CC BY
12
УДК 538.945
О ВЛИЯНИИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ НА I-V ХАРАКТЕРИСТИКИ ТУННЕЛЬНЫХ КОНТАКТОВ ВТСП
A. Н. Лыков
В рамках теории Гинзбурга-Ландау (ГЛ), используя микроскопическое обоснование этой теории, сделанное Горьковым, в данной работе найдено распределение потенциала спаривания по толщине сверхпроводящих CuO2 слоев в купратных ВТСП. Установлено, что потенциал спаривания в них существенно подавляется из-за влияния несверхпроводящих прослоек, что приводит к уменьшению критической температуры этих сверхпроводников. Рассчитаны температурные зависимости эффективной энергетической щели, и вольт-амперные (IV) характеристики туннельных контактов типа "break junction", приготовленных из этих сверхпроводников.
Ключевые слова: сверхпроводящие слои, потенциал спаривания, щель в спектре элементарных возбуждений, граничные условия, теория Гинзбурга-Ландау.
1. Высокотемпературные сверхпроводники (ВТСП), которые в основном являются купратными соединениями, являются слоистыми сверхпроводниками с сильной анизотропией свойств, то есть со слабым взаимодействием между сверхпроводящими CuO2 слоями. Для описания их свойств обычно используется теория Лоренса-Дониака [1]. При этом подходе уравнение ГЛ [2] используется для описания электромагнитных свойств сверхпроводящих слоев, а взаимодействие между ними учитывается с помощью дополнительного джозефсоновского члена в свободную энергию, который мало влияет на параметр порядка в сверхпроводящих слоях. Поэтому изучение свойств тонкой сверхпроводящей пластины в рамках теории ГЛ является актуальным и важным для понимания свойств ВТСП. В работе [3] сообщается о результатах изучения численными методами влияния граничных условий на решения системы уравнений Гинзбурга-Ландау для сверхпроводящих пластин в магнитном поле. В работах [4-6] показано, что граничные условия могут приводить в тонких слоях к подавлению параметра порядка
ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: lykov@lebedev.ru.
и к уменьшению критической температуры по сравнению с критической температурой массивного материала. В работах [7, 8], используя данный подход, удалось объяснить зависимость критической температуры от числа сверхпроводящих Си02 слоев в элементарной ячейке. Таким образом, в отсутствие общепризнанной микроскопической теории, использование теории ГЛ для дальнейшего изучения свойств ВТСП является важным направлением исследований. В данной работе с помощью данного подхода изучались особенности спектра элементарных возбуждений в ВТСП.
2. Постановка задачи. В отсутствие магнитного поля уравнение Гинзбурга-Ландау, описывающее параметр порядка, записывается в виде:
^ф + £2(Ф - Ф3) = 0, (1)
где £ - длина когерентности. Здесь направление, перпендикулярное плоскости пластины толщиной й, обозначено через х, причем пластина занимает область —й/2 < х < d/2, а параметр порядка в теории ГЛ записывается в виде Ф = | Ф | егд, где | Ф | - модуль и 9 -фаза параметра порядка. В данном уравнении используется нормированный параметр порядка ф = Ф/Фо , где Фо - равновесное значение параметра порядка в однородном сверхпроводнике без магнитного поля. Для численного решения данного уравнения надо задать граничные условия. В высокотемпературных сверхпроводниках, как известно, длина когерентности £(Т = 0) - мала. Поэтому роль поверхностного члена в выражении для свободной энергии возрастает. Как результат в работе [9] показано, что граничное условие на параметр порядка надо записывать в виде:
дф/дх = 1/Аф|в, (2)
Л - феноменологический коэффициент размерности длины, который в работе [9] назван длиной экстраполяции. Для низкотемпературных сверхпроводников длина экстраполяции очень велика [4], что объясняет правомерность обычно используемого граничного условия: дф/дх = 0|8.
