CC BY
6
Начало отсчета движения перекрытия совпадает с положением статического равновесия перекрытия под действием сил тяжести машины тд и силы упругости конструкции поддерживающей перекрытие.
При движении перекрытия машины в положительном направлении оси X координата перекрытия будет х2. При работе машины под действием внутренних сил верхняя горизонтальная балка рамы машины в точках крепления ситовых корпусов совершает гармонические колебания относительно основания машины по закону
Х = dsinpt,
ется величиной F1=c1X1.
Дифференциальные уравнения движения перекрытия в направлении оси X имеют вид:
или
т *2 = TuFbc
т Х2 =-mg-Fl -F2.
Х0 ~ ^ст ' ~~ 0 ■
Уравнения (8) и (9) для начальных условий при t0=0
hp
= С, ; *0-С2-к2 +
откуда
С1=-Лся;С2=~
j 2 2 , к - р
hp
k2(k¡-p2)
(10)
(11)
(1)
где с!- амплитуда вынужденных колебаний, м; р- частота вынужденных колебаний, рад/с.
Действие возмущающих сил через условную пружину с жесткостью с1 передается на перекрытие и определя-
(2) (3)
С учетом значений Г, и
т X2=-c2(X2-Лcm)-c1^X1-mg, (4)
где Лст - прогиб перекрытия под действием силы
тяжести машины, м.
В состоянии статического равновесия
с2 • Лст = mg . Тогда после раскрытия скобок в правой части и преобразований выражение (4) принимает вид:
С учетом полученных зависимостей уравнение движения перекрытия:
кр . , к п . х. = -X со%кл---—вткЛ + \ —-- вт р? /ло\
2 ст 2 7/72 2 ч 2 , 2 2 1 ^ . ( I )
к2 (к2 - р ) к2 - р
Суммарное вибрационное перемещение т. А, в которой крепятся подвески ситовых корпусов,
хА=х2+х1 (13)
Точка А не будет иметь виброперемещений, если
х2+х=0 (14)
Полученные выражения (13) и (14) можно использовать при оптимизации жесткости вибрационных машин с учетом упругих свойств основания для минимизации вибрационных перемещений рабочих органов этих машин.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики М.: Высшая школа, 1995. 416 с.
В.В. Пивень, А.П. Яцуненко, Б.А. Голосеев Курганский государственный университет, г. Курган
тх2 + с2Х2 = -с1 ■ d sin pt.
(5)
с2 2 cxd
Разделив на т, приняв — — к2 1 а--— Ь ,
т т
получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний перекрытия в виде:
+ к2Х2 = hsmpt. (6)
Решение данного неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде:
Х2 ~ Х2 + Х2 '
(7)
где х~- общее решение уравнения (6) без правой
** 2
части; х2 - какое - нибудь частное решение полного уравнения (6).
Общий интеграл:
х = Q eos k2t + С2 sin k2t + [
h
i 2 2 k2-p
] sin pt
(8)
Для определения постоянных интегрирования дополнительно найдем значения х- скорости перемещения основания.
hp
х = -Clk2 sin k2t + C2k2 eosk2t + [ 2]cos pt ,q\
k2-p
В момент времени t0=0 начальные условия:
ОБОСНОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ СХЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СТЕРЖНЕВОЙ КОНСТРУКЦИИ АППАРАТА ВНЕШНЕЙ ФИКСАЦИИ КОСТЕЙ ЧЕРЕПА
Для коррекции дефектов костей черепа, а также для формирования костного регенерата при восстановлении костных тканей на череп устанавливается аппарат внешней фиксации, который представляет собой пространственную статически неопределимую стержневую конструкцию (рисунок1). Две дуги аппарата 2 соединены между собой стержнями 3 и неподвижно зафиксированы по отношению кчерепу посредством крепления кчетырем стержням 1, которые в свою очередь установлены в выполненных в костях черепа цилиндрических углубления. Учитывая, что череп имеет близкую к сфере форму, а стержни 1 установлены в его разных точках по нормали к поверхности, можно считать рассмотренную часть конструкции аппарата внешней фиксации черепа как жесткую. В каждой точке заделки из возникающих в общем случае шести реакций связей можно считать равной нулю только реактивный момент относительно оси вращения стержня 1.
Для формирования костного регенерата необходимо костный фрагмент прямоугольной формы, полученный из черепной кости, медленно перемещать вдоль
отверстия в черепе, которое также имеет форму прямоугольника, но гораздо большей площади. При медленном перемещении костного фрагмента образуется костный регенерат, который в дальнейшем после отвердевания превращается в кость, которая закрывает прямоугольное отверстие черепа, сращиваясь с ним.
Перемещение костного фрагмента достигается путем создания растягивающего усилия в спицах 6 путем перемещения пластины 4 вдоль стержней 5. Костный регенерат обладает упруго-пластическими свойствами, которые зависят от скорости перемещения костного фрагмента. При низкой скорости регенерат затвердевает, костный фрагмент по торцам сращивается с неподвижными костями черепа, что затрудняет дальнейшее перемещение костного фрагмента. Регенерат при этом проявляет упругие свойства. При высокой скорости движения костного фрагмента напряженно-деформированное состояние образующегося костного регенерата определяется в основном его пластическими свойствами и возникает опасность отрыва костного фрагмента от регенерата. Поэтому создаваемое в деталях аппарата напряженно-деформированное состояние для перемещения костного фрагмента должно учитывать упруго-пластические свойства костного регенерата, а сам костный фрагментдолжен рассматриваться как пластина на упруго-пластическом основании, свойства которого изменяются стечением времени, а также в зависимости от скорости перемещения.
