Основное состояние сверхпроводящей наночастицы Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

Вестник Омского университета, 2005. № 3. С. 15-17. лтчтк"

© О.Ю. Смолянкина, К.Н. Югай, 2005 ^ ^ ЪАб.Ш

ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ СВЕРХПРОВОДЯЩЕЙ

НАНОЧАСТИЦЫ

О.Ю. Смолянкина, К.Н. Югай

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, кафедра общей физики

644077, Омск, пр. Мира, 55а

Получена 26 апреля 2005 г.

We have studied the role of surface states in superconductivity of a nanoparticle. Two pairing parameters were defined, the first one relates to bulk states only, the second is the surface one. We show that the superconductivity of nanosistem is closely connected with surface states. Investigating the even and odd cases and basing on our ansatz we suggest the new interpretation of Ralph, Black and Tinkham experimental results.

Ранее предпринимались неоднократные попытки объяснить особенности, характерные для спектров сверхпроводящих наночастиц [1-7]. Исследуя модель низкоразмерной системы, авторы указанных работ акцентируют внимание на малом числе электронных состояний системы, не затрагивая вопроса о роли поверхности в образовании сверхпроводящего состояния (СПС) наночастицы. Тем не менее поверхность играет значительную роль в свойствах низкоразмерных систем [9—11]. Ниже мы покажем, что поверхностные состояния оказываются определяющими в образовании СПС наночастицы.

В теории Бардина-Купера-Шриффера (БКШ) коллективным параметром, характеризующим СПС, является ширина запрещенной зоны До спектра элементарных возбуждений макроскопической системы, учитывающая только объемные квазичастичные состояния. Мы для описания особенностей СПС наночастицы вводим два коллективных параметра: Аоь, который определяется только объемными электронными состояниями, и Аол, образованный исключительно поверхностными состояниями. Исследуя модель сверхпроводящей наночастицы, мы учитываем все возможные переходы электронов при рассеянии. Куперовские пары образуются вследствие трех различных сценариев: (1) взаимодействуют два объемных электрона, (и) объемный электрон взаимодействует с поверхностным и (ш) взаимодействуют два поверхностных электрона.

Так как для сверхпроводящей наночастицы существенно число электронных состояний, мы исследуем последствия введения в систему одного неспаренного электрона и предлагаем но-

вое понимание экспериментальных результатов Ральфа, Блэка и Тинкхама, исследовавших туннельные спектры отдельных сверхпроводящих наночастиц, основанное на учете вклада поверхностных состояний. В целом в статье число электронов полагается четным.

ДВА ПАРАМЕТРА СПАРИВАНИЯ

Гамильтониан БКШ сверхпроводящей наночастицы:

Н = Т + У = ТЪ + ТЬ+УЪЪ + УЪЬ + УЬЬ, (1)

где Т - оператор кинетической энергии, равный сумме кинетических энергий электронов в объеме и на поверхности, V - оператор потенциальной энергии, равный сумме вкладов от трех вышеуказанных сценариев взаимодействия.

Найдем полную энергию основного состояния системы. Для этого определим диагональный элемент гамильтониана (1), усредняя по основному состоянию сверхпроводника. Функцию основного состояния возьмем в виде БКШ:

ф=ПфА- (2)

кьк3

где Фкь = Ыь + 1!кь4ь]-а1кь1)^окь,

Фойь и Фо/с«, - волновые функции вакуумных состояний кь и к3.

Условие нормировки волновой функции (2):

< Ф|Ф >= 1. (3)

Исключая члены, не удовлетворяющие условию нормировки (3), в терминах операторов рождения и уничтожения электронов гамильтониан

16

О.Ю. Смолянкина, К.Н. Югай

(1) можно записать как

Н - ^2£къакьаакът + ^2£к!1а13аак!1<т ~ кь<т к3сг

ак'ь\а-к'ь1а-кь1акь\ +

кь кь

+ И аК\а-к'31а-кь1акъ\) ~

к^кь

а\\а-к'ъ[а-к^ка\ +

кък3

+ (4)

к'ке

где екь(кв) - средняя энергия электрона в состоянии кь(кв), отсчитанная от уровня Ферми, Уь и У3 - соответственно потенциалы притяжения объемных и поверхностных электронов. Член гамильтониана (1), отвечающий взаимодействию поверхностных электронов с объемными, исключен как неудовлетворяющий условию нормировки (3). Штрих у знака суммы означает, что суммирование ведется только по тем электронным состояниям, находящимся в пределах ±Йо>£> от энергии Ферми. Данный предел соответствует максимальной частоте внешней силы, способной возбудить колебания в кристаллической решетке, т. е. привести к образованию фонона.

