Оптимизация прямоугольных ребристых тонких пластин с заданной второй частотой собственных колебаний при управлении высотой поперечного сечения рёбер Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.045

МОИСЕЕНКО РОСТИСЛАВ ПАВЛОВИЧ, докт. техн. наук, профессор, dec. sf@tsuab. ru

Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ РЕБРИСТЫХ ТОНКИХ ПЛАСТИН С ЗАДАННОЙ ВТОРОЙ ЧАСТОТОЙ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ВЫСОТОЙ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ РЁБЕР

Алгоритм оптимизации прямоугольных ребристых пластин при ограничении второй частоты собственных колебаний основан на использовании особого свойства оптимальности ребристых пластин. Ограничение второй частоты производится с помощью уравнения частот, в которое подставляется заданное значение. Чтобы заданное значение было второй частотой, определяется второй по величине корень уравнения частот. Этот корень является высотой поперечного сечения. Традиционное в таких задачах условие ортогональности собственных функций не используется, что значительно упрощает алгоритм.

Ключевые слова: ребристая пластина; оптимизация; вторая частота собственных колебаний; корень уравнения частот.

MOISEYENKO, ROSTISLAV PAVLOVICH, Dr. of tech. sc., prof., dec. sf@tsuab. ru

Tomsk State University of Architecture and Building,

2 Solyanaya sq., Tomsk, 634003, Russia

OPTIMIZATION OF RECTANGULAR RIBBED PLATES WITH SPECIFIED SECOND NATURAL FRIQUENCY OF OSCILLATIONS IN THE HEIGHT CONTROL OF CROSS SECTION RIBS

The algorithm of optimization of rectangular ribbed plates at limiting the second frequency of natural vibrations is based on using the special property of ribbed plates optimality. Limitation of the second frequency is performed by using the equation of frequencies with the given value. To make it as the second frequency the second root of the frequencies equation according to the value is defined. This root is a height of the cross section. Traditional condition of the orthogonality isn't used in such case that greatly simplifies the algorithm.

Keywords: ribbed plate; optimization; the second frequency of natural vibrations; the root of frequency equation.

Теоретические основы алгоритма оптимизации прямоугольных тонких ребристых пластин с заданной первой частотой собственных колебаний при управлении высотой поперечного сечения рёбер представлены в статье [1].

Для пластины из упругого материала постоянной толщины h, подкреплённой п рёбрами прямоугольного поперечного сечения (hr - высота сечения, br - заданная ширина сечения, одинаковая для всех рёбер), сформулирована задача оптимизации:

© Р.П. Моисеенко, 2012

минимизировать ^ = 2 Ьгі (1)

і=1

при ограничении В = 0, (2)

где В - определитель уравнения частот с подставленным значением частоты ш, которая должна быть второй (ш2 = ш).

Уравнение (2) составляется энергетическим методом [2]:

и0-АТ0 + В (И3 ¿тД +ХИ^^т1Т1 | =0, (3)

V /=1 /=1 )

где В - безразмерный параметр, через который выражается ширина ребра (В = —); 1Х - длина кромки пластины, параллельной оси х; Н - безразмерный

1Х

параметр, через который выражается относительная высота ребра

— г/

(Иi = Ит1; Иi = —); и0 - матрица потенциальной энергии деформации план

стины; Т0 - матрица кинетической энергии пластины; и - матрица потенциальной энергии деформации /-го ребра; Т/ - матрица кинетической энергии

2_2

/-го ребра; А = р—Х-^; Впл - цилиндрическая жёсткость пластины; р - плот-

Впл

ность материала пластины.

Решение задачи оптимизации методом Лагранжа приводит к условию

дВ

дН,

= СО^ . (4)

Это условие представляет собой особое свойство оптимальной системы: в ребристой пластине минимального веса при заданной частоте собственных колебаний высоты поперечных сечений рёбер распределяются между рёбрами так, чтобы производные от определителя по высоте любого ребра были одинаковыми.

