где

c(s-x) = (D

Г ^)

L(s,x),

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ, ЛЕЖАЩИХ НА КРИТИЧЕСКОМ ... 187

£(х) =

iaVk

ТЫ ,

Пусть далее

. . ^ ^ . . 2nim

т (X) = У, x(m)e к — сумма Гаусса,

m=1

0, если х(—1) = 1

1, если х(—1) = — 1-

P(s,X) = £(х)(кп ) 2

iO(t,x) =

-1\ 1-s ГУ 2

1—s+a

г (**

1

' 2

jp ^ 2+it,x

Z(t, X) = eie(t,x)L^2 + u, ^ ,

G(t) = aiZ(t, xi) + a2Z(t, xi) +--+ aNZ(t, xn),

a

где a1,a2, ■ ■ ■ ,ai — произвольные вещественные числа.

В 1991 г. А. А. Карацуба [13] поставил и решил своим методом 1989 г. задачу о нижней оценке числа нулей G(t) на отрезке [T,T + H],H = T§2 +£1. Доказано, что при K > 3, £,£1 — произвольно малых фиксированных положительных числах, не превосходящих 0, 01, T > T0(£,£1) > 0 и H = T§2 +£1:

N0(T + H,G) — No(T, G) > cH (lnT)e—£ ,

где N0(T,G) — число нулей нечетного порядка функции G(t), лежащих в промежутке (0,T), в = —Щ), Ф — функция Эйлера.

В настоящей работе рассматривается задача о числе нулей функции G(t) в «среднем», т. е. на промежутках вида (T,T + H), H = X£1 при условии, что параметр T меняется в интервале X < T < 2X. Сформулируем основные теоремы:

Теорема 1. Пусть £,£1 > 0— произвольно малые фиксированные числа и пусть K > 3, в = —гщ, X > X0(£,£1), H = X£1, X < T < 2X. Если Е1 — множество тех T из промежутка [X, 2X], для которых не выполняется неравенство

No(T + H, G) — No(T, G) > C1H (lnT)в—£ , (4)

то для меры множества Е1 справедлива оценка р(Е1) ф X 1—0’Ъ£1.

Теорема 2. Пусть £,£1 > 0— произвольно малые фиксированные числа, K > 3, X > X0(£), H = X£1, M = [XH—ф При m = M +1,M + 2, ■■ ■ , 2M рассмотрим интервалы вида [mH,mH + H]. Тогда в каждом из указанных интервалов, за исключением не более Ml—°>b£1 из них, содержится более чем, c2H(ln X)в—£ нулей нечетного порядка (функции G(t).

188

ДО ДЫК ТАМ

В теоремах 1 и 2 константы c1,c2 зависят от £,£1 и от модулей характеров ki, • • • , км.

2. Вспомогательные леммы

Лемма 1. [6, с. 106] Пусть S(t) — комплекснозначная непрерывно дифференцируемая на отрезке [t0,tk] функция, t0 <t1 < • • • < tk-1 < tk.

Тогда, полагая 6 = min0<r<k(tr +i — tr), будем иметь

k

'£\s(tr )l2 < 6-i

f*tk

to

\S (t)\2dt + 2

\S (t)\2d^ \S/(t)\2dtSj

1

2

Лемма 2. [13, c. 490] Пусть x — примитивный характер по модулю к, L(s,x) — ряд Дирихле, отвечающий x, Z(t,x) определяется равенством (3), /3(и) — вещественные числа, причем \в(v)\ < 1 при v < Y, в(v) = 0 при v > Y, I3(v) = 0 при v ф 1 (mod к),

v(s) =

в (v)

(5)

v<Y

При T < t < T + H, H < Tl/i, 1 < Y < T0,01 справедлива следующая формула:

2

F (t,x) = Z (t,x)

<1 + “О I = ^- £ ЕДх->+

+ \fz(~x)eivi{t) ^ ^Ait + O(T-1/4Y ln2 T) + O(T-3/4H2Y ln2 T), vA

\<p

где

. . t, fkT\ T Ж ( 1\

ф1<<)=214^^1 — 2 + 4 (“ — 2) ’

e(v1)e(v2)X(n)

(A) =

uvi =x v2

v2

A — рациональные числа, знаменатель которых не превосходит Y. Пусть сумма S = S(U,6) задаётся следующем равенством:

аон2

S=

\<и

А2в

где a(A) определяются формулой (6), T0-1 < U < T, 4 < 6 <

s

v

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ, ЛЕЖАЩИХ НА КРИТИЧЕСКОМ ... 189

Лемма 3. [13, с. 497] Для суммы S, определённой равенством (7), справедлива следующая асимптотическая формула:

S = aU1-29W(0) + a{W(1 - 29) + O(U-29Y2 ln2 Y)

где

w (9)= ^ Ш

Vl,V2,V3,V4 4 7

q = (V1V4, V2V3),

1

q V - в(vl)X(vl)P(v2)X(v2)e(v3)X(v3)eMxM

a

V(k) 1

k 1 — 29’

ao

2 1+29 + 29 p(u)u 1 29du, p(u) = 7 — {u} .

V2V4

ai = aoJJ (1 — p-29),

p\k

1 2

1 29 J0.5

Лемма 4. [13, c. 505] Пусть k > 3, числа a(v) и (5(v) определяются соотношениями

a(v)

E

V=1

n.„(‘ — X

Ks > 1’

p=1 (mod k)

a(v) (1 — tV) , 1 < v< Y,

In V

W '0, v > Y.

Тогда для суммы W(9), определённой равенством (8), при 0 < 9 < 1 справедлива оценка

W (9) = O(Y29 (ln Y )-в), [5p(k) = 1.

