Одномерные минимальные заполнения с ребрами отрицательного веса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 514.774.8+515.124.4+519.176

ОДНОМЕРНЫЕ МИНИМАЛЬНЫЕ ЗАПОЛНЕНИЯ С РЕБРАМИ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ВЕСА

А. О. Иванов1, З.Н. Овсянников2, Н. П. Стрелкова3, А. А. Тужилин4

А. О. Ивановым и А. А. Тужилиным был предложен одномерный стратифицированный вариант проблемы Громова о минимальном заполнении, где в качестве заполнений конечных метрических пространств рассматривались взвешенные графы с неотрицательными весами ребер. В настоящей работе рассматриваются обобщенные заполнения, т.е. заполнения, в которых не требуется неотрицательность весов ребер. Доказано, что для любого конечного метрического пространства его минимальное заполнение имеет наименьший вес и в этом более широком классе обобщенных заполнений.

Ключевые слова: минимальное заполнение, конечные метрические пространства.

A.O. Ivanov and A. A. Tuzhilin started an investigation of a particular case of Gromov Minimal Fillings problem generalization to the case of stratified manifolds using weighted graphs with nonnegative weight function as minimal fillings of finite metric spaces. In this paper we introduce generalized minimal fillings, i.e., minimal fillings where the weight function is not necessarily nonnegative. We prove that for any finite metric space its minimal filling has the minimum weight in the class of its generalized fillings.

Key words: minimal filling, finite metric spaces.

1. Введение. Задача о минимальном заполнении конечного метрического пространства была поставлена Ивановым и Тужилиным в [1]. Она возникла в связи с двумя классическими проблемами — проблемой Штейнера о кратчайших сетях и проблемой Громова о минимальных заполнениях гладких многообразий [2].

Задача состоит в поиске взвешенного графа наименьшего веса, затягивающего данное конечное метрическое пространство так, чтобы вес пути, соединяющего любые две точки метрического пространства в графе, был не меньше расстояния между этими точками в метрическом пространстве. Приведем следующие определения из [1].

Пусть M = (M, р) — конечное псевдометрическое пространство (имеется в виду обобщение метрического пространства, в котором расстояние между разными точками может быть равно нулю); G = (V, E) — связный граф, соединяющий M (по определению связный граф G соединяет M, если M С V); w: E ^ R+ — функция на ребрах графа со значениями в неотрицательных числах, называемая весовой и порождающая взвешенный граф G = (G,w). Сумму ^eeE w(e) весов ребер графа G будем называть весом графа и обозначать w(G). Определим псевдометрику dw на множестве V, считая расстоянием между двумя вершинами наименьший из весов путей, соединяющих эти две вершины в графе.

Заполнением пространства M назовем соединяющий M взвешенный граф G = (G,w), если для любых p,q £ M выполняется p(p,q) ^ dw (p,q). Тогда граф G назовем типом этого заполнения. Число mf(M), равное inf w(G) по всем заполнениям G пространства M, назовем весом минимального заполнения, а заполнение G, для которого w(G) = mf(M), назовем минимальным заполнением пространства M.

В статье [1] в качестве заполнений рассматривались только взвешенные графы, в которых вес каждого ребра неотрицателен. В настоящей статье мы откажемся от этого ограничения и будем искать минимум веса среди заполнений с произвольной, необязательно неотрицательной весовой функцией. Такие заполнения будем называть обобщенными.

1 Иванов Александр Олегович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: aoiva@mech.math.msu.su.

Овсянников Захар Николаевич — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: agent.wd28@gmail.com.

3 Стрелкова Наталия Павловна — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: n.strelk@gmail.com.

4 Тужилин Алексей Августинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tuz@mech.math.msu.su.

При переходе к обобщенным минимальным заполнениям сохраняется большинство свойств минимальных заполнений, доказанных в [1]. Некоторые свойства мы докажем в п. 3.

Основной результат данной работы состоит в том, что для всякого конечного псевдометрического пространства вес минимального заполнения, т.е. минимум веса на множестве заполнений с неотрицательной весовой функцией, совпадает с минимумом веса на более широком множестве обобщенных заполнений — множестве заполнений с произвольной весовой функцией.

Этот результат позволяет существенно упростить исходную задачу поиска веса минимального заполнения: пропадает необходимость требовать и проверять неотрицательность весов ребер.

2. Определения и постановка задачи. Во введении мы уже дали определения заполнения и минимального заполнения конечного псевдометрического пространства.

