CC BY
8В книге [7] есть список атомов не более чем с тремя вершинами на графе. Покажем, почему все они, кроме реализованных выше и кроме шести атомов на сфере с тремя листами Мёбиуса, не попадающих под условие теоремы, не являются геодезическими. Атом А не геодезический, так как точка не считается геодезической. Атомы В,П\,П2, Са, 6*2, Сз, II\. //2 на Б2, атомы
С\,В1,Еъ, 6*4, Сб, Се, От, Я3,Я4 на ЯР2, атомы на торе — не геодезические атомы,
поскольку замкнутые геодезические на этих поверхностях с метриками постоянной кривизны не могут иметь точек самопересечения. Остальные рассматриваемые атомы не геодезические по следующим причинам: Е3 по следствию 2; так как две простые геодезические на КЬ2 не пересекаются в трех точках; Е7, Ё?, поскольку две прямые на КР2 пересекаются в одной точке; Сг, I¡2 по предложению 3, (б); по предложению 3, (в). □ Замечание. Среди всех атомов не более чем с тремя вершинами есть шесть атомов на сфере с тремя листами Мёбиуса, но неизвестно, являются ли они геодезическими.
Автор приносит благодарность А. Т. Фоменко за постановку вопроса, мотивацию и внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фоменко А. Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. 287, № 5. 1071-1075.
2. Фоменко А. Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю // Функц. анализ и его прил. 1988. 22, вып. 4. 38-51.
3. Фоменко А. Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем/ / Успехи матем. наук. 1989. 44, вып. 1(265). 145-173.
4. Фоменко А. Т. Теория бордизмов интегрируемых гамильтоновых невырожденных систем с двумя степенями свободы. Новый топологический инвариант многомерных интегрируемых систем // Изв. АН СССР. Серия матем. 1991. 55, № 4. 747-779.
5. Фоменко А. Т. Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях // Функц. анализ и его прил. 1991. 25, вып. 4. 23-35.
6. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 3-96.
7. Болеинов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. 1,2. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.
Поступила в редакцию 06.10". 2014
УДК 517.926.4
ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ ВОЗМУЩЕНИЙ
В КЛАССЕ ЛИНЕЙНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ
Т. В. Салова1
Доказано, что множество всех предельных значений произвольных показателей решений при равномерно малых возмущениях коэффициентов линейной гамильтоновой системы совпадает с аналогичным множеством, получаемым при равномерно малых гамильтоновых возмущениях.
Ключевые слова: линейные системы, гамильтоновы системы, показатели Ляпунова, колеблемость, блуждаемость.
It is proved that the set of all limiting values of solutions' arbitrary indicators under uniformly small perturbations for the linear Hamiltonian system's coefficients is the same as the similar set obtained by uniformly small Hamiltonian perturbations.
Key words: linear systems, Hamiltonian systems, Lyapunov exponents, oscillation, wandering.
1 Салова Татьяна Валентиновна — ассист. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
m_ messageQmail .ru.
Для заданного m € N обозначим через Л4т пространство линейных систем вида
х = A(t)x, жеГ, te R+ = [0, оо), (1)
с ограниченной кусочно-непрерывной оператор-функцией А : R+ —>■ EndRm (пространство Rm евклидово). Линейное пространство ЛЛт всех таких систем наделим равномерной на полупрямой t € R+ топологией, задаваемой нормой
||А|| = sup \A(t)\, \A(t)\ = sup \A{t)x\, \x\ = y/(x,x), x € Rm
teR+ \x\=i
Каждую систему (1) отождествим с задающей ее функцией А, а множество всех ее ненулевых решений обозначим через
Если m четно и в пространстве Rm задан ортогональный кососимметрический оператор J (т.е. J~l = J* = —J), то в пространстве Л4т можно выделить подпространство Ит так называемых линейных гамильтоновых систем (1), для каждой из которых оператор JA(t) симметричен при каждом t € R+.
Для системы А е Л4т и числа е > 0 обозначим через Л4е(А) множество всех систем В € Л4т, удовлетворяющих условию ||В — < е, а также обозначим TLe(A) = Л4е(А) П TLm.
