CC BY
9
УДК 624.045
МОИСЕЕНКО РОСТИСЛАВ ПАВЛОВИЧ, докт. техн. наук, профессор, dec_sf@mail. ru
Томский государственный архитектурно-строительный университет, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ РЕБРИСТЫХ ТОНКИХ ПЛАСТИН ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ ЖЁСТКОСТИ И ПЕРВОЙ ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Задача оптимизации ребристой пластины ставится с разделением ограничений на активное ограничение и пассивное. Активным ограничением является заданное значение первой частоты собственных колебаний, пассивным ограничением является условие жёсткости. Проведён сравнительный анализ определения прогибов ребристой пластины по трём методикам. Показано на примере, что наиболее приемлемой с практической точки зрения является методика С.П. Тимошенко. В задаче оптимизации варьируется высота прямоугольного поперечного сечения рёбер.
Ключевые слова: оптимизация; пластина; ребро; жёсткость; частота; прогиб.
ROSTISLAVP. MOISEENKO, DSc, Professor, dec_sf@mail. ru
Tomsk State University of Architecture and Building, 2, Solyanaya Sq., 634003, Tomsk, Russia
OPTIMIZATION OF RECTANGULAR RIBBED THIN PLATES IN RESTRICTED RIGIDITY AND FIRST FREQUENCY OF SELF-INDUCED VIBRATIONS
The paper describes optimization of a ribbed plate with active and passive restrictions. Active restriction is a pre-set value of first frequency of self-induced oscillations while passive restriction is a rigidity condition. A comparative analysis was conducted for detection of flexures of a ribbed plate using three methods. It is shown that the method by S.P. Timoshenko is the most appropriate from the practical point of view. Optimization includes a variable altitude of the rectangular cross-section of ribs.
Keywords: optimization; plate; rib; rigidity; frequency; flexure.
Постановка задачи
Рассматривается прямоугольная тонкая пластина постоянной толщины h0. Минимизируется объём рёбер пластины за счёт управления высотой рёбер h прямоугольного поперечного сечения при заданной одинаковой ширине b поперечного сечения. Рёбра располагаются параллельно одной из кромок, длина рёбер равна длине соответствующей кромки. Расчётная схема пластины показана на рис. 1.
Задача оптимизации формулируется в следующем виде:
n
минимизировать функцию f (Hi) = ^ Hi (1)
i=1
© Р.П. Моисеенко, 2014
при ограничениях ю1 = ю , (2)
$шах ^ $ , (3)
где Hi = / Н0 - относительная высота поперечного сечения ребра; ю - заданное значение первой частоты собственных колебаний пластины; $ - максимально допускаемое нормативное значение прогиба.
Решение задачи с ограничением (2) представлено в статьях [1, 2]. Дополнительное ограничение жёсткости в виде равенства резко усложняет задачу и не гарантирует существования оптимального решения [3]. Поэтому в постановке задачи используется разделение ограничений на активное ограничение и пассивное. Активное ограничение - это заданная первая частота собственных колебаний, пассивное ограничение накладывается на величину максимального прогиба от заданной нагрузки.
Особенности алгоритма определения прогибов
На рис. 1 показано, что рёбра расположены с одной стороны плоскости пластины.
Рис. 1. Расчётная схема ребристой пластины
В большинстве монографий и статей по расчёту ребристых пластин рассматриваются рёбра, расположенные симметрично относительно срединной плоскости пластины. Это обстоятельство связано с тем, что деформация симметричных рёбер при изгибе не вызывает деформирования срединной плоскости пластины. В этом случае расчёт ребристой пластины значительно упрощается. Расчёт пластин с несимметричными рёбрами усложняется в связи с появлением напряжений в срединной плоскости [4]. В ряде работ проблема учёта несимметричных рёбер решена в приблизительной форме. В этих рабо-
тах определение напряжений в срединной плоскости заменяется специальной методикой вычисления момента инерции ребра. Многие статьи не содержат чётких рекомендаций по определению момента инерции поперечного сечения ребра. Например, в статье [5] мы находим: «Fz, Sz, Iz - геометрические характеристики сечения части площади, лежащей ниже волокна, для которого определяется сдвигающее усилие». Точная формула для определения Iz не приводится. В статье [6] отмечено: «Жёсткости ребра с прямоугольным поперечным сечением выражаются через размеры e и f e < f формулами
a(s) = ae(s) f 3(s), c(s) = Pf (s)e3(s), где константы а и в определяются материалом ребра». В статье нет примера расчёта, и как определяются коэффициенты а и в не поясняется.
