Точные формулы для оптимальных параметров мар Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета.

С ер Л. Вып.Л.12011

УДК 539.2

ТОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ MAP

В. Л. Никитенков, А. А. Холопов

Решена задача о нахождении точных значений оптимальных параметров так называемого метода аддитивного расщепления для решения операторного уравнения х = b — Ах в банаховом пространстве. Оптимальные параметры максимально расширяют спектральную область сходимости метода вдоль вещественной оси.

Ключевые слова: область сходимости, полином Чебышева, двойственная задача, оптимальные параметры.

1°. Постановка задачи.

В работах авторов [1,2] рассмотрена рекуррентная процедура Хр+п = b- aiAxp - а2Ахр+1-----апАхр+п-Ъ р = 0,1,..., (1)

ai Н---- +ап = 1, (2)

находящая при р ос и при сходимости (1) решение уравнения

х — Ъ — Ах. (3)

В (1)-(3) п - натуральное число, 6, i,... - векторы банахова про-

странства X, А - непрерывный линейный оператор в нем, xq, ..., xn-i - произвольный набор начальных векторов и о^, • • •, otn вещественные параметры.

Известно, что сходимость линейных рекуррентных процедур зависит от значений ¡jl точек спектра а (А) оператора А. Например, при

© Никитенков В. Д., Холопов А. А., 2011.

п — 1 (метод простых итераций) точка спектра ¡л должна находиться в единичном открытом круге В\ = {ц : \ц\ < 1} комплексной плоскости. В этом случае В\ является областью гарантированной сходимости, или спектральной областью сходимости. При п > 1 спектральная область сходимости (1) зависит от параметров а = {а\, с*2,..., ап). Например, при ol\ — 0L2 — ... — otn — 1/п спектральная область сходимости (1) содержит интервал (—1, п) вещественной оси. Естественно возникает задача о нахождении таких параметров а* = (а*,..., а*), при которых спектральная область сходимости (1) включала бы себя интервал (—1, М) максимальной длины: М sup. Правда, при оптимальных

значениях а* интервал (—1, М*) будет содержаться лишь в замыкании спектральной области сходимости, так что оптимальность следует понимать лишь в предельном смысле.

В работе [2], на основе предполагаемой (но не доказанной) формы спектральной области сходимости при оптимальных значениях а*, а также на основе нескольких недоказанных свойств матриц определенного вида (лемма-гипотеза в [2]), была получена система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для нахождения а*, с^,..., а*.

В настоящей работе мы доказываем все предположения [2], кроме того, указанная СЛАУ точно решена, то есть получены точные формулы для а*у Весь анализ основан на использовании свойств некоторых ортонормированных базисов, составленных из точек делений круга, а также, как и в [2], на идее использования свойств двойственных задач линейного программирования.

Расчеты, дословно повторяющие из [2], будут опущены. Все вспомогательные утверждения приведены и доказаны в конце работы.

2°. Основной результат.

Теорема. Оптимальные значения а*, М* даются формулами

(а)

п + 1 п + 1 2 (n + 1)

2 р . ртт

-S1I1-

tg

7Г

, р= 1,...,П,

(4)

М*

(5)

Доказательство. В работах [1, 2] задача нахождения а* сведена

к задаче параметрического программирования

h = M~l = an - an_i H-----Ь (-l)n~lo¿i ->► min

Q(a, t) = c^1C/ri_1(i) + • • • + anU0(t) ^ 0 , Í6 [-1,1], (6)

H-----\-an = l.

Здесь Uv(t) = (p + 1) cj ^ _ C0S6J_ Полином Чебышева вто-^ smo; '

poro рода порядка р. Ниже будут использованы также полиномы Чебышева первого рода, заданные равенствами Tp(t) = cospuo, t — cosa;.

В отличие от [1, 2] никаких предположений о количестве корней Q(o¿,t) в отрезке [—1,1] мы делать не будем. Но будет доказано, что внутренних корней, то есть в интервале (—1,1), должно быть ровно к = [п ~2 и еще есть один корень t — — 1 при четном п.

Будет доказано также, что h* > 0 и переход от М ч тах к h min является корректным.

Заменим несчетную совокупность ограничений (6) на конечную совокупность вида r¿) ^ 0, г — 1,..., 7V, при произвольных (

и различных) значениях r¿ G [—1,1], среди множества которых обязательно должны быть корни полинома Q(a*,í).

Ниже будет показано, что полученные задачи линейного программирования (ЗЛП)

h = (—l)n~lo¿i + ... — i + ап —>> min

OLI • Un-i(ri) H-----hftn' ^ 0

olí • £4-1 (Ы H-----V an • C/0(r2) ^ 0 ^

' ^n-i(^) H-----Ь • C/0(rjv) ^ 0

ai + • • • + an = 1

имеют общее, независимое от выбора множеств {r¿}, оптимальное решение а*, при котором полином í) имеет корни í1?... ,ím. Тогда a* и будет решением (6).

Итак, необходимо решить ЗЛП (7). Эта ЗЛП допускает двойственную ЗЛП с переменными 24, ... у, причем 24 соответствует первому условию-неравенству в (7), Z2 ~ второму неравенству и так далее, у соответствует последнему условию-равенству.

В свою очередь, переменная а\ соответствует первому условию двойственной ЗЛП, ol2~ второму условию и так далее.

Двойственная ЗЛП имеет вид

у —» шах

^-1(^1)21+ +ип-1(гм)гм + у ип-2(г1)г1+ ••• +ип-2(гм)гм + у

I)71-1 1)п~2

(8)

^0(^1)21 + +и0(гм)гм + у = 1 ¿1^0, ^ 0, ..., ^ 0 .

Согласно теории двойственных ЗЛП, оптимальные решения задач (7) и (8) существуют или не существуют одновременно. В условиях (8) двойственной ЗЛП нулевые значения ^ могут быть опущены. Покажем, что условиям (8) для каждого п удовлетворяет лишь один комплект неизвестных ( с точностью до нулевых значений Очевидно, этот комплект и является оптимальным решением (8).