Определение 1 [1]. Спектром какой-либо величины к : S*(A) —>■ R для системы А € Л4т назовем область ее значений
SpJA) = {ф)1х G S,(A)}. Определение 2. Предельным, спектром, какой-либо величины
k-.S*^ R, |J S*(A), (2)
Аемт
для системы А € ЛЛт назовем множество ее предельных значений
LMSp„(A)= Lim Sp „(В), (3)
МтЭВ^А
т.е. множество таких значений ц € R, для которых при любом е > 0 найдутся система В € Л4е(А) и ее решение х € S*(B), удовлетворяющие неравенству \х(х) — ß\ <е. Кроме того, в случае четного m назовем гамильтоново предельным, спектром, величины (2) для системы А € TLm аналогичное (с заменой всюду Л4 на TL) множество
LHSp„(A)= Lim Sp Я(В). (4)
Я Э±>—S-Л
Лемма 1. В случае, когда к = % — характеристический показатель Ляпунова [2, гл. 1, §1], множество (3) или (4) совпадает с объединением, по г = 1,..., m множеств Ьд^Аi(A) или, L%Ai(A) всех предельных значений в точке А € А4т или А € TLm в отдельности каждого из показателей Ляпунова Ai ^ • • • ^ Хт, рассматриваемых как функционалы в пространстве Л4т или TLm соответственно.
Лемма 2. Для любого четного m, каждой, системы А € TLm и всякого е > 0 найдется такое 6 > 0, что для любой системы В € M s (А) и любого решения х € S*(B) существует система С € TLe(A), также имеющая решение х € 5*(С).
Теорема 1. Для любого четного m, каждой, системы А € TLm и, любой величины (2) справедливо равенство
LHSpx(A)=LMSpx(A). (5)
Теорема 2. Для любого четного т все одновременно показатели, Ляпунова гамильтоновой системы (1) устойчивы при равномерно малых возмущениях тогда и только тогда, когда они устойчивы при равномерно малых возмущениях в классе гамильтоновых систем.
Замечание. Теорема 2 вытекает из равенства (5), того факта, что устойчивость одновременно всех показателей, Ляпунова системы А € *Нт (соответственно их устойчивость при гамильтоновых возмущениях) означает равенство
Ьд^р^А) = 8рх(А) (Ь^рХ{А) = 8рх(А)) ,
а также из явно сформулированного в [3, 4] критерия этой устойчивости. Из теоремы 2 выводится его совпадение с критерием этой же устойчивости при гамильтоновых возмущениях (см. [5], где последний критерий доказан логически независимо от предыдущих).
Теорема 3. Равенство (5) справедливо, в частности, если ж является:
1) характеристическим показателем Ляпунова % (верхним)]
2) нижним показателем Перрона тт [6, §2] (о спектре нижних показателей Перрона линейной системы см. работы [7, 8]);
3) верхней (нижней) полной а или векторной ( част,от,ам,и [1];
4) верхней (нижней) скоростью блуждания ц, [1];
5) верхним, (нижним) показателем блуждаем,ост,и р или блуждания г] [1].
Теорема 3 непосредственно следует из теоремы 1.
т
Доказательство леммы 1. Докажем, что X = Ь_д48рх(Д) = У Ьд^АД-А) = Л (аналогично
г=1
т
доказывается равенство Ь%8рх(А) = У ¿(.А)). Включение X 5 Л выполнено в силу того, что
г=1
А^(А) € 8рх(А) при любом г = 1,... ,т. Докажем включение X С Л. Возьмем произвольное число ц € X. По определению предельного спектра для любого е > 0 найдутся система В € Л4е(А) и ее решение х € Б*(В), удовлетворяющие неравенству |х(ж) — < е. Возьмем бесконечно убывающую последовательность еу. = е/2к > 0 (к € М). Тогда для любого А; € N найдутся система Вк € ЛЛек(А) и ее решение Хк € удовлетворяющие неравенству |х(хк) ~ < £к- Поскольку число пока-
зателей Ляпунова системы В к конечно, то найдутся такие г € {1,... ,т} и подпоследовательность индексов кг (I € М), что выполнено неравенство ^{В^) — ц\ < а это означает, что /л € Л. Следовательно, включение X С Л также выполнено. Лемма 1 доказана.