Полная средняя энергия сверхпроводящей на-ночастицы

Е, = 2^>ь< +

о1 -

кь

-Уь ^ икъ1>к'ьик'ь1>къ + ^ икъ"к'зик'31>къ

^кьк.

кь к3

к', к.

Минимизируя (5) и вводя обозначения для объемной ширины энергетической щели Доь =

= ик'ь1'к'ь и поверхностной Д08 ик'з1'к'з,

кь к3

найдем выражения для и2ь, , , . Используя эти выражения, выразим из (5) минимальную среднюю потенциальную энергию взаимодействия спаренных электронов в изолированной сверхпроводящей наночастице:

Яро( = -(^ + ^)(Доь + До»). (6)

В пределе макроскопического сверхпроводника, когда поверхностными состояниями можно

пренебречь, До8 -> 0, а (6) преобразуется в известное выражение

тртасго роЬ

д2

оь

" И '

(7)

получаемое в рамках теории БКШ для массивного сверхпроводника при учете только объемных электронных состояний.

Для объемного и поверхностного коллективных параметров получаем соответственно

Д

оь

ЛГь(0)Уь2 Баг сек

Д08 = Щ(0)У52 Багсзк

Ншр УъВ

Нюр

ув

(8)

(9)

где В = ^ + ЛГь(0) и ЛГ8(0) - соответственно плотности объемных и поверхностных состояний вблизи энергии Ферми. В макроскопическом пределе, когда Доя 0, (8) преобразуется в

Атасго О Ь

'2Ншг> ехр ( —

1

0)

(10)

^ икег!к'ьик'ьик3 + ^ икз11кгикгцкз (5)

совпадающее с известным выражением для коллективного параметра спаривания, получаемым в рамках теории БКШ для объемного сверхпроводника без учета вклада поверхностных состояний.

В пределе наноразмерных частиц плотность поверхностных электронных состояний значительно превышает плотность объемных состояний [8], поэтому выражения (8) и (9) позволяют нам сделать вывод о том, что в случае наночастиц, во-первых, значение коллективного параметра Дол, обусловленного поверхностью, существенно превышает значение объемного параметра Доь, а во-вторых, Дол вносит поправку в выражение для Доь. Таким образом, для наноразмерных систем поверхность оказывается определяющим фактором в образовании сверхпроводящего состояния системы.

СВЕРХПРОВОДЯЩАЯ ЧАСТИЦА С НЕЧЕТНЫМ ЧИСЛОМ ЭЛЕКТРОНОВ

Уровни с единственным электроном не участвуют в рассеянии, описываемом гамильтонианом (1), так как, во-первых, неспаренные электроны не рассеиваются на другие уровни, а во-вторых, неспаренный электрон, согласно принципу Паули, препятствует переходу других пар на свой уровень (так называемый «эффект блокирования») [4,5]. Введем в наноразмерную систему один неспаренный электрон, выясним, как изменятся полная энергия и коллективный параметр спаривания системы в основном состоянии.

Туннельные эксперименты Ральфа, Блэка и Тинкхама показали, что сверхпроводящие алю-

Основное состояние сверхпроводящей наночастицы

17

миниевые гранулы размером > 5нм имеют значительную энергетическую щель в спектре возбуждений в том случае, если число электронов в них четно, в случае же нечетного числа электронов энергетическая щель в туннельном спектре таких частиц не наблюдается. В спектре более мелких гранул размером меньше или порядка 3 нм подобная зависящая от четности системы энергетическая щель не была обнаружена [1,2].

Эффективный гамильтониан БКШ основного состояния наночастицы с нечетным числом электронов:

H = T + V + Hs.p.=Tb + Ts + Vbb + Vbs+Vss + HS.P.,

(11)

где Hs.p. - оператор энергии одного неспаренного электрона.

