Особенности применения уравнения Гатса для описания кривой усталости Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Рисунок 4 - Основная система аппарата внешней фиксации 2блока

Система канонических уравнений имеет следующий

вид:

м

X (5i.n-Xn) = -Д11.

П=1

<

ных повреждений при различных амплитудах напряжений успешно используется и при описании кривых усталости, когда параметры цикла напряжений являются неизменными [1, 2, 3]. Тем не менее, уравнение Гатса на данный момент и недостаточно известно, и недостаточно изучено. В соответствии с гипотезой Гатса, предел выносливости материала при действии циклических напряжений непрерывно уменьшается, а скорость его снижения на каждом цикле нагружения определяется лишь той частью энергии деформации, когда возникающие напряжения превышают предел выносливости. На диаграмме растяжения (рисунок 1) эта часть энергии будет пропорциональна площади заштрихованного сектора. Заменив график на участке ве8п прямой линией, тангенс

м

X (5г. п-Хп) = -Д21.

П=1. . .

м

£ (822. п-Хп) = -Д221. П=1

где М=22.

Анализ напряженно- деформированного состояния конструкции аппарата внешней фиксации костей черепа позволит разработать математическую модель, которая будет учитывать упруго-пластические свойства костного регенерата и даст возможность определить предельные значения, действующих усилий аппарата.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Бахвалов Н.С. Численные методы /Н.С. Бахвалов. М.: Наука, 1973. 631 с.

2,Феодосьев В.И. Сопротивление материалов/В.И. Феодосьев. М.: Наука,1986. 512 с.

С.Г. Тютрин

Курганский государственный университет, г. Курган

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГАТСА ДЛЯ ОПИСАНИЯ КРИВОЙ УСТАЛОСТИ

На основе анализа уравнения Гатса предложен алгоритм, позволяющий объективно и с большей точностью определять коэффициенты этого уравнения при аппроксимации результатов усталостных испытаний.

Гипотеза Гатса о способе суммирования усталост-

Рисунок 1

угла наклона которой равен 1дб=(уп-уе)/(еп-ее), искомую площадь определим как площадь прямоугольного треугольника:

2 tga

(1)

ЗдесьСе и 8е -соответственно предел выносливости материала после п циклов деформации и относительная деформация материала, вызываемая этим напряжением;

Ф и £ -текущее значение напряжения в материале на п-ном цикле нагружения и относительная деформация материала, вызванная этим напряжением.

В результате уравнение Гатса может быть представлено следующим образом:

^ = -к{0п-0еУ. (2)

ап

Здесь к - коэффициент пропорциональности, а знак «минус» указывает на уменьшение прочности.

Разделяя переменные интегрирования и поменяв на противоположные знаки в выражении, возводимом во вторую (четную) степень, получим:

do,.

= -kdn

или

со

J =~k\dn.

(3)

Здесь - предел усталости исходного материала

(при п=0); N - число циклов нагружения до разрушения;

Оп=0 " амплитуда переменных напряжений

(У=сопб1); су- предел усталости поврежденного материала (зависит от истории нагружения и составляет некоторую долю с от у).

Результат интегрирования:

-1

1

= -ш.

oR-o

(4)

со -о

После преобразований получаем уравнение Гатса [1]: 1 1

kN =---

(J ~(У и

о -со

ветствуетдва уровня напряжения: (3<0И из ко-

торых физический смысл имеет только второй (больший). При изображении кривой Гатса в логарифмических координатах можно наблюдать пологий участок и в зоне малоцикловой усталости, но и в этом случае точки разрыва не исчезают.

или

kN =

о-Or,

4-сУ

(5)

Обозначив К=1/к, а С=(1 -с), получаем следующий вид уравнения Гатса [2]:

N = К

1

1

О -Ои

Со

(6)

Величина с может приближенно быть принята равной отношению предела выносливости уК к пределу прочности ув[1, 3]. Тогда получаем такой вид уравнения Гатса

[3]:

N = K

1

СУ -СУ D

V °BJ

(7)

Рисунок 2

В работе [2] предложено определять параметры К, С, уравнения Гатса путем минимизации функции

0 = T{Nt-K

1

1

сг - о„

Со,

}2.

(8)

В работе [1] отмечено, что уравнение Гатса описывает «куполообразную» кривую. Считая такое определение недостаточным, проанализируем полученные уравнения. Обозначим выражения, входящие в правую часть

уравнения (6), каку.,=1/((з - qr ) и у2=-1/((^q). Они имеют по одной особой точке - точке разрыва в бесконечность: при CJ=Or и а =0 соответственно (случай, когда С=0, не имеет физического смысла). Данные выражения, как известно из математики, представляют собой гиперболы. У каждой из них имеется по две асимптоты. Для второго выражения асимптотами являются оси координат, а для первого - прямые q=(jr и у.,=0. Знаки

правых частей этих уравнений показывают, что первая гипербола располагается в I и III квадрантах, а вторая гипербола - во II и IV квадрантах (рисунок 2). Их суммарная функция kN=y1+y2 показана сплошными линиями на рисунке 2: она имеет те же две точки разрыва (разрыв в бесконечность), а каждому физически существующему (т.е. положительному) числу циклов N до разрушения соот-

При этом для упрощения задачи величину задают «исходя из имеющейся информации», тогда коэффициенты К и С определяются по формулам, полученным на основе метода наименьших квадратов. Недостатком такого подхода является его субъективность, заключающаяся в необходимости задаваться величиной Между тем, современный уровень компьютеризации позволяет легко решить задачу по определению всех трех параметров уравнения Гатса совершенно объективно. Учтем, что в результате усталостных испытаний разброс величин разрушающих напряжений много меньше разброса величин циклов нагружения до разрушения. Поэтому из уравнения (6) выразим величину После нахождения общего знаменателя и перегруппировки выражения, получаем квадратное уравнение относительно напряжения:

