Осесимметричная задача о фильтрации газа в добычную скважину Текст научной статьи по специальности «Энергетика и рациональное природопользование»

© Г.Г. Каркашадзе,

Л.Г. Каркашадзе 2002

УДК 53.072:622.232.5

Г.Г. Каркашадзе, Л.Г. Каркашадзе

ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА О ФИЛЬТРАЦИИ ГАЗА В ДОБЫЧНУЮ СКВАЖИНУ

П

ри разработке газоносных угольных пластов весьма актуальной является проблема извлечения метана из неразгруженных пластов с помощью добычных скважин.

В настоящее время сформулированы фундаментальные научные положения, определяющие природное состояние неразгруженных угольных пластов [1, 2, 3]. Предполагается, что газоносные угольные пласты в нетронутом состоянии ниже зоны выветривания непроницаемы - в них нет фильтрационных каналов. Все отдельности угля, образованные существующими трещинами, порами плотно прижаты друг к другу, исключая возможность миграции газа. Проницаемые зоны образуются вследствие процессов деформирования угольного пласта вблизи горных выработок, скважин, а также за счет предварительного воздействия на пласты, например, при гидравлической обработке. Уголь накапливает метан в различных формах, при этом свободный метан внутри трещин, пор в естественных условиях залегания составляет 2-12 %; адсорбированный газ на поверхностях границ сплошности -8-16 %; твердый газоугольный раствор в межмолекулярном пространстве - 70-80 %; химически сорбированный газ - 12 %Разгрузка такой среды от горного давления или целенаправленная гидравлическая обработка пласта приводит к увеличению зоны проницаемости и объединению фильтрационных каналов, что в свою очередь ведет к увеличению дебита метана в скважину.

Рассмотрим уравнения, описывающие процесс перемещения газа в трещиновато-пористой угольном пласте. Фильтрация газа в трещиновато-пористой среде по направлениям х, у, z описывается законом Дарси. При условии пренебрежения массовыми силами и силами инерции линейные уравнения фильтрации имеют вид [4, 6]:

С дР Vх ~---------;

ц дх

С дР ц ду ’

С дР ц ді

V,,, - скорости движения в направлениях х, у, I,

, Су , С -коэффициенты проницаемости газа в соот-

vy =

где Vx ;

м/с; Cx

(2.1)

ветствующих направлениях, м ; Р - давление газа, Па; и -динамическая вязкость газа, Па-с.

Уравнение неразрывности для газов, полученное на основе закона сохранения массы в элементарном объеме, через грани которого проходит газ, имеет вид [4, 6]:

9

9

9

9

— ( PgVx ) + — ( PgVy ) + — ( PgVz ) = -П— ( Pg)

9у

9z

плотность газа, кг/м ; g = 9,8 время,

дх , (2.2) где с

м/с2; П - пористость среды; t -сек.

Предположим, что фильтрация газа происходит в изотермических условиях и воспользуемся уравнением состояния идеального газа:

(2.3)

Иси 4

где R - универсальная газовая постоянная, R = 8,31Дж/(моль-К); Т - абсолютная температура газа, К; Иси 4 - молекулярный вес метана, Иси 4=16 г/моль.

Подставив (2.1) в левую часть, а (2.3) в правую часть уравнения неразрывности (2.2), получим следующее нелинейное дифференциальное уравнение фильтрации

9t

P =-

P

RT

C

цП

i'P

4'P

+Ц p 9P

9z К 9z

9P

=иг- а4)

Воспользуемся известным [4] приемом линеаризации дифференциального уравнения (2.4), позволяющим с достаточным приближением перейти к более простому уравнению параболического типа.

С этой целью воспользуемся дополнительным параметром и положим

и = Р 2 или (Р = и 0-5). (2.5)

Подставив (2.5) в (2.4), получим:

C г~

------Vu

/иП

Л

+

92u 2

+

9^Л

9x 9у

9z

9u

9t

Перепишем уравнение (2.6) в другом виде 9u

f92u

9x2 9y2 9z

C r =------Vu .

+

92u

2

+

92u^

где a

2

9t

(2.6)

(2.7)

иП

(2.8)

Прием линеаризации основан на приближении: искусственно заменив переменную величину 4й на постоянное значение, получаемое как среднее арифметическое от величины давлений на свободной границе и на бесконечности, получим

P0 + Р<х

4й!