Условие (4) реализуется в виде рекуррентной формулы

ВИ(1) - ВИ(1)

т ;+1)=т 1) + кВИ/—ВИ—, (5)

> > ВИ(1)

где 1 - номер итерации; к < 1 [3]; ВН/ - производная от определителя по высоте сечения /-го ребра; ВН - среднее значение всех производных.

Коэффициенты т/ и параметр Н определяются в результате итерационного процесса.

1. Начальное приближение т/ = 1.

2. Из уравнения (3) определяется корень Н, обеспечивающий выполнение условия ш2 = ш (или А2 = А).

3. Вычисляются значения производных ВН, ЮН [4].

4. По формуле (5) вычисляются коэффициенты т/.

5. Возврат к пункту 2.

При выполнении пункта 2 обычный способ ограничения к-й частоты связан с использованием (к - 1) условий ортогональности собственных форм колебаний [5]. В представленном алгоритме заданный второй номер частоты обеспечивается тем, что из уравнения частот определяется второй по величине корень. Соответствие номера корня и номера частоты проверяется расчётом и в связи с этим с инженерной точки зрения не требует доказательства. С математической точки зрения доказательство может быть основано на теореме о минимаксных свойствах собственных частот [6]. Наибольшему корню (геометрическому параметру) векового уравнения соответствует максимум функции Рэлея, поэтому заданная частота является первой. Второму по величине корню соответствует меньшее значение функции Рэлея, и заданная частота не может быть первой, а только второй и т. д. Математически строгое доказательство сформулированной теоремы о соответствии номеров корней и номеров частот собственных колебаний требует специального рассмотрения и выходит за рамки данной статьи.

Замена условий ортогональности собственных форм колебаний вычислением второго корня упрощает алгоритм, не уступая в точности вычислений.

Пример. Рассчитана пластина, показанная на рисунке. Исходные данные взяты из статьи [1]. Кромки пластины опираются шарнирно. Отношение сторон - 1У/1х = 1/3. Относительные координаты рёбер: х1 = 0,25; х2 = 0,45; х3 = 0,6; х4 = 0,8. Сосредоточенная масса равна половине массы пластины. Координаты сосредоточенной массы: хт = 0,254; ут = 0,251у. Относительная ширина поперечного сечения ребер В = 0,04. Функция прогибов

р в

'рч '

^ = аРЧ 81И

р=1 ч=1

81И

( \ дпу

1у

(6)

Рис. 1. Расчётная схема пластины

В расчете принято Р = 20, Q = 10. Собственные значения для пластины без ребер представлены в табл. 1 [1].

Таблица 1

Собственные значения для пластины без рёбер

х0 Х2 х3 х4 х5

41,637 122,73 277,465 548,428 625

Пусть заданное собственное значение равно X = 600. В рекуррентной формуле (5) принято к = 0,005. Корни уравнения (3) (НХ) при тг- = 1 представлены в табл. 2.

Таблица 2

Корни уравнения частот

ИХ1 ИХ2 ИХ3 ИХ4

3,6005 2,3448 2,1328 1,2147

Для А1 = Х = 600, параметры оптимальной системы приведены в табл. 3-5 [1].

Таблица 3

Коэффициенты т ; оптимальной системы

т(250) т2250) т3250) т4250)

1,372761 0,824569 0,918918 0,883751

Таблица 4

Высота ребер оптимальной системы

Н Н\ Н2 Н И4

2,6369 3,6198 2,1743 2,4231 2,3303

Таблица 5

Собственные значения для оптимальной пластины

^2 Х3 Х4 Х5

600 605,94 634,33 857,55 1069,1

Сравнение ИХ\ из табл. 2 и Н из табл. 4 показывает, что в результате оптимизации корень 3,6005 уменьшился до корня 2,6369, что составляет 26,76 % экономии материала.

При условии = Х = 600 характеристики начального приближения представлены в табл. 6, 7.

