Моделирование и анализ воздействия бюджетно-налоговой политики на принятие оптимальных инвестиционных решений Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Моделирование и анализ воздействия бюджетно-налоговой политики на принятие оптимальных инвестиционных решений

Ткаченко Денис Дмитриевич, кандидат экономических наук, доцент, докторант Кисловодский институт экономики и права;

[email protected]

Аннотация: Построена и проанализирована экономико-

математическая модель воздействия бюджетно-налоговой политики на принятие оптимальных инвестиционных решений.

Ключевые слова: моделирование, инвестиции, неопределенность, оптимизация, риск

Abstract. We construct and study a mathematical model of an influence of fiscal policy on the investment decisions.

Keywords: modeling, investments, uncertainty, optimization, risk

Эффективная деятельность предприятий в долгосрочной перспективе, обеспечение высоких темпов их развития и повышение конкурентоспособности в значительной степени определяются выбором эффективных форм роста его активов и капитала. Одно из наиболее распространенных и важных решений, которые принимают предприятия, связано с инвестициями в инновационные технологии и производственные мощности. Однако будущий поток денежных средств, который принесут инвестиции, часто отличается неопределенностью. Поэтому модели инвестиционных проектов должны учитывать

факторы неопределенности, связанные со случайными колебаниями спроса и рыночных цен на планируемый выпуск продукции и затрачиваемые ресурсы, в том числе на инвестиционные ресурсы, необходимые для создания предприятия. Учет этих факторов ведет к необходимости моделировать финансовые потоки, связанные с функционированием будущей фирмы, как случайные процессы [1-3].

В работе построена модель процесса инвестирования, которая позволяет учитывать воздействие ожидаемого изменения бюджетно-налоговой инвестиционной политики на инвестиционные решения предприятия. Для стоимости проекта запишем следующее стохастическое дифференциальное уравнение

dV (? )= aV (? ^ + оУ (? )dw(t), (1)

где а - трендовая составляющая, о - волатильность, dw - приращение вине-ровского стохастического процесса. Экономика характеризуется безрисковой процентной ставкой г, а < г. Предполагаем, что предприятие характеризуется нейтральным отношением к риску. Это означает, что для него действительно следующее: полезность значения ожидаемых результатов лотереи равна значению ожидаемой полезности результатов лотереи, т.е. разброс результатов лотереи в окрестности ожидаемого значения (признак существования рисков) не имеет никакого влияния на ожидаемую полезность. Предприятие оптимизирует стоимость инвестиционного опциона F (V ). Если достигается некоторое критическое значение уровня стоимости проекта, происходит изменение величины определенного инструмента экономического регулирования инвестиций, и в результате происходит эффективное увеличение затрат инвестирования. Этот инструмент может представлять собой, например, понижение льготы по налогу на прибыль или увеличение стоимости применяемого капитала при увеличении процентной ставки по кредиту. Кроме того, потенциальным источником скачка затрат инвестирования является появление на рынке конкурирующей предприятия (предлагающей, например, более высокую цену за некоторый проект). Если вместо повышения стоимо-

сти затрат инвестирования имеет место их снижение, то для решения задачи также может быть применена развиваемая ниже методология. В этом случае должна быть найдена такая реализация процесса, для которой предельные издержки ожидания (откладывания инвестирования) до достижения оптимума инвестиционного порога равны выигрышу от ожидания, связанному с ожидаемым снижением затрат инвестирования.

Итак, для каждого уровня неопределенности значения точки переключения, определяющей скачок роста затрат инвестирования, имеется

V < Е[У ], которое будем обозначать V, что при V е V (о) , V ] уровень риска увеличивается, а если V е (V, Е[У ]), понижается при росте неопределенности. Такое соотношение уровня риска и неопределенности означает, что ^

понижается при росте неопределенности в интервале [V (0), V ], и возрастает в противоположном случае. Таким образом, чтобы выяснить воздействие неопределенности значений точки переключения, соответствующей наступлению скачка повышения затрат инвестирования, необходимо выяснить взаимное расположение V^ и V.

Введем для среднего квадратического отклонения распределения вероятностей значений точки переключения, соответствующей наступлению скачка роста затрат инвестирования, обозначение о. Необходимо вычислить

V как функцию о, такую, что для каждой пары (V, о) справедливо

Заметим, что хотя функция V (о) не может быть получена в общем виде, ее значения, соответствующие данной плотности распределения, могут быть легко найдены численно. Нетрудно показать, что для распространенных

распределений вероятности V снижается при росте неопределенности. Допустим, что предприятие имеет информацию только о плотности распределения магнитуды скачков. Стохастическая переменная 1к распределена со-

(2)

гласно плотности распределения Ф(/А ) на интервале [I,, I, ] причем I, > 0. Кроме того, будем предполагать выполнение неравенства

(^^Ф^, ))^> I,, (3)

которое обеспечивает условие предпочтение предприятием затрат Iе стохастическим затратам I, (левая часть неравенства (28) имеет естественную интерпретацию, представленную в конце раздела).

Как и в детерминированном случае, стоимость инвестиционного опциона Fs отражает структуру ожидаемых доходов, максимизируемых относительно оптимума инвестиционного порога V,. Для стохастической величины затрат инвестирования I, опцион принимает вид

тах

V,

(V, - Iе )

'V

V К у

1 -¥(¥,)

1 - ИИ'

ч 1 -^)

dФ(Ih )

(4)

Уравнение (4) может быть интерпретировано следующим образом: величина инвестиционного опциона есть взвешенная средняя двух инвестиционных возможностей, причем вторая составляющая представляет собой ожидаемое значение цены инвестиционного опциона после того, как скачок повышения инвестиционных расходов происходит.

