CC BY
27
яюсними показниками. У подальших дослщженнях доцшьно вивчати вплив вмюту гелiв альгiнатiв кальцiю на структурно-мехашчш показники м'ясопродуктiв.
Лiтература
1. Производство мясной продукции на основе биотехнологии. / [Лисицын А. Б., Липатов Н. Н., Кудряшов Л. С, Алексахина В. А.]; под общей ред. Н. Н. Липатова. - М.: ВНИИМП, 2005. - 369 с.
2. Пивоварова О. Досл1дження стану води та вологоутримуючо! здатност структурованих систем на основ1 альгшату натр1ю / Ольга Пивоварова, Свгенш Пивоваров // Прогресивн техшка та технологи харчових вироб-ництв ресторанного господарства 1 торпвл1 Харк. держ. ун-т. харчування та торпвлг - 2009. - Вип. № 2 (10). - С. 170-177. 5.
3. Булдаков А. С. Пищевые добавки. Справочник / Булдаков А. С. - М. : ДеЛи принт, 2001. - 435 с.
4. Пестина А. Кинетика гелеобразования в системе «альгинат натрия - СаСО3 D-глюконо-д-лактон» / А. Пестина, Е. Пивоваров // Вюник Нацюнального техшчного ушверситету Харшвський полггехшчний шститут. - 2008. — № 10. - С. 17-22.
5. Возможность использования альгината натрия при производстве структурированных продуктов : материалы XI Междунар. конф. молодых ученых [«Пищевые технологии и биотехнологии»], (Казань, 13-16 апр. 2010 г.)/ В. Н. Пасичный, Ю. А. Ястреба // М-во образования и науки РФ, КГТУ - К.: КГТУ, 2010. -156 с.
Стаття надшшла до редакцИ 2.09.2015
УДК 664.9
Федишин Я. I., к.ф.-м.н., професор ©
Льб1еський национальный университет ветеринарног медицины та б1отехнологт
1мен/ С.З.Гжицького Гембара Т.В., к.т.н., доцент (taras.gembara@ gmail.com.)
Боднар Г.Й., к.т.н., доцент Льв1вський державний университет безпеки життед1яльност1 Федишин Т.Я., к.в.н., доктор фшософп
ОПТИМАЛЬНЕ УПРАВЛ1ННЯ СИСТЕМОЮ З РОЗПОД1ЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ ДЛЯ ОСЕСИМЕТРИЧНО1 ЗАДАЧ1 СТЕРИЛ1ЗАЩ1
Розроблено методику застосування фундаментальних законом1рностей теорп управлтня системами з розподыеними параметрами стосовно визначення температурно-часових режим1в стерилгзацИ на прикладг технологи стерилгзацИ м 'ясних консервгв. 1г основу складають постановки тарозв'язання задач оптимального за швидкодгею керування процесом нагргвання з урахуванням основних фазових обмежень, до яких, насамперед, вгдносяться фазов1 обмеження на максимальну температуру I максимум допустимог втрати харчовог цтностг у процесс стерилгзацИ в автоклавах неперервног дИ. В результатI запропоновано алгоритми температурно-часових режим1в стерилгзацИ При тому забезпечена допустима харчова цттсть , як вгдносна б1олог1чна цттсть за лабтьтстю бткгв до ферментативного г1дрол1зу.
Ключов'1 слова: розподгленг параметри, оптим1зац1я, управлтня, принцип максимуму, харчова цттсть, температурне поле, стерил1зац1я.
© Федишин Я. I., Гембара Т.В., Боднар Г.Й., Федишин Т.Я., 2015
201
УДК 664.9
Федишин Я. И., к.ф.-м.н., профессор
Львовский национальный университет ветеринарной медицины и биотехнологий имени С.З.Гжицкого Гембара Т.В., к.т.н., доцент (taras.gembara @ gmail.com.)