Пусть £1, е2, h1— положительные числа с условиями £1 < 0.01, £2 < 1, h1 < 1, r — натуральное число, H = X£l. P = , P0 = \fkX, k — одно из чисел

k1,k2, ■ ■ ■ , kN. При j = 0,1,2 суммы Wj (T) определяются равенствами:

Wo(T)= £ ХХХ) (^YE

Al<A2<P

W1(T)

(T)= £ ДХфаД2) [А^у +Ды(£))2,

a.<^<p Дад! yxj ’

£ ( j)У B(Ai)B(x2)e-(H 1n(Й))

Ai<A2<P01 £2

vAAl V j1

где B(А) = ((PA-1)*1 — 1)r (ln(PA-1))-r; W2(T) =

V a(Ai)a(A2) /А^уТр-(н+1Ы(Д)У

^ VA2A7 \Aj e ’

P0 2 <Ai<A2<P

s

V

2

где числа a(A) задаются формулой (6).

Следующая лемма об оценках в среднем тригонометрических сумм Wj (T), j = 0,1, 2 является аналогом леммы 2 из [8, c. 1215].

190

ДО ДЫК ТАМ

Лемма 5. Для сумм Wj(T); j = 0,1, 2 имеет место неравенство:

2 р 2X

^2 / W2(T)dT < kXH-1Y12L11,

j=0J X

где к = r4(1 + 8e-1L 1)4r(h1£21L 1 + 8e-2L 2)4, L = lnX.

Доказательство. Пусть W(T) — одна из трёх сумм Wj(T), j = 0,1,2, P1 = P, H1 = H + 1, если j = 0, 2 и P1 = P0-£2, H1 = H, если j = 1. Разобьём

сумму W(T) на две суммы S1 (T) и S2(T), где сумма S1(T) отвечает таким слагаемым суммы W(T), у которых \2 < А1(1 + LH-1) и сумма S2(T) — остальным слагаемым.

Оценим сумму S2(T). Пусть А = = a, где (a,b) = 1. Из определения

числа А следует, что b < Y, a = Ab < PY, nv1 < PY. Тогда имеем

a(A) =

у' в (v1)e (v2)X(n) ^ v2

nvj _ a 2

v2 _ b

<

£ -

V2

nVj b_V2&

<

mb_V2&

m<PY

t (m) V2

Из условия mb = v2a, (a, b) = 1 следует, что m = m1 a, v2 = m1b, m1 < PY. Таким образом,

a(A) <

m1<PY

t (m1a) m1 b

< t (a) ^

m1<PY

t (mx) m1

< t(PY)L2.

(9)

В сумме S2(T) A2 меняется в интервале P1 > А2 > А1(1 + LH- 1). Из неравенства А2 > А1(1 + LH-1) следует, что

ln > ln(1 + LH-1) > 1 LH-\

А1 2

е~^Ы д) < e-16L. (10)

Из (9) и (10) следует, что

S2(T) < B2t2(PY)L5e-16L < B2e~0mL2,

где B = maxA<pi-£2 |B(А) | = O ((e- 1L 1)^), если j = 1 и B = 1 если j = 0, 2. Рассмотрим теперь сумму

SdT) = Y £ D (А1.А2),

Ai<Pi Ai<A2<Ai(1+LH-1)

где D (А1, А2) — слагаемые тригонометрических сумм Wj(T),j = 0,1, 2. Можно считать, что А1 > Л > HY-2L-1, так как в противном случае имеем

А2

а1

1+

А2 _ А1 А1

> 1 +

1

Ау2

> 1 + LH-1,

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ, ЛЕЖАЩИХ НА КРИТИЧЕСКОМ ... 191

и часть суммы S1 (T), отвечающая таким слагаемым, не превосходит величины O(B2e-0'0lL). Поэтому имеет место равенство

Si(T) < у У D (Ai,A2) + O(B2e-0mL).

A<Ai<Pi Ai<A2<Ai(1+LH-i)

Пользуясь определением чисел А1, А2, перепишем последнее равенство так:

Si(T)« £

Vi,— ,V4

У

У

D

Л<nivi<Pi nivi <n2V3 <nivi (1+Ltf-i)

v2 _ i v2 v4 _ v2

Таким образом, имеем

r«2X

f niVi n2V;A V V2 , V4 )

W2(T)dT < YJ + O(XB4e-0-02L2)

+ O(B 2e-omL2).

X

где

2X

J

X

у у 4^ --a)

Лa<nl<Pla nie<n2<nie(1+LH i) 4 7

dT,

где a = V2V- 1, в = v1v4v2 1v3 1, v1,v2,v3,v4 — фиксированные натуральные числа, не превосходящие Y. Если W(T) = Wj(T),j = 0, 2, то верхняя граница

изменения величины п1 зависит от T, так как в этом случае Р1 = . Осво-

бодимся теперь от этой зависимости. Положим Р2 = а/Xn-1, M = [P2Y] + 1,

и

Ф(П1)

У

D

ni@<n2<ni@(1+LH i)

Сумму под интегралом J преобразуем так:

M-1

ф(п1)

f nv n^vA

V V2 - V4 )

Лa<nl<Pla

M-1^ J2 Ф(П1) £ e2" ^

M1

<

M-1 У

a=0

a=0 Ла<^<Р2а

£ Ф(nl)e2'кi M

Лa<m<Pla

<

Ла<^<Р2а

у

Лa<nl<Pla

2ni am ezni M

M1

<y

1

a=0

a + 1

£ Ф(п1ф2П M

M1

« ИУ

1

a=0

a +1

£ Ф^ф^М

Лa<nl <P2a

Таким образом, для интеграла J получаем неравенство:

2

Лa<nl<P2a

l

2\ 2

2X

J <Y L

2

X

£ Ф—У^М

Ла<а i <P2a

dT,

2

192

ДО ДЫК ТАМ

где a — фиксированное число, 0 < a < M — 1. Разделим промежуток суммирования по ni на ^ L промежутков вида N < ni < Ni < 2N. Применяя неравенство Коши и заменяя каждый из полученных таким образом интегралов наибольшим, приходим к неравенству

-2X

^L4

IX

Y1 ф(и1)е

2niani

2пг M

dT,

Ф2)

N<m <Ni

2

где Ла < N < Ni < 2N < P2a.

