Оценка кривизны Риччи взвешенного дерева Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.774.8+515.124.4+519.17+519.224.22

ОЦЕНКА КРИВИЗНЫ РИЧЧИ ВЗВЕШЕННОГО ДЕРЕВА

О. В. Рублёва1

В статье получена оценка грубой кривизны Риччи для взвешенных деревьев со случайным блужданием на множестве вершин.

Ключевые слова: взвешенное дерево, метрическое пространство, кривизна Риччи, грубая кривизна Риччи, расстояние транспортировок, случайные блуждания на метрическом пространстве.

An estimate of the coarse Ricci curvature is obtained in the paper for weighed trees with random walk on the vertex set.

Key words: weighted tree, metric space, Ricci curvature, coarse Ricci curvature, transportation distance, random walk on metric space.

1. Введение и основные понятия. В конце XX в. в дифференциальной геометрии появилось новое направление — исследование аналогов кривизны Риччи для метрических пространств общего вида [1]. В 2009 г. в работе [2] было введено новое понятие грубой кривизны Риччи для метрических пространств с цепями Маркова, которое в 2011 г. в работе [3] было распространено на метрические пространства, порожденные графами. Напомним определение из [3] грубой кривизны Риччи для графов и связанные с ней понятия.

Будем рассматривать граф G = (V,E), где V — множество его вершин, Е — множество его ребер. Длиной пути, соединяющего две вершины графа, назовем количество ребер, входящих в этот путь. Расстоянием между двумя вершинами в графе назовем длину кратчайшего пути между этими вершинами, т.е. пути наименьшей возможной длины. Расстояние между вершинами х ж у будем обозначать через с\{х,у) и называть единичной весовой функцией. Диаметром графа diam(G) назовем наибольшую длину кратчайшего пути, соединяющего вершины графа G. Напомним, что деревом, называется связный ацикличный граф, а бинарным, деревом, — дерево, вершины которого имеют степень 1 или 3. Две вершины бинарного дерева степени 1 образуют усы, если они смежны с общей вершиной степени 3.

Распределением вероятмост,и, на конечном множестве V назовем функцию m: V —> [0,1], такую, что ^2x&vm(x) = 1- Введем функцию расстояния транспортировок W(mi,m2), которая будет измерять расстояние между двумя распределениями вероятностей mi и rri2'-

W(mi,m,2) = sup У^ /(ж)(m\{х) — Ш2(ж)).

f— 1-липшицева функция

Далее будем рассматривать функции распределения m" : V —> [0,1] специального вида, называемые функциями случайного блуждания:

а, если х = у,

<(у) = \ ада если ж ~ у;

0, если х ю у и х ф у, где запись х ~ у обозначает, что вершины х ж у смежны.

Определим а-кривизну Риччи, формулой ка(х,у) = 1 — ^ ■ В случае а = 0 величина

ко(х,у) — кривизна Риччи-Оливье. Кривизной Риччи назовем функцию k(x,y) := lim

а—>1 1 — а

Важным свойством кривизны Риччи для графов является ее ограниченность сверху, доказанная в работе [3].

Теорема 1. Пусть G = (V, Е) — произвольный граф, причем вес каждого его ребра равен 1. Для любых вершин ж, у € ^(С) выполняется следущая оценка:

о

k{x,y) ^

ё(ж,у)'

1 Рублёва Ольга Владимировна — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: rubleva-olga9 lQmail.ru.

В [4] понятие кривизны Риччи было применено к новым геометрическим объектам — взвешенным деревьям. Взвешенным деревом, назовем пару Я = (С,ш), где ш: Е —>■ М+ — неотрицательная весовая функция, которая каждому ребру сопоставляет неотрицательное число (вес). В отличие от работы [3], в которой в качестве функции ё(ж, у) выступала функция, измеряющая количество ребер, входящих в кратчайший путь, в работе [4] рассматривается функция (1ш(х,у), вычисляющая сумму весов всех ребер, входящих в единственный путь в С, который соединяет точки х ш у ш который мы обозначим через 7{ху). Далее для краткости будем обозначать функцию (I^ через с1.

Основным результатом работы [4] является общая формула для кривизны Риччи взвешенного дерева на паре его вершин.

Теорема 2. Пусть О = (V., Е) — произвольное дерево, ш — весовая функция, — функция, измеряющая вес пути между вершинами дерева. Тогда кривизна Риччи взвешенного дерева О на любой па,ре его вершин вычисляется по следующей формуле:

где кг = 1 , если, ребро гх входит, в путь 7(ху), и кг = —1, если, не входит.

В связи с этим возникает задача оценки кривизны Риччи взвешенного дерева на паре его вершин. В данной работе получены точные верхняя и нижняя оценки кривизны Риччи взвешенного дерева.