Боднар Г.И. , к.т.н., доцент Львовский государственный университет безопасности жизнедеятельности Федишин Т.Я. , к.в.н., доктор философии
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМОЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧ СТЕРИЛИЗАЦИИ
Разработана методика применения фундаментальных закономерностей теории управления системами с распределенными параметрами по определению температурно-временных режимов стерилизации на примере технологии стерилизации мясных консервов. Ее основу составляют постановки и решения задач оптимального по быстродействию управления процессом нагрева с учетом основных фазовых ограничений, к которым, прежде всего, относятся фазовые ограничения на максимальную температуру и максимум допустимой потери пищевой ценности в процессе стерилизации в автоклавах непрерывного действия. В результате предложены алгоритмы температурно-временных режимов стерилизации. При этом обеспечена допустимая пищевая ценность, как относительная биологическая ценность за лабильностью белков к ферментативному гидролизу.
Ключевые слова: распределенные параметры, оптимизация, управление, принцип максимума, пищевая ценность, температурное поле, стерилизация.
UDC 664.9
Fedyshyn J. I., Ph.D., professor
Lviv National University of Veterinary Medicine and Biotechnologies named after S.Z. Gzhytskyj Hembara T.V., Ph.D., associate professor (taras.gembara @ gmail.com.)
Bodnar G.J., Ph.D., associate professor Lviv State University of Life Safety Fedyshyn T.J., Ph.D.
OPTIMAL CONTROL OF SYSTEMS WITH DISTRIBUTED PARAMETERS FOR AXYSYMMETRIC PROBLEMS STERILIZATION
The method of application of the fundamental laws of the theory of control systems with distributed parameters concerning the definition of temperature and time regimes sterilization technology for example sterilization of canned meat was established. Its basis is the formulation and solution of problems of optimum speed for the heating process control with the main phase restrictions, which primarily include the phase limitation on the maximum temperature and maximum acceptable loss of nutritional value in the process of sterilization in autoclaves continuous action. The proposed algorithms modes of temperature and time of sterilization. While permissible provided food value, the relative biological value proteins by lability to enzymatic hydrolysis.
Key words: distributed parameters, optimization, control, the principle of maximum, nutritional value, temperature field, sterilization.
202
Вступ. Процеси теплово! обробки харчовi продукти, як об'екти для математичного моделювання та управлшня, з точки зору фундаментальних наукових дослщжень е складними системами з розподшеними параметрами. Для задач стерилiзащ! м'ясних консервш в автоклавах неперервно! ди розв'язано ряд задач математичного моделювання [1-3], де враховано теплофiзичнi властивосп робочих середовищ стерилiзацiйних апаратш, та м'ясних консервш. Встановлено температурно-часовий режим стерилiзацil, який забезпечуе мшмальш вартiснi витрати, наприклад, тепловi енерговитрати на стерилiзацiю. При оцiнцi мшробюлопчно! безпеки продукту ефективною виявилась методика розрахунку концентрацп мiкробних клiтин, температури та тривалостi И пiдтримування в елементарному об'ем^ який найповiльнiше на^ваеться. Водночас проведена оцiнка харчово! щнносп продукту, зазвичай в його поверхневих шарах. На базi математично! моделi [1,2] можна будувати алгоритми управлшня, як встановлюють залежнiсть дiй управлшня вщ вихiдних параметрiв та кшцевого стану керованого процесу. Вiдомi труднощi розв'язання крайових задач оптимального управлшня такими динамiчними об'ектами в класичному двохточковому формулюванш набувають принциповий характер стосовно до нескiнченновимiрних систем з розподшеними параметрами. Вони поглиблюються в багатьох ситуащях, якi становлять практичний штерес, некерованiстю об'екта щодо необхщних кiнцевих станiв за типово! причини !х неузгодженостi з граничними умовами математичних моделей, що описують поведшку об'екта [4-5]. Можливий спосiб подолання зазначених труднощiв полягае в переходi до розв'язувано! задачi оптимального управлшня iз заданою цiльовою множиною в нескiнченномiрному фазовому просторi систем з розподшеними параметрами.
Матерiали i методи. Чисельш методи розв'язування задач теплопровщносп, методи математично! теорп управлiння.