Таблица 6

Собственные значения для пластины с одинаковыми рёбрами

^2 Х3 Х4 Х5

230,7 600 673,04 818,86 1021,67

Таблица 7

Производные от определителя БИі в начальном приближении

БИ би2 БИ3 би4

-1,6 -5,8 -27,37 -40,47

Значения производных в табл. 7 в значительной степени отличаются друг от друга, поэтому условие оптимальности (4) не выполняется. Алгоритм оптимизации при 300 итерациях даёт результаты, представленные в табл. 8-11.

Таблица 8

Коэффициенты ті оптимальной системы

т(300) т2300) т3300) т300)

0,38 1,137 1,264 1,218

Таблица 9

Высота рёбер оптимальной системы

Н Н\ Н2 Н3 И4

1,916189 0,72815 2,1787 2,422 2,3339

Таблица 10

Производные от определителя ПИі в оптимальном варианте

БИі би2 БИ3 би4

-7,31 -7,42 -7,14 -7,42

Таблица 11

Собственные значения для оптимальной пластины

^2 Х3 Х4 Х5

56,13 600 607,14 635,56 873,72

Второй корень начального приближения (ИХ2 = 2,3448) в результате оптимизации уменьшился до величины Н = 1,916189. Экономия материала по сравнению с начальным приближением составляет 18,27 %.

Для сравнения оптимальных проектов произведён расчёт при В = 0,02. Характеристики оптимального проекта представлены в табл. 12-15.

Таблица 12

Коэффициенты ті оптимальной системы

т(300) т2300) т3300) т300)

0,376465 1,1338 1,2567 1,222

Таблица 13

Высота рёбер оптимальной системы

Н Н Н2 Нз H4

2,28475 0,86 2,59 2,8712 2,792

Таблица 14

Производные от определителя DHi в оптимальном варианте

DH1 dh2 DH3 dh4

-3,3815 -3,2456 -3,4212 -3,3552

Таблица 15

Собственные значения для оптимальной пластины

^2 X3 X4 X5

55,222 600 606,26 641,42 894,73

Сравнить оптимальные проекты можно по произведениям параметров Н и В. При В = 0,04 ВН = 0,07664; при В = 0,02 ВН = 0,0457. Экономия материала по второму варианту - 40 %.

Выводы

1. Методика согласования номера заданной частоты с номером корня уравнения частот имеет явное преимущество по сравнению с использованием свойства ортогональности собственных форм колебаний.

2. Разработанный алгоритм оптимизации достаточно надёжен при расчёте несимметричных систем. Свойство оптимальности (постоянство производных от определителя по геометрическому параметру) обеспечивает сходимость алгоритма.

3. При управлении высотой рёбер уменьшение одинаковой ширины сечения приводит к существенной экономии материала. Для достижения максимальной экономии следует назначать в качестве расчётного нижний предел допустимого изменения ширины поперечного сечения.

Библиографический список

1. Моисеенко, Р.П. Оптимизация прямоугольных ребристых пластин с заданной первой частотой собственных колебаний при управлении высотой рёбер / Р.П. Моисеенко // Строительная механика и расчёт сооружений. - 2011. - № 3. - С. 66-69.

2. Александров, А.В. Сопротивление материалов. Основы теории упругости и пластичности / А.В. Александров, В. Д. Потапов. - М. : Высш. шк., 2002. - 400 с.

3. Мышкис, А.Д. Лекции по высшей математике / А.Д. Мышкис. - М. : Наука, 1973. - 640 с.

4. Большой энциклопедический словарь. Математика. - М. : Большая российская энциклопедия, 1998. - С. 615.

5. Троицкий, В.А. Оптимизация формы упругих тел / В.А. Троицкий, Л.В. Петухов. - М. : Наука, 1982. - 432 с.

6. Гантмахер, Ф.Р. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем / Ф.Р. Гантмахер, М.Г. Крейн. - М. : Гостехиздат. 1950. - 359 с.