Из теории двойственных ЗЛП также следует, что:

/г* = у* (совпадение значений целевых функций),

г* Г7) = 0, у — 1,..., ТУ (условия дополняющей нежесткости).

Из условий дополняющей нежесткости следует, что при г * > 0 выполнено = 0 и г^ совпадает с каким-либо корнем поли-

нома <2(а*, £) в отрезке [—1,1]. Обозначим эти корни через тх,..., тш , а соответствующие ненулевые значения г* через 61,..., Ьт. Пулевым значениям г* также могут соответствовать какие-то корни поэтому т не более числа всех различных корней, хотя ниже будет показано, что возможно только равенство.

Теперь условия ЗЛП (8) можно записать в виде

Избавимся от у, для этого вычтем третье (сверху) равенство из первого, четвертое из второго и так далее. При очередном вычитании используем старые равенства. Дополнительно вычтем последнее равен-

^1-1(7-1)61 Н-----Ь ип-1(тт)Ът + у = (-1)

^1-2(7-1)61 +----Ь ип-2(тт)Ьт + у = (-1)

71 — 1

п-2

с/о (7-1)61 + ••• +и0(тт)Ъгп + у = 1 61 > 0, ..., Ът > 0 .

ство из предпоследнего и получим условия в виде

m

^ [Un-i(Tj) — Un-S(Tj)] bj = О i=i

m

^[^Ы-С/оЫ]^ = 0 (9)

i=i

m

^mr^-Uoir^bj =-2

3 = 1

6i > 0, ..., 6m > 0 .

Для решения (9) рассмотрим различные случаи соотношения целых неотрицательных чисел т, /, /си четности п, где

m - число положительных переменных bj в (9), не большее числа всех различных корней Q(a*,í),

n = 2к + 1 при нечетном п и п = 2к + 2 при четном п, I - число различных внутренних корней среди Tj, j = 1,..., m (обозначим их, не умаляя общности, через Ti,..., r¿).

Так как Q(a*,í) ^ 0 в окрестности любого внутреннего корня, то ti,...,t¿ являются корнями четной (не менее 2) кратности. Всего корней с учетом кратности должно быть не более, чем (n — 1) - порядок Q(a*,í) при а* ф 0. Тогда для т, /, к справедливы неравенства

1) m ^ I + 2 (возможно, есть еще корни t — ±1),

2) I ^ к (внутренние корни имеют кратность не менее двух),

3) I ^ т.

Из 1) - 3) следует, что возможны следующие 9 случаев:

I. т < к, n = 2к + 1;

II. т < к + 1, п = 2к + 2;

III. т — к1 n = 2k + 1, I — к — 1, тт — 1 кратности 2;

IV. т = /с, n = 2А; + 1, I — к — 1, тт — — 1 кратности 2;

V. т = к, n = 2к + 1, I = к ;

VI. m = /с + 1, n = 2/с + 1, I — к — 1 — т — 2, rm_i = —1, тш = 1;

VII. т = к + 1, п — 2к + 2, I = к — 1, rm_i = —1, тш = 1;

VIII. т = к + 1, n = 2/с + 2, l = k, тт = 1;

IX. m = fc + l, n = 2/с + 2, l = k, тт = -1.

Система (9) имеет гг — 1 линейное уравнение и m неизвестных,

поэтому она переопределена при к ^ 1. Именно переопределенность системы (9) дает возможность найти корни 7~х,..., тш.

Если к — 0, то решения ЗЛП (7) — (8) несложно находятся: при п = 1, тп = 1 = 0 верно М* = у* = а\ = 1, при п = 2, т = 1, / = 0 получаем

П = -1, 6х = 2/3, /г* = у* = 1/3, М* = 3, = 1/3, = 2/3.

Во всех случаях будем предполагать тп > 0, так как в ЗЛП (8) тп — 0 возможно лишь при п — 1.

Покажем, что (9) разрешима лишь в случаях V и IX.

Случай I. тп < к, п = 2к + 1.

При нечетном п система однородных уравнений (9) имеет сред-

га

нее по счету (к-е по порядку сверху) уравнение ^^ — ^ ^ где обозна-

¿=1

чено

Уэ = [ик+1(т,)-ик-!(т,)] Ъ,. (10)

Сложим два соседних со средним уравнения (9) и получим

тп

^ [^Ы - ик{тэ) + ик{тэ) - ик_2{тэ)] Ъэ = 0. ¿=1

Для полиномов Чебышева справедливы рекуррентные соотношения для всех р

тр+1(г) = я ■ тр(г) - т^г)

ир+1{1) = 21 -и^-и^). [ ]

С учетом (11) при р = к + 1 и при р = к — 1, слагаемое в квадратной скобке принимает вид

Умножение на bj и сложение по ^ дает равенство

тп

.7=1

Аналогично, складывая попарно следующие, равноотстоящие от среднего, уравнения (9), и учитывая уже полученные равенства для приходим к однородной СЛАУ

ш ш

= = = 1 • v3 =

j=i j=i j=i

Так как m — 1 < к — 1, то ограничимся первыми m равенствами и получим квадратную однородную СЛАУ относительно неизвестных vi,...,vm с определителем Вандермонда для матрицы этой системы. Известно, что определитель Вандермонда равен

i<j

Так как все корни Ti,...,rm различны, то этот определитель не равен нулю и однородная система имеет лишь нулевое решение

Vi = v2 = ... = vm = 0. (12)

Сократив на bj > 0, приходим к равенствам

£4+i0j) - Uk-^Tj) = 0, j = l,...,m.

Полином t4+i(i) — t4_i(i) = 2T/c+i(i) имеет к + 1 внутренний корень вида

(2j+ 1)тг .

i-i = COS UJj — cos-, 7=0, ...,/c. 13

J J n+1 V У

Таким образом, 7~i, ... , тш совпадают (скажем: занимают) с какими-то m корнями (13), оставляя свободными к + 1 — m ^ 2 корней (13). Обозначим через rm+i, ... какие-либо к — m ^ 1 корней (13) из числа оставшихся свободными. Последний оставшийся свободным корень (13) обозначим через tq.