Если W(T) = Wi(T), то от T зависят коэффициенты B(X). Освободимся теперь от этой зависимости. Разобьем промежуток суммирования по и1 на ^ L промежутков вида N < Ui < Ni < 2N; получим, как и выше, неравенство

2X

J L

X

Е Е

D

N<ni<Ni тв<П2<П1в(1+ЬИ-1)

/ niVi П2Уз\ V V2 ’ V4 )

dT,

Ф3)

где

2

B

(ne) ■»(?}

-(H ln n2V2V3)

> \ 2 niV1V4 J

2

К сумме по ni, и2 применим кратное преобразование Абеля в следующей форме: если gi(u), g2(v) — непрерывно дифференцируемые функции, тогда

Е Е G(ni,U2 )gi(ni)g2(U2) =

Ai<ni<Bi A2<n2<B2

rBi rB2 rB 2

/ / F (u,v)g'i (u)g2(v)dudv — gi(BiW F (Bi,v)g2(v)dv—

Ai A2 A2

r Bi

—g2(B2) F (u,B2)gi (u)du + gi(Bi)g2(B2)F (Bl,B2), (14)

Ai

где

F(u, v) = E E G(Ui,U2).

Ai<ni<u A2<n2<v

Возьмем в этой формуле Ai = N, Bi = Ni, A2 = Nifi, B2 = Niв(1 + LH- i),

gi(u) = B , g2(v) = B (~V^),

(* ta( ивв))Г

nl 4 e(vi)e(v2)X(Ui)e (v3 )в (v4 )X(u2) f n2 \ \ 2

G(ui,u2) =-----------. =--------- —д1 e

v/viv2v3vinin2 Vnie

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ, ЛЕЖАЩИХ НА КРИТИЧЕСКОМ ... 193

E (ni,U2)

1, если Л1 < n1 < B1 и п\в < n2 < n\[3(1 + LH-0, в остальных случаях.

Переходя от соотношения (14) к неравенству и пользуясь интегральным неравенством Коши, получим:

E У G(ni,n2)gi(ni)g2(n2) 2 „ Bi B2 « I / / u- i 2

Ai<rai<Bi A2<n,2<B2

( ['Bl rB2 2 2 \ 0 ( /" B2

x / uv \gi(u)\ \g2(v)\ dudv) + \gi(Bi)\2 /

\Ja i 2 2

(C- \g2(v)\2 d^ + \g2(B2)\2 ^ u-1 \F(u, B2)\2 du^j

и 1 v 1 \F(u,v)\2 dudv^ x

,-i

и g1(u)

+ |gi(Bi)|2 \g2(B2)\2\F(Bi,B2)\2 .

Из определения функций g1(u) и g2(v) следует неравенства:

Ф5)

\gi(u)\ < (1 + 8е2 1l У ; \g2(v)\ < (1 + 8е2 1l У

\g1 (u)\ < u-1ki; \g2(v)\ < v-1ki;

где к1 = r (1 + 8e-1L-1)r 1 (h1e-1L-1 + 8£-2L~2) .

Таким образом, правая часть (15) не превосходит R, где

г Bi г- B2

R < k4L2

u 1v 1 \F(u,v)\2 dudv^ +

+ (1 + 8e21L~1)‘2r x^L ( f u-1 \F(u,B2)\2 du + f v-1 \F(Bi,v)\2 dv^j +

\Jai JA2 /

Ai J A 2 Bi

2ir-n2r k2l I j u-1 \F(u,B2)\2 du +1 v-1

Ai J A2

+ (1 + 8e-1L-1 )4r \F(Bi,B2)\2 Подставляя эту оценку в (13), получаем:

Bi B2

J ^ x^L4 yj J u-1v-1I(u,v)dudvj +

+ (1 + 8G-1 L-1)2r к)2 L3 u-1I (u,B2)du + J v-1I (B1,v)dv^ +

+ (1 + 8e-1L-1)4r L2I(Bi,B2),

где

p2X

I(u,v)= \F(u,v)\‘ dT.

X

(16)

2

2

194

ДО ДЫК ТАМ

Оценим при A1 < u < B1, A2 < v < B2 интеграл I1,

r2X

где

Ii(u,v)= \Fi(u,v)\ dT,

X

Fi(u,v) = E E Ci(ni,n2 )E (ni,n2),

Ai <ni <U A2 <П2 <v

Gi(ni,n2)= ^‘Te-[f""

(Xf)Y^

ani

e"'" M.

\ щв/

Заметим, что такой же вид имеет интеграл в правой части (12). Кроме того, I(u,v) < I1. Имеем последовательность соотношений:

2X

2X

Il(u,v) = I \Fl(u,v)\2dT ^ I e ( X > \Fl(u,v)\2dT <

X

X

< I e ( X ) \Fl(u,v)\2dT ^

X

V1V2V3V4

E

хЫхЫхЫхЫ

Ai<ni,n3<u

A2<ra2,ra4<v

/ n2n3\ \n1n4J

iX

-(X ln(n2^))

2 nin4

^П1П2п3п4

_ ( H1 in / n2 11 2 _ ( H1 ln ( n3 W 2 2nia(ni — no)

xe v 2 vп1Ш e v 2 vп4Ш e M E(n1,n2)E(n3,n4)

