Оптимизация прямоугольных ребристых тонких пластин с заданной второй частотой собственных колебаний при управлении шириной поперечного сечения рёбер Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.045

МОИСЕЕНКО РОСТИСЛАВ ПАВЛОВИЧ, докт. техн. наук, профессор, dec. sf@tsuab. ru

Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ РЕБРИСТЫХ ТОНКИХ ПЛАСТИН С ЗАДАННОЙ ВТОРОЙ ЧАСТОТОЙ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРИ УПРАВЛЕНИИ ШИРИНОЙ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ РЁБЕР

Представлен алгоритм оптимизации прямоугольных ребристых пластин при ограничении второй частоты собственных колебаний. Алгоритм основан на использовании особого свойства оптимальности ребристых пластин. Традиционное в таких задачах условие ортогональности собственных функций заменяется вычислением соответствующего корня уравнения частот, что значительно упрощает алгоритм.

Ключевые слова: ребристая пластина; оптимизация; вторая частота собственных колебаний; корень уравнения частот.

MOISEJENKO, ROSTISLAV PAVLOVICH, Dr. of tech. sc., prof., dec. sf@tsuab. ru

Tomsk State University of Architecture and Building,

2 Solyanaya sq., Tomsk, 634003, Russia

OPTIMIZATION OF RECTANQULAR RIBBED PLATES WITH SPECIFIED SECOND NATURAL FRIQUENCY OF OCILLATION AT WIDTH CONTROL OF RIBS’ CROSS SECTION

The paper presents algorithm for optimization of rectangular ribbed plates with specified second natural frequency. The algorithm is based on using the special optimum property. Traditionally, the problems of orthogonality condition are replaced by calculation of determinant root, which greatly simplifies the algorithm.

Keywords: ribbed plate; optimization; the second natural frequency; root of the equation of frequency.

Подробно теоретические основы алгоритма оптимизации прямоугольных тонких ребристых пластин с ограничением по первой частоте собственных колебаний представлены в статье [1]. В краткой форме результаты статьи [1] для решения поставленной задачи с ограничением по второй частоте сводятся к следующему.

Для пластины из упругого материала постоянной толщины h, подкреплённой п рёбрами прямоугольного поперечного сечения (hr - высота сечения, br - ширина сечения), сформулирована задача оптимизации:

n

минимизировать F = Z bri (1)

i=1

при ограничении D = 0, (2)

© Р.П. Моисеенко, 2012

где D - определитель уравнения частот с подставленным значением частоты ш , которая должна быть второй (а 2 = ш); В,- - относительная ширина поперечного сечения ребра (B, = br / lx ); lx - длина кромки пластины, параллельной оси х. Рёбра - одинаковой заданной высоты и длины.

Определитель D составляется энергетическим методом. Потенциальная и кинетическая энергии пластины записаны в соответствии с теорией Кирхгофа [2], для рёбер использована математическая модель стержня [3]. Момент инерции поперечного сечения рёбер определяется по рекомендации С.П. Ти-b h3

мошенко (Iz = r r ) [4].

Решение задачи оптимизации методом Лагранжа приводит к условию

dD

---= const. (3)

dB,

Это условие представляет собой особое свойство оптимальной системы: в ребристой пластине минимального веса при заданной частоте собственных колебаний ширина рёбер распределяется между рёбрами так, чтобы производные от определителя по ширине любого ребра были одинаковыми.

Уравнение (2) имеет следующую структуру:

q П _ П

U0 - kT0 + B\H3 Z m,U, +Ш Z m,T, i=1 i=1

= 0, (4)

где В - безразмерный параметр, через который выражается ширина ребра

н

(В/ = Вт/); Н - относительная высота ребра (Н = —); и0 - матрица потенци-

н

альной энергии деформации пластины; Т0 - матрица кинетической энергии пластины; и/ - матрица потенциальной энергии деформации /-го ребра; Т -

” ■ к Т Р Н^Х ®2 п

матрица кинетической энергии /-го ребра; к = х—; Бпл - цилиндрическая

А,л

жёсткость пластины.

Условие (3) реализуется в виде рекуррентной формулы

(,+1) (,) БВ^7) - БВ(7)

т( = т( + к--------------—----, (5)

1 1 БВ(7)

где7 - номер итерации; к < 1 [5]; БВ1 - производная от определителя по ширине /-го ребра; БВ - среднее значение всех производных.

Коэффициенты т/ и параметр В определяются в результате итерационного процесса.

1. Начальное приближение т/ = 1.

2. Из уравнения (4) определяется корень В, обеспечивающий выполнение условия 0 2 = Ш (или к2 = к ).

3. Вычисляются значения производных БВ, БВ [6].

4. По формуле (5) вычисляются коэффициенты т.

5. Возврат к п. 2.

В этой последовательности требуются подробные пояснения к п. 2. Если накладывается ограничение на частоту с номером к, то обычный способ выполнения этого ограничения связан с использованием условий ортогональности (к - 1) собственных форм колебаний [7]. В представленном алгоритме заданный второй номер частоты обеспечивается тем, что из уравнения частот определяется второй по величине корень. Эта замена условий ортогональности собственных форм колебаний вычислением второго корня упрощает алгоритм, не уступая в точности вычислений.

Частные, но не менее важные особенности алгоритма обсуждаются в приведённом ниже примере.

Пример. Расчётная схема пластины представлена на рисунке.