рукции аппарата внешней фиксации, а также время коррекции, размеры сечения в черепе и условие неразрывности костного регенерата. Для исследования системы аппарата внешней фиксации для коррекции дефектов костей черепа применим разработку алгоритма на основе универсального метода сил с возможностью оптимизации. Для определения оптимальных параметров процесса изменения для пространственного положения структуры аппарата внешней фиксации необходимо построить математическую модель с учетом усилия коррекции, напряжений в опасных сечениях и усилий со стороны регенерата и со стороны костей черепа.
В качестве функции оптимизации для изменения положения из одного положения в другое примем время осуществления процесса коррекции и установим ограничения по прочности, рабочему усилию коррекции (рисунок 2).
Рисунок 2 - Схема оптимизации процесса
Рассмотрим внутренние силовые факторы аппарата внешней фиксации, находящегося под воздействием внешних сил - усилия коррекции. Общий вид конструкции аппарата представлен на рисунке 1. Усилие Р - создается парой упругих спиц 6, которые являются направляющими для костного фрагмента в ходе коррекции дефекта костей черепа. Аппарат внешней фиксации представляет собой пространственную статически неопределимую стержневую систему [2]. После освобождения аппарата внешней фиксации от лишних связей получим основную систему для расчета, где Р-усилие коррекции и каждая отброшенная связь заменена реакциями - Х1-Х22 (рисунки 3,4).
С целью оптимизации параметров напряженно-деформированного состояния конструкции аппарата внешней фиксации костей черепа необходимо разработать математическую модель, которая учитывала бы упруго-пластические свойства костного регенерата [1].
Решение задачи оптимизации состоит из следующих пунктов:
1) разработка математической модели;
2) определение функции и важнейших параметров, которые подлежат оптимизации;
3)минимизация или максимизация функции;
4) проверка результатов исследования.
При выборе модели данного процесса необходимо учитывать рабочие усилие, несущую способность конст-
Рисунок 3 - Основная система аппарата внешней фиксации 1 блока
СЕРИЯ «ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ», ВЫПУСК 1
93
Рисунок 4 - Основная система аппарата внешней фиксации 2блока
Система канонических уравнений имеет следующий
вид:
м
X (5i.n-Xn) = -Д11.
П=1
<
ных повреждений при различных амплитудах напряжений успешно используется и при описании кривых усталости, когда параметры цикла напряжений являются неизменными [1, 2, 3]. Тем не менее, уравнение Гатса на данный момент и недостаточно известно, и недостаточно изучено. В соответствии с гипотезой Гатса, предел выносливости материала при действии циклических напряжений непрерывно уменьшается, а скорость его снижения на каждом цикле нагружения определяется лишь той частью энергии деформации, когда возникающие напряжения превышают предел выносливости. На диаграмме растяжения (рисунок 1) эта часть энергии будет пропорциональна площади заштрихованного сектора. Заменив график на участке ве8п прямой линией, тангенс
м
X (5г. п-Хп) = -Д21.
П=1. . .
м
£ (822. п-Хп) = -Д221. П=1
где М=22.
Анализ напряженно- деформированного состояния конструкции аппарата внешней фиксации костей черепа позволит разработать математическую модель, которая будет учитывать упруго-пластические свойства костного регенерата и даст возможность определить предельные значения, действующих усилий аппарата.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Бахвалов Н.С. Численные методы /Н.С. Бахвалов. М.: Наука, 1973. 631 с.
2,Феодосьев В.И. Сопротивление материалов/В.И. Феодосьев. М.: Наука,1986. 512 с.
С.Г. Тютрин
Курганский государственный университет, г. Курган
ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГАТСА ДЛЯ ОПИСАНИЯ КРИВОЙ УСТАЛОСТИ
На основе анализа уравнения Гатса предложен алгоритм, позволяющий объективно и с большей точностью определять коэффициенты этого уравнения при аппроксимации результатов усталостных испытаний.
Гипотеза Гатса о способе суммирования усталост-
Рисунок 1
угла наклона которой равен 1дб=(уп-уе)/(еп-ее), искомую площадь определим как площадь прямоугольного треугольника:
2 tga
(1)
ЗдесьСе и 8е -соответственно предел выносливости материала после п циклов деформации и относительная деформация материала, вызываемая этим напряжением;
Ф и £ -текущее значение напряжения в материале на п-ном цикле нагружения и относительная деформация материала, вызванная этим напряжением.
В результате уравнение Гатса может быть представлено следующим образом:
^ = -к{0п-0еУ. (2)
ап
Здесь к - коэффициент пропорциональности, а знак «минус» указывает на уменьшение прочности.
Разделяя переменные интегрирования и поменяв на противоположные знаки в выражении, возводимом во вторую (четную) степень, получим:
do,.
= -kdn
или