Расширим число неизвестных в (9) до введя формально переменные 6m+1 = 0, ... , Ь^ = 0 и, соответственно, um+i,..., v^ по тем же формулам, что и в (10).

Равенства (12) показывают, что среднее уравнение в (9) является тождеством. Аналогичные тождества

m m

3=1 3=1

полученные сложением равноотстоящих от среднего уравнений (9), показывают линейную зависимость первых к — 1 от остальных и также могут быть опущены. Оставшаяся система равенств является квадратной неоднородной СЛАУ относительно неизвестных Ъ\, ... , Ь^ с правой

частью (0, 0, ... , — 2)т и матрицей

Ах =

( Тк(п)

Т2(п) V 2Тг(тг) - 1

Тк(тк) \

Т2(тк) 271Ы - 1 У

(14)

В последнем уравнении использовано равенство щ^) — щ^) — 2*- 1 = 2Тх - 1.

Согласно утверждению 2 (все утверждения приведены в конце статьи, после доказательства теоремы) матрица (14) является невырожденной, поэтому полученная СЛАУ имеет единственное решение (40)

Ь- — 2_^^_

' (* + 1)(1 + т0)

, ] = 1, ... ,£;.

Но это противоречит равенству Ь^ — 0, так как все т^ различны. Таким образом, решения (8) в случае I нет.

Случай II. тп < к + 1, п = 2к + 2.

При четном п в системе (9) есть 2к однородных уравнений и средним уравнением будем считать также к-е по порядку сверху урав-

171

нение ^^^ — {) ^ где обозначено Vj = [[4+2 С^) — bj .

¿=1

Далее все рассуждения случая I повторяются и снова получаем равенства (12), или

Полином [4+2 (£) — [4(^) = 2Т/с+2(^) имеет к + 2 внутренних корней вида

7 п + 2

которые совпадают с (13), если к заменить на/с + 1: п + 1 = 2Н2 в случае I, п + 2 = 2к + 4 = + 1) + 2 в случае II.

Добавим снова 6ш+1 = ... = 6^+1 = 0 и получим квадратную СЛАУ относительно неизвестных Ь1?..., 6^+1 с матрицей (14) и правой

частью (О, 0,..., — 2)т. Эта СЛАУ по формуле (40) имеет ненулевые решения, что противоречит условию Ъь+\ — 0. Таким образом, решения (8) в случае II также нет.

Случай III. m — /с, n = 2к + 1, т^ — 1.

Повторяем те же преобразования, что и в случае I. Только теперь нет лишних равенств в (9) и мы не можем добавлять дополнительную нулевую переменную b& = 0. Но противоречивость (9) видна раньше, так как т^ = 1 не может быть корнем (13). Действительно, Uk+2(1) — Uk( 1) = 2, так как Up(t) = р, что следует, например, из (11) и определения Up.

Таким образом, решения (8) в случае III также нет.

Случай IV. m — к1 n = 2/с + 1, т^ — — 1.

Повторяем те же преобразования, что и в случае III. Так как теперь т^ — — 1, то он не может быть корнем (13). Действительно, из (11) и определения Up следует, что С4+1) — t4(—1) = (—1)^2 ф 0. Таким образом, решения (8) в случае IV также нет.

Случай V. т = к, п — 2к + 1.

Все корни внутренние, кратности 2. Повторив рассуждения случая I (только теперь дополнительных переменных нет), приходим к аналогичной СЛАУ с решением (40)

bj~2(k + l){l + T0)' J'-1'""*-

Чтобы неравенства bj > 0 в (9) выполнялись, необходимо и достаточно, чтобы ть был старшим корнем (13) ть = ¿о — cos „ Т i • Но

/ L | 1

го единственный свободный корень из (13), поэтому можно считать, что Tj = tj при всех j = 0,..., к являются искомыми корнями.

Показано таким образом, что оптимальное решение ЗЛП (8) при нечетном п = 2к + 1 (в последнем возможном для нечетного п случае VI, исследованном ниже, решения также нет), дается формулой

l _ о tj _ о COS CUq - COS UJj .

(k + l)(l + t0) " (A; + 1)(1 + coscj0)' ^

где tj, uüj определены в (13).

Из симметричности из3 относительно угла из — тг/2 видно, что к к

tj — О или S tj — ~^о • Используя это равенство при сложении в з=о з=1

(15), получаем

к

1 V^ L 1 ~ ,2 11

По теореме двойственности целевые функции двойственных ЗЛИ (7) и (8) совпадают в оптимальных решениях: h* = (М*)-1 = у*, откуда получается М* = ctg2 2(^+Т)"'

Формула (5) при нечетном п доказана.

Случай VI. т = к + 1, п = 2/с + 1, т^ = — 1, г^+х = 1.

В этом случае число неизвестных к + 1 больше числа однородных уравнений для получения равенств(12), и нельзя действовать так, как в случае I. Выполним другие преобразования в (9). Выделим из сумм в (9) слагаемые с тк, тк+\. С учетом равенств IIр+2(1) — С/р(1) = 2 и С/Р+2(-1) - ир(-1) = (~1)р 2 получаем СЛАУ

к-1

- и2к-2(ъ)] ъз + 2Ък + 2Ьк+1 = 0

3=1

к-1

[Е/3(т,) - и^)} Ъ3 - 2Ък + 2Ък+1 = 0

г: <1б>

[и2(т3) - Щ(т3)] Ъ3 + 2Ък + 2Ък+1 = 0

3 = 1

к-1

^ [и^т,) - Щ(г,)] Ъ3 - ЗЪк + Ък+х = -2

3 = 1

61 > 0, ..., > о.

Покажем, что первые к — 1 однородных уравнений (16) могут быть опущены, так как являются линейно зависимыми от остальных.