В некоторых работах используется методика усреднения жёсткости рёбер и пластины (например, [7]). По этой методике момент инерции ребра определяется с учётом пояса пластины шириной с, где с - расстояние между рёбрами.
В ряде работ момент инерции ребра определяется относительно оси, лежащей в срединной плоскости пластины [8].
Значительно реже используется рекомендация С.П. Тимошенко [9], в соответствии с которой момент инерции поперечного сечения ребра определяется относительно оси, проходящей по линии соединения пластины и ребра. Из трёх способов определения момента инерции рекомендация С.П. Тимошенко даёт наименьший момент инерции. Ни один из способов определения момента инерции не имеет преимущества точности, поэтому учёт наименьшего момента инерции обеспечивает некоторый запас прочности и жёсткости по сравнению с другими вариантами. Именно поэтому в данной работе используется рекомендация С.П. Тимошенко. Обоснованность этого выбора подтверждается сравнительным расчётом в примере 1.
Пример 1. Рассматривается квадратная пластина, представленная на рис. 2.
Пластина подкреплена шестью одинаковыми рёбрами, т. е. расстояние между рёбрами равно с = I /7. Геометрические размеры ребра показаны на рис. 3.
✓ 7 ~Л
Z2
Рис. 3. Схема поперечного сечения ребра и примыкающего пояса пластины
Приняты следующие геометрические размеры: l = 4,2 м; с = 0,6 м; h = 0,1 м; hr = 0,3 м; br = 0,1 м; yc = 0,28(3) м. Расчётные моменты инерции равны: момент инерции ребра и пояса пластины шириной с - 1 = 115 800 см4; момент инерции
ребра - 1 = 90 000 см4; момент инерции ребра - 1 = 142 500 см4. Пластина
загружена равномерно распределённой нагрузкой q.
По методике, представленной в [7], т. е. с учётом момента инерции 1
прогиб в центре пластины равен w0 = 0,0006ql4/ D . Расчёт энергетическим
методом с использованием 1 [1] даёт результат : w0 = 0,000765ql4/ D . При
оценке разницы величин прогибов должны сравниваться абсолютные величины. Пусть Е = 2-105 МПа, v = 0,3, тогда D = 18,3 МНм.
При q = 0,1 МН/м2 прогибы, вычисленные по соответствующим формулам, равны w0 = 1 мм; w0 = 1,3 мм. С конструктивной точки зрения величины прогибов практически одинаковы. Расчёт с учётом 1 приводит к результату
w0 = 0,8 мм, что ставит под сомнение корректность использования момента инерции 1z0 .
Таким образом, пример 1 показывает, что из всех применяемых методик рекомендация С.П. Тимошенко позволяет смоделировать ребристую пластину наименьшей жёсткости. В этом случае проверка условия жёсткости выполняется с некоторым запасом.
Оптимизация при заданной первой частоте собственных колебаний
В статье [1] показано, что минимальный объём рёбер при управлении высотой поперечного сечения рёбер достигается c выполнением условия: про-
c
b
изводные от полной энергии ребристой пластины по высоте отдельных рёбер (Gi) одинаковы. Выбор заданного значения первой частоты ребристой пластины производится с использованием спектра собственных частот пластины без рёбер. Это позволяет определить минимально необходимое число рёбер, при котором заданное значение частоты будет первой частотой собственных колебаний ребристой пластины. Если заданное значение является п-м в спектре собственных частот пластины без рёбер, то в соответствии с теоремой о наложении связей [10] требуется установить как минимум п - 1 рёбер, чтобы заданное значение было первой частотой ребристой пластины.
Выполнение активного ограничения (2) показано в примере 2.
Пример 2. Рассматривается квадратная пластина. Расчёт собственных колебаний энергетическим методом сводится к задаче на собственные значения. Собственные значения X выражаются формулой
, (4)
где р - плотность материала; ю - частота собственных колебаний.
Для пластины без рёбер первые десять собственных значений представлены в табл. 1.