Результати дослщження. Для розв'язування задачi управлшня на^вом м'ясних консервiв, процес стерилiзацi! розглядаеться в якостi об'екта оптимiзацi! з розподiленими параметрами. Стан об'екта однозначно визначаеться просторово-часовим розподшом температури тiла, що нагрiваеться в чаш i по радiально! координата
В якостi математично! моделi об'екта управлшня використовуеться осесиметрична нелшшна одномiрна модель процесу нагрiву, з урахуванням основних нелiнiйностей i виразiв для вщносних характеристик.
За базовий критерш оптимальностi розглядаеться узагальнена продуктивнiсть автоклава, обумовлена часом процесу на^ву консервiв до необхiдних температурних кондицiй (задача оптимально! швидкодп). Використовуючи iнтегральну форму подання, можна записати критерш оптимальносп в наступному виглядк
Змiну температури стерилiзацi! Тс, що дозволяе змшювати температурне поле консерви, можна розглядати як зосереджений керуючий вплив, тдпорядкований обмеженню
(1)
0
0 < Тс(т) < Тс
тах '
(2)
203
Обмеження, що накладаються на основш фазовi координати об'екта температурне поле у консервi i поле локальних споживчих властивостей, -записуються у формi
Ттах (т) = тах Т(1, г) < Тдоп, 0 < т < Тк; (3)
/е[0,1]
Стах(т) = ПИХ С(1,т) < ^ , 0 < Т < Тк .
1е[0,1]
(4)
Температурне поле та вирази для споживчих властивостей - харчово! цiнностi С (т) використаемо наведенi в [1], умовна ощнка даеться коефiцieнтом:
С (т) = т-10
(5)
величину (2 - фактор) з достатньою точнiстю можна використовувати для
оцшки бiльшостi квалiметричних характеристик при стерилiзацil м'ясопродуктiв (таблиця 1).
Таблиця 1
Статистичний анашз змiн квалiметричних характеристик яловичини при нагрiваннi
Квал1метричний показник г 0,0 с Середне квадратичне вщхилення дг0,0 С В1дносна похибка, %
Запах 22 ± 0,7 3
Кол1р 22 ± 0,1 0,5
Смак 19 ± 0,4 2
Бшкова щншсть 30 ± 0,1 0,3
Вм1ст пашну 23 ± 0,15 0,6
Зауважимо, що за шшу характеристику споживчих властивостей можна використати параметр саштарно-мшробюлопчно! безпеки - летальне число L (т)
[2, 3].
В якосп початково! умови розглядаеться початкове температурний розподш по радiусу консерви:
Т(I, т) = Т(1,0) = Т0(1). (6)
Точнють наближення температури при закшченш процесу до необхiдного значення ощнюеться за максимальною величиною абсолютного вщхилення в межах просторово! областi, займано! об'ектом, iнакше кажучи, у рiвномiрнiй чебишевськiй метрицi:
тах
1е[0,1]
Т(I, тк) - Т*
< £п
(7)
Отже, задача оптимального по швидкодп управлшня процесом нагрiвання в загальному виглядi може бути сформульована наступним чином.
Необхiдно знайти такий змшний у часi керуючий вплив Тс(т) = Тс опт (т) , який обмежений (2) та забезпечуе «перехщ» виробу, що на^ваеться, з
Т-Т
г
0
204
початковими умовами (6) в задану цшьову множину, зпдно (7), при мшмально можливому значенш критерда (1) в умовах виконання фазових обмежень (3) i (4).
В якост еквiвалентного представлення лiнiйного об'екта управлiння отримано його модальний опис нескшченною системою диференцiальних рiвнянь у
нормальнш формi Кошi щодо часових мод Tn температурного поля. Застосування до рiвняння теплопровщносп з початковими i граничними умовами скiнченних штегральних перетворень по просторовому аргументу з ядром, рiвним його
власним функщям (n (мп,l), n = 1,2,..., приводить до представлення об'екта
нескшченною системою рiвнянь:
dTn (Mn ,г) = — (- mI Tn (Мп, г) + ((Мп Кг))
dz cy , (8)
Tn(Mn,0) = To(Mn); n = 1,2,...,N, N ^ад
де (l (Mn ) i To - моди розкладу в ряд по власним функщям.