Вычтем (к + 1)-е равенство из (к — 1)-го, (к + 2)-е из (к — 2)-го и так далее. Наконец, последнее однородное уравнение вычтем из первого. Всего будет к — 1 новых уравнений, в которых отсутствуют неизвестные б/c+i. Первое новое уравнение запишем в виде

к-1 3=1

где обозначено

Vj = [iUk+2(Tj) - Uk{Tj) - ик(ъ) + f/fc-2(7-j)] bj .

Выражение в квадратной скобке можно упростить, используя соотношения (11):

£4+2 Ы - 2Uk(Tj) + £4-2<Vj) = 2Tj [Uk+i(rj) + £4-iЫ] - 4£/fc(rj) = 4(r/ - l)£/fc(r,).

Далее, в следующем новом уравнении

Uk+3(Tj) - Uk+1(Tj) - Uk~i(Tj) + Uk-z{Tj) = 2Tj[Uk+2{T3) + Uk.2{T3)] — 2 [2TjUk(Tj)] =

2Tj [£4+2(tj) - Uk(Tj) - Uk(Tj) + i7fc-2(Tj)] = Sr^rZ-l)^^),

k-1

что позволяет это новое уравнение записать в виде ^ Tj vj = 0 .

j=i

Аналогично, вычитая попарно следующие, равноотстоящие от среднего уравнения (16), и учитывая уже полученные равенства для и j, приходим к квадратной однородной СЛАУ для Vj с определителем Вандермонда и получаем ^ = ... = v^-i — 0. Так как Tj являются внутренними корнями, то после сокращения на bj и Tj2 — 1 равенство Vj = 0 даст формулу Uk(rj) = 0.

Полином Uk(t) имеет к внутренних корней вида

s« = cos --= cos-, i — 1,..., к . 17

J fc +1 n + 1 vy

Следовательно, ri,..., r^-i занимают какие-то к — 1 корень из (17), оставляя свободным один корень, который обозначим через tq.

к—1

Тождества ^ тзЧ,1)з = 0, д = 0, ... , к — 2, полученные вы-¿=1

читанием равноотстоящих от среднего уравнений (16), показывают линейную зависимость первых к — 1 от остальных и также могут быть опущены. Оставшаяся система равенств является квадратной неоднородной СЛАУ относительно ..., Ьк+г с матрицей

Ао =

( Тк+1(Т1) ••• Тк+1{тк-1) (-1)"+1 1 ^

ЩП) ••• Т2(ГА_!) 1 1 \2Т1(т1)-1 ••• 2Т1(т*_1)-1 -3 1 /

(18)

и правой частью (0, 0,..., — 2)т.

Согласно утверждению 3 матрица (18) является невырожденной, поэтому полученная СЛАУ имеет единственное решение (42), в частности,

ь"= (*7Т) > = (ГГЩТы <0 ■

Последнее неравенство противоречит условию Ъь+\ > 0. Таким образом, решения (8) в случае VI нет.

Случай VII. т = к + 1, п = 2/с + 2, — — 1, тк+1 = 1.

Поступим так же, как в случае VI, и после отделения Ьк и получаем СЛАУ

к-1

[С/гл+х^-) - С/гл-хМ Ъэ - 2Ък + 2&л+х = 0

¿=1

[Е/3(т,-) - С/1 (г,-)] Ъэ - 2Ък + 2Ьл+1 = 0 (19)

¿=1 к-1

^ Штэ) - и^тэ)] Ъэ + 26, + 2Ь*+1 = 0 . ¿=1

Теперь в (19) четное (2&) число уравнений. Вычтем из первого уравнения (19) не последнее, а предпоследнее, и так далее. Индексы в

полиномах Чебышева увеличены на единицу. Выполним те же преобразования и получим

v] = (г/ - 1) ик+1(ф, = 0, j = 1, ... , к - 1.

Таким образом, 7~х,..., т^-i должны быть корнями вида

4 = cos-^, j = l,...,k + l. (20)

Выполним вычитания в (19) еще раз, но по-другому. Вычтем из второго уравнения последнее, из третьего - предпоследнее и так далее. Как и в случае VI, приходим к выводу, что 7~х,... , т^-х должны быть корнями вида (17)

Sj = eos у~~~~~т j = 1, • •А; + 1 .

к + 1

Но корни (17) и (20) не могут совпадать, так полиномы Чебышева являются классическими ортогональными полиномами, для которых выполнено свойство перемежаемости корней для двух последовательных полиномов. Впрочем, это видно и непосредственно из формул (17) и (20). Это противоречие показывает, что случай VII невозможен.

Случай VIII. m = к + 1, п = 2к + 2, I = /с, — 1.

Выделим в (9) слагаемое с b^i и получим СЛАУ к

Y^ [^+1 (Tj) - U2k-i(Tj)] bj + 2^+1 = 0

3 = 1

k (21) ^[и2(т3)-Щ(т3)]Ъ3 + 2 6,+1 = 0

j=i

к

^Шт3)-и,(т3)]Ъ3 + = -2. j=i

Вычтем из первого уравнения (21) последнее, из второго предпоследнее и так далее. Последнюю, к - ю разность запишем в виде к

X) Vj = 0, где Vj = [£4+2(^-) - £4(7}) - C4+i(Tj) + bj .

j=i

Упростив выражение в квадратных скобках, как и в случае VI, для V] получим более простое выражение

Щ = - 1) [Uk+iiTi) + Uk-^Tj)] b3 .

к

Предпоследняя разность приведет к уравнению ^ {2тj — l)vj = 0, от-

з=1

к

куда ^ TjVj = 0, и так далее. i=i

Делаем заключение, что 7~х,..., т^ должны совпадать с корнями полинома Uk+i(t) + Uk-i(t) вида

2 J 7Г 2 J 7Г

57 = cos ^-- = cos--, 7 = 1. ... , к + 1 . (22)

J 2/с + 3 п + 2 J v 7

Пусть го единственный оставшийся свободным корень (22). Отбросив первые к уравнений (21), для bj получаем СЛАУ с матрицей

Ая =

Тк+1(тг)

Т2(п) 271 (n) - 1

Тк+\{тк)

1 \

Ып-г) 1 2Ti(rA_i)-l 1 /

(23)

и правой частью (0, 0,..., — 2)т.