ЫСо2 + {К - КС - ЫС(7К )сг + (- Сок ) = 0. (9) Общее решение квадратного уравнения известно:

- К + д/(К- КС - МС(тк )2 + 4ЛОГег

NCa, +КС-

2NC

(10)

В данном случае, как было указано выше, физический смысл имеет только один корень (больший). Следовательно, перед квадратным корнем в уравнении (10) всегда необходимо брать знак плюс. Тогда для определения искомых параметров проводится минимизация функции

Ф = Е

N,C(tr + КС -К + т]{к - КС -NlCcrR f + 4N,CK(tr 2N,C

(11)

Для оценки предложенного способа построения

серия «естественные и технические науки», выпуск 1

95

кривой Гатса воспользуемся данными тарировочных испытаний алюминиевых датчиков деформаций интегрального типа на образцах из стали 12ХНЗА [2]. В результате расчета в среде Mathcad с помощью функции Minimize получены следующие данные (в скобках указаны величины, полученные в работе [2]): К=3437000 (3530000);

С=2,077 (1,5);qr=70,011 (70). Датчики контролировались при следующих числах циклов нагружения N (в тыс. циклов): 100, 300, 500, 1000, 1700 и 3000. При найденных величинах коэффициентов уравнения (6) получаем следующие значения амплитуд напряжений (МПа): 99,479; 80,735; 76,6; 73,372; 72,006 и 71,148.

Нетрудно подсчитать [2], что такое изменение величин коэффициентов кривой Гатса обеспечивает снижение: суммы квадратов отклонений - с 5,894 до 4,523; дисперсии - с 4,421 до 3,392; дисперсионного отношения - с 2,122 до 1,628; общей оценки дисперсии - с 2,667 до 2,41. При этом величина доверительного интервала сужается с ±2,754 до ±2,618 (при 99% вероятности) и с ±1,999 до ±1,900 (при 95% вероятности).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коллинз Дж. Повреждение материалов в конструкции. Анализ,

предсказание, предупреждение / Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 624 с.

2. Сызранцев В.Н. Методы экспериментальной оценки концентрации

циклическихдеформаций и напряжений на поверхностях деталей машин: Учебное пособие.Курган: КМИ, 1993.83 с.

3. Сызранцев В.Н., Добрынько A.B. Методы прогнозирования долговеч-

ности деталей по показаниям датчиков деформаций интегрального типа: Учебное пособие. Курган: КМИ, 1993.107 с.

Л.Н. Тютрина

Курганский государственный университет, г. Курган

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕНИЙ В БРУСЕ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ С ВЫКРУЖКОЙ

Я? и г - наружный и внутренний радиусы пластины соответственно; г0 - радиус окружности выкружки; Д - величина смещения центра окружности выкружки от края пластины;

а)

■ч

а- выкружка с внешней стороны; б- выкружка с внутренней стороны;11д = Я- г - Д - г0 - высота опасного поперечного

сечения пластины; е - эксцентриситет приложения нагрузки; И = Я- г - ширина пластины; Р - приложенная сила

Приведены результаты расчета коэффициента концентрации напряжений бруса постоянной кривизны с выкружкой.

Существует ряд деталей машин, расчет на прочность которых можно свести к схеме нагружения бруса постоянной кривизны с выкружкой [1].

Одним из способов вычисления напряжений деталей сложной формы с достаточно высокой точностью является метод конечных элементов (МКЭ). Суть этого метода, как известно, состоит в том, что упругое тело заменяется моделью в виде совокупности элементов (треугольников, прямоугольников, тетраэдров, призм и др.), которые взаимодействуют между собой только в их узлах. Ответ находится из решения системы линейных уравнений, отражающих условие минимума потенциальной энергии упругой деформации.

Модуль АРМ РЕМ20 программного пакета \ЛЛпМасМпе (для решения двумерных задач теории упругости) позволяет выполнить расчет напряжений МКЭ. В качестве конечных элементов использованы треугольные линейные элементы (с тремя узлами): в пределах каждого элемента деформации и напряжения постоянны. Программы обеспечивает автоматическое разбиение на элементы с постоянным шагом сетки.

Рассчитана пластина единичной толщины, очерченная двумя концентричными окружностями с круговой выкружкой (рисунок 1). На рисунке использованы следующие обозначения:

Рисунок 1 - Расчетная модель - кривой брус

Величина эксцентриситета приложенной нагрузки для концентратора (выкружки) с внешней стороны балка (рисунок 1 а) определяется как е = г + Л/2, с внутренней стороны (рисунок 1 б) - е = Я? - Л/2.

Формула для расчета максимального напряжения в брусе:

х=к-(Тно„=к((Тм±(Т„), (1)

где к - теоретический коэффициент концентрации напряжений;

а - номинальное напряжение (определяемое по формулам сопротивления материалов);

(Зд^ - напряжение в опасном сечении бруса, возникающее от изгибающего момента;

Фдг - напряжение в опасном сечении бруса, возникающее от продольной силы.

Номинальные напряжения для пластин такого типа определяются следующими формулами:

_6 Ре _ Р

ам~—Г и " Т". (2)

"о "о

Расчет максимальных местных напряжений проводился методом конечных элементов при помощи модуля АРМ РЕМ20 программного пакета \ЛЛптасЫпе. В резуль-