Если мы фиксируем некоторый граф О = (V, Е) и вложение М С V, то можно рассмотреть точную нижнюю грань т£w(0) на множестве заполнений пространства М фиксированного типа О. Эта величина называется весом минимального параметрического заполнения типа О и обозначается через шр£(М, О), а заполнение типа О, на котором этот вес достигается, называется минимальным параметрическим заполнением типа О (см. [1]).

Так определенные минимальные и минимальные параметрические заполнения существуют для любого конечного псевдометрического пространства [1, теорема 2.1].

Во всяком графе, соединяющем интересующее нас конечное множество М, вершины, соответствующие точкам из М, мы будем называть граничными, а остальные вершины графа — внутренними. Ребро графа, соединяющее вершины и и V, будем обозначать через иу.

Модифицируем данные выше определения заполнений, сняв условие неотрицательности весовой функции w.

Обобщенным взвешенным графом назовем пару (О, w) = (V, Е, w), где w: Е ^ М — произвольная функция. Определим с!т: V х V ^ М следующим образом: с!т (и, у) есть наименьший из весов простых (реберно несамопересекающихся) путей с концами и и V. Функция с!т, вообще говоря, не является неотрицательной и не обязана удовлетворять неравенству треугольника.

Обобщенным заполнением конечного псевдометрического пространства М = (М, р) назовем обобщенный взвешенный граф 0, соединяющий М, если для любых и, V € М выполняется р(и, у) ^ (1т(и, у).

Весом шр£_(М, О) обобщенного минимального параметрического заполнения типа О пространства М назовем w(0) по всем обобщенным заполнениям пространства М данного фиксированного типа О. Всякое обобщенное заполнение типа О, на котором этот вес достигается, будем называть обобщенным минимальным параметрическим заполнением типа О.

Весом ш£_(М) обобщенного минимального заполнения назовем величину шр£_(М, О), где точная нижняя грань берется по всем деревьям О, соединяющим М так, что все висячие вершины О являются граничными, т.е. содержатся в М. Всякое заполнение, на котором эта точная нижняя грань достигается, назовем обобщенным минимальным заполнением.

Замечание 1. Для обычных (не обобщенных) минимальных заполнений можно дать аналогичное определение: ш£(М) = т£шр£(М,О), где точную нижнюю грань можно брать как только по деревьям, так и по всем графам О, соединяющим М, — в обоих случаях получится определение, эквивалентное данному нами выше определению веса минимального заполнения (см. [1]). Для обобщенных минимальных заполнений это не так (см. пример 1).

Замечание 2. Очевидно, что мы получим определение, эквивалентное определению обобщенного минимального заполнения, если будем рассматривать шр£_(М,О) только по деревьям, не имеющим внутренних вершин степени 2.

Замечание 3. Если граф О затягивает М так, что в О есть внутренняя висячая вершина, то шр£_(М, О) = —то. Это легко понять: на вес ребра, инцидентного этой вершине, нет ограничений, и его можно делать сколь угодно маленьким вне зависимости от весов остальных ребер.

Пример 1. Приведем пример, в котором шр£_(М,О) = —то, хотя, в отличие от случаев, подобных тем, где есть висячая внутренняя вершина, здесь через каждое ребро графа О проходит хотя бы один путь, соединяющий граничные вершины. Рассмотрим в качестве метрического пространства М двухточечное множество М = {А, В} с расстоянием р(А, В) = 1. На рис. 1 изображен граф О, затягивающий М, и указаны веса w ребер. Здесь с > 0.

Имеем (А, А) = (А, В) = с, (В, В) = 0, поэтому при всех с ^ 1 граф (О, w) — обобщенное заполнение пространства М. С другой стороны, w(G) = —с. Ясно, что несложно построить подобный пример для любого конечного метрического пространства.

Пример 2. Приведем пример метрического пространства М и дерева О, для которых обобщенное минимальное параметрическое заполнение типа О имеет меньший вес, чем минимальное параметрическое

' В

2с,

-с.