Согласно утверждению 4 матрица (23) является невырожденной, поэтому полученная СЛАУ имеет единственное решение (43) и, в частности,

h+1 = ~(2к + 3)(1 + т0) < ° "

Это неравенство противоречит условию b^i > 0. Таким образом, решения (8) в случае VIII нет.

Случай IX. m = к + 1, п = 2к + 2, I = /с, т/^+х = —1.

Выделим в (9) слагаемое с b^+i и получим СЛАУ

- U2k-i(Tj)] bj -2bk+i = О

з=i к

iU^(rj) - и2к_2(тэ)] b3 + 2Ь*+1 = О

j=i

J=1 к

J2mrJ)-U0(rJ)]bJ+2bk+1=0

(24)

i=1 к

j=i

Сложим первое уравнение (24) с последним однородным, второе с предпоследним и так далее.

Как и в других случаях, получим ^ = ... = vk = 0, где

= (tj + 1) Pk+iirj) - ик(т3)\ bj .

Следовательно т\, ... , т^ должны быть среди корней полинома Uk+i(t) - Uk(t) вида

(2j+ 1)тг (2j+ 1)тг . tj = cos —^-~— = cos-:— , j = 0, ... , к .

2/с + 3

+ 1

Это та же формула (13). Пусть снова т0 единственный свободный корень (13), не совпадающий г^ при ^ = 1, ... , к.

Отбросив первые к уравнений (24), для неизвестных bj получаем СЛАУ с матрицей

/ тк+1(п) ■■■ Тк+1(тк) (~1)к+1\

Ад

Un)

Т2(тк)

(25)

\2TI(ti)-1 ••• 2Ti(rk) — 1 -3 J

и правой частью (0, 0,..., — 2)т.

Согласно утверждению 5, матрица (25) является невырожденной, поэтому полученная СЛАУ имеет единственное решение (44)

Ьн = 4 , 7 Г° N,Т]-- , j = 1,..., к,

J (2к + 3)(1 + т0) ' J ' ' '

bk+i —

(2к + 3) '

Чтобы неравенства bj > 0 выполнялись, необходимо и достаточно, чтобы го был старшим корнем (13) ть = to — cos . Но ть

11 | 1

единственный свободный корень из (13), поэтому можно считать, что Tj = tj при всех j — 0, ... , к.

Показано таким образом, что оптимальное решение ЗЛП (8) при четном п = 2к + 2 также существует, единственно и дается формулами: при j = 1,...,/с

^ ^ to — tj ^ COS CJq — cos GJj

J ~ (2k + 3)(1 + to) ~ (2k + 3)(1 + coscjq) '

где ij, cjj определены в (13).

Теперь симметричности ujj относительно угла ио — тг/2 нет, но к к

2 Ё ^ -1 =0 j или Ё ^ = V2 - h •

i=0 i=l

Используя это равенство при сложении в (26), получаем

/с + 1 ^ii Г)

,г = 1-5> = 1-5:4

J=1

^ (2к + 3)(1 + to) 2к + 3

1 - to ,2 7Г = tg

1 + io 2(2к + 3)'

то есть ту же формулу, что и в случае нечетного п.

По теореме двойствен] при четном п также доказана.

По теореме двойственности М* = ctg2 ^ и формула (5)

Установив значения корней ..., , теперь можно найти значения оптимальных параметров а*.

Из доказанного теперь представления

г) = 2п-1ах- Ь)2^ - ¿2)2 при п = 2к + 1,

= г71-1^!^ - ¿1)2(^ - ¿2)2 + 1) при п = 2к + 2

для каждого внутреннего корня получаем два равенства:

Я{а\Ъ) = 0; (27)

Вычисляя производные в (27), исходя из определения (¿(а*^) через полиномы Чебышева, можно найти следующие соотношения между значениями а*

* *

ап = п • аг 2 • а*п = (п - 1) •

(28)

к • а*+2 = (к + 2) • а*к п = 2к + 1,

(А; + 1) • о£+2 = (А; + 2) • о£+1 п = 2к + 2 .

Соотношения (28) подробно выведены в [2] в предположении невырожденности матрицы из утверждения 6. Поэтому здесь их вывод не приводится, но невырожденность А$ доказывается в утверждении 6.

Получение точных формул для а*.

Условие (2) с учетом (28) дает равенство

+ У + + Т + 62(к^Т) ~ ^тт' (29)

с _ \ 1, при п = 2к + 1, ГД6 \ 2, при гс = 2к + 2 .

При нечетном п = 2к + 1 корни ^ удовлетворяют равенству = , откуда по формулам (11) находим

ик+2&) = - ЕЗД) = - ик{13) = ,

и так далее, и2к(^) — ^о(^) • Тогда

(.< + а1)и2к{Ь) + • • • + (а*к+2 + а*к)ик-1^) + а*к+1ик{^) = (п + 1) [аШ^) + •'' + f ик.г{13) + ВД) ] = 0.

При четном п = 2к + 2 получаем из равенств

ик+!(Ъ) = , — , ... , =

аналогичное представление, только в последнем коэффициенте не будет 2 в знаменателе при

Обозначим через хр переменные

Хр

7 al

2р) '

р = 0,... ,к ,

(30)

где 7 = 1 только если одновременно п = 2/с + 1 и р = £; + 1, 7 = 2 в остальных случаях.

Равенство = 0 после разделения на п+1 даст условия

fc+l

(27 + 1W

^ Up-i(tj) хр = 0, j = 1, ... , к. Умножим их на sin = sinUj

р=i

и из определения полиномов Чебышева получим однородные уравнения

k+1 Esi

snip

P=1

(2j + 1)тг

П+1

— 0, i — 15 ... , A;.