Доказательство леммы 2. Положим т = 2п. Зафиксируем произвольное решение х € ¿>*(13). Обозначим = е(£) = (в1 ,..., е2п(£)). Из того, что решение х € Б* (В) и х(Ь) непрерывно по
£ € К+, следует непрерывность а(-) на для каждого г = 1,...,2п, причем |е(£)| = 1, £ € К+. Поэтому для каждого £ € К+ найдется такой номер ¿(¿) € {1,..., 2п}, что и найдется
такое число > 0, что |е^)(т)| > т €
оо
Зададим произвольно Т > 0. Тогда = У 1к = [(к — 1 )Т,кТ]. Для произвольного А; € N
к= 1
рассмотрим отрезок Iк- Он покрывается системой интервалов £ € для которых выпол-
нено \&Ц1)(т)\ > т € По лемме о конечном покрытии из всякой бесконечной системы
интервалов, покрывающей отрезок числовой прямой, можно выбрать конечное подпокрытие. Сле-
тпк
довательно, найдется такое Шк € М, что 4 с У Концы интервалов ] = 1,..., гпк, задают
3 = 1
оо
конечное разбиение отрезка 1к■ Тогда = У [tj-l,tj), где ¿о = 0, причем для каждого промежутка
3 = 1
У = 1,2,... , найдется такой номер %(]) € {1,..., 2п}, что |е^-)(г)| ^ 2^2п' ^ е А?)- ^е ограничивая общности, для каждого ] = 1,2,... будем считать = 1.
Для каждого ] = 1,2,... рассмотрим промежуток [tj-l,tj) и построим на нем кусочно-непрерывную систему С € 'Не(А). Для упрощения записи аргумент £ € будем опускать. Поскольку мы строим систему С, для которой х является решением, то должно выполняться равенство
(С - А)е = {В- А)е, (6)
где С — А € "Н2га, а значит,
С — А = , (7)
где FиG — симметричные (п х п)-матрицы, И — произвольная (п х п)-матрица. Из симметричности Р и С получаем
Д? = ¡а, 9ц = 9ц, 1 < г < ] < п. (8)
Обозначим в = (В — А)е. Из условий В € ЛА$(А) и |е| = 1 следует, что <5, а значит, < 5, г = 1,...,2п.
Из (6), учитывая (7) и (8), получаем систему из 2п уравнений с 2п2 +п неизвестными
duei + ... + d\nen + fnen+1 + ... + /i„e2„ = sb
d'ril&l ~b • • • ~b dnnen /lriCra+l ~b • • • ~b /«,«,62«, — Sny 9nei + • • • + Qin&n — d\ien+i — ... — dn\e2n = Sn+i,
9ln&l ~b • • • ~b <?«,«, 6«, d\nCn-\-\ . . . dnn&2n — $2ra-
(9)
Записав систему (9) в матричном виде, несложно убедиться, что ранг матрицы равен 2п (поскольку е\ ф 0 по нашему предположению) и совпадает с рангом расширенной матрицы, а значит, система совместна. Из системы (9) получим
dji — е, í Sj Е Е &n+ífjí ) j — 1,..., n ( fij — fji, i, j — 1,..., n, );
V i=2 i=l
/га ra
9ij = ir Sn+j - E Zi9ji + E e-n+ídíj ) j = 2,..., n {gij = gjh i,j = l,...,n,)]
g и
i=2 ra
i=l n
sn+i — E eiQii + E en+idn ,
i=2
i=l
где сЦу (г = 1,...,п, .] = 2,...,п), Д,- (Д,- = /¿¿, г,.] = 1 ,...,п), д^ {д^ = д^, г,.] = 2,...,п,) произвольные. Положим все их равными нулю. Получим
dj\ = T^ ¿ = !>•••, и;
9ij =
ei
9ij=9ji, j = 2,...,n;
9ii = ¿ Sn+i - E + E ) •
i=2 i=1
Преобразуем дц:
1 / \ 1
9u = —[ Sn+ie-i - У] Sra+¿e¿ + ^s¿era+¿ = — (s, e),
1 \ г=2 г=1 / 1
где вектор s = {sn-|_i, —sra+2) • • • ) ~S2n, sî, • • •, sra). Отметим, что |s| = |s| < Учитывая, что |e| = 1 и |ei| ^ , получим оценки |_дгц| ^ -^N < 8nô.