Таблица 1
Собственные значения пластины без рёбер
Х1 Х2 Хз Х4 Х5 Хб Х7 Х8 Х9 Х10
4 25 25 64 100 100 169 169 289 289
Для пластины с шестью рёбрами ограничение (2) можно записать в виде Л,1 = Х7 = 169. Относительная ширина поперечного сечения рёбер принята равной B = Ьг11 = 0,05. Результаты оптимизации представлены в табл. 2.
Таблица 2
Результаты оптимизации
Номер ребра 1 2 3 4 5 6
Координаты рёбер 0,2 0,32 0,44 0,56 0,68 0,8
Производные 647 651 647 647 651 647
Коэффициенты к, 0,96422 1,07116 0,96461 0,96461 1,07116 0,96422
Оптимальный относительный параметр высоты поперечного сечения рёбер равен H = 7,71. Высота сечения каждого ребра определяется по формуле Hi = H ■ ki, где Hi = И / И . Спектр собственных значений оптимальной ребристой пластины представлен в табл. 3.
Таблица 3
Собственные значения оптимальной ребристой пластины
Х1 Х2 Хз Х4 Х5 Х6 Х7 Х8 Х9 Х10
169 169,8 175,7 247,5 388,9 625,5 1137,8 1146,2 1377,9 1413,5
Первая форма собственных колебаний оптимальной ребристой пластины при у = 1/2 представлена на рис. 4.
Рис. 4. Первая форма собственных колебаний оптимальной пластины (стрелками показано расположение рёбер)
На рис. 4 видно, что первая форма собственных колебаний оптимальной пластины имеет одинаковые прогибы рёбер № 1, 3, 4, 6. Это значит, что в режиме собственных колебаний оптимальной пластины работа на изгиб в зоне расположения рёбер сводится к минимуму.
Проверка условия жёсткости
Основной качественный результат примера 2 состоит в том, что увеличение первой собственной частоты пластины с помощью нескольких рёбер приводит к синтезу очень жёсткой конструкции (Н = 7,71). При такой большой относительной высоте поперечного сечения рёбер условие жёсткости (3) выполняется автоматически. Этот вывод подтверждается расчётом жёсткости пластины, запроектированной в примере 2. Максимальный прогиб от равномерно распределённой нагрузки определён энергетическим методом. Момент инерции рёбер учтён по методике С.П. Тимошенко. Величина максимального момента равна w0 = 0,000024д/4 / В. В примере 1 при Н = 3 и В = 0,0238 максимальный прогиб равен w0 = 0,000765д/4/ В, т. е. прогиб уменьшился в 31,875 раза при увеличении высоты сечения ребра в 2,57 раза и ширины сечения ребра в 2,1 раза.
Если условие жёсткости нарушается, то оптимальный проект может быть незначительно изменён наиболее эффективным способом - увеличением высоты поперечного сечения рёбер. Увеличение жёсткости пластины за счёт увеличения числа рёбер нежелательно, т. к. в этом случае распределение объёма рёбер становится неоптимальным.
Выводы
Оптимальная ребристая пластина при заданной первой частоте собственных колебаний является более жёсткой, чем неоптимальная пластина. Как правило, условие жёсткости выполняется без изменения параметров оптимального проекта. При необходимости из нескольких способов увеличения
жёсткости рекомендуется использовать увеличение высоты поперечного сечения рёбер. Прогибы определяются энергетическим методом. Потенциальная энергия деформации изгиба рёбер выражается по методике С.П. Тимошенко, которая позволяет определять прогибы с некоторым запасом жёсткости по сравнению с другими методиками.
Библиографический список
1. Моисеенко, Р.П. Оптимизация прямоугольных ребристых пластин с заданной первой частотой собственных колебаний при управлении высотой рёбер / Р.П. Моисеенко, Н.А. Ботьева // Строительная механика и расчёт сооружений. - 2011. - № 3. - С. 66-69.
2. Моисеенко, Р.П. Оптимизация прямоугольных ребристых тонких пластин с заданной второй частотой собственных колебаний при управлении высотой поперечного сечения рёбер / Р.П. Моисеенко // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. - 2012. - № 1. - С. 88-93.
3. Ляхович, Л.С. Особые свойства оптимальных систем и основные направления их реализации в методах расчёта сооружений / Л.С. Ляхович. - Томск : Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2009. - 372 с.