(31)

Для неизвестных ... , х/с+х из (30) условия (29) и (31) образуют СЛАУ с матрицей

л =

( 1 1 \

••• sinífc + l)^

. (2fc + 1)тг . „ , ^(2fc + l)7T

Sm n + 1 ••• Sin (fe + 1) n + ^

1

sinÍTFT

(32)

Согласно утверждению 7, матрица (32) является невырожденной и полученная СЛАУ имеет единственное решение (46)

7 . ртт хп = ——г sm ——г tg

7Г

р = 1, ... ,к + 1.

п + 1 п + 1 2 (п + 1)' Тогда из определения (30) для всех п, р = 1,..., /с + 1 получаем

* Рхр а =-

Р 7

2]9 . J97T

sm-г tg

7Г

-, р = l,...,fc + l ,

п + 1 п+1 2(п + 1): то есть формулу (4) при всех п и всех р = 1,..., /с + 1.

Из соотношений (28) следует справедливость (4) также и для р = к + 1 ..., п. Теорема доказана.

3°. Ортонормированные базисы точек деления круга.

Обозначим через ср константы

с° = \1 ~ГТ ' = Т (33)

п + 1 V^ + l

Утверждение 1.

1) Пусть при n = 2к + 1 и р = 0, ...,£; через обозначены векторы

/ J97T 3j97T (2fc + l)j97T ч

0»D — cv COS-, cos-,.... cos- = , ч

p n +1' n +1' ' n + 1 J (34)

= (Tp(to), Tp(ii), ... ,Tp(ifc)). Тогда ap, p = 0, ... , к образуют ортонормированный базис в Rk+1.

2) Пусть при n = 2к + 1 и р = 1, ... , А; через Ьр обозначены векторы

7 / . ртг Зртг . (2А; + 1)ртг\

bjj = sm-, sm-,..., sm- ,

Р Р V n + V n + V ' n + 1 ) ' (35)

Ь*+1 = со (1, -1, ... , (-1)') . Тогда bp ^ р = 1,..., А; + 1, образуют ортонормированный базис в

3) Пусть при п = 2к + 1ир = 0, ... ,к + 1 через ар обозначены векторы

( 1 2ртг 4ртг 2кртт 1 \

ар = ср cos cos ..., cos (-1)" j . (36)

Тогда ар, р = 0,..., к + 1 образуют ортонормированный базис в Rk+2.

4) Пусть при n = 2А; + 2 и р = 0, ... , А; + 1 через ар обозначены

векторы

I 2 ртг 4 ртг (2 к + 2)ртг 1 \

ар = ср cos ——, cos ——,..., cos-——, — . (37)

V n + 1 n + 1 n + 1 v 2 /

Тогда ap, p = 0,..., A;+l образуют ортонормированный базис в i?/c+2.

5) Пусть при п — 2к + 2 и р = 0, ... , А; + 1 через ар обозначены векторы

( Р^ Зрк (2к + 1)ртг 1 \

аР = СР cos ——, cos ——,..., cos-——, -If — . 38

\ n + 1 n + 1 n + 1 v 2 /

Тогда api p = 0,..., A; +1 образуют ортонормированный базис в Rk+2.

6) Пусть при п = 2к + 2 и р = 1, ... , А; + 1 через Ьр обозначены векторы

Ьр = ср sin ——, sin ——,..., sin-—— . (39)

\ n+1 n+1 n+1 J

Тогда bpi p = 1,..., к образуют ортонормированный базис в Rk+l.

Доказательство. Ортонормированность для всех наборов (34)-(39) доказывается подобно и стандартно использует свойства первообразных корней из единицы. Докажем, например, ортонормированность (38).

Обозначим через е — ехр [тг i/(n + 1)) = ехр (2 7г г/(4к + 6)) первообразный корень из 1 порядка 2п + 2 = 4А; + 6. Тогда верны равенства

£2к+3 _ £2к+А _ и подобные.

Введем при р — 0, ... , к + 1 векторы

. I . ]97Г 3j97T . (2 А; + 1)р7Г _ bp = sin ——, sin ——,..., sin-——, 0

v n + 1 n + 1 n + 1

и комплекснозначные векторы

= Ср"1 (ар + гЬр) = (е*, е..., (-1)' +

Пусть и-у обозначает сумму произведений координат векторов и, V, как для вещественнозначных векторов (тогда и • V скалярное произведение, так и для комплекснозначных векторов (тогда и • V скалярное произведение).

Тогда при р, д = 0,..., к + 1, р ф д справедливо

& • = £р+я + £3{р+<1) + ■ • • + + (-1)Р+9 -

2

1 _ р2(А:+1)(р+д) 1

__I _

1 _ ч 2 "

Аналогично,

1 _ ^2(*+1)(р+<7) 2

^ • - €р • - 1 _ -2(р+д) + ( 2 '

откуда

ё, = -в2(/г+1)(р+<?) + (-1 г* = о.

Также, учитывая равенство = получаем при р ф q

£р-£Я + £Р-£Я = о.

Тогда при р ф q

С1р ' (2 д

СрСд

■ ъ + 4 • & + • ё, + & • = о,

что означает ортогональность векторов при р ф д. При р = д ф 0 также верно • + • £р = 0, но

^ ? ^ л , 1 2к +3

• = • = 1 + • • • +1 + 2 = —

поэтому, с учетом множителя (33), г,2

(1р • (1р

с - - - - / 2Л; + 3 \

а0 • а0 = с2й (1, 1,..., 1, • (1, 1,..., 1, = с2 (2/С2ЬЗ) = 1.

Ортонормированность (38) доказана.