X

V1V2V3V4

Y X(r1)X(r2)X(r3)X(r4) Y / 1 (Vn2^Y\

^ ^ ^П1П2П3П4 \n1n4J

iX

Г1,Г2,Гз,Г4 = 1

Ai<rai,ra3 <u A2<n2,n4<v

X

e

_(X ln( П2П&\\2 _ (H± ln( nx\Y _ ( ЁХ ln( _П^Х2 2nia(n1-n3) , ч , „

( 2 (n1nA e v 2 vn1^ e v 2 vn4P)) e M E(n1,n2)E(n3,n4) <

ф4(к)ХХ-2в-1 "

<

V1V2V3V4

E

r(X ln( nS))'

N<n1,n3<2N

П1в<П2 <n1l3(1+LH—1) n3l3<n4 <n3e(1+LH—1)

где символ * означает, что nj = rj (mod k),j = 1, 2, 3, 4. Если \n2n3 — n1n4\ > N2p2LX-1, то

! n2n3 ln

n1n4

ln 1 +

n2n3 — nin4

n1n4

LX

-1

2

и часть последней суммы по ni, n2, n3, n4, отвечающая таким слагаемым, есть величина порядка N2f3e-cL , c > 0 — абсолютная постоянная. Оставшуюся часть

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ, ЛЕЖАЩИХ НА КРИТИЧЕСКОМ ... 195

суммы оценим количеством слагаемых, т.е. количеством nl,n2,n3,n4, удовлетворяющих неравенствам

\n2n3 — nln4\ < N2fi2LX 1, (17)

N < nl,n3 < 2N, nle < n2 < nle(1 + LH-l),n3e < n4 < n3/3(1 + LH-l), (18)

nj = rj (mod k),j = 1,2, 3, 4. (19)

Через в обозначили число vlv4v-1v-1, где Vj — натуральные числа, не превосходящие Y. Из неравенств (18) и определения в получаем:

nlVlV4 < n2 V2V3 < nl Vl V4 (1 + LH-1),

n3VlV4 < n4V2V3 < ПзVlV4(1 + LH-1).

Отсюда следует, что:

n2v2v3 = nlvlv4 + h2, 1 < h2 < 2Nv1v4LH-1 ,

n4v2v3 = n3vlv4 + h4, 1 < h4 < 2Nv1v4LH-1.

Из неравенства (17) следует:

\h2n3 — h4nl\ < N2v1v4LX-l. (20)

Кроме того, из условий (19) следует, что

hn — h4nl = (Г2Г3V2V3 — rlr4VlV4) (mod k).

Число решений неравенства (20) в числах h2,h4,nl, n3 не превосходит величины

n,

П = N2v1v4LX lk l

умноженной на число решений уравнения

+ 1,

hn = h4nl,

которое, в свою очередь, не превосходит nl

_2

nl = ^ г2(ш) = O(N2vlv4LiH l).

m<4N 2v-iV4LH-1

Таким образом, получаем: Il <

ф4(k)XN-2e~l

(N2ee-cL2 + nm) < XH-lY4L5.

Vl V2 V3 V4

Тем самым, из последней оценки следует:

J < (k4 L6 + (1 + 8£-lL-l)2r K2L4 + (1 + 8 £-lL-lfr L2)XH-lY4L

-lr-l)4r t2\vzj-1\s4t5

196

ДО ДЫК ТАМ

Воспользовавшись определением числа

к1 = r (l + 8е2-1Ь~1у 1 (hi£2-1L~1 + 8£-2L-2) ,

получим:

J < r4(1 + 8£-1L~1)4r (h^L-1 + 8£-2L-2)4 XH-1Y4Ll Подставляя это в (11), получаем:

Г 2X

W 2(T )dT < r4(1 + 8£-1L-1)4r (h1£^1L~1 + 8£-2L-2)4 XH-1Y12L11

X

откуда следует утверждение леммы. □

Следствие 1. Пусть 5 — произвольное положительное число, не превосходящее 1, Е1 — множество таких T из интервала [X, 2X], для которых

^ W2(T) > r4(1 + 8£-1L-1)4r (h1£-1L-1 + 8£-2L-2)4 X1-5H-1Y12L11.

j=0

Тогда для меры множества Е1 справедлива оценка р(Е1) ^ X5.

Лемма 6. При обозначениях теоремы 2 справедливо неравенство

2 2M

Y, Y, W2(mH) < r4(1 + 8£-1L-1)4r (h1£-1L-1 + 8£-2L-2)4 MH-1Y12L12.

j=0 m=M+1

Доказательство. Будем следовать рассуждениям леммы 4, заменяя W(T) на W(mH), а интегрирование по T — на суммирование по k. Таким образом, получим неравенства, аналогичные (12) и (16). Отличие состоит лишь в том, что интеграл I1 заменится суммой У) 1:

2M

J21 = \Fl(u,v)\2,

m=M +1

F1(u,v) = Е Е G1(U1,U2 )E (U1,U2),

Al <ni <u A2 <П2 <v

G1(n1 ,U2)

x<n1)x(n2) (MimH?"■(nA) же.

AVV?v3vnn2\ n1 в J

К сумме ^ 1 применим лемму 1. Полагая в этой лемме tm = mH, 5 = H, будем иметь:

< H-1

1

i / n2X \2/ p2X

\F1(u,v)\2dT + f у |F1 (u,v)\2dT\ (j \F2(u,v

dT

1

2

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ, ЛЕЖАЩИХ НА КРИТИЧЕСКОМ ... 197

В этом неравенстве сумма F2(u, v) подобна сумме F1(u, v), отличие состоит лишь в том, что каждое слагаемое F1(u, v) умножается на число ln п2/п1. Таким образом, можно воспользоваться оценкой интеграла I1 леммы 4. Интеграл от квадрата модуля F2(u,v) оценим величиной I1, умноженной на квадрат максимума ln и2/и1р. Величины n1,n2 меняются так, что

п1в < и2 < и1в(1 + LH-1),

т.е.