4. Александров, А.В. Сопротивление материалов. Основы теории упругости и пластичности / А.В. Александров, В. Д. Потапов. - М. : Высш. шк., 2002. - 400 с.
5. Степанов, Р.Д. Об изгибе плоской прямоугольной пластинки, усиленной параллельными рёбрами жёсткости и упругими опорами / Р. Д. Степанов ; Институт механики АН СССР // Инженерный сборник. - 1950. - Т. VIII. - C. 105-120.
6. Самсонов, А.М. Условие Вейерштрасса в динамической задаче оптимизации упругой пластины с ребром / А.М. Самсонов // Механика твёрдого тела. - 1979. - № 3. - С. 185-187.
7. Вайнберг, Д.В. Пластины, диски, балки-стенки / Д.В. Вайнберг, Е.Д. Вайнберг. - Гос-стройиздат УССР, 1959.
8. Королёв, В.И. К расчёту подкреплённых пластин и оболочек / В.И. Королёв ; Институт механики АН СССР // Инженерный сборник. - 1958. - Т. XXVI. - C. 21-24.
9. Тимошенко, С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / С.П. Тимошенко. - М. : Наука, 1971. - 807 с.
10. Бабаков, И.М. Теория колебаний / И.М. Бабаков. - М. : Наука, 1968. - 560 с.
References
1. Moiseenko R.P., Bot'eva N.A. Optimizatsiya pryamougol'nykh rebristykh plastin s zadannoi pervoi chastotoi sobstvennykh kolebanii pri upravlenii vysotoi reber [Optimization of rectangular ribbed plates with given first frequency of self-induced oscillations in rib altitude control]. Stroit. mekh. i raschet sooruzhenii. 2011. No. 3. Pp. 66-69. (rus)
2. Moiseenko R.P. Optimizatsiya pryamougol'nykh rebristykh tonkikh plastin s zadannoi vtoroi chastotoi sobstvennykh kolebanii pri upravlenii vysotoi poperechnogo secheniya reber [Optimization of rectangular ribbed plates with given second frequency of self-induced oscillations in ribs cross-section control]. Vestnik of Tomsk State University of Architecture and Building. 2012. No. 1. Pp. 88-93. (rus)
3. Lyakhovich L.S. Osobye svoistva optimal'nykh sistem i osnovnye napravleniya ikh realizatsii v metodakh rascheta sooruzhenii [Peculiar properties of optimal systems and main trends of their implementation in building design techniques]. Tomsk : TSUAB Publishing House (Tomsk State University of Architecture and Building), 2009. 372 p. (rus)
4. Aleksandrov A.V., Potapov V.D. Soprotivlenie materialov. Osnovy teorii uprugosti i plastich-nosti [Strength of materials. Basic principles of elasticity theory]. Moscow : Vysshaya Shkola Publishers. 2002. 400 p. (rus)
5. Stepanov R.D. Ob izgibe ploskoi pryamougol'noi plastinki, usilennoi parallel'nymi rebrami zhestkosti i uprugimi oporami [rectangular plate flexure stiffened by parallel ribs and elastic
beams]. Institute of Mechanics of RAS USSR. Inzhenernyi sbornik [Collection of engineering papers]. 1950. V. VIII. Pp. 105-120. (rus)
6. Samsonov A.M. Uslovie Veiershtrassa v dinamicheskoi zadache optimizatsii uprugoi plastiny s rebrom [Weierstrass condition in dynamic problem of elastic ribbed plate optimization]. Rigid Body Mechanics. 1979. No. 3. Pp. 185-187. (rus)
7. Vainberg D.V. Vainberg E.D. Plastiny, diski, balki-stenki [Plates, disks, wall beams]. Goss-troyizdat USSR. 1959. (rus)
8. Korolev V.I. K raschetu podkreplennykh plastin i obolochek [Design of strengthened plates and coverings]. Institute of Mechanics of RAS USSR [Collection of engineering papers]. 1958. V. XXVI. Pp. 21-24. (rus)
9. Timoshenko S.P. Ustoichivost' sterzhnei, plastin i obolochek [Stability of bars, plates, and coatings]. Moscow : Nauka, 1971. 807 p. (rus)
10. Babakov I.M. Teoriya kolebanii [Theory of oscillations]. Moscow : Nauka. 1968. 560 p. (rus)