Розподшений вихiд об'екта T(l, г) (температурний розподш по перерiзу консерви, що на^ваеться з часом) записуеться за вщомими значеннями мод Tn (мп, г) сумою нескшченного ряду:
ад _
T(l,г) = ^ Tn (Mn ,Ф„ (Mn, l). (9)
n=1
Подiбно до вiдомих результатiв для загально! нелшшно! задачi оптимального за швидкодiею керування процесами нестащонарно! теплопровiдностi, стандартш процедури принципу максимуму безпосередньо визначають, у тому числi, стосовно до кусково-лшшного модального подання
математично! моделi у формi (8), A (N)_ параметризоване представлення
управляючого впливу Тсопт (г) в формi кусково-стало! функцп часу:
Тс опт (г) = I + (-1);+11 I А, < г <£ А г, j = lTN, (10)
2 i=1 i=1
яка однозначно задаеться з точнютю до числа N i тривалiстю А,, i = 1, N iнтервалiв, на яких функщя приймае стале значення, е шуканими параметрами i залежать тшьки вiд точностi нагрiвання, яке s 0 в (7), де N можна знайти по заданш величиш s 0 за загальною методикою [4,5] альтернансного методу. Далi реалiзуеться процедура редукци вихщно! задачi до задачi нашвнескшченно! оптимiзацil:
N
I(А) = IА, ^ min; A = (А^ А2,..., Аn), (11)
i=1
Ф(А) = max T(l, А) - T* < eQ, (12)
le[0, R ] 0
де залежностi T(l, А) знаходимо по чисельнш скiнченноелементнiй моделi об'екта при управлшш виду (10).
205
У цш задачi передбачаеться оптимальна форма криво! радiального розподшу тдсумкових температур i його альтернансш властивостi, а саме згiдно цих властивостей температура в кшщ оптимального процесу в^^зняеться вiд
потрiбно! на гранично допустиму величину ± г0 в деяких К точках / °, ] = 1, К на
вiдрiзку [0, Я], де К е N, N + 1}, загальна кiлькiсть яких стае рiвною кiлькостi вшх шуканих невiдомих, що призводить до замкнуто! щодо вшх параметрiв оптимального процесу базово! системи спiввiдношень:
Т(/°°, д0) - Г| = ] = 1,2,...,К; 0 < 10 < /2° < ... < 1К < Я; Д0 = (д°, Д°2,...,Д^) К=|если вN < < гтп-1);
1N +1, если в0 = г™.
(13)
(N) • •
де г^П - гранично досяжнi вiдхилення результуючо! температури вiд задано! в клас керуючих впливiв з N штервалами сталостi, що складають спадний ряд нерiвностей:
г(1) > в(2) > > г^) > вN+1) > > вN) = в > 0 (14)
в яких гм - гранично досяжна точнiсть на^ву в класi кусково-сталих управлiнь виду (10) з будь-яким числом iнтервалiв сталосп.
Для редукцi! спiввiдношень (13) до вщповщно! системи рiвнянь, побудованих на основi альтернансного методу, i !х подальшого розв'язку використана спещальна обчислювальна процедура i вiдповiдне програмне забезпечення, яке включае спецiальний чисельний алгоритм параметрично! оптимiзацi! з використанням чисельних моделей температурних полiв i полiв характеристик харчово! цiнностi (саштарно-мшробюлопчно! безпеки). Обмiн даними здiйснюеться через спшьш для обох програм файли. Алгоритм чисельного розв'язку задачi нашвнесюнченно! оптимiзацi! заснований на використаннi екстраполяци вiдхилень температури, що мiнiмiзуються на кожнш iтерацi!, що дозволяе скоротити число звернень до чисельно! модели Для екстраполянта в чисельному алгоршм використовуються псевдокубiчнi сплайни.