1 <Пк < 1 + LH

1

U2

пф

0 < ln—^ < 2LH-1.

пф

Отсюда находим:

Y < LH-1I1 < XH-2Y4L6.

Но поскольку M = [XH 1], то получаем утверждение леммы. □

Следствие 2. Пусть 5 — произвольное положительное число, не превосходящее 1, Е1 — множество таких M < m < 2M, для которых

Y W2(mH) > r4(1 + 8e-1L-1)4r (hlY-1L-1 + 8e-2L-2)4 M1-SH-1Y12L12.

j=0

Тогда для количества элементов этого множества fa(E1) справедлива оценка ц(Е1) < M&.

3. Доказательство теоремы 1

В следствии 1 полагаем 5 =1 — 0.5е1. Будем рассматривать те числа T из X < T < 2X, которые не принадлежат множеству Е1; для них выполняется оценка

(21)

YWj(T) < kH-0-5Y12L11,

j=0

где к = r4(1 + 8e-1L-1)4r (h1e-,lL-1 + 8e-2L-2)4 .

Пусть Y = H0,01. Определим вещественные числа a(v) и в(v) следующим образом:

У

a(v)

Vs П ( psj

v=1 p=1 (mod K) ' '

Ms > 1;

в (v)

a(v) ^1 —

ln v\

-—— , если 1 < v < Y,

ln Y

, если v > Y,

0

198

ДО ДЫК ТАМ

и функции gj (s) — равенствами

9з(s) = Y1

e(v)Xj(v)

v<Y

V s

j = 1, ••• ,N.

Очевидно, что все gj(s) тождественно равны между собой: gj(s) = g(s), j 1, • • • , N. Рассмотрим функцию

F (t) = G(t)

g{ 2+lt)

Вещественные нули нечетного порядка функции F(t) являются вещественными нулями нечетного порядка функции G(t). Пусть теперь T < t < T + H, где H = X£l, X > Xo(ei), r = [clnln T], A = c\r ln T(ln X)-e, c,c\ > 1 — постоянные, значения которых более точно определим позднее, h = A(lnT)-1, h1 = hr-1. Пусть далее

ji(t)

j2(t) =

rhi phi

oo

phi phi

\F (t + u1 + .. + ur )\du1..dur

F (t + u1 + .. + ur )du1..dur

oo

Через E обозначим множество тех t из промежутка (T, T + H), для которых выполняется неравенство j1(t) > j2(t), которое означает, что на промежутке (t,t + rh1) = (t,t + h) имеется нуль нечетного порядка функции F(t), а нули F(t) являются нулями нечетного порядка функции G(t). Пользуясь тем, что j1(t) = j2(t) при t ^ E, получаем:

г fT+H р pT+H pT+H

/ ji(t)dt = ja(t)dt - ja(t)dt > i ja(t)dt - ja(t)dt;

JE Jt je Jt Jt

то есть

p p-T+H p-T+H

/ ja(t)dt + / ja(t)dt > i ja(t)dt,

E T T

где 0 < a < 1 — произвольное фиксированное число. Если обозначить

hi hi

h

12

13

hi hi i

( / ••• I \F(t + u 1 + ••• + ur)\du 1 ••• dur) dt,

Eo

T+H

T

hi

hi

F (t + u1 + • • • + ur )du1 • • • dur

o

o

dt,

hi hi i

i • • \F(t + u1 + ••• + ur)\du1 ••• dur \ dt,

T+H hi

Jt \J o Jo

то последнее неравенство перепишется в виде: I1 + I2 > I3.

2

i

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ, ЛЕЖАЩИХ НА КРИТИЧЕСКОМ ... 199

Оценим I3 снизу. Пользуясь неравенством Гёльдера, получим:

( Г hi г hi \ a

ij ■J IF (t + u1 + ••• + ur )\adui ■■■ dur\ <

< hr1(1/a—1') " J \F (t + ui + ••• + ur )\dui ••• dur^ ;

следовательно,

r*hi phi

\F(t + u1 + • • • + ur)\adu1 ■ ■ ■ dur <

< hi(1 a) ■ ■ ■ J \F(t + u1 + ■ ■ ■ + ur)\du1 ■ ■ ■ du^j

Is > h—r(1—a)

/0 J 0

рТ+Я rhi rhi

\F(t + u1 + ■ ■ ■ + ur)\adu1 ■ ■ ■ durdt >

Т 0 0

с Т+Я

Т+Я

> hT I \F(t)\adt = h\a \F(t)\adt.

Jt+rhi Jt+h

Имеем

\F (t)\

N

Z (t,Xj )92(0-5 + it)

j=1

Z(t> Xj) = eie(t,Xj}L(0.5 + й, Xj);

J0(t,Xj)

f X Кk)

-ity\ (1 , a I iti ^ 1/2

b\ Г 1 + a + it £(Xj)( ^ (4 + 2 + 2

Г f 1 + a it

Г V4 + 2 2

} -{( I)

—it T-i /1 1 a I iti 1/2

k\ —it Г (4 + a + 2

Г /1 I a it

Г V4 + 2 2

}

где

■ 0, если x(—1) = 1

1, если x(—1) = —1.

Применяя формулу Стирлинга ([6, c. 54]), получим:

С:

fr (4 + 2 +1)!—1/2 \Г й + a — f)j

где ,At) = — 2ln 2— 2 + (f— 4) П + O(\t\ 1).