Как показано Горьковым [10], уравнения Гинзбурга-Ландау можно получить из микроскопической теории БКШ [11], при этом роль параметра порядка играет потенциал спаривания А, амплитуда которого определяет энергетическую щель в спектре возбуждений До. В отсутствие полей и токов в однородном сверхпроводнике потенциал спаривания равен энергетической щели сверхпроводника Ао, получаемой из микроскопических расчетов. В случае низкотемпературных сверхпроводников с большой длиной когерентности £(0) параметр порядка, а значит и щель в спектре возбуждений остается
равной До на границе сверхпроводника и в случае тонких пленок [4]. В этом случае длина экстраполяции стремится к бесконечности. Это обеспечивает возможность измерять щель в спектре элементарных возбуждений Д0 с помощью обычных туннельных измерений, в которых участвует поверхностный слой толщиной порядка £(0). В случае ВТСП из-за граничного условия (2) параметр порядка подавляется на границе сверхпроводника. Более того, он подавляется в тонких сверхпроводящих слоях, из которых купратные сверхпроводники и состоят. Аналогичным образом должен вести себя и потенциал спаривания Д(х), который также подчиняется уравнению (1) с граничными условиями (2). При этом уравнение для потенциала спаривания записывается в виде:
У2Д(х) + ^(Д(х) - Д3(х)) = 0. (3)
В данной работе численными методами решалось уравнение (1), описывающее параметр порядка в отсутствие магнитного поля, или аналогичное ему уравнение (3) с граничными условиями (2). Для этой цели это уравнение путем несложных преобразований приводилось к виду:
(дф/дх)2 = ¿Ш0)2 - ф(х)2 - 0.5(ф(0)4 - ф(х)4)], (4)
£ 2
а граничные условия при ж = ±¿/2 записываются в виде:
ф2(±^/2) = 1 + (£/Л)2 - [(1 + (£/Л)2)2 - 2ф2(0) + ф4(0)р, (5)
где ф - нормированное значение параметра порядка или нормированное значение потенциала спаривания ф = Д(ж)/Д0т. В данном случае Д0т - величина щели в спектре возбуждений гипотетического массивного сверхпроводника, состоящего только из слоев Си02. Это значение принимает потенциал спаривания в глубине такого сверхпроводника на большом расстоянии от поверхности. Длина когерентности £ зависит от температуры, поэтому приведенные выражения являются неявными функциями температуры и формально справедливы при любой температуре Т. Однако сами уравнения ГЛ и в частности уравнение (3) применимы лишь в пределе Т ^ Тст. Данный критерий дает весьма размытую границу применимости метода. При этом существуют примеры, когда формулы и зависимости, полученные в предельном случае, дают верные результаты и в случае, формально не удовлетворяющем рассматриваемому пределу. В этой связи в данной работе нами представлены расчеты и для температур, достаточно удаленных
от Тст. Как правило, при расчетах в рамках теории ГЛ используется следующая температурная зависимость £(Т), применимая вблизи Тст:
£
£ (0)
(6)
1 -
T
T cm
£(0) - длина когерентности при Т = 0. Кроме того, для нахождения температурной зависимости величины щели использовалось соотношение, следующее из теории БКШ:
1
кв ©D
de
N (0)Ve
th
V e2 + A0m(T)
ep
V e2 + A0m(T) 2kBT
(7)
кв - постоянная Больцмана, N(0) - плотность состояний около уровня Ферми для сверхпроводника в нормальном состоянии, вд - дебаевская температура, Уер - энергия взаимодействия электронов в куперовской паре, и е - энергия свободных электронов. В данном случае Д0т(Т) - температурная зависимость величины щели в спектре возбуждений гипотетического массивного сверхпроводника, состоящего только из слоев Си02. При этом справедливо соотношение, связывающее Дот и Тст:
2Дот(0) = 3.52кв Тст. (8)
Ранее в работах [7, 8], в которых, используя данный подход, удалось объяснить зависимость критической температуры от числа сверхпроводящих Си02 слоев, было показано, что Тст = 155 К.
Рис. 1: Схематичное изображение S-I-S контакта типа "break-junction", приготовленного на основе слоистого сверхпроводника.
Для нахождения энергетической щели в спектре возбуждений ВТСП часто используют измерения вольт-амперных характеристик туннельных контактов типа "break junction". Контакты данного типа формируются на микротрещине, поперечной плоскости CuO2 слоев. Схематично контакты этого типа показаны на рис. 1. Электропроводимость возникает в этом случае из-за туннелирования электронов в плоскости CuO2 слоев через энергетический барьер, возникающий в области микротрещины. При расчете туннельных характеристик контактов типа "break junction" использовалась обычная формула для S-I-S контактов, следующая из полупроводниковой модели [12]. При этом сверхпроводящие CuO2 слои, отмеченные буквой S, разделены между собой несверхпроводящими прослойками. Как показано на рис. 1, туннельный контакт образуется в результате разлома сверхпроводящих слоев. При этом электрический ток Iss направлен вдоль оси у. В процессе проведения расчетов полагается, что при формировании туннельного контакта сдвиг CuO2 слоев не возникает. Учитывая, что из-за граничных условий (2) параметр порядка ф и потенциал спаривания А зависят от координаты x, ток, протекающий через туннельный контакт, также зависит от этой координаты:
ISS(x) = k / [(E - e^A(x)2], (E2 -Ax)-^ f - eV"> - f (E(9)
где k - размерный коэффициент, e - заряд электрона, E - энергия возбуждений в сверхпроводниках или энергия электронов в полупроводниковой модели S-I-S контактов, f (E) - функция Ферми и V - приложенное к контакту напряжение. Для нахождения полного тока, текущего через указанный туннельный контакт, и I-V характеристик необходимо проинтегрировать ток Iss(x) по всему сечению туннельного контакта.
