Оптимальное проектирование силовых конструкций минимального объема при ограничениях по прочности и устойчивости Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XI 19 8 0

№ 1

УДК 629.7.02.34:624.043.2

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СИЛОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ МИНИМАЛЬНОГО ОБЪЕМА ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ ПО ПРОЧНОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ

А. С. Дзюба, Е. К. Лапин

Предложен метод оптимального проектирования тонкостенных конструкций, в которых предельное состояние силовых элементов определяется как требованиями прочности, так и требованиями устойчивости. При последовательном действии на конструкцию нагрузок от нескольких расчетных случаев условно разделяются на две группы расчетные случаи для каждого силового элемента конструкции и проводится независимая минимизация объема конструкции па экстремальные нагрузки первой группы с ограничениями по устойчивости и на экстремальные нагрузки второй группы с ограничениями по прочности. Приведен пример оптимизации прямого крыла.

Для тонкостенной конструкции одним из видов разрушения ее элементов является появление неустойчивых форм их равновесия. Исключение потери устойчивости данных элементов может быть осуществлено при проектировании соответствующими ограничениям и.

При оптимизации конструкции учет ограничений по устойчивости путем выравнивания действующих напряжений в сжатых панелях и включения подкрепляющих ребер с критическими напряжениями общей потери устойчивости [1, 2| является недостаточным, так как это условие не гарантирует отсутствия в панелях местных форм потери устойчивости обшивки и подкрепляющих ребер.

В данной работе предлагается методика оптимизации конструкции, по которой проектные параметры в ее элементах определяются путем решения двух взаимосвязанных задач оптимизации. Решение первой задачи осуществляется минимизацией объема материала с ограничениями по прочности и на минимгльные значения проектных параметров. Полученные оптимальные значения параметров используются в качестве ограничений при минимизации объема материала конструкции с ограничениями на местные и общую формы потери устойчивости ее элементов.

Оптимизация конструкции осуществляется итерационным методом при предположении, что усилия на каждом шаге оптимизационного процесса не зависят от значений проектных параметров в ее элементах.

1. Постановка задачи оптимального проектирования при ограничениях по прочности и устойчивости. Для тонкостенной конструкции, состоящей из панелей обшивки Н, поясов силовых элементов F и стенок Т, характерно разрушение ее элементов не только при исчерпании сопротивления материала, но и вследствие возникновения неустойчивой формы их равновесия. Поэтому задача оптимального проектирования для тонкостенной конструкции формулируется следующим образом.

В заданной конструктивно-силовой схеме тонкостенной конструкции найти распределение проектных параметров, к которым относятся: Л, Ъ — толщины обшивки элементов Н и их приведенные толщины; /—площади поясов элементов F; / — толщины элементов Т, минимизирующие объем материала конструкции при последовательном действии на нее нагрузок от различных расчетных случаев нагружения и при удовлетворении конструктивным ограничениям и ограничениям по прочности и устойчивости.

Объем материала конструкции с учетом разбиения элементов Ну F, Т конструктивно-силовой схемой на конечное число областей и участков запишем в виде

К=У |Ald.S',+ ^ jAd/,+ ^j' tndQn, (1.1)

i Sl к lk и

где б', —площадь г-й панели Н, Lk — длина k-vo элемента F, Йл — площадь /г-й стенки Т.

Границы областей S, 2 и участков I в конструктивно-силовой схеме образованы линиями пересечений элементов F и Т.

Ограничения по прочности в каждом расчетном случае нагружения конструкции определяются как ограничения на напряженное состояние элементов Н, F, Тнагруженных в 5, /, 2 усилиями растяжения, сдвига и в отдельных случаях для элемента Н их комбинациями со сжимающими усилиями

{Nmlh) < а"\ (Хш /) < am, (Nmjt) < am; m — 1, 2, 3, . . ., x,

где m — индекс расчетного случая нагружения; ат, зт, от — допускаемые по прочности напряжения в элементах конструкции Н, F, 7’;

N = I -f- JVl — TV, N2 + ЗЛ& Af, N — внутренние распределенные эквивалентные, сосредоточенные и распределенные сдвигающие усилия в s, I, Q элементов Н, F, Г; /V, N%> Na — компоненты распределенных нормальных и сдвигающих усилий в s элемента Н. Усилия и допускаемые напряжения сжатия принимаются положительными, а усилия и допускаемые напряжения растяжения — отрицательными.