Пусть M — натуральное число, тогда при Ks > 0, применяя формулу частного суммирования, найдём

M

L(0.5 + it, x) = Y. nOS+Tt + s I C(u)u

n=1 n Jm

-0.5-it— 1

du,

0

0

200

ДО ДЫК ТАМ

где C(u) = м<п<и x(n)- Так как C(u) < Vkln k ([17, c. 255]), то при T < t <

T + H получаем:

м

L(0.5 + U,x) = Y: + O(TM-o5).

n=l

Если в этом равенстве положим M = T, то получим:

L(°.5 + it,x) = £ ПХ^+S + O(T 5) « £ i + T° 5 « T°"

n=1

n=1

n

Из определения чисел в(v), тривиально оценивая каждое слагаемое g(s), будем иметь

|g(0.5 + tt)\<Y, v-o5 = Ob/Y).

v<Y

Следовательно,

\F (t)\

N

У^ aj£jег(2 4) 2 L(0.5 + it,Xj)g2(0.5 + it)(1 + O(t 1))

j=i

>

где

>

N

aj£jei(2 4) 2 L(0.5 + it, Xj)g2(0.5 + it)

j=1

+ O(T-0 • 5Y)

£ 1+*)

n=1 ' /

n=1

N

+ O(T-0 • 5Y)

N

r(n) = ^2aj£je%(2 4)2Xj(n); \r(n)\ <J2\aj\-

j=i j=i

Далее, дословно повторяя рассуждения из работы А.А. Карацубы [13, c. 508], получаем оценку снизу для интеграла I3:

I3 > С2 hriaH.

(22)

Оценим I1 сверху. Пользуясь неравенством Гёльдера, находим

сT+H ( [■ hi [■ hi

/а-1

к'а < (p(E)f'a < WEyf^hr

T \J0

r-T+H nhi

Jt Jo

hi hi 2

i • • \F(t + u1 + ••• + ur)\du1 ••• dur \ dt <

'0

hi

\F(t + u1 + • • • + ur)\2du1 • • • durdt <

f T+H+1

< (v(E))2/a-1 h2r \F(t)\2dt.

T

0

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ, ЛЕЖАЩИХ НА КРИТИЧЕСКОМ ... 201

Так как

N

F(t) = ajZ(t,Xj)|fl'(0.5 + it)\2,

j=i

то

где X =

F (t,x),

f'T+H+1 f'T+H+i 2

/ \F(t)\2dt < / (Z(t,x)\g(0-5 + it)\2) dt,

Jt Jt

Xj, 1 < j < N. Пользуясь леммой 2 — приближенным уравнением

F (t,x) = Z (t,x)\g(0-5 + it)\2,

приходим к неравенству г т+H+1

Jt

\F(t,X)\2dt <

r-T+H+1

IT

a(^) \-i

^ Vx

\<p

dt + HT-0-2.

Наконец, для интеграла в правой части последнего неравенства находим оценку

rT+H+1

IT

\<P

a(X) \-it

^ Vx

fT+H+1 _( t-T )2

dt < J e (H+1)

\<p

a(x) x-it

Vx

H f e-v2 J 0

^a2)x -i(T+iv(H+1))

^ Vx

X<P

dv H

(E

YV x

\a(X)\

dt

X

+ \Wo \j

где W0 — тригонометрическая сумма леммы 5. Пользуясь леммами 3 и 4, полагая в = 2 — 2i1 р, сумма «диагональных слагаемых» оценена так:

У ^ < у

\a( А)\2 ln T

x x20 (ln Y У

Для суммы «недиагональных слагаемых» W0(T) справедливо неравенство (21),

Wo (T) < к1/2H-0-25Y6 У5.

т.е.

Таким образом, получаем

I1 < c3(^(E))1-a/2ha1rHa/2(lnT)a/2(lnY)-ae.

Перейдем к оценке I2. Поступая так же, как и при оценке I1, получаем

I2/a < H2/a-1

rT+H

H2/a-1

JT

fT+H

IT

r-hi r-h i

00 hi hi

F (t + u1 + ■ ■ ■ + ur )du1 ■ ■ ■ dur

F(t + u1 + ■ ■ ■ + ur, x)du1 ■ ■ ■ dur

00

dt

dt,

2

2

2

2

2

202

ДО ДЫК ТАМ

где

F(t,X) = Z(t,X) 10(0.5 + it)\2 .

Разобьем в F(t, x) суммирование по Л на две части: Л < P^-£2 и Pq-£2 < Л < P, £2 > 0— постоянная, которую определим позднее. Пользуясь леммой 2, приходим к неравенству

fja < H2/“-1(/2i + I22 + HT-0'2h2{),

(23)

где

r-T+H

21

T

ch\ fh\

Ю J 0

E —Л (0

i(t+ui+---+Ur)

d1-£ 2

dt,

r-T+H

22

T

nhi phi

а(Л) ( Py(t+Ui+-+Ur)

У — (+) dui ... du,

/0 J0 i-£ л vX \XJ

dt.

Оценим I21 сверху. Имеем

f-T+H

21

T

phi phi

00

l'T+H ^ a(X) f p\

Jt M £-xU)

^ a(X) ( Py(t+Ui+-+Ur) у —( — I dui • • • du,

:р—2 VЛ 'Л'

(Л) ( P \zt ((PX-1)ihi — 1)

dt

MV (ln(P Л-1))г

dt

H I \а(Л)\2 4r + W 1 ^ hI 42r \ ^ \а(Л)\2 , W

^ H\ Л (ln(PЛ-1))2r + \Wl4 ^ M (£2 ln T)2r M Л + w1 \

?i-,2

(

(£2 ln T )2r^p Л

,

где W1 — тригонометрическая сумма леммы 5. Пользуясь леммами 3, 4 и оценкой (21), получаем

21

I21 < H ^

42r ln T

(£2 ln T)2r (ln Y)e

+ k1/2H-025Y6L5'5^ .

(24)

Пользуясь тем способом, который применяется при оценке I1 , для I22 получаем неравенство

2

2

2

I22 < h2r H

P1

p n

E

г<х<р

WM

Л

+ \W2\

1

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ, ЛЕЖАЩИХ НА КРИТИЧЕСКОМ ... 203

где W2(T) — сумма леммы 5.

