Оптимальные инвестиционные стратегии фирмы в стохастических условиях Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ственной оценки эффективности принимаемых решений по преобразованию, модернизации и созданию новых организационных структур управления почтовой связью [5].

ЛИТЕРАТУРА.

1. Кузовкова Т.А. Стратегия развития рынка услуг почтовой связи // Почтовая связь. Техника и технологии. 2001. № 8.

2. Кузьмин А.В. Технологическая реформа в почтовой связи, как интеграция информационных и почтовых технологий // Почта России. 2003. № 1(2).

3. Основы управления связью Российской Федерации / Под ред. А.Е. Крупнова и Л.Е. Варакина. М.: Радио и связь, 1998.

4. Связь России в XXI веке / Под ред. проф. Л.Е. Варакина. М: MAC, 1999.

5. Сырцов И.А. Об организационно-правовой структуре ФГУП «Почта России» на переходный период // Почта России. 2003. № 4.

6. Экономика связи / Под ред. О.С. Срапионова и В.Н. Болдина. М.: Радио и связь, 1998.

7. http://www.russianpost.ru

8. http:/www.iteam.ru

01 РОМАНЕНКО Е.В.

£ ОПТИМАЛЬНЫЕ ИНВЕСТИЦИОННЫЕ СТРАТЕГИИ ФИРМЫ В СТОХАСТИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ

ф

о

о о о

со

О О

О

Когда изменение экономической среды отражает новую экономическую политику, вводимую □ органами власти, естественно допустить, что фирма имеет некоторые предположения относительно О ожидаемого момента введения изменений. Если, например, изменения экономической политики касаются изменения инвестиционной налоговой скидки, разумно ожидать ее снижения в периоды экономического подъема, когда активная проинвестиционная политика неактуальна, и повышения в а периоды экономического спада для стимулирования инвестиций [1, с. 552; 2, с. 226]. Заметим, что £ использование случайного процесса Пуассона для моделирования скачкообразных изменений эко-о номической политики представляется неадекватным, поскольку интенсивность скачков в этом стационарном случайном процессе, описываемая единственным параметром, не связана с экономической динамикой (это соответствует предположению о том, что время само по себе, а не экономичес-о кая среда управляет изменениями экономической политики).

Стоимость инвестиционного проекта определяется следующим стохастическим дифференциаль-® ным уравнением, соответствующим геометрическому броуновскому движению [3, с. 38-40; 4, с. 74-

о 82]. а. 1

dV {г )= а¥ {г)г + о¥ {г )Ы>{г), (1)

в котором параметр а обозначает детерминированную тенденцию (трендовую составляющую), О есть волатильность (мгновенное среднее квадратическое отклонение) стоимости инвестиционного проекта, а dw — приращение винеровского случайного процесса. Безрисковая процентная ставка в экономике равна г, причем имеет место неравенство а < г . о Обозначим через V* такую реализацию процесса, при которой вводится новая экономическая ~ политика, и инвестиционные затраты возрастают с I до !л, причем I > I . Предполагаем, что фирма ¡Е не знает величину V*, однако ей известна плотность распределения вероятностей этой величины

™ *). Значение V(0) обозначает начальную стоимость проекта, значение V(0) определяется вы-| ражением

а 2 1

о ' 1 ^ 2

о

' ~ 1 л2 2г

a 1

2

\

s

V' (2)

а величина Vh

hh h -1

представляет собой безусловный оптимальный порог инвестирования,

соответствующий инвестиционным затратам I. Предположения (i) и (ii) соответствуют тому, что рассматриваемая проблема имеет место, т.е. что изменение экономической политики не случилось ранее, и что имеется положительная вероятность того, что такое изменение будет иметь место до того, как достигается оптимальный порог, соответствующий Ie. Предположение (iii) означает, что ex post никогда не оптимально откладывать инвестирование до тех пор, пока произойдет повышение инвестиционных затрат. Поскольку стоимость проекта, при которой происходит увеличение инвестиционных затрат, связанных с изменением экономической политики (триггер-точка), заранее неизвестна, возможны два сценария. В первом сценарии инвестирование происходит до изменения инвестиционных затрат, а во втором сценарии инвестирование имеет место после того, как увеличение инвестиционных затрат произошло. Следовательно, стоимость опциона инвестирования [5, p. 468], отражающая структуру ожидаемого выигрыша, имеет следующий вид