-с

2 с

Рис. 1

заполнение того же типа. Пусть М = {а,Ъ,с,й}, р(а,Ъ) = р(с,д) = 4, р(Ъ,с) = р(а,й) = р(а,с) = р(Ъ,д) = 3. Определим граф С = (У,Е) так: V = {а,Ъ,с,й,и,г}, Е = {аи,Ъи,иг, си, с!г}. Вес минимального параметрического заполнения в этом случае будет равен 8 (поскольку 'ш(аи) + т(ь,Ъ) ^ р(а,Ъ) = 4^(сг) + т(уй) ^ р(с, = 4^ (иг) ^ 0, следовательно, шр£(М,С) ^ 8, а вес 8 может быть реализован при w(uг) = 0, w(e) = 2 для остальных ребер). С другой стороны, легко проверить, что вес обобщенного минимального заполнения будет достигаться, если весовая функция w(uг) = -1, w(e) =2 на остальных ребрах. Итак, в нашем примере шр^М, С) =8 > 7 = шр1—(М, С).

Очевидно, что всякое заполнение является обобщенным заполнением. Поэтому шр!_(М,С) ^ шр!(М,С) для всякого С и ш!_(М) ^ ш!(М).

Основным результатом этой работы является следующий факт, который мы докажем в п. 4.

Теорема. Для всякого конечного псевдометрического пространства М имеет место равенство ш£_(М) = ш^М).

3. Свойства обобщенных минимальных заполнений. Здесь всюду предполагается, что тип рассматриваемого обобщенного заполнения — дерево, причем все его вершины степени 1 и 2 граничные, т.е. принадлежат М.

Циклическим порядком на конечном множестве М мощности п назовем произвольное упорядочение его элементов, иначе говоря, биекцию п: Ъп ^ М. Пусть дерево С соединяет М. Для данного циклического порядка п рассмотрим в дереве С пути, соединяющие вершины п(к) и п(к + 1), где к = 0,. ..,п — 1. Множество этих путей назовем обходом дерева С, соответствующим циклическому порядку п. Циклический порядок п на М назовем планарным по отношению к С, если каждое ребро С принадлежит ровно двум путям из обхода, соответствующего этому порядку. Отметим, что в [1] слово "обход" использовалось в качестве синонима выражения "планарный порядок".

Нам понадобится следующее простое утверждение.

Лемма 1. Если М содержит все висячие вершины дерева С, то на М существует циклический порядок, планарный по отношению к С.

Замечание 4. Такой порядок можно получить, вложив дерево С в плоскость произвольным образом и совершив обход вокруг этого дерева на плоскости. При обходе обозначаем к-ю встретившуюся вершину из М через п(к — 1). На самом деле так можно получить всякий планарный порядок. Подробности и эквивалентные определения см. в [1, разд. 7], для нас же важны только определение планарного порядка и утверждение леммы 1.

Лемма 2. Вес всякого обобщенного заполнения положителен (за исключением тривиального случая, когда все расстояния в М равны нулю, тогда вес минимального заполнения равен нулю).

Доказательство. Пусть дано обобщенное заполнение 0 пространства М типа С, где С = (V, Е) — дерево, не имеющее внутренних висячих вершин в соответствии с нашими договоренностями. Рассмотрим произвольный планарный по отношению к С порядок п на М. Тогда сумма весов путей, входящих в соответствующий этому циклическому порядку обход, равна удвоенному весу заполнения в силу определения планарного порядка. Но по определению обобщенного заполнения вес каждого пути не меньше расстояния между его концами в пространстве М. Поэтому

п_ 1 п_ 1

= + 1)) ^ 2 5>(ТГ(А:),7Г(А; + 1)) > 0.

_ к=0 к=0 Лемма доказана.

Лемма 3. Для любого конечного псевдометрического пространства М = (М, р) и любого дерева С = (V, Е), соединяющего М, существует обобщенное минимальное параметрическое заполнение типа С.

Доказательство. Весовая функция w определяется набором своих значений на ребрах графа, т.е. вектором из М|е|. Ограничения, выделяющие среди всех весовых функций те, для которых (С^) будет обобщенным заполнением, имеют вид линейных нестрогих неравенств и потому задают в М|е| замкнутое подмножество О, равное пересечению некоторого конечного набора полупространств. Линейная функция w(0) = Ж1 +...+ Х\е| на этом множестве ограничена снизу по лемме 2, поэтому достигает своего минимума. Лемма доказана.

Будем говорить, что заполнение является бинарным деревом, если тип заполнения — дерево, имеющее вершины только степени 1 и 3, причем все его вершины степени 1 граничные.