Утверждение. Если величина скачка затрат инвестирования является стохастической переменной, то оптимальная инвестиционная стратегия может быть определена заменой детерминированной величины I, в уравнении (2.9) следующим стохастическим аналогом

I * =

1Н

{4-й -ф^)

1-Р1

(5)

Доказательство. Уравнение (2.30) требует равенства оптимума инвестиционного опциона при детерминированной величине скачка затрат инвестирования порогу инвестирования со стохастической величиной скачка, распределенной согласно плотности распределения Ф(!,). Поэтому задача максимизации при условии, что величина скачка является стохастической величиной, может быть сформулирована следующим образом

F.

тах

V,

(V, - Iе

V

V

А

,

+

(6)

+

АА I

причем оптимальный порог осуществления инвестиций определяется таким

образом

- V,Аl+lh(Vs )Р „ А)"‘ I ^ -Ф^) = 0.

(7)

А _

Пороговые значения, соответствующие оптимальному инвестированию, равны, если выполняется следующее соотношение

Р{

(8)

Простое алгебраическое преобразование (8) дает

п

что эквивалентно уравнению (5). ■

Формула (5) может интерпретироваться как достоверный эквивалент высоких затрат инвестирования в случае, когда предприятию неизвестна точная величина скачка, а известно лишь распределение вероятности величины скачка. Другими словами, инвестиционная политика предприятия идентична в следующих двух случаях: (і) затраты инвестирования 1к являются стохастической переменной и распределены в соответствии с Ф (їк) и

(іі) величина 1к является детерминированной и равной 1к . Это обстоятельство позволяет сравнительно просто провести анализ влияния неопределенности, связанной с величиной скачка затрат инвестирования, на момент оптимального инвестирования.

Влияние неопределенности, связанной с величиной скачка, на момент оптимального инвестирования может быть проанализировано с использованием неравенства Йенсена, согласно которому

(10)

поскольку функция

f (х) = ха, а < 0

выпукла при всех х > 0. Из неравенства (2.35) получаем

1к

Поскольку

дК

пороговое значение выше в случае, если величина скачка определяется стохастической функцией.

Этот результат может быть объяснен следующим образом. Опцион инвестирования является выпуклой функцией новой величины затрат инвестирования 1к . Поэтому выигрышу от реализаций скачка ниже среднего значения предприятия оптимально придают больший вес, чем симметричным потерям, результирующим от реализаций скачка выше среднего значения. Следовательно, оптимальное время ожидания предприятия перед моментом инвестирования больше, если реализации величины скачка случайны, чем в случае, если все эти реализации равны средней величине.

Представляет интерес исследование предельного (бесконечно малого) воздействия неопределенности на оптимальную инвестиционную стратегию. Другими словами, наша цель заключается в установлении того, как оптимум инвестиционного порога ведет себя при различных неопределенностях магнитуды скачков затрат.

Поэтому мы сравним инвестиционные пороги, которые соответствуют относительно малой и высокой неопределенностям магнитуды скачка. Для этой цели используем понятие спреда, который сохраняет матожидание стохастической переменной [121] (спред - это увеличение дисперсии стохастической переменной при условии, что ее ожидаемое значение неизменно). В рассматриваемой постановке влияние возрастающей неопределенности исследуется путем замены первоначальной стохастической переменной 1к (случай «низкой неопределенности») новой стохастической переменной 1к + % (случай «высокой неопределенности»), где

£[£]= 0 и <у% е (0, да).

Применяя неравенство Йенсена, можно доказать, что ожидаемое значение выпуклой функции (в рассматриваемом случае f (1к ) = /]_^) возрастает по мере того, как к ее аргументу применяется спред с сохранением среднего значения. Следовательно, рост неопределенности магнитуды скачков затрат приводит к росту ожидаемого значения 1]^^ , что соответствует более низ*

ким значениям 1к. В результате получаем следующее Следствие.

Следствие. Рост неопределенности магнитуды скачков затрат инвестирования дает более высокий оптимальный порог инвестирования и эквивалентен снижению предполагаемой магнитуды скачков.

Неопределенность магнитуды скачков затрат инвестирования влияет на оптимальные инвестиционные решения монотонным образом. Заметим также, что неравенство (10) означает, что при более низком потенциальном увеличении затрат инвестирования оптимальные инвестиционные пороги выше. Табл. 1 представляет численные расчеты влияния неопределенности магнитуды скачков затрат инвестирования влияет на оптимальные пороги.

Таблица 1. Зависимость оптимальных порогов инвестирования от неопределенности роста затрат инвестирования; 1е = 100

Г = 160 К

I] I] й

100,00 50,00 25,00 10,00 5,00

150 150 169.03 158.54 151.55 149.52 151.88

125 175 169.34 158.97 151.93 149.76 152.06

100 200 170.39 160.02 152.84 150.26 152.28

50 250 177.29 167.24 159.23 154.18 154.21

25 275 192.80 186.54 179.08 171.64 168.61

Ке = 200 а = 0,02; а = 0,1; г = 0,05

Согласно результатам, представленным табл. 1, более высокий уровень неопределенности, связанной с магнитудой потенциального роста затрат инвестирования, ведет к более поздней реализации инвестирования. Поэтому в рассматриваемом ниже примере инвестиционной налоговой льготы по налогу на прибыль рост этой неопределенности оказывает такое же воздействие на оптимальное инвестирование, как и сокращение величины изменения затрат инвестирования.

Литература

1. Бланк И.А. Основы финансового менеджмента. В 2-х томах. - Киев: «Ни-ка-Центр», «Эльга», 2004.

2. Воронцовский А.В. Инвестиции и финансирование: Методы оценки и обоснования. - СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 1998.

3. Dixit A.K., Pindyck R.S. Investment under Uncertainty. - Princeton University Press, 1994.