2i "\J ¿УХ с
Тогда
\dji\ < 2y/2nS, j = l,...,n-, \gij\ < 2л/2п0, gij = gji, j = 2,..., n; \gn\ < 8nô.
Покажем, что из условия max \cij — aij\ < 4- следует оценка \\C — < е. Для произвольного
i,j=l,...,2n
вектора \х\ = 1 рассмотрим величину |(С — А)ж| =
\
2га /2га \ '
~ alí)%í + • • • + ^(С2га,г - a2n,i)Xi
Для каждого j = 1,...,2 п обозначим (с-д — ají,..., Cj^n ~ (ij,2n) = Cj ~ CLj (заметим сразу, что
\Ci ai\ < 2\/2ra
i. Тогда справедливы оценки
2 ra
2 ra
\(C -A)x\ =
\
J2(cj-aj,x)
2 <
i= 1
\
J2\cj-aj\2 < -,
i= 1
IIС - А\\ = sup sup I(C(t) - A(t))xI < I < e,
te r+ \x\=i 2
а в качестве 6 можно взять ö = = Лемма 2 доказана.
Доказательство теоремы 1. Включение L%SpЯ(А) С L^SpЯ(А) является прямым следствием включения %т С Л4т. Докажем включение 5 L^Sp^A).
Возьмем произвольные /л € L^SpЯ(А) и е > 0. Для данного е возьмем ö = g^j > 0 (см. доказательство леммы 2). По определению предельного спектра для данного 5 найдутся система В е Ais (А) и решение х € S*(B), удовлетворяющие неравенству \я(х) — /л\ <5.
Согласно лемме 2, для любой системы В € Л4$(А) и любого решения х € S*(B) существует система С € Не(А), также имеющая решение х € S*(C).
Получили, что для произвольного е нашлись система С € TLe(A) и решение х € <5*(С), удовлетворяющие неравенству |х(ж) — /х| < 6 < е. Отсюда вытекает условие /л € L-^SpЯ(А), а с ним и доказываемое включение. Теорема 1 доказана.
В заключение автор выражает глубокую благодарность И.Н. Сергееву за постановку задачи, постоянное внимание к работе и ценные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сергеев И.Н. Характеристики колеблемости и блуждаемости решений линейной дифференциальной системы // Изв. РАН. Сер. матем. 2012. 76, № 1. 149-172.
2. Былое Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966.
3. Миллионщиков В.М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. 5,№ 10. 1775-1784.
4. Былое Б.Ф., Изобов H.A. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы // Дифференц. уравнения. 1969. 5, № 10. 1794-1803.
5. Веременюк В.В. Некоторые вопросы теории устойчивости показателей Ляпунова линейных гамильтоновых систем // Дифференц. уравнения. 1982. 18, № 2. 205-219.
6. Изобов H.A. Введение в теорию показателей Ляпунова. Минск: БГУ, 2006.
7. Изобов H.A. О множестве нижних показателей линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1965. 1, № 4. 469-477.
8. Барабанов Е.А. Структура множества нижних показателей Перрона линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1986. 22, № 11. 1843-1853.
Поступила в редакцию 15.10.2014
УДК 514.774.8+515.124.4+519.17+519.224.22
КРИВИЗНА РИЧЧИ ВЗВЕШЕННОГО ДЕРЕВА О. В. Рублёва1
В статье представлена формула грубой кривизны Риччи для взвешенных деревьев со случайным блужданием на множестве их вершин. В качестве следствия получен критерий о восстановлении топологии бинарного дерева по матрице кривизн Риччи.
Ключевые слова: взвешенные деревья, кривизна Риччи, грубая кривизна Риччи, расстояние транспортировок, случайные блуждания на метрических пространствах.
A formula of coarse Ricci curvature for weighed trees with a random walk on vertex set is presented in the paper. A criterion of restoration of binary trees topology from the Ricci curvature matrix is obtained.
Key words: weighed trees, Ricci curvature, coarse Ricci curvature, transportation distance, random walk on metric spaces.
1 Рублёва Ольга Владимировна — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: rubleva-olga91 Qmail .ru.