Утверждение 2. Пусть 71,..., Тй - различные корни вида (13). Последний оставшийся свободным корень (13) обозначим через то. Тогда СЛАУ А\ х = у с матрицей (14)

/ Т/ь(г1) ••• Тк(тк) \

Л1= Т2(п) ••• Т2(тк)

\2Т1{т1)-1 ■■■ 2Т\{тк) — 1 У

для произвольного у — (ух,..., ук)т имеет единственное решение х, задаваемое при р — 1, ... , к формулой

ХР = /7. , 1Х/1 , _ Ч У к +

ъ то (к + 1)(1 + го)

2 к (40)

(к + 1)(1 + То) ^ ^ + ~ ^ + '

В частности, при у — (0, 0,..., — 2)т и 7~о = ¿о? гДе ¿о -старший корень (13), получаем положительные решения хр > 0.

Доказательство. Строки матрицы А1 являются неполными и видоизмененными векторами ар, р = 1,..., к из набора (34). Неполнота заключается в отсутствии в строках А\ координат, соответствующих свободному корню го, видоизменение заключается в перестановке порядка координат: т0,..., тк вместо • • • и отсутствии нормирующих множителей ср. Порядок координат не влияет на свойство ортонор-мированности. Кроме того, в последней строке А1 вместо а\ находится линейная комбинация а\ и а0- Однако ясно, что систему А\х — у можно расширить до системы А\х — у так, чтобы А\ имела строками базисные векторы (34), а при соответствующем подборе у давала решение А1 х — у. Опишем последовательность такого расширения.

1) Добавим к вектоу х переменную Хо и образуем новый вектор х = (#0, х\ч • • • ? хк)Т• Соответственно к матрице А1 добавим нулевой столбец из Тр(то), подобный другим столбцам (в последней строке будет

2Тг(т0)-1).

2) Добавим к уравнениям новое уравнение Х^+Х1+- • -+хк = Ун+ъ

3) Сложим добавленное уравнение с последним уравнением для системы А\ х — у, то есть с уравнением с правой частью ук , и разделим полученную сумму на 2.

4) Умножим первые к уравнений на нормирующий множитель С1, а дополнительное на Со и получим систему

7 ~ ~ ( Ук + Ук+1 \Т Агх = у = (С12/1, С\у21 ..., схук_ъ с 1---, с0ук+1) .

Матрица А\, состоящая из векторов ортонормированного базиса, является ортогональной, поэтому ее столбцы также образуют ор-тонормированный базис о! , р = 0,..., к. Систему А1х = у можно представить в виде

а'0х0 + а[х1 Н-----Ь а'кхк = у ,

что после скалярного умножения на а'р дает формулу

Хр = а'р-у, р = 0,..., к . (41)

Из (34) видно, что

а'р = (с1Тк(тр),С1Тк-1(тр), ... , С\ ТЦтр), с0 ).

Подберем теперь так, чтобы дополнительная переменная х0 — 0.

Тогда разрешимость расширенной системы дает разрешимость исходной системы. Из (41) находим

х0 = а'0 • у = ci ТзЫ Ук+i-j + с? Ti(r0)

J=2

Для равенства Xq = 0 необходимо взять

2//С+1 = - го2//с +

Ук + 2//С+1 , 2 --- +С0 Ук+1-

к \ х

3 =2 / 0

Здесь учтено, что ТЦтр) = и что с\ — 2Сд. Тогда при р = 1,..., к из (41) получаем

Хр • У

/ ~ V^ 2 гг ( \ ,2 Ук + 2/fc+l , 2

р'У = С1 + С1 -9- + С0 Ук+1 =

3=2

71+ 1

(п+ !)(! +То)

2 ^^(rpj^+i-j + уктр + (1 + тр)ук+1

3=2

)

(тр - То) Ук +

Ё К1 + r°)ri(rp) - (! + тр)тЗЫ] Vk+1-j ■

(п + 1)(1 + г0)

Так как п = 2к + 1, то получаем (40). Утверждение доказано.

Утверждение 3. Пусть п = 2к + 1 и ti, ..., 7>_i - различные корни вида (17)

2^ ■ 1 ^ S,- = cos-, 7 = 1,.... к .

J n + 1' ' '

Последний оставшийся свободным корень (17) обозначим через tq.

Тогда СЛАУ А2 х — у с матрицей (18)

(-1)*+1 1 \

а2 = т2(п) • ^2(^-1) 1 1

•• 2Т1{тк.1)-1 -3 1 /

для произвольного у — (ух, ... , х)т имеет единственное решение х, а при у — (0, 0,..., — 2)т это решение равно

Хр

2 (т0 - тр) (к + 1)(1 + т0)

Хк = кТ1>01

Хк+1 =

(42)

1-го

(А; + 1)(1 + го)

< 0.

Доказательство аналогично доказательству утверждения 2. При этом используется ортонормированный базис (36). Кроме того, в расширенной системе используется вектор неизвестных

х

= (хо, ... , хк-Ъ л/2 X/,, л/2 Х/С+1)Т .

Утверждение 4. Пусть п = 2к + 2 и тх,..., тк - различные корни вида (22)

2] тг 2] тг

8п = СОй —- = СОй

2к + 3

п + 2'

3 = \, ... ,к + 1.

Оставшийся свободным корень (22) обозначим через ть. Тогда СЛАУ А3 х = у с матрицей (23)

А,

( Тк+1(тг) Ып)

V 2Тх(п)-1

Г/с+х^)

1 \

Г2(г,_х) 1 2Тх(г,_х)-1 1 /

для произвольного у — (ух, • • •, 2//с+1)Т имеет единственное решение х, а при у — (0, 0, ... , —2)т это решение равно

Хр

Хк+1

4(т0 - тр) (п + 1)(1 + г0) 2

(п + 1)(1 + то)

, р = 1, ... <0.

Доказательство вполне аналогично доказательству утверждений 2, 3. При этом используется ортонормированный базис (37).

Утверждение 5. Пусть п = 2к + 2 и тх,..., тк - различные корни вида (13)

2] 7Т 2] 7г

= сой —-= СОЙ-,

3 2/с + 3 гс + 1'

.7 = 0, ... ,к + 1.

Оставшийся свободным корень (13) обозначим через то. Тогда СЛАУ Л4 х = у с матрицей (25)

А4 =

( Тк+1(п)

Т2(п) гг^п)-!