Пусть в графе С = (V, Е) выделено некоторое подмножество ребер Е С Е. Обозначим через С = (Уг,Ег ),я = 1,... ,т, связные компоненты графа (V, Е). Рассмотрим новый граф Ср = (Ур, Ер), в котором

Ур = {VI,..., V™} и две вершины V; и Vj соединены ребром тогда и только тогда, когда существует ребро ViVj € Е\ ^, такое, что V; € V и Vj € Vj. Будем говорить, что граф Ор получен из графа О факторизацией по множеству ребер ^. Операцию, обратную к факторизации, назовем расщеплением. Если при факторизации лишь одна компонента О; состояла более чем из одной вершины, то будем говорить, что граф О можно получить из графа Ор, если расщепить вершину V;. В [1] можно найти другие определения и свойства подобных операций.

Лемма 4. Для любого конечного псевдометрического пространства М = (М, р) существует обобщенное минимальное заполнение. Более того, существует обобщенное минимальное заполнение, являющееся бинарным деревом.

Доказательство. При поиске веса обобщенного минимального заполнения шр£_(М,О) можно брать только по деревьям О, все вершины степени 1 и 2 которых принадлежат М (см. замечание 2). Ясно, что существует лишь конечное число деревьев, содержащих не более чем |М| вершин степени 1 и 2 (здесь |М | — число элементов М). Поэтому существует лишь конечное число возможных типов заполнений пространства М, а для каждого из них по предыдущей лемме существует обобщенное минимальное параметрическое заполнение. Выбрав из этого конечного набора заполнение наименьшего веса, получим обобщенное минимальное заполнение пространства М.

Если в этом заполнении имеются вершины степени, отличной от 1 и 3, то их можно расщепить, добавив ребра нулевого веса, и получить бинарное дерево. Ясно, что при такой операции не изменятся вес дерева и длины путей, поэтому заполнение останется минимальным. Лемма доказана.

Путь 7 в обобщенном заполнении 0 пространства М, соединяющий вершины х и у, назовем точным, если его концы х,у принадлежат М, а его вес равен расстоянию между его концами как элементами пространства М, т.е. w(Y) = р(х,у). Через deg(v) мы обозначаем степень вершины V, т.е. число инцидентных ей ребер.

Лемма 5. 1. В обобщенном минимальном параметрическом (тем более в обобщенном минимальном ) заполнении через каждое ребро проходит точный путь.

2. В обобщенном минимальном заполнении через любые два последовательных ребра проходит точный путь.

3. В обобщенном минимальном параметрическом заполнении через любые два ребра, инцидентные внутренней вершине степени 3, проходит точный путь.

4. В обобщенном минимальном параметрическом заполнении при т > в любом подмножестве из т инцидентных внутренней вершине V ребер найдется хотя бы одна пара ребер, входящая в точный путь.

Доказательство. 1. Первое утверждение очевидно, так как в противном случае вес этого ребра можно уменьшить и получить заполнение меньшего веса.

2. Предположим, что в минимальном заполнении 0 = (V, Е, w) через пару ребер XV и уу не проходит ни одного точного пути. Рассмотрим граф О' с одной новой вершиной V' = V и {и} и ребрами Е' = Е \ {ух,уу} и {их,иу,иу}. Определим w'(uv) = е, w'(хи) = w(xv) — е, w'(уи) = w(yv) — е, w'(e) = w(e) для других ребер. Тогда длины всех путей, проходивших через пару ребер ху и уу, уменьшатся на 2е, а длины всех остальных путей, соединявших граничные вершины, не изменятся. Так как через пару ребер ху, уу не проходил ни один точный путь, то е > 0 можно выбрать так, что (О'будет заполнением. Но w'(0') = w(0) — е, что противоречит минимальности исходного заполнения 0.

3. Утверждение следует из п. 4 при т = 2, deg(v) = 3.

4. Предположим, что найдется множество из т > ребер, которые инцидентны внутренней вершине V и среди которых нет пары ребер, содержащейся в точном пути. Определим весовую функцию w' на О, уменьшив на е веса всех ребер из этого множества, увеличив на е веса прочих ребер, инцидентных V, и оставив неизменными веса остальных ребер. В силу предположения т > deg(v) — т, поэтому для любого е > 0 вес графа уменьшится; с другой стороны, ясно, что при достаточно малом е > 0 граф (О, w') останется заполнением. Противоречие. Лемма доказана.

Замечание 5. Три последние леммы являются прямыми аналогами соответствующих утверждений, доказанных в [1] для случая необобщенных заполнений, причем доказательства в случае обобщенных заполнений оказываются даже проще, поскольку нет необходимости следить за неотрицательностью весов ребер.