В зависимости от знака и величины внутренних усилий, возникающих в элементах тонкостенной конструкции, разрушение их может произойти не только при нарушении ограничений по прочности (1.2), но и оттого, что форма равновесия этих элементов может стать неустойчивой. При этом изменится характер напряженного состояния и возникнут дополнительные усилия в элемен-

(1.2)

тах конструкции, которые в свою очередь нарушат ограничения по прочности (1.2).

Изменение первоначальной формы равновесия элементов тонкостенной конструкции может произойти ОТ действия В НИХ уСИ' лий сжатия, сдвига или для элемента Н от комбинации усилий сжатия, сдвига и растяжения; в этом случае при проектировании необходимо удовлетворить не только ограничениям по прочности (1.2), но и ограничениям на формы неустойчивого равновесия элементов Н, /\ Т. Переход из устойчивой формы к неустойчивым формам равновесия, к которым относятся местная и общая формы потери устойчивости элементов конструкции, устанавливается на основе существующих критериев прочности по условиям устойчивости. Данные критерии могут быть определены энергетическим методом [3, 4].

По критерию устойчивости определяются критические значения внутренних усилий {М, Л/2, М}, Л^*, при которых форма

равновесия элементов Н, Г, Т в 5, /, 9 будет неустойчивой. Области 5, 9 и участки / элементов Н, Т, Р при определении критических значений усилий рассматриваются изолированно друг от друга с учетом соответствующих граничных условий и при действии усилий, определенных из решения задачи о напряженном и деформированном состоянии конструкции в целом.

Если внутренние усилия {АЛ,, Ы2, Л;3), Л/, N в 5, /, 9 изменять пропорционально некоторым параметрам нагружения г, г, г, то критические значения этих усилий в каждом расчетном случае нагружения будут определяться выражениями

[К N1 Лз} = г [Ми М, АГ* = ?Ъ, N*=77/. (1.3)

По энергетическому критерию устойчивости параметры нагружения определяются как отношения энергии деформации неплоскоп формы равновесия Ди, панели, пояса, стенки к работе А Л,

АЛ, АЛ, произведенной усилиями {/V,, М2, Д'3}, М, N.

г = (Д^/ДЛ), г = (Д-и/ДЛ), г —(Av|AA). (1.4)

Уравнения для определения параметров г, г, г получаются из условий минимума выражений (1.4)

о г = -д!д- (оА^ — г£ДЛ) = 0, 6г = -4=г (8 А г; — гоДЛ) = О,

о г = (оА^ — гоДЛ) = 0.

АЛ

(1.5)

Наименьшие значения параметров нагружения, определяющие первые формы неустойчивого равновесия, находятся из решения задачи о собственных значениях для уравнений

к + гКх = 0, К + г Км = 0, К +7кы = о,

где К, К, К\ К\ , Кн, К\—матрицы жесткости и начальных усилий для элементов Н, Р, Т в 5, /, 9, полученных из условий (1.5) при аппроксимации в выражениях Д^, Ат/, Д'и; АЛ, АЛ, АЛ неплоских форм равновесия элементов Я, ^ Г в 5, /, 9 конечными рядами координатных функций [3, 4].

Согласно энергетическому критерию устойчивости, элементы //, Т в /, 9 не изменяют своей первоначальной формы, если

энергия деформации неплоской формы равновесия больше работы, произведенной усилиями {А/,, тУ2, УУ3}, Л/, N

г > 1, г > 1, г > 1.

В противном случае (г «С 1, /'-<1, г-<1) форма равновесия элементов Н, И, Т в /, 2 будет неустойчивой, а их состояние — критическим при параметрах нагружения, равных единице.

Следовательно, ограничениями, обеспечивающими при проектировании устойчивую форму равновесия элементов конструкции Н, Г, Т в 5, /, £2 при фиксированных усилиях, будут условия

/"*> 1, /-”от> 1, гт>1. (1.6)

13 этом случае критическое состояние в х, /, О элементов Н, Г, Т достигается пропорциональным изменением жесткостей этих элементов.

Отметим, что для элемента /7 в виде панели обшивки, подкрепленной ребрами жесткости, гт = {г?, г”', г™} представляет собой матрицу-столбец параметров нагружения местной формы потери УСТОЙЧИВОСТИ обшивки Г?, подкрепляющих ребер Г‘2 п общей формы потери устойчивости панели гг.

В ряде случаев полученные при оптимизации тонкостенной конструкции оптимальные значения проектных параметров /?, //, /, / в некоторых областях 5, 2 и участках / элементов Н, Т, Г не могут быть реализованы в конструкции по конструктивным или технологическим соображениям. Поэтому помимо ограничений по прочности (1.2) и устойчивости (1.6) необходимо подчинить проектные параметры конструктивным или технологическим ограничениям в виде неравенств

/*>Л0, />/0, />*„, (1.7)

где Л о, /о, — минимальные значения проектных параметров, кото-

рые можно допустить в элементах конструкции Н, /% Т по конструктивным или технологическим соображениям.