2

(2.9)

С учетом (2.9) коэффициент а в формуле (2.8) принимается величиной постоянной, соответствует по смыслу коэффициенту пьезопроводимости, обозначается - а и рассчитывается по формуле

(2.10)

ИП 2

Как показывают результаты сопоставления точного и приближенного решений уравнения (2.4) и (2.7), при движении жидкости или газа из массива в сторону свободной поверхности (дегазация или осушение) различие между ни-

*

a

a

Рис. 1. Дебит метана в течение времен

ми не существенно, что дает возможность использовать линейное уравнение параболического типа:

( Л

д и д и д и

дх2 ду2 ді

2

,2

ди

дt

(2.11)

В осесимметричной постановке задачи, описывающей процесс перемещения газа из угольного пласта в скважину, в полярной системе координат, уравнение (2.11) имеет вид:

а д ( ди Л ди

------1 г-----1^— . (2.12)

г дг І дг I дt

Соответствующее решение в общем виде [4, 6]:

,4 К

и(г, і) = С1 + С2 е~

С

(2.13)

где

Я =

4аі

безразмерная переменная.

Рассмотрим задачу со следующими краевыми условиями. Начальное условие: давление газа в угольном пласте в начале процесса распределено равномерно и составляет Р?, т.е.

и(г, 0) = (Р„)2. (2.14)

Граничные условия: давление газа на стенках скважины радиусом г0 и равно Р0 , т.е.

и(го Д) = (Ро)2; (2.15)

на бесконечности - давление газа монотонно приближается к первоначальному значению, т.е. ди( )

дг

- = 0 и и(к>,і)=(Р„)

(2.16)

При сформулированных краевых условиях частное решение имеет вид:

Ei (- Я )

9 = 1-----т-----\ ,

ЕІ Я о)

где Еі(-Я) и Еі(-Ко) - интегралы Эйлера [5]: Еі(- х) = -}е^ ^ ,

(2.17)

(2.18)

для которых при малых значениях параметра х(х<0,1) справедливо приближение

Ег(-х) хЫух, (2.19)

где у- постоянная Эйлера, у = 1,781.

.2

безразмерный параметр.

Я = Го

4at

Дебит метана из скважины радиусом г0 на участке угольного пласта длиной I с учетом полученных выражений определяется по формуле:

* 1,8 8 1,6 * 1,4 3, 1,2 ?! 1 Ф 2 0,8 5 0,6 «и 0,4 13 0,2 0 —■

1 2 3 4 5 время , год

Проницаемость 1мД —■—Проницаемость 0,5Мд

2 - Ро2)

-Я0

(2.20)

1п ЇЯ 0

Расчетная формула для безразмерного давления и при-

нимает вид

(Я_с 9 =- і Я

1п

(2.21)

1п УЯ о

Из анализа зависимости (2.20) следует, что массовый дебит метана с течением времени уменьшается. С увеличением проницаемости угольного пласта дебит возрастает по линейной зависимости. Массовый дебит обратно пропорционален коэффициенту вязкости и температуре газа. С увеличением радиуса скважины дебит метана возрастает. Дебит метана также возрастает с увеличением пластового давления газа и с уменьшением давления на контуре добычной скважины.

На основе описанной модели в качестве примера, вычислим массовый дебит метана к скважине, пробуренной по всей мощности угольного пласта I = 6 м через 5 суток ^ = 5-24-3600 с) после начала ее функционирования, если давление на контуре скважины Р0 = 50-105 Па, а пластовое давление газа Р„ = 70-105 Па. Радиус скважины г0 = 0,10 м. Коэффициент проницаемости угля С = 0,5 м Д = 0,5-10-15 м2, динамическая вязкость метана и = 1,08-10-5 Па-с, эффективная пористость угля П = 0,03, молекулярный вес метана

ИСИа =16 г/моль, температура газа Т = 300 К.