Результати розв'язку задачi оптимального управлiння в клас
одноiнтервальних управлiнь для випадку 80 = г^П засвiдчили, що задане допустиме за технолопчними вимогами температурне вiдхилення 80=3°С (до 10%)
може бути дотримане тшьки при харчовш цiнностi консервiв (вiдносна бiологiчна цшнють за лабiльнiстю бiлкiв до ферментативного гiдролiзу) бiльшiй нiж 1250с, яка в цшому вища задовiльно!. Це призводить до суттевого збiльшення часу
на^вання. Вiдхилення г^П =6°С, отримане при 1650с, означае нерiвномiрнiсть на^ву, яка небажана за технологiчними вимогами. Представляють штерес результати розв'язування задачi оптимального управлiння в класi двоштервальних управлiнь (таблиця2), що включають стадда нагрiву з максимальною температурою стерилiзацi! i подальшою стадiею вирiвнювання температур !! центру i поверхнi при
206
рiвномiрному охолодженш. Для даних задач також справедливий принцип максимуму Понтрягша, який тут необхщно застосовувати у форм^ встановленш для оптимальних процешв з обмеженими фазовими координатами.
Таблиця 2
Розв'язки задачi управлшня режимнв термiчноT стерилiзащT
Температура стерил1заци, оС Час стериль заци t , хв Харчова щншсть консерв1в (вщносна бюлопчна цшшсть за лабшьшстю бшшв до ферментативного пдрол1зу) у с
112 106 1168
113 105 1214
114 104 1252
115 101 1321
116 96 1321
117 94 1420
118 91 1482
119 89 1544
120 86 1616
121 83 1679
Типовий алгоритм оптимального за швидкодieю керування з урахуванням розглянутих технологiчних обмежень приймае вигляд:
Тс"(т) = а + Ье-р(т"-ТТге(та, тТ);
Тст(т) = а1 + Ь^^-^, Г£(тТ, Д°); (15)
Тс (т) = \
опт V /
Тс„
тах
[1 + (-1)^ ], < г < т}, j = 2,3,...,N.
2
де в першому наближеннi управлшня Тс" (т) и Тст (т), стабiлiзуючi вiдповiдно харчову цiннiсть i температуру на гранично допустимому рiвнi, представляються з достатньою точнiстю експоненцiальними законами змши в часi.
Висновки. На основi отриманих результатiв у робот запропонована загальна методика та обчислювальш алгоритми розв'язання задачi оптимального управлшня процесом нагршання м'ясних консерв1в з урахуванням основних фазових обмежень на максимальну температуру i максимум допустимо! втрати харчово! цшносп у процеа стерилiзацii в автоклавах неперервно! да. Розроблений чисельний метод комплексно! оцшки ефективностi температурно-часового режиму стерилiзацii показуе задовшьну кореляцiю з вiдомими результатами [1-3]. В основу методу покладено розв'язок вщповщно! задачi оптимального управлшня складними системами з розподшеними параметрами, де ефективнють обчислень забезпечена за рахунок застосування алгоритму чисельного ршення задачi напiвнескiнченноi оптимiзацii, заснованого на використанш екстраполяцii вiдхилень температури, що мiнiмiзуються на кожнiй iтерацii
207
Лггература
1. Гембара Т. В., Федишин Я. I., Федишин Т. Я. Управлшня тепловою обробкою м'яса за параметрами бюлопчно! цшносп // Науковий вюник ЛДАВМ iм. С. З. Гжицького. - Л^в - 2003. - Т.5, №1. - С. 149-152.
2. Бурдо О. Г., Федишин Т. Я., Гембара Т. В., Демшв Т. М. Використання закону Аррешуса для теплофiзичного розрахунку процесу стеритзацп м'ясних консервiв // Науковi працi Одесько! держ. академ. харч. технол. - 2001. - Вип. 22. - С.152-159.
3. Федишин Я. I., Гембара Т. В., Федишин Т. Я. Дискретне математичне моделювання теплофiзичного процесу стеритзацп iз застосуванням модифшованих бiофiзичних характеристик термостiйкостi та летальносп // Науковий вiсник ЛНУВМ та БТ iм.С.З. Гжицького - 2012. - Том 14, №2, Частина 3. - с. 276-281.
4. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975.- 569 с.
5. Рапопорт Э. Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. -М.: Наука, 2000. - 336 с.
Стаття надшшла до редакцП 12.10.2015
208
