CC BY
35
Секция 2. Приложения
УДК 519.8
Точное решение задачи Коши для дифференциального уравнения макроэкономической модели Харрода—Домара с переменным коэффициентом капиталоемкости прироста дохода 1
А. Ю. Меерсон, А. П. Черняев
В работе получено точное решение задачи Коши для дифференциального уравнения макроэкономической модели Харрода—Домара с переменным коэффициентом капиталоемкости, зависящим от времени.
Дифференциальное уравнение модели Харрода—Домара с экзогенной динамикой потребления произвольного характера 11,2] имеет вид
Y(t)=C(t) + BY'(t), (1)
'Работа выполнена при поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы», проекты Л* 2.1.1/11133 и 2.1.1/12968.
252
Эта модель с непрерывным временем f, описывающая динамику дохода Y(t), который рассматривается, как сумма потребления C(t) и инвестиций /(<). Экономика считается закрытой, поэтому чистый экспорт равен нулю, а государственные расходы в модели не выделяются. Основная предпосылка модели роста — скорость роста дохода пропорциональна инвестициям [3, с. 205|: /(£) = В Y'(t), где В — коэффициент капиталоемкости прироста дохода, или приростной капиталоемкости. До сих пор коэффициент капиталоемкости прироста дохода считался положительным и постоянным [4]
В = const > 0.
(2)
Для случая (2) решение дифференциального уравнения (1) известно [5] и дается формулой
t~t о
Y(t) = Y0e В
t t~T
L С^е В dr'
(3)
Здесь предполагается выполненным начальное условие задачи Коши
Y(t0) = Y0> 0. (4)
В настоящей работе предполагается, что коэффициент капиталоемкости прироста дохода является функцией времени, т. е.
В = B(t). (5)
При условиях (4) и (5) решение дифференциального уравнения (1) будет даваться формулой
Г(() = К„е
ds
W)
С(г)е
В(т)С
(6)
которая и является основным содержанием данной работы. Простой проверкой нетрудно убедиться в том, что если В =
253
= const, то из формулы (6) получается формула (3), т. к.
fl ds _ t — t0
Подставляя последние формулы в формулу (6), очевидно, получаем (3).
Решение (6) дифференциального уравнения (1) при условиях (4) и (5) гораздо важнее решения (3) того же уравнения при условии (2), т. к. на практике условие (2) не может быть выполнено. Однако, решение (6) при условиях (4) и (5) важнее не только практически, но и теоретически, т. к. очень удобно для различных численных расчетов, которые невозможно осуществить зная лишь решение (3) уравнения (1) при условиях (2) и (3).
Список литературы
1. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Макроэкономическая модель Харрода—Домара с экзогенной динамикой потребления произвольного характера. //Международная научно-практическая конференция «Инновации на основе информационных и коммуникационных технологий». Материалы международной научно-практической конференции
254
«Инфо-2011». Симпозиум 4. Инновационные информационные и коммуникационные технологии в социальной среде. С. 437-439.
2. Меерсон А. Ю., Черняев А. П. Точное решение макроэкономической модели Харрода—Домара с экзогенной динамикой потребления произвольного характера. // Известия Российского экономического университета имени Г. В. Плеханова. 2011. № 1. С. 142-147.
3. Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы в экономике: Учебник. — М.: МГУ им. М. В. Ломоносова. Издательство «ДИС». 1998. 368 С.
4. Моделирование экономических процессов. Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000). Под ред. Грачевой М. В., Фадеевой Л. Н., Черемных Ю. Н. - М.: ЮНИТИ-ДАНА. 2005. 351 С.
5. Меерсон А. Ю., Черняев А. П. Особенности рабочего режима макроэкономической модели Харрода—Домара с показателем потребления, растущим в постоянном темпе. // Вестник МГУП. М.: МГУП. 2012. X* 3. С. 188-192.
Российская экономическая академия им. Г. В. Плеханова, Москва. ,
Московский физико-технический институт (государственный университет).
E-mail: [email protected], [email protected]. Поступила 27 апреля 2013 г.
255