Лемма 6. В обобщенном минимальном параметрическом заполнении всякое ребро, инцидентное граничной вершине, имеет неотрицательный вес.

Доказательство. Пусть р — данная граничная вершина, рх — интересующее нас инцидентное ей ребро. Если х — граничная вершина, то w(px) ^ р(р, х) ^ 0, и все доказано. В противном случае степень вершины х не меньше 3 и по лемме 5 существует точный путь, проходящий через пару инцидентных

вершине х ребер, отличных от ребра рх. Пусть этот точный путь соединяет граничные вершины ц и г (будем обозначать такой путь д-г). Рассмотрим пути р-ц и р-г. Они имеют единственное общее ребро рх. Путь ц-г состоит в точности из всех ребер, входящих в пути р-г и р-ц, кроме ребра рх. Тогда

р(ц, г) = (ц, г) = (ц,р) + (г,р) — 2w(px) ^ р(ц,р) + р(г,р) — 2w(px),

с другой стороны, р(ц,р) + р(г,р) ^ р(д,г), поэтому w(px) ^ 0. Лемма доказана.

Замечание 6. В обобщенном минимальном параметрическом заполнении невырожденного метрического пространства (т.е. пространства, в котором р(х,у) > 0 и р(х,у) + р(у,г) > р(х,г) при любых х = у = г = х) всякое ребро, инцидентное граничной вершине, строго положительно. Это легко видеть из доказательства леммы 6.

4. Перестройка. Пусть в обобщенном заполнении 0 = (У, Е, w) пространства М даны вершины X и У степени 3, соединенные ребром отрицательного веса: w(XУ) = —2е < 0 (рис. 2). Обозначим через А и В вершины, смежные с X и отличные от У, а через С и Б — смежные с У и отличные от X. Пусть w(XA) = а, w(XB) = Ъ, w(УC) = с, w(УD) = й. Рассмотрим новое дерево С' = (У', Е'). Множество вершин оставим тем же: У' = У. Множество ребер изменим следующим образом: Е' = Е \ ^В,УБ} и {XD,УB}. Весовую функцию определим так: w'(XУ) = 2е, w'(XA) = а — е, w'(УB) = Ъ — е, w'(УС) = с — е, w'(XD) = й — е, w' = w на остальных ребрах графа С'.

Лемма 7.1. Полученный в результате перестройки граф 0' = (С') — обобщенное заполнение пространства М с тем же весом w'(0') = w(С).

2. Для любых и,г £ М верно й^(и,г) ^ йт(и,г).

3. Если путь в С, соединявший точки и,г £ М, проходил через последовательность ребер AX, XУ, УС, то его длина увеличилась в С', т.е.

(и, г) > (и, г).

Доказательство. Утверждение 1 сразу вытекает из утверждения 2. Факт w'(0') = w(0) очевиден. Докажем утверждения 2 и 3. Очевидно, что вес путей, не проходящих ни через вершину X, ни через вершину У, не изменился: сами пути остались ровно такими же. Пути, проходившие в графе С через последовательность ребер AX, XB (с весом а + Ъ), соответствуют в графе С' путям, проходящим через последовательность AX, XУ, УB (с тем же весом а — е + 2е + Ъ — е = а + Ъ), и потому имеют тот же вес. Для путей, проходивших в С через СУ, У Б, через BX, XУ, УС и AX, XУ, У Б, верно ровно то же самое, а у путей, проходивших через AX, XУ, УС, вес строго увеличился, так как участок веса а — 2е + й заменился на участок веса а — е + 2е + й — е = а + й, что строго больше, чем а — 2е + й; в случае BX, XУ, У Б аналогично. Лемма доказана.

5. Доказательство теоремы. Как уже отмечалось, очевидно, что ш£_(М) ^ ш^М). Поэтому для доказательства теоремы достаточно построить заполнение, не содержащее ребер отрицательного веса и имеющее вес ш£_(М).

Среди существующих по лемме 4 обобщенных минимальных заполнений пространства М, тип которых — бинарное дерево, выберем то заполнение 0, у которого число точных путей наименьшее. Докажем, что заполнение 0 не содержит ребер отрицательного веса, т.е. подходит в качестве примера необобщенного заполнения с весом ш£_(М).