F (, V\I = Ie )= Ps (v (E [((( ) - Ie УrTs )]+

+

(i - Ps (V )У [((Th)-Ih yTh ]

, (3)

где E — оператор математического ожидания,

' Ps

условная (зависящая от наивысшей

01

л

h 0 m

7

реализации процесса V, V ) вероятность того, что инвестиционные затраты не увеличатся до того, как инвестирование осуществлено оптимально, а Г и ГЛ обозначают моменты остановки, соответствующие первому пересечению оптимального инвестиционного порога при низких и высоких инвестиционных затратах соответственно (оптимальные моменты инвестирования, которые трактуются как оптимальные моменты остановки процесса наблюдения за приведенной прибылью). После преобразования получаем следующую задачу оптимизации, позволяющую найти оптимальный инвестиционный порог

F (,V\I = Ie )=

max

V,

(Vs - v;

\A

-yfs) +

i -y(v )

+ (Vh - Ih

V

\ft

"i-i-yV)

i -v(v )

. (4)

Здесь V представляет собой оптимальный инвестиционный порог в случае, если инвестирование имеет место до увеличения инвестиционных издержек, а V есть максимальная реализация

1—)

процесса до момента увеличения инвестиционных издержек. Следовательно, отношение ^ — )

представляет собой вероятность того, что скачок инвестиционных затрат не произойдет до момента

времени, когда V = V, при условии, что этот скачок не произошел при значениях V, меньших V . Уравнение (3) поэтому интерпретируется следующим образом: стоимость опциона инвестирования (инвестиционной возможности) равна взвешенному среднему значений двух опционов инвестирования. Эти опционы инвестирования соответствуют инвестиционным затратам I и I соответственно при условии, что инвестирование осуществляется оптимально (при V, если инвестированные затраты равны I, и при !Л, если скачок инвестиционных затрат уже произошел). Решение задачи макси-

N □

□

01

^

а ф s о а. ф

X

<3

<5

X

X

ф

со

О

.

О

<

О <3

<3

<5

О

мизации (3) позволяет установить, что инвестирование оптимально осуществляется при значении V, являющемся решением следующего уравнения

Ку. У+А - 1)у + Ум(У) + А ) - Кк )А А+1 = о , (5)

где

их)_ У(х) ф(х)_ йу(х)

И(Х) 1 -у(х) и *(х)_■

Функция И(х) имеет следующую интерпретацию. Вероятность скачка инвестиционных затрат, возникающего в течение ближайшего приращения стоимости проекта йУ (при условии, что увеличение инвестиционных затрат не произошло до этого момента), равна Ь(х), умноженной на величину приращения стоимости проекта, т.е. И(У)йУ.

Имеет место следующее Утверждение (доказательства этого и следующих Утверждений не приводятся ввиду громоздкости).

Утверждение 1. Инвестирование оптимально осуществляется при значении Уявляющемся решением следующего уравнения

™ иу у+А - 1У + УМУ)+ А) -и(у)У А+1 _ о , (6)

означает, что инвестиционный порог увеличивается с ростом неопределенности стоимости проекта и убывает с ростом различия между процентной ставкой в экономике и скоростью роста стоимости

- и(х)_ ^ т(х)_ йУ(х)

^ гдеИ(х) 1 -у(х)и?(х)_ ■

^ Проанализируем, как параметры, характеризующие динамику стоимости проекта, влияют на

□ оптимальный инвестиционный порог. Установлено, что оптимальный инвестиционный порог (при 2прочих равных условиях) возрастает с ростом начальных инвестиционных затрат и убывает с рос-

^ том величины потенциального увеличения этих затрат, а также с ростом параметра А1. Последнее

а

^ проекта.

ё Оптимальная инвестиционная стратегия зависит не только от характеристик проекта самого по ^ себе, но и также от предположений фирмы относительно плотности распределения вероятностей, § определяющей ожидаемое изменение экономической политики. Параметры этого распределения I могут испытывать воздействие органов власти. Например, информационная кампания относительно ¡2 ожидаемых изменений инвестиционной налоговой скидки приводит к уменьшению дисперсии расо. пределения, лежащего в основе случайной величины, определяющей изменения экономической по-^ литики (триггер-точки). Поэтому важно знать, как изменения неопределенности, связанные со сто-о имостью проекта, соответствующей скачку инвестиционных расходов, влияют на стратегии оптималь-

о ного инвестирования фирмы.