Таким образом, задача оптимального проектирования тонкостенной конструкции по условиям местной и общей прочности снодится к минимизации объема материала конструкции (1.1) при удовлетворении в ее элементах ограничений по прочности (1.2), устойчивости (1.6) и конструктивных ограничений (1.7).

2. Двухэтапный метод оптимизации конструкции по условиям местной и общей прочности. Сформулированная задача может быть решена лишь итерационными методами условной оптимизации или математического программирования.

Предполагая независимость внутренних усилий {А'!, ЛЛ, Л/3}, /V, /V от распределения проектных параметров Н, /Г, /, £ в /, 2 элементов /7, /’, Т [2], заменим оптимизацию многократно-статически неопределимой системы на каждом шаге итеративной процедуры оптимизацией условной статически определимой системы.

Для решения сформулированной задачи оптимального проектирования усилия (Л/Г, МТ, Аз”}, АТ71, А^т, возникающие в 5, /, 2 элементов Я, Р, Т при последовательном нагружении конструкции нагрузками нескольких расчетных случаев нагружения, разделим на две группы. К первой группе усилий будем относить усилия, которые при пропорциональном изменении проектных параметров /г, /, / в 5, /, 2 элементов /7, Т7, Т могут нарушить ограничения

по прочности (1.2). А ко второй группе отнесем усилия, которые при пропорциональном изменении жесткостей элементов Н, Р, Т в я, /, 2 могут вызвать неустойчивую форму их равновесия.

Для определения принадлежности усилий в 5, /, 2 элементов /7, Р, Т к одной из этих групп воспользуемся знаками параметров нагружения г, г, г. В выражениях параметров нагружения (1.4) энергия деформации изгиба величина всегда положительная

Дг»>>0, Дг/>0, Д-у > О, а работа ДА, ДЛ, ДЛ в зависимости от знаков усилий {Л,г1, М.2, Л^}, Л/, Л/ в 5, /, 2 элементов Н, Г, Т может принимать отрицательные значения.

Так, например, для пояса значение ДЛ<0 соответствует нагружению его усилиями растяжения.

Следовательно, отрицательные значения работы и соответственно параметры нагружения, меньшие нуля

ДЛ<0, ДЛ<0, ДЛ < 0; г,<0, г,<0, г,<0

означают, что соответствующие им усилия в х, /, 2 элементов

Н, И, Т не могут вызвать неустойчивую форму их равновесия, а поэтому они будут относиться к усилиям первой группы.

Параметры нагружения, большие нуля

''п>°, ги> 0, г„>0, (2.1)

--

означают, что работа фиксированных усилий {А^, Д/2, Аг3], А^, N положительна

ДЛ>0, ДЛ>0, ДЛ>0, а критическое состояние элементов Н, Р, Т В 5, /, 2 в виде условий

г = 1, г = 1, г = 1 может быть достигнуто пропорциональным изменением жесткостей этих элементов. Поэтому усилия, удовлетворяющие В 5, /, 2 элементов Н, /% Т условиям положительности параметров нагружения, будут относиться ко второй группе усилий.

Отметим, что при нагружении конструкции нагрузками одного случая нагружения критерии разделения усилий (2.1) служат критериями разделения элементов Н, Р, Т на две группы элементов [5].

Разделяя на каждом шаге оптимизационного процесса усилия (АГГ, А'Г, Дз1}, Л/ш, А"” в 5, I, 2 элементов Н, Р, Т на две группы, значения проектных параметров в конструкции можно определить из условий минимума объема, материала конструкции при удовлетворении в ее элементах ограничений по прочности и устойчивости, записанных для экстремальных усилий в каждой группе.

Экстремальные усилия в 5, /, 2 элементов //, Р, Т среди усилий первой группы определяются, как максимальные по абсолютному значению среди усилий этой группы

Я-^тахМ?1, £ = тах|Д»Г|, £ = тах|Мга|> (2.2)

т т т

где усилиям А/[", ДГ в х, / соответствуют отрицательные параметры нагружения гт <С 0, гт< 0.

