Особенности рабочего режима макроэкономической модели Харрода-Домара с показателем потребления, растущим в постоянном темпе Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 517.977

Секция 2. Приложения

Особенности рабочего режима макроэкономической модели

Харрода—Домара с показателем потребления,

растущим в постоянном темпе1

А. Ю. Меерсон, А. П. Черняев

Получены точные и асимптотические формулы, выражающие основные экономические характеристики в модели Харрода—Домара, как функции времени при условии, что потребление растет с постоянным темпом.

Макроэкономическая модель Харрода—Домара с экзогенной динамикой потребления произвольного характера рассмотрена в работах [1,2]. Эта модель с непрерывным временем t,

1 Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы», проекты № 2.1.1/11133 и 2.1.1/12968.

188

описывающая динамику дохода Y(t), который рассматривается, как сумма потребления C(t) и инвестиций I(t). Экономика считается закрытой, поэтому чистый экспорт равен нулю, а государственные расходы в модели не выделяются. Основная предпосылка модели роста — скорость роста дохода пропорциональна инвестициям [3, с. 205]: I(t) = BY'(t), где В — коэффициент капиталоемкости прироста дохода, или приростной капиталоемкости. Тогда

Y(t) = C(t) + I(t), I(t) = BY'(t);

откуда дифференциальное уравнение модели имеет вид:

Y(t) = C(t) + BY'{t).

Решение дифференциального уравнения модели при условии Y(t0) = Y0 выражается формулой

Y(t) = V(t~to)/B ~ 4 Г C(r)e^Bdr, (1)

В J to

где i0 — начальный момент времени.

Из формулы (1), как частный случай, следует вариант модели Харрода—Домара с показателем потребления, растущим с постоянным темпом г, т.е. C(t) = Cert, где С = const > 0. Действительно, если г ф 1 /В, то

Если же г = 1/Б, то из (1) следует, что

Y{t) = Y0e^lB - Гdr =

Б Jt0

= V(t-io)/B-§e^(i-t0), r = (3)

Однако, второе слагаемое правой части (3) по абсолютной величине превзойдет первое и доход исчезнет. Поэтому (3) не может являться рабочим режимом рассматриваемой модели. Если г > 1 /В, то коэффициент С/(1 — Вг) отрицателен, ен растет быстрее, чем е1!в и второе слагаемое правой части (2) по абсолютной величине превзойдет первое, что также приведет к исчезновению дохода. Поэтому (2) при г > 1/В также не может быть рабочим режимом рассматриваемой модели. Отсюда (2) является рабочим режимом рассматриваемой модели при г < 1 /В.

Итак, в рабочем режиме (2) модели Харрода—Домара темп прироста потребления г должен быть меньше максимально возможного общего темпа 1 /В. Рассмотрим темп прироста дохода. Исходя из дифференциального уравнения модели и (2)

у'(*)= 1л с®\ у(<) в\ у(*)/

с

/ Сено \ [{1_вг)г_ч],в С V0 1 -Вт) +

(4)

1 - Вг

Здесь для получения правой части (4) мы разделили числитель и знаменатель дроби в правой части (4) на ен. Из (4) видно,что если наложить условие

Сен о

то темп прироста дохода (4) становится постоянным:

Г®

у(у)

(б)

Для накоплений в рассматриваемой модели при показателе потребления, растущем с постоянным темпом и (5)

УМ-т = Г^-Се" = -1) = . (7)

1 - Вг VI - Вг ) 1 - Вт К '

В случае, когда равенство (5) не выполняется, то из (4) следует, что

УН) 1 / С \ 1

А. т= ~т^щ) = в*1 -Р-Вг»-г- «о

Таким образом, точное равенство (6), справедливое при выполнении условия (5), заменяется предельным равенством (8) при отсутствии условия (5). Равенство (8) может быть записано и в виде отношения порядка

t->+oo. (9)

В случае, когда равенство (5) не выполняется, то из (2) следует, что

+ (10)

Таким образом, если условие (5) нарушается, то темп прироста дохода изменяется не сильно. Просто точное равенство (6) заменяется на асимптотическое соотношение (9). Однако, накопления изменяются более существенно, так как изменяется порядок роста накоплений при г -» +оо. Для этого достаточно сравнить формулы (7) и (10). Дополнительное слагаемое в правой части формулы (10) растет быстрее, чем совпадающие слагаемые в формулах (7) и (10), это следует из неравенства 1 /В > г, определяющего рабочий режим макроэкономической модели Харрода—Домара с показателем потребления, растущим в постоянном темпе.

Список литературы

1. Меерсон А.Ю., Черняев А. П. Макроэкономическая модель Харрода—Домара с экзогенной динамикой потребления произвольного характера. //Международная научно-практическая конференция «Инновации на основе информационных и коммуникационных технологий». Материалы международной научно-практической конференции «Инфо-2011». Симпозиум 4. Инновационные информационные и коммуникационные технологии в социальной среде. - С. 437-439.

2. Меерсон А.Ю., Черняев А. П. Точное решение макроэкономической модели Харрода—Домара с экзогенной динамикой объема потребления произвольного характера. // Известия Российского экономического университета им. Г. В. Плеханова. - 2011, — № 1. — С. 142-147.

3. Замков О. О., Толстопятенко A.B., Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике: Учебник. — М.: МГУ им. М.В. Ломоносова. Издательство «ДИС». — 1998. — 368 с.

Российская экономическая академия им Г. В. Плеханова, Москва.

Московский физико-технический институт (государственный университет).

E-mail: [email protected], [email protected]. Поступила 30 апреля 2012 г.