Для наноразмерного сверхпроводника любое собственное состояние гамильтониана (1) в случае четного числа электронов или гамильтониана (11) в случае нечетного числа электронов является одновременно собственным состоянием оператора числа частиц [4], так как, ввиду небольшого количества электронов, существенным становится состояние каждого из них. В макроскопическом сверхпроводнике, где число электронов в см3 порядка 1022, введение одного неспаренного электрона не играет роли, поэтому волновая функция основного состояния БКШ для макроскопического сверхпроводника учитывает только лишь образованные электронами куперовские пары. Так как для наноразмерной системы появление одного неспаренного электрона оказывается существенным [1,2], для описания ее основного состояния введем волновую функцию, учитывающую неспаренный электрон в состоянии ks.P.:

П • (12)

kjy /с з /с з t <pt

где Фks.p = aks.p.±a^0ks.p. , а Ф0ks.p. - волновая функция вакуумного состояния ks.p.

Условие нормировки волновой функции (12) аналогично (3). Действуя оператором полной энергии сверхпроводящей наночастицы (11) на волновую функцию (12) основного состояния системы с нечетным числом электронов, получим выражения для полной средней энергии, которое отличается от (5) на величину средней кинетической энергии неспаренного электрона. Поскольку состояния kb, ks и ks.p. являются независимыми, то, увеличивая полную среднюю энергию сверхпроводящей наночастицы, неспаренный электрон не меняет значения Доь и Aos.

Согласно выражениям (8) и (9), для наночастицы справедливо неравенство Доь << Aos • Следовательно, в ее энергетическом спектре при

четном числе электронов должна наблюдаться щель Дол, которую, по-видимому, и обнаружили Ральф, Блэк и Тинкхам, исследуя наночастицы А1. При введении в систему неспаренного электрона, как мы выяснили, коллективный параметр спаривания не меняется, но почему при этом отсутствует щель в туннельном спектре? Энергетический уровень неспаренного электрона должен располагаться в спектре наночастицы выше Доь. Так как речь идет об основном состоянии сверхпроводника, этот электрон занимает наинизший возможный энергетический уровень. Ввиду большой величины Дол, этот уровень окажется между Доь и Дол, то есть будет «утоплен» в энергетической щели. Мы предполагаем, что именно по этой причине исследователи не наблюдали щели в спектре сверхпроводящей наночастицы А1. Увеличивая диаметр частицы, мы увеличим число объемных электронных состояний, а следовательно, и Доь - Когда же щель Доь станет порядка или больше Дол, ее можно наблюдать в спектре сверхпроводника. Что характерно, так как энергетический уровень неспаренного электрона всегда находится выше, чем Доь, в макроскопическом пределе при введении такого электрона в систему, щель в спектре должна наблюдаться в любом случае, что и имеет место в объемной сверхпроводимости.

[1] Black С. Т., Ralph, B.C., Tinkham М. // Phys. Rev. Lett. 76, 4 (1996).

[2] Ralph B.C., Black C.T., Tinkham M. // Phys. Rev. Lett. 78, 21 (1997).

[3] И мри И. Введение в мезоскопическую физику. М.: Физматлит, 2002.

[4] J. von Beiß, Ralph, B.C.. Cond-mat/0101019.

[5] Schechter M., J. von Belft, Irnry Y., Levinson Y. // Phys. Rev. B, 67, 064506 (2003).

[6] Anderson P.W. // J. Phys. Chem. Solids, 11, 26 (1959).

[7] J. von Belft // Ann. Phys. (Leipzig), 10, 3 (2001).

[8] Servedio V.B.P., Brechsler S.-L., Mishonov T. // Phys. Rev. B, 66, 140502(R) (2002).

[9] Та,мм U.E. Собрание научных трудов: В 2 т. М., 1975. Т. 2.

[10] Дэвисон С., Левин Дж. Поверхностные (там-мовские) состояния. М., 1973.

[11] Yugay K.N. Some phisical bases of nano-technologies, Proc. WSCE/UKC2002, July 8-13, 2002, Seoul, Korea. P. 523 (2003).