Полагая в лемме 3 9

i 1

2 2 ln P ’

U = P и U = PQ £2 и вычитая одну формулу

из другой, получаем \а(Л)\2

Е

л

« Е

\а(Л)\2 ,, , (1_г2)!nPo. lnT lnT

P0 £2 <\<p pQ £2 <\<p

Л2

/., m pq in T

« (e — e(1-£2>inp W——— « e2

(ln Y)e 2 (ln Y)e

при T > T1(e2) таких, что ^Пр > 1 — £2.

Из (21) следует, что W2(T) « к1/2И-q'25Y6L5'5. Таким образом, получаем:

2r , ln T

122 Xi h И

h1И (&2 + Х'/2И-Q'25Y6L5'5) ■

(25)

Из (23), (24) и (25) следует, что 42r ln T

I?/a < И2/

{

(£2 ln T)2r (ln Y)e

2r£ (nYy + k1/2(i + h2r)и-q'25y6l55|

+ hi £2

12« Hhar a,

где

a

/____4^

V(£2hi ln'

ln T ln T

+ £2-

+ k1/2 (1 + h-2r )h-q'25Y6L5'5^

a/2

(£2hi ln T)2r (ln Yу z (ln Y)e

Таким образом, получаем

Ii + I2 ^ I3; 1з ^ C2haiИ; I2 < c4haiАИ;

Ii > I3 — I2 > (C2 — C4A)harИ■

Подберем параметры:

r = [c lnln T ], hi = hr-1, h = A(ln T )-i,

A = cir(ln T )(ln Y )-e, £2 = £3 (ln T )-i(ln Y )e.

А за £3 возьмем наибольшее положительное число с условием

± . . a

0 < £3 < 2, C2 > 2С4(4£з) 2 .

(26)

(27)

Возьмём теперь ci = 16£3i,c = 2,T2 = T2(£i,£3) такими, чтобы при T > T2 выполнялись неравенства

£3(lnY)e > 16(lnX)-i; (lnX)r < Xomsi

4-2r ln T (ln Y )e

< £3■

204

ДО ДЫК ТАМ

Тогда

к

1/2 = г2 1 +

8 ln T

2r x16lnTlnX + 8ln2Tx 2

£3 (ln Y)e ln X

V7:

) V £s(ln Y)2в ln2 X

«'1" мЁЫ* (щеЬ»)< ■

)‘

A

!

4-2r ln T

+ £3 + к

1/2

1+( ^ Г)

(ln Y )в \ V 16

< (2e3 + 2c5'24rH-°-2y6L9-5) a/2

H-0-25y6l5 5 \ <

}

a/2

Наконец, возьмём T3 = T3(e1,£3) > T2 таким, чтобы при T > T3 выполнялось неравенство c5'24rH-02Y6L9'5 < £3. Следовательно, получаем:

A < (4£3)a/2; 2C4A < 2c4(4£3)a/2 < C2.

Из (26) и (27) следует, что

Ii > 0.5c2hYH

С другой стороны, имеем

Ii < C;3(^(E))1-a/2harHa/2(ln T)a/2(ln Y)-ae. Тем самым, получаем оценку снизу для меры множества E:

C3 (ME))1-2 harH2

(ln T) 2 (ln Y)

> 0.5c2harH;

ц(Е) > C6H ((lnT)(ln Y)-e) 2-a . (28)

Разделим интервал (T, T + H) на интервалы вида (nh, nh + h), где n = [Th-1 ], [Th-1] + 1, ■ ■ ■ , [(T + H)h-1]. Из неравенства (28) следует, что, по крайней мере,

a

[c6H ((lnT)(ln Y)-e) 2-a h-1] — 2 из этих интервалов содержат точку из Е. Если интервал (nh, nh + h) содержит точку t из Е, то в интервале (nh, nh + 2h) содержится хотя бы один нуль нечетного порядка функции F(t). Это означает что, в интервале (nh, nh + 2h) содержится хотя бы один нуль нечетного порядка функции G(t). Следовательно, количество нулей нечетного порядка функции G(t) на интервале (T,T + H) не меньше, чем 1

1 _ a

2([C6H ((lnT)(ln Y)-e) 2-a h-1] — 2).

Полагая a = £, T > T0(£,£1), и пользуясь определением

A

h

ln T

16£3V(ln Y) e,

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ, ЛЕЖАЩИХ НА КРИТИЧЕСКОМ ... 205

получаем, что количество нулей нечетного порядка функции G(t) на интервале (T,T + H) не меньше, чем

c7H(lnY)в((lnT)(ln Y)-e)-2-(inlnT)-1 > cgH(lnX)e-s.

Из следствия 1 получаем утверждения теоремы. □

Доказательство теоремы 2 повторяет доказательство теоремы 1. Отличие состоит в том, что вместо T < t < T + H рассматриваем числа m из [M, 2M], для которых выполняется неравенство

W2(mH) + W?(mH) + W2;(mH) < x1/2H-0'5Y 12L12,

где к = r4(1 + 8e-1L-1)4r (h1e^-1L-1 + 8e-2L-2)4. Тогда интегралы I2,I3 ются интегралами:

rmH+H n hi n hi

заменя-

J

2

mH

F (t + u1 + • • • + ur )du1 ■ ■ ■ dur

ю

pmH+H / phi

/0

hi

dt,

/ (-hi rhi \ a

i ■■■ \F(t + u1 + ■■■ + ur)\du1 ■■■ dur ) dt,

J3 =

mH00 а оценка сверху для интеграла I1 — оценкой

2 2 Г mH+H+1

ia < ш))a-1 hr \f(t)\2dt.

mH

Далее, повторив доказательство теоремы 1 с очевидными изменениями, получаем утверждение теоремы 2. □

4. Заключение

В данной работе было доказано, что на почти всех промежутках вида [T, T + H], H = X£i, X < T < 2X содержится больше, чем cH(ln X)в-е нулей линейной комбинации L— функций Дирихле. Отметим, что в доказательстве существенно использовано условие X < T < 2X. Случай меньшего промежутка изменения параметра T требует дальнейшего исследования.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю С. А. Гриценко за советы и помощь в работе.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Риман Б. Сочинения. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. 479 с.