т2(тк-1) 2Т1{тк-1)-1

/

для произвольного у — (ух, • • • ,2//с+1)Т имеет единственное решение х, и при у — (0, 0, ... , —2)т это решение равно

Хр

Хк+1

4 (то - Тр)

(2к + 3)(1 + г0)' 2

~ 2/с + 3 '

(44)

Замечание. Так как решения с правой частью у — (0, ... ,0,1)т пропорциональны по формуле Крамера алгебраическим дополнениям по последней строке, то утверждение доказывает справедливость пункта 2 леммы-гипотезы из работы [2].

Доказательство вполне аналогично доказательству утверждений 2-4. При этом используется ортонормированный базис (38).

Утверждение 6. При нечетном п = 2к + 1 матрица А$

/ЗД) тк(ь) ... тк(гк)\

А5 =

Т2(*х) Т2(*2) V Гх(^х) Тх(*2)

Т2(**)

Гх(^) /

невырождена. Здесь р = 1, ... , А;- корни (13).

Система Аъх — у при у — (0, ... , 0,1)т имеет знакопостоянное (отрицательное) решение

Хр

2 — ¿о) + 1

р = 1, ... ,к.

Доказательство аналогично доказательству утверждений 2-5. Используется ортонормированность базиса (34). Так как решения с правой частью у — (0, ... , О,1)т пропорциональны по формуле Крамера алгебраическим дополнениям по последней строке, то утверждение доказывает пункт 1 леммы-гипотезы из [2].

Утверждение 7. Пусть при всех п (четных и нечетных) значения

uüj заданы формулой (13): Uj — j — 0, ... , к.

Тогда СЛАУ Aq х — у с матрицей (32)

i ••• i \

А _ sincji ••• sin {к + 1)60*1

\ s'muük ••• sm(k + l)uk )

для произвольного у — (уо, • • •, Ук)Т имеет единственное решение х, задаваемое при р — 1, ... , к + 1 формулой

хр = 7 Бтршо tg —2/0

27 v^ Г . , ^о . ,

tgy2^ [sin puj ctg y - sinpuo Ctg

3 = 1

n + 1 0 2 ^ L 0 2 2 J

(45)

У31

где 7 = 1 только если n = + 1, p = к + 1, и 7 = 2 в остальных случаях.

При у — (l/(n + 1), 0, ... , 0)т это решение равно

7 ртг тг

Хр = —— sin —— tg ———, р = 1, ... , к + 1. (46) п + 1 п + 1 2 (n + 1)

Утверждение доказывает пункт 3 леммы-гипотезы из [2].

Доказательство. Используем ортонормированность базисов (35) и (39) при нечетном и четном п соответственно. В отличие от предыдущих случаев, неполными и видоизмененными базисными векторами являются столбцы матрицы А6.

Заменим первое уравнение системы х\ + • • • + Xk+i = Уо другим уравнением

sin Cüq Х\ -Ь • • • + sin ик хк+1 = у'0 ,

где yf0 требуется подобрать так, чтобы замененное уравнение выполнялось.

Для нормировки столбцов матрицы введем новые переменные х'р формулой

Со х'к+1 = х/с+ь в случае п = 2к + 1 С\ х' — хр, в остальных случаях .

Тогда систему с замененным уравнением относительно новых переменных можно записать в виде

Ь\ х\ + • • • + Ък+1 х'к+1 = г = (у'0, ух, ... , ?//с)Т с базисными векторами Ьр из (35) или (39). Тогда

к

йтршо ^ + . (47)

х'Р-Ьр'г- \1 п + 1

3=1

Теперь найдем у'0 из условия х\ + • • • + = ?/о: /с+1 I——— 2 27 к

р=1 р=1 р=1 ^=1

Это выражение упрощается, так как

^ 27 . 4 Л . 2 . (к + 1)тг

> —— йш рсоо = —— > ътрш о + —— 81п-—— =

п + 1 п + 1 п + 1 п + 1

р=1 Р=1

О ™

2 ^-л . дтг

ЕЦ! I

йш--

п + 1

п + _

<7=1

как для четных, так и для нечетных п. Последняя сумма равна

/т [ехр (гиоо) + • • • + ехр (тио^)] —

1 + ехр (го;0) ш0 тг

1т-——- = ctg — = ctg

1 — ехр (гиоо) 2 2(п + 1) ' Аналогично,

у- 27 ^ . у- 27 .

р=1 ,7 = 1 ,7 = 1 р=1

к о п ^

^—> . ^—> ^ (а) А

3 = 1 д=1 J = l

Получаем

к

2 ujq . 2 ^—> ujj

У0 = ПTictgTy° + —i2~<ctgYy^

3 =1

ИЛИ

к

/ П + 1 , Wov^ X из

Уо = У* tgy - tgy ctg 2 '

j=i

Подставим это выражение в (47) и после упрощений получаем (45). Формула (46) получается из (45) очевидным образом. Утверждение доказано.

Литература

1. Никитенков В. Л., Холопов А. А. Оптимальные области сходимости линейных многослойных итерационных процедур// Вопросы функционального анализа (теория меры, упорядоченные пространства, операторные уравнения) : Межвуз. сб. науч. тр. /Сыктывкар: Сыкт. ун-т. 1991. С. 134 ~ Ц2.

2. Никитенков В. Л., Холопов А. А. Оптимальные параметры метода аддитивного расщепления (MAP) // Вестн. Сыктывкарского ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. Информатика. 2010. Вып. 12. С. 53 - 70.

Summary

Nikitenkov V. L., Kholopov A. A. The exact formulae for the optimal parameters of ASM

An additive-split method (ASM) is used for solving an equation x = b — Ax in a Banach space with linear operator A. The exact formulae for the optimal parameters of ASM which extend mostly the real spectral interval of convergence are given.

Keywords: region of convergence, Chebyshev polynom, dual linear programming task, optimal parameters.

Сыктывкарский университет

Поступила 11.10.2011