2. Основные результаты. Для формулировки основной теоремы введем новое обозначение:

1

и(х) := 1—ГТ У^ К •

deg(x)

где /г* = +1, если d(z,x) = и /г* = — 1 для остальных г ~ х. В частности, если

= 1, то 11(х) = ё(ж,ж'), где ж ~ ж'. Теорема 3. Пусть О = (V., Е) — произвольное дерево, ш — весовая функция, ё — функция, измеряющая вес пути между вершинами дерева. Тогда, кривизну Риччи взвешенного дерева О, не являющегося отрезком,, на па,ре его вершин можно оценить сверху и снизу так:

1 . 1

2min([/(ï))) < —--Г2тт([/(ж))') < к(х,у) < 1,

x&V J d(x,v)\ x&V J

diam(G) V x&v J d(x,y)\ x&v

причем эти оценки, являются m,очным,и. Для отрезка ху кривизна, к(х,у) = 2.

Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай дерева — отрезок ж у. Применим формулу для грубой кривизны Риччи из теоремы 2. В данном случае deg(œ) = deg(y) = 1, кх = ку = +1. Получаем

у) = У) + d(y>х)) = 2-

Перейдем к общему случаю.

Оценка, сверху. В формуле (1) рассмотрим слагаемое deg1(-a,^ kz ж). Заметим, что в этой

сумме все слагаемые, кроме одного, отрицательные, поэтому все слагаемое принимает наибольшее значение, когда знаменатель deg(œ) наименьший из всех возможных, т.е. deg(œ) = 1, и в числителе стоит единственное положительное слагаемое, т.е.

у) < (d(^b ж) + d(¿2,2/)) •

Точки z\ и Z2 лежат на пути j(xy) и являются смежными с точками ж и у соответственно, поэтому справедливо неравенство d (ж, у) ^ d{x,z{) + d(z2,y), причем равенство достигается, когда Z\ = Z2 и x,Z\,y — последовательные точки пути j(xy). Следовательно,

d{x,y)

Оценка, снизу. Докажем, что в сделанных выше обозначениях

к(х,у) ^ 2тт([/(ж)) /(Иат(С).

V х€У /

Рассмотрим снова общую формулу для кривизны Риччи (1). В силу определения функции и (х) справедлива следующая оценка:

¿¿у Ек' •у) > ¿¿у £ К'= и{х)'

где к*, = +1, если (1(г,х) = ттх^х ё(ж, г), и к*, = — 1 для остальных г ^ х. Подставим ее в цепочку неравенств:

> ¿и+> фЬ (2т'п(,,(х)'г/м)) >

Точность оценок. Пусть С — дерево с постоянной весовой функцией. Оценка снизу

достигается и совпадает с формулой из теоремы 1 для вершин дерева С степени 1, расстояние между которыми равно сИат(Сг). Оценка сверху к(х,у) + 1 достигается и совпадает с оценкой из теоремы 1 для вершин из усов взвешенных деревьев с постоянной весовой функцией, равной 1 на каждом ребре. Теорема доказана.

Автор выражает благодарность А. О. Иванову и А. А. Тужилину за постановку задачи и помощь в работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке программы "Ведущие научные школы РФ", проект НШ-581.2014.1 и РФФИ, грант РФФИ № 13-01-00664а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bakry D., Emery M. Diffusions hypercontractives // Lect. Notes Math. 1985. 1123. 177-206.

2. Ollivier Y. Ricci curvature of Markov chains on metric spaces //J. Funct. Anal. 2009. 256, N 3. 810-864.

3. Lin Y., Lu L.Y., Yau S.T. Ricci curvature of graphs // Tohoku Math. J. 2011. 63. 605-627.

4. Рублева О. Кривизна Риччи взвешенных деревьев // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 6. 52-54.

Поступила в редакцию 02.12.2015

УДК 519.714

О СЛОЖНОСТИ И ГЛУБИНЕ ФОРМУЛ ДЛЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

И. С. Сергеев1

Предложен новый прием реализации формулами оператора подсчета количества единиц в булевом наборе, основанный на приближенном вычислении суммы. С его помощью неконструктивно получены новые верхние оценки сложности и глубины формул для произвольных и некоторых конкретных симметрических функций над базисом В2 всех двухместных булевых функций и над стандартным базисом Во = {A, V,-}. В частности, глубина умножения n-разрядных двоичных чисел оценивается сверху асимптотически как 4, 02 log2 п над базисом В2 и как 5,14 log2 п над базисом Во-

1 Сергеев Игорь Сергеевич — канд. фнз.-мат. наук, нач. лаб. ФГУИ «НИИ "Квант"», e-mail: issergQgmail.com.