Предположим противное: пусть ребро XУ имеет отрицательный вес. Найдем точный путь 7, проходящий через ребро XУ (такой существует по лемме 5). Вершины X и У внутренние, так как иначе по лемме 6 ребро XУ имело бы неотрицательный вес. Поэтому к ребру XУ можно применить описанную выше перестройку, причем по лемме 7 это можно сделать так, что вес выбранного нами пути 7 увеличится, а веса остальных путей, соединяющих граничные вершины, не уменьшатся. Поскольку вес заполнения при перестройке не меняется, мы получим новое обобщенное минимальное заполнение пространства М, в котором точных путей как минимум на один меньше, чем в исходном заполнении 0, — противоречие с выбором 0. Теорема доказана.

Замечание 7. Теорема существенно использует тот факт, что функция расстояния р, заданная на граничном множестве М, удовлетворяет неравенству треугольника. Если говорить более точно, то выполнение неравенства треугольника существенно только в одной из наших лемм — это лемма 6 о неотрицательности весов граничных ребер.

Пример 3. Рассмотрим на множестве {х, у, г} функцию р: р(х, у) = 1, р(у, г) = 2, р(г, х) = 5. Несмотря на невыполнение неравенства треугольника, решим задачу о минимальном заполнении. Несложно убедиться, что веса обобщенного минимального заполнения и необобщенного минимального заполнения

Рис. 2

8

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2012. №5

будут разными — они будут равны 4 и 5 соответственно, а обобщенное минимальное заполнение будет иметь граничное ребро отрицательного веса.

Авторы приносят благодарность академику А. Т. Фоменко за постоянное внимание к работе, а также всем участникам семинара "Минимальные сети", проходящего на механико-математическом факультете МГУ, за многочисленные полезные обсуждения.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, проект № 10-01-00748, программы "Ведущие научные школы", грант НШ-1410.2012.1, и гранта Правительства РФ по постановлению № 220, договор № 11.G34.31.0053.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иванов А.О., Тужилин А.А. Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении // Матем. сб. 2012. 203, № 5. 65-118.

2. Gromov M. Filling Riemannian manifolds // J. Diff. Geom. 1983. 18, N 1. 1-147.

Поступила в редакцию 13.12.2010

УДК 512.572

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УСЛОВИЯ ПОЛИНОМИАЛЬНОСТИ РОСТА МНОГООБРАЗИЙ АЛГЕБР ПУАССОНА

С.М. Рацеев1

Приведены эквивалентные условия полиномиальности роста многообразий алгебр Пуассона в случае основного поля нулевой характеристики. Показано, что существуют только два многообразия алгебр Пуассона почти полиномиального роста.

Ключевые слова: алгебра Пуассона, многообразие алгебр, рост многообразия.

We present equivalent conditions of the polynomial codimension growth of a variety of Poisson algebras over a field of characteristic zero and show that there are only two varieties of Poisson algebras with almost polynomial growth.

Key words: Poisson algebra, variety of algebras, growth of a variety.

На протяжении всей работы предполагается, что основное поле имеет нулевую характеристику. Алгебра A = A(+, {, },K) над полем K называется алгеброй Пуассона, если A(+, -,K) — ассоциативная коммутативная алгебра с единицей, A(+, {, },K) — алгебра Ли (запись {,} означает умножение и называется скобками Пуассона) и выполняется правило Лейбница

{а ■ b, c} = а ■ {b, c} + {а, c} ■ b, a, b, c e A.

Свободную алгебру Пуассона F(X) с множеством свободных образующих X можно построить следующим образом. Пусть L(X) — свободная алгебра Ли над множеством X = {xi, X2,...} с лиевым умножением [,], и пусть R(X) = {vi, V2,...} — базис Холла алгебры L(X) (см. [1]). Рассмотрим ассоциативную коммутативную алгебру полиномов K[vi, V2,...]. В этой алгебре определим скобки Пуассона для порождающих элементов Vi как умножение в алгебре L(X), т.е. {vi,Vj} = [vi,vj]. Распространим скобки Пуассона на любые элементы из K[vi, V2,...], используя линейность и правило

{/ ■ g,h} = / ■ {g,h} + {/,h} ■ g, f,g,h e K[vi,v2,...].

Полученная алгебра будет свободной алгеброй Пуассона F(X).

Договоримся опускать скобки Пуассона при их левонормированной расстановке, т.е.

{{{Xi,Х2},Хз}, . . . ,Xn} = {Xi,X2, . . . ,Xn}.

1 Рацеев Сергей Михайлович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. информационной безопасности и теории управления ф-та математики и информационных технологий УлГУ, e-mail: RatseevSM@rambler.ru.