Расчёт проведён с использованием функции прогибов

Р 2 рпх ^ ( \ Япу

м = 2 р=1 2 ард д=1 8Ш V 1х У 8Ш V 1У У

при Р = 20, 2 = 10.

Принято Н = 3. Для определения значения X рассчитана пластина без рёбер. Пять собственных значений X для пластины без рёбер представлены в табл. 1.

Таблица 1

Собственные значения пластины без рёбер

х°° ^3 х4 х5

100 169 3°4 6°5 1156

Так как пластина имеет четыре ребра, установленных по узловым линиям пятой формы собственных колебаний, можно принять X = 1000, т. е. ограничение по второй частоте собственных колебаний принимает вид: X2 = 1000.

В общем случае решение вопроса о количестве и расстановке рёбер должно обеспечить существование решения поставленной задачи. С этой целью производится предварительный расчёт системы. Определяются корни уравнения частот В (табл. 2) и спектр собственных значений X, при т1 = 1 (табл. 3).

Таблица 2

Корни уравнения частот собственных колебаний

Ві В° Вз В 4

0,04°7°45 0,0418576 0,037985 0,0°3°7°74

Таблица 3

Спектр собственных значений, соответствующих корням В[

Х1 Х° Х3 Х4 Х5

В1 1000 1009,°7 1040,4 1104,91 1156

В° 989,64 1000 1033,35 1101,68 1156

В3 941,18 956,49 1000 1086,03 1156

В4 715,74 751,48 836,9 1000 1156

При оценке полученных корней производится проверка ограничения на величину В,:

Втт ^ В1 ^ Втах. (7)

Для стержней обычно принимается ВтП = 0,05; Втах = 0,2. В примере с учётом отношения длин кромок (1У = 0,(3)4) получается ВтП = 0,0167; Втах = 0,067. Все корни, приведённые в табл. 2, удовлетворяют условию (7).

Разница между корнями В2 и В3 незначительна, поэтому эффект от оптимизации имеет только теоретическое значение. Проведено 20 итераций при к = 0,02. Характеристики оптимальной системы приведены в табл. 4-6. Параметр В равен В = 0,0409.

Таблица 4

Коэффициенты т ; оптимальной системы

т1 т° т3 т4

1,0878 0,91°° 0,91°° 1,0878

Таблица 5

Производные оптимальной системы

ББ1 бб2 ББ3 бб4

2,7253 2,3447 2,3447 2,7253

Таблица 6

Собственные значения X ; оптимальной системы

^1 ^2 ^3 Х4 ^5

945,019 1000 1049,24 1096,13 1156

п

Сумма коэффициентов т, равна числу рёбер ( 2 т г- = п) при любом рас-

г=1

пределении материала рёбер, поэтому можно принять функцию цели (1) равной ^ = В. Сравнение значений В начального и конечного приближений (В2 = 0,0418576; В = 0,0409) показывает, что в приведённом примере начальное приближение практически является оптимальным. На первый взгляд, этот вывод не подтверждают значения производных в начальном приближении (табл. 7), которые не равны между собой, т. е. условие оптимальности (3) не выполняется.

Таблица 7

Производные в начальном приближении

ББ1 бб2 ББ3 бб4

13,97 5,33 5,33 13,97

Однако расчёт показывает, что разница между производными в несколько единиц является несущественной. Доведение этой разницы до нескольких десятых функцию цели практически не изменяет.

Выводы

1. Использование ограничения по частоте собственных колебаний в виде уравнения частот с подставленным заданным значением частоты позволяет применять один и тот же алгоритм при любом номере заданной частоты. Для этого геометрический параметр, определяемый из уравнения частот, должен быть корнем уравнения с соответствующим номером. Например, если заданное значение частоты должно быть первым, то первым (наибольшим) должно быть значение корня; если заданная частота должна быть второй, то вторым по величине должен быть корень уравнения частот и т. д. Широко используемое свойство ортогональности собственных форм для определения высших частот заменяется более простой процедурой вычисления соответствующих корней векового уравнения.

2. Возможности расчёта несимметричных систем по разработанному алгоритму требуют специального исследования. Основная трудность состоит

в том, что узловые линии собственных форм не являются прямолинейными. Число рёбер и их расположение определяются предварительным расчётом по начальному приближению. Но этот предварительный расчёт не гарантирует достижения оптимального решения, т. к. может быть нарушено условие (7).

Библиографический список

1. Моисеенко, Р.П. Оптимизация ребристых пластин при заданной величине первой частоты собственных колебаний / Р.П. Моисеенко // Изв. вузов. Строительство. - 1999. -№ 4. - С. 26-30.

2. Александров, А.В. Сопротивление материалов. Основы теории упругости и пластичности / А.В. Александров, В. Д. Потапов. - М. : Высш. шк. 2002. - 400 с.

3. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела / Ю.Н. Работнов. - М. : Наука, 1988. - 712 с.

4. Тимошенко, С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / С.П. Тимошенко. - М. : Наука, 1971. - 807 с.

5. Мышкис, А.Д. Лекции по высшей математике / А.Д. Мышкис. - М. : Наука, 1973. - 640 с.

6. Большой энциклопедический словарь. Математика. - М. : Большая российская энциклопедия, 1998. - С. 615.

7. Троицкий, В.А. Оптимизация формы упругих тел / В.А. Троицкий, Л.В. Петухов. - М. : Наука, 1982. - 432 с.