о

Степень риска возникновения скачка инвестиционных расходов и (х)_1 у ) является од-

У(х) 1 -¥(х)

ной из определяющих величин для вычисления оптимального порога инвестирования. Хотя эта величина является экзогенной для фирмы, она может управляться другой стороной, например, органами власти. Из соотношения (6) следует Утверждение.

Утверждение 2. Оптимальный инвестиционный порог убывает с ростом соответствующей степени риска, т.е. имеет место следующее неравенство

йУ, I

5 1 < 0.

§ йИ(У) |у_у

5

Полученный результат означает, что возрастающая вероятность скачка инвестиционных затрат приводит к более раннему оптимальному исполнению опциона инвестирования. Интуитивная интерпретация этого вывода такова: возрастающая вероятность частичного ухудшения инвестиционных возможностей после небольшого увеличения стоимости проекта сокращает стоимость опциона инвестирования.

Далее проанализируем, как неопределенность, связанная со значением триггер-точки, определяющей скачок увеличения инвестиционных затрат, влияет на оптимальный инвестиционный порог. Будем измерять неопределенность значения триггер-точки с помощью сохраняющего математическое ожидание спреда (увеличения дисперсии случайной величины при сохранении ее математического ожидания неизменным).

Если значение триггер-точки V*, соответствующее скачку к более высоким инвестиционным затратам, известно с определенностью, инвестирование осуществляется оптимально в момент, бесконечно близкий к моменту достижения стоимостью проекта величины V*. В этой точке степень риска равна нулю (перед тем, как это значение триггер-точки будет достигнуто, риск увеличения инвестиционных затрат отсутствует). При возникновении неопределенности степень риска испытывает воздействие двух факторов:

(1) функции плотности распределения вероятностей значений V, соответствующих скачку перехода к более высоким инвестиционным затратам (( (т.е. функции плотности распределения вероятностей значений триггер-точки) и 2

(2) функции 1 — 0. Нетрудно показать, что для большинства часто используемых плотно- ь

СП

стей распределения, таких, как плотность нормального распределения, однородного распре- т деления, экспоненциального распределения и распределения Парето — функция степени

01

риска для любого Vе [[(о),Е[У*])] сначала возрастает, а затем убывает с ростом сохра- ^

няющего математическое ожидание спреда. □

Итак, для каждой степени неопределенности значения триггер-точки, определяющей наступ- (-у

ление скачка увеличения инвестиционных затрат, существует значение V < Е[V*], обозначаемое

V, такое, что при V е [[(о), V] степень риска увеличивается, а при V е (V, Е\У*]) снижается с §

ростом этой неопределенности. Такой вид соотношения между степенью риска и неопределеннос- о тью означает (в силу Утверждения 2), что V снижается с ростом неопределенности, если попадает ®

в интервал [[(о),!~] , и возрастает в противном случае. ^

о

Обозначим среднее квадратическое отклонение плотности распределения значений триггер- о точки, определяющей наступление скачка увеличения инвестиционных затрат, через ю. Поскольку выражение для V известно (см. (6)), необходимо только вычислить V как функцию ю, так что

дк(у )|

дю

для каждой пары (V,() имеет место следующее соотношение '\у = 0

X

ф

со

О

а.

о

<

>

о о

о о о

со

О

О О о.

Заметим, что хотя функция V(ю) не может быть получена в общем виде, ее значения, соответствующие данной плотности распределения, могут быть легко найдены численно. Для большинства часто используемых плотностей распределения V убывает с ростом неопределенности. Следовательно, при относительно низких степенях неопределенности имеет место соотношение ^

~ ~ ф

VS < V (< Е[V ]). Поскольку при V < V

степень риска возрастает по ю , V снижается, когда нео- т

пределенность значения триггер-точки, определяющей наступление скачка увеличения инвестици- * онных затрат, возрастает. После того, как неопределенность достигает некоторого критического

значения, например, (, соответствующего равенству V' = V, степень риска при V снижается с °

4 1 9

ростом (о, и оптимальный инвестиционный порог начинает увеличиваться. Это означает, что опти-