2. Hardy G. Н. Sur les zeros de la fonction ((s) de Riemann // Compt. Rend. Acad. Sci. 1914. Vol. 158. P. 1012-1014.

206

ДО ДЫК ТАМ

3. Hardy G. H., Littlewood J. E. The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line // Mathematische Zeitschrift. 1921. Vol. 10. P. 283-317.

4. Selberg A. On the zeros of Riemann’s zeta-function // Skr. Norske Vid. Akad. Oslo. 1942. Vol. 10. P. 1-59.

5. Карацуба А. А. О расстоянии между соседними нулями дзета-функции Римана, лежащими на критической прямой // Тр. МИАН СССР. 1981. Т. 157.

С. 49-63.

6. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983. 240 с.

7. Карацуба А. А. О нулях функции ((s) на коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. T. 48, № 3. C. 569-584.

8. Карацуба А. А. Распределение нулей функции ((1/2 + it) // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1984. Т. 48, № 6. С. 1214-1224.

9. Карацуба А. А. О нулях дзета-функции Римана на критической прямой // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 167. С. 167-178.

10. Карацуба А. А. О вещественных нулях функции ((1/2 + it) // УМН. 1985. Т. 40, № 4. С. 171-172.

11. Карацуба А. А. Дзета-функция Римана и ее нули // УМН. 1985. Т. 40, № 5. С. 23-82.

12. Карацуба А. А. О нулях функции Дэвенпорта-Хейльбронна, лежащих на критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54, № 2. С. 303315.

13. Карацуба А. А. О нулях специального вида функций, связанных с рядами Дирихле // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991. Т. 55, № 3. С. 483-514.

14. Карацуба А. А. О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1992. Т. 56, № 2. С. 372-397.

15. Карацуба А. А. Уточнение теорем о количестве нулей, лежащих на отрезках критической прямой, некоторых рядов Дирихле // УМН. 1992. Т. 47, № 2. С. 193-194.

16. Воронин С. М. О нулях некоторых рядов Дирихле, лежащих на критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44, № 1. С. 63-91.

17. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М.: Физматлит. -1994. 376 c.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ, ЛЕЖАЩИХ НА КРИТИЧЕСКОМ ... 207

REFERENCES

1. Riemann, B. 1948, “Xachinenia.” [The works],OGIZ, Moskva-Leningrad., 479 p. (Russian)

2. Hardy, G. Н. 1914, “Sur les zeros de la fonction ((s) de Riemann”, Compt. Rend. Acad. Sci., vol. 158, pp. 1012-1014.

3. Hardy, G. H. & Littlewood, J. E. 1921. “The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line”, Mathem,atische Zeitschrift, vol. 10, pp. 283-317.

4. Selberg, A. 1942, “On the zeros of Riemann’s zeta-function”, Skr. Norske. Vid. Akad Oslo, vol. 10, pp. 1-59.

5. Karatsuba, A. A. 1981, “On the distance between consecutive zeros of the Riemann zeta function that lie on the critical line”, Trudy Mat. Inst. Steklov, vol. 157 , pp. 49-63. (Russian)

6. Karatsuba, A. A. 1983, “Osnovui analiticheskoi teorii chisel.” [Fundamentals of analytic number theory], Nauka, Мoscow, 240 p. (Russian)

7. Karatsuba, A. A. 1984, “On the zeros of the function ((s) on short intervals of the critical line”, Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math., vol 48, no 3, pp. 569-584. (Russian)

8. Karatsuba, A. A. 1984, “The distribution of zeros of the function ((1/2 + it)”, Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math., vol 48, no 6, pp. 1214-1224. (Russian)

9. Karatsuba, A. A. 1985, “Zeros of the Riemann zeta function on the critical line”, Trudy Mat. Inst. Steklov, vol. 167 , pp. 167-178. (Russian)

10. Karatsuba, A. A. 1985, “On the real zeros of the function ((1/2 + it)”, Uspekhi Mat. Nauk, vol. 40, no 4, pp. 171-172. (Russian)

11. Karatsuba, A. A. 1985, “The Riemann zeta function and its zeros”, Uspekhi Mat. Nauk, vol. 40, no 5, pp. 23-82. (Russian)

12. Karatsuba, A. A. 1990, “On the zeros of the Davenport-Heilbronn function lying on the critical line”, Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math., vol. 54, no 2, pp. 303315. (Russian)

13. Karatsuba, A. A. 1991, “On the zeros of a special type of function connected with Dirichlet series”, Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math., vol. 55, no 3, pp. 483-514. (Russian)

14. Karatsuba, A. A. 1992, “On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line”, Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math., vol 56, no 2, pp. 372-397. (Russian)

208

ДО ДЫК ТАМ

15. Karatsuba, A. A. 1992, “A refinement of theorems on the number of zeros lying on intervals of the critical line of certain Dirichlet series”, Uspekhi Mat. Nauk, vol. 47, no 2, pp. 193-194. (Russian)

16. Voronin, S. M. 1980, “On the zeros of some Dirichlet series lying on the critical line”, Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Math., vol. 44, no 1, pp. 63-91. (Russian)

17. Voronin, S. V. & Karatsuba, A. A. 1994, “Zeta-funkcia Rimana.” [The Riemann zeta-function], Fizmatlit, Moscow, 376 p. (Russian)

Белгородский государственный национальный исследовательский университет.

Поступило 25.05.2015