В отличие от такого определения экстремальных усилий среди усилий первой группы экстремальные усилия во второй группе

(2.4)

для каждой области х, 2 и участка / элементов Н, Т, Р, согласно выражениям (1.3), будут определяться минимальными значениями параметров нагружения (2.1), являющихся признаком принадлежности усилий ко второй группе

т Г . ~т ~Х . ~т

). = ГП1П/'Ц, Л = ГП1П/-Ц, А=Ш1П/'[1,

т т т

где

т I . т т _. т \

Ш1П Гц = { ПИП Т\ п, ГП1П Г-2 II, ПИП/'зп}.

т т т т

Теперь задача оптимального проектирования тонкостенной конструкции сводится к итерационной процедуре минимизации объема материала конструкции

щт АР0 с1^ + £ 1 /1Ж) (Ик + ЦI #+1> (02 п, (2.3)

I к 1к п 2п

области 5, 2 и участки / которой последовательно нагружены экстремальными усилиями первой и второй групп, при наличии ограничений:

по устойчивости

>.</+!>(£(/+!>, А(/+1\ А!У), ЛГР)> 1, )

Х(/+1) (/</+1), Лг(/)> > 1, Х(/+1) (*/+1), Л/</}) 1, ]

но прочности

(Я</>/А(/+,,Х°, (7?(/7/(/+1)КН (Я(/>/*(/+1)ХМ. (2-5)

и на минимальные значения проектных параметров

/г(/+1)>/го, /</+1)>/о, (2.6)

где / номер итерации оптимизационного процесса.

Решение задачи (2.3) — (2.6) на каждом шаге итерационной процедуры предлагается осуществить по следующему алгоритму:

1. Для экстремальных усилий первой группы решается задача минимизации объема материала (2.3) с ограничениями по прочности (2.5) и конструктивными ограничениями (2.6) и определяются оптимальные значения проектных параметров для этой задачи

т(/-н> г.и+1) /0'+1) Л!-н)

'*р 1 '*р » у р >

2. Для экстремальных усилий второй группы задача минимизации объема материала (2.3) решается оптимизацией распределения проектных параметров Л</+1), /г(/+1), /(/ °, £(/+п в 5, I, 2 элементов Н, Т из условий минимума объема материала при ограничениях по устойчивости и на проектные параметры в виде

а(/+1)>л</+1), а(/+1)>аУ+1\ /</+1,>/?'+1), *(/+1)>4/+1)- (2-7)

На следующем шаге оптимизационного процесса для проект-пых параметров, определенных из решения задач 1, 2, определяются экстремальные усилия первой и второй групп по признакам (2.1) и снова решаются задачи 1, 2. Итерационный процесс продолжается до тех нор, пока не будет достигнута заданная точность г вычисления минимального значения объема материала конструкции

уа+1) — уа)

~\лп

Метод оптимизации, как показали результаты оптимизаций ряда тонкостенных конструкций, позволяет получить оптимальное решение в соответствии с критериями равнопрочности и равно-устойчивости за небольшое число приближений.

3. Алгоритм и пример оптимизации тонкостенной конструкции. Для тонкостенной конструкции воспользуемся моделью метода конечных элементов, поскольку метод конечных элементов позволяет определить внутренние усилия в элементах конструкции при достаточно полном учете ее конструктивных особенностей.

Элементы Н, Р, Т в рассмотренной интерпретации метода конечных элементов [6] представляются следующей совокупностью элементов: элемент Н в области 5 — трапециевидная панель, подкрепленная в одном или двух направлениях ребрами жесткости и работающая в условиях плоского напряженного состояния; элемент И на участке / — стержень, работающий на растяжение — сжатие; элемент Т в области 2— трапециевидная стенка, работающая на сдвиг.

В областях 5, 2 и участках I распределение проектных параметров Н, / элементов Н, Т, Р считается равномерным. В качестве расчетных усилий ЛА, /V, N при неравномерном их распределении в 5, /, 2 необходимо принимать их средние значения.

Для определения параметров нагружения (г,, г3} для элемента Я в 5, в отличие от решения сложной и трудоемкой в вычислительном плане задачи о собственных значениях, используются более простые зависимости в виде уравнений взаимовлияния [7] при равномерном распределении усилий (Л^, Л/2, А^3} в 5.

1 . лТ I м

и?

Ла°бщ

К

„ООО обш общ общ

где оь о2) а3; аг , о2 , а3 — критические значения нормальных и касательных напряжений местной и общей форм потери устойчивости элемента Н в области 5 при независимом действии усилий А'Г, N2, Аз". При таком определении параметров нагружения считается, что критические значения распределенных нормальных усилий Д/], N2 местной и общей форм потери устойчивости элемента Н в 5 связаны с усилиями А^, ДА, через параметры нагружения г 1, г., линейным образом, а критические значения распределенных касательных усилий А^з для тех же форм потери устойчивости с усилиями А^ связаны через г15 г3 нелинейной связью У г,, У гя.