При заданных параметрах коэффициент пьезопроводимости составляет:

+

+

а

2

Г

е

Безразмерный параметр Я0:

Я 0 =

Г0

0,12

4аі 4 • 0,0093 •( 5 • 24 • 3600 )

= 6,26 -10"

Принимая во внимание, что Я0 << 0,1 расчет дебита производим по формуле (2.20):

2 = -2пЯ - иСИ± и - Р02 =

И ЯТ Х ’ 1пуЯ0 = -2*-6- 0,5-10-15 -16-10-1 (702 -502)-Ш10 - ехР(-6,26-10-7) =

1п( 1,781 • 6,26-10^)

1,08 -10-5 8,31- 300 = 0,0196 кг / с = 1,18 кг / мин

Плотность метана в нормальных условиях составляет 0,67 кг/м3, а соответствующий объемный дебит метана -1,76 нм3/мин, что находится в удовлетворительном соответствии с фактическими производственными результатами.

На рис. 1 представлена зависимость массового дебита метана из скважины в течение времени при двух величинах проницаемости пласта: при 0,5 и 1,0 мД. Исходные данные такие же, как в приведенном выше примере расчета. Дебит метана изменяется незначительно: различие между началом эксплуатации и пятым годом не превышает 30 %. Большое влияние на этот процесс оказывает проницаемость угля: зависимость прямо пропорциональная. Очевидно, с точки зрения увеличения дебита метана из скважины, необходимо стремиться к повышению коэффициента проницаемости пласта.

На рис. 2 представлено влияние давления газа или жидкости на контуре скважины на величину дебита метана. Наибольший дебит метана достигается при атмосферном давлении, его добиваются откачкой воды из скважины. Так, например, предположим, что при столбе воды 500 м, что соответствует гидростатическому давлению 50 атм, дебит в начале эксплуатации составляет 1,18 кг/мин. Если из скважины откачать воду, то дебит увеличится до величины 2,41 кг/мин, т.е. возрастет в почти в два раза.

Рис. 2. Дебит метана в зависимости от давления на контуре скважины

увеличения радиуса скважины в месте ее расположения в пласте. Эта технологическая операция представляет собой непростую задачу и на практике трудноосуществима. Как свидетельствуют расчеты, если технологическими операциями достичь увеличения радиуса скважины от 0,1 до 0,5 м, то в этом случае следует ожидать увеличения дебита метана от 1,18 до 1,54 кг/мин, т. е. примерно на 30 % (рис. 3).

В отличие от проницаемости угля, давления на контуре скважины и ее радиуса пористость угля является параметром, н е поддающемся управлению. Этот параметр зависит от глубины залегания пласта (чем больше глубина, тем меньше пористость) и геологических условий формирования месторождения. При прочих равных условиях с увеличением пористости от 1 до 5 % дебит метана увеличивается примерно на 13 %.

Дебит метана линейно зависит от длины газоприемного канала в скважине, равного мощности пласта. Мощность пласта, также, фактор неуправляемый, однако не исключены геологические условия, при которых метан может фильтроваться из пород кровли и почвы. Тогда, увеличив целенаправленно длину газоприемного канала в скважине, можно существенно повысить дебит метана.

ю

ш

Ч

Давление на контуре скажины, МПа

Через 5 суток

-через 1 год

7

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пучков Л.А. Реальность промысловой добычи метана из неразгруженных угольных пластов. - М.: Изд-во МГГУ, 1996, 23 с

2. Сластунов С.В. Заблаговременная дегазация и добыча метана из угольных месторождений. - М.: Изд-во МГГУ, 1995, 441 с.

3. Бобин В.А., Гурьянов В.В., Кузнецов С.В., и др. Физические основы скважинной добычи метана из неразгруженных

угольных пластов. М., ГИАБ, 1999, №1, с. 142-144.

4. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод.- М.: Наука, 1977. -644 с.

5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А.: Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - 13-е изд., испр.-М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат.лит., 1986. -544 с.

6. Добыча, подготовка и транспорт природного газа и конденсата. Справочное руководство в 2-х томах. Том 1/Под ред. Ю.П. Коротаева, Р.Д. Маргулова - М.: Недра, 1984, 360 с.

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -----------------------------------------------------------------------------------------------

Каркашадзе Гиоргий Григолович — профессор, доктор технических наук, зам. проректора по научной работе, Московский государственный горный университет.

Каркашадзе Л.Г. — аспирантка, Московский государственный горный университет.