3. Результаты и обсуждение. Поскольку целью нашей работы является изучение влияния новых граничных условий на свойства купратных ВТСП, при проведении расчетов мы полагали, что сверхпроводящая пластина образована близко расположенными CuO2 слоями, число которых (n) в каждой элементарной ячейке может меняться от 1 до 3. Параметры Tc и Л брались близкими к величинам, использовавшимися в работах [7, 8]. На рис. 2(а) и 2(б) показаны примеры распределения параметра порядка по толщине сверхпроводящего слоя, рассчитанные с помощью решения уравнения (4) с граничными условиями (5). Начало координат по оси абсцисс соответствует центру пластины. Рис. 2(а) соответствует n = 1, а рис.1(б) - n = 3. Как видно из рисунка, новые граничные условия приводят к подавлению параметра порядка и, следовательно, потенциала спаривания на границах пластины. Причем более сильное подавление наблюдается в случае тонкой пластины с n = 1, вместе с тем в толстой пластине с n = 3 наблюдается
значительно большее изменение параметра порядка. Толщина одного СиО слоя полагалась равной 2.4 А. Таким образом, в данной работе уравнения макроскопической теории Г Л переносятся на микроскопический диапазон длин, что требует дополнительного рассмотрения и обоснования. Однако такое обоснование выходит за рамки настоящей работы.
Рис. 2: Примеры распределения параметра порядка по толщине сверхпроводящего слоя, рассчитанные с помощью решения уравнения (4) с граничными условиями (5). В данном случае используются параметры висмутовых сверхпроводников типа Ы2Бт2 Сап-1 Сип 04+2п. Рис. 2 (а) соответствует сверхпроводящему слою с п = 1 (одна плоскость Си02 в элементарной ячейке), а рис. 2 (б) - п = 3 (три плоскости Си02).
Пример рассчитанных с помощью соотношения (9) I(V) зависимостей показан на рис. 3. Дт(0) - величина щели, следующая из теории БКШ, массивного сверхпроводника с критической температурой Тст, равной 155 К, которые связаны между собой соотношением (8). Главным отличием рассчитанных таким образом I(V) зависимостей является увеличение по напряжению ширины области, в которой происходит резкое увеличение проводимости туннельного контакта. Это объясняется зависимостью потенциала спаривания Д от координаты х, примеры которой показаны на рис. 2(а) и 2(б).
На рис. 4(а) и 4(б) показаны примеры температурных зависимостей усредненного по толщине пластины потенциала спаривания (Д(х)). Из уравнения (7) следует, что вблизи критической температуры зависимость Д0т (Т) ведёт себя как (Тст — Т)1/2. При конечных значениях Л (в нашем случае Л = 10), как показывают расчеты, корневой вид температурной зависимости усредненного по толщине пластины потенциала спаривания (Д(х)) ^ (Тс — Т)1/2 сохраняется. Здесь стоит отметить, что данный результат
Рис. 3: Пример рассчитанных с помощью соотношения (9) I(V) зависимостей изучаемых туннельных контактов. В данном случае используются параметры висмутовых сверхпроводников типа Ы2 Бт2 Са2 Си3 Ою. В частности, предполагалось, что Тс(п = 3) = 115 К.
10
0 5 10 15 20 25 0 20 40 60 80 100
Г, К Г, К
Рис. 4: Верхние кривые на обоих рисунках показывают примеры температурных зависимостей усредненного по толщине пластины потенциала спаривания (А(х)). Рис. 4(а) соответствует сверхпроводящему слою с п =1, а рис. 4(б) - п = 3. Нижние кривые на обоих рисунках показывают температурные зависимости величины энергетической щели Д(Т), получаемые в теории БКШ.
не является тривиальным. Вид температурной зависимости задается температурными зависимостями длины когерентности £ и величины щели в спектре возбуждений гипотетического массивного сверхпроводника, состоящего только из слоев CuO2 вблизи
Тст. В случае учета влияния границы (конечные значения Л) критическая температура пластины уменьшается, при этом в окрестности этой температуры £(Т) и Д0т(Т) в силу соотношений (6), (7) имеют конечные значения. В работе [5] такой характер температурных зависимостей объясняется с помощью учета дополнительного поверхностного члена в функционале свободной энергии Гинзбурга-Ландау, который и приводит к граничным условиям вида (2). В этой работе получено следующее соотношение в обычных размерных единицах для температурной зависимости параллельного поверхности пластины критического магнитного поля вблизи критической температуры:
Hc
л/3Фо Г 1 2 I0'5 ^3Ф0 ЛТ1п0'5
nd
Leco лdJ
ndi (0)
Tc — T T
-L cm
:iq)
где Ф0 - квант магнитного потока. Формула получена в предположении, что толщина пластины много меньше длины когерентности £. Наши численные расчеты показывают, что такой корневой характер зависимости Д(Т) сохраняется в широком диапазоне температур.
Для сравнения на рис. 4(а) и 4(б) показаны температурные зависимости величины энергетической щели Д(Т), получаемые в теории БКШ из соотношения (7), а Д(0) получается из соотношения (8). При этом вместо Tcm используется Tc(n). Рис. 4(а) соответствует n = 1, а рис.1(б) - n =3. Обращает на себя внимание, что отношение 2(Д(Х))
--—— существенно превышает 3.52, которое получается в теории БКШ. При n = 1
k в Tc(n)
это отношение равно 8.57, а при n = 3 — 4.07. Вычисления, проведенные в нашей работе
при n = 2, показывают, что это отношение также существенно больше 3.52 и равно
2Д^ = 0)
4.62. Отметим, что увеличение отношения —--——— неоднократно наблюдалось на
к в Tc(n)
эксперименте [13-16].
В заключение отметим, что в данной работе найдено распределение потенциала спаривания по толщине сверхпроводящих CuO2 слоев в купратных ВТСП. Установлено, что потенциал спаривания в них существенно подавляется из-за влияния несверхпроводящих слоев, что приводит к уменьшению критической температуры этих сверхпроводников. Рассчитаны температурные зависимости эффективной энергетической щели и вольт-амперные характеристики туннельных контактов типа "break junction", приготовленные из этих сверхпроводников. Произведено сравнение полученных зависимостей с аналогичными зависимостями, следующими из теории БКШ. Было показано, что в туннельных исследованиях на ВТСП возможно измеряется не щель в спектре элементарных возбуждений Д0т, а некоторое усредненное значение потенциала спаривания
(Д(х)) и наоборот, наблюдаемая в некоторых экспериментах псевдощель - это следы реальной щели Д0т.
ЛИТЕРАТУРА
[1] W- E- Lawrence and S. Doniach, Proc. of Conference LT-12, Kyoto, 1970 (Acad- Press of Japan, Kyoto, 1970), p. 361.
[2] В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау, ЖЭТФ 20, 1064 (1950).
[3] П. И. Безотосный, С. Ю. Гаврилкин, А. Н. Лыков и др., Краткие гообщения по физике ФИАН 41 (6), 3 (2014).
[4] P. G. De Gennes, Rev. Mod. Phys. 36, 225 (1964).
[5] J. Simonin, Phys. Rev. B 33, 7830 (1986).
[6] Р. О. Зайцев, ЖЭТФ 48, 1759 (1965).
[7] A. N. Lykov, Phys. Lett. A 372, 4747 (2008).
[8] A. N. Lykov, International Journal of Modern Physics B 23, 4269 (2009).
[9] E. A. Aндрюшин, В. Л. Гинзбург, А. П. Силин, УФН 163, 105 (1993).
[10] Л. П. Горьков, ЖЭТФ 36, 1918 (1959).
[11] J. Bardeen, L. N. Cooper, and J. R. Schrieffer, Phys. Rev. B 108, 1175 (1957).
[12] J. Nicol, S. Shapiro, and P. H. Smith, Phys. Rev. Lett. 5, 461 (1960).
[13] Я. Г. Пономарев, УФН 172 , 705 (2002).
[14] S. I. Vedeneev, A. G. M. Jansen, P. Sanuely, et al., Phys. Rev. B 49, 9823 (1994).
[15] S. I. Vedeneev, A. G. M. Jansen, and P. Wyder, Physica B 300, 38 (2001).
[16] S. I. Vedeneev and D. K. Maude, Phys. Rev. B 72, 144519 (2005).
Поступила в редакцию 20 октября 2014 г.