Для элемента Т, работающего в 2 в условиях сдвига, и для подкрепляющих ребер элемента Н в х, установленных в направлении действия усилий А',, значения параметров нагружения определяются но формулам

1 |Л/т| I — чАТ

?п ~ ’ Гт “ Авр .

где а0, критические значения напряжения сдвига и местной

формы потери устойчивости г-го элемента подкрепляющего ребра.

Оптимальные значения проектных параметров /г, /г в я элемента Н на каждом шаге двухэтапного метода оптимизации определяются методом, изложенным в работе [8] из решения задачи

о минимуме ооъема материала для экстремальных усилий второй группы 1/^+1)= (15(у+1)) А(/ 115 при ограничениях: но устоичивости

1 , 1 - « 1

піп г"7,! ' min гЦ\{ mill /*"г,

т т ~ гп

но прочности

~h~ I Л/?п “Ь А;2 п — /V, и N2 п ' • 3Nil 11

,(/

и на значения проектных параметров Л(/,1) //,, , где о отноше-

ние площади поперечні,їх сечений подкрепляющих ребер к* площади сечения обшивки; (1 + £)// = //; iVin, Mil, iV3|| ~ усилия, соот-ветствуюіцие экстремальным усилиям второй группы для обшивки.

Оптимальные значения проектні,їх параметров t в - определяются так же, как и для Л, Ъ, из решения задачи о минимуме объема материала для экстремальных усилий второй группы 4п 11-при ограничениях:

1 ,

но устойчивости ——- 1,

inin гт

т

по прочности N];t . 3 и на значения проектных параметров t' tv> где Л — усилие сдвига, соответствующее усилию при min г71.

т

Проектные параметры для элементов F на участ-

ках / определяются из решения задачи 1, так как для этих элементов возможна лишь местная форма потери устойчивости, кото-р а я м о ж е т б ы г ь и с к л ю ч е н а соответствуют^ м к о н с т р у к г и в н ы м решение м.

Оптимальные значения проектных параметров Ар г1\ /р/+1\ 4 1 при решении задачи минимизации объема материала конструкции с ограничениями по прочности и конструктивными ограничениями на каждом шаге оптимизационного процесса определяются по методу спуска [9]

Щ+'' — h™ + LU'pM,

(3.1)

t\[ :t\i' + іУ' P '

где /., />, А, р, р. р длины шага и направления спуска для пересчета параметров Ар, /р, /“р в процессе оптимизации.

За направления спуска приняты выражения

! Ри) Л -(л , г(п г, I Я(/)

pU) = (/^ - А0) < 1 ) , = (/^ -Л)

I /,(/) - * I ’ г — '"М /•(/).

V Р ! \ ■ Р

7>(/)— /£</> ) ( л}!1______1 I

Р —У1Р АП- 1 ’

\ р /

которые в точке окончательной сходимости итерационного процесса минимизации объема материала при ограничениях на наиря-

5— «Ученые записки» Л<> | 6&

жения и проектные параметры равны нулю и являются необходимыми условиями минимума этой задачи:

/7 = 0, р = 0, р = 0.

Эти условия могут быть получены методом, изложенным в работе [2].

Длины шагов а, а, а определяются из условий наискорейшего убывания объема материала (2.3) на (У г 1)-м шаге оптимизационного процесса

14/+1)= ^ I ^ р+1) + X1 /Й+11 + 2']' 4И) * (3-2)

/ к I. п У „

I к п

при ограничениях на напряжения и проектные параметры

/?(/) ^, Я(/) Т<и)

К/+1)

<1,

4/+1,=

<1,

/(/+1)

1р

(3.3)

йр+1)— А0 > 0, /р(/+1)-/о>10, 4/+|) —*0>о.

Произведя замену неравенств (3.3) по методу Валентайна равенствами, из условий минимума объема материала (3.2) по £, I, /..получим их значения в виде

/.(/)

*</>

если Ар/+1)>А0,

Лр)б

если Ар ' 1)<С А0:

1(/) =

/

(/>

—------- если /р/+1)>/0,

Ги)_/о’ Ур

если /р/+1) </0;

/?

(Л

(3.4)

Г(/) =

р

если 4/+1)

если /р + 1)

1

При длинах шага, равных единице

ЦП = 1, 7(/) = 1, 1(/)=1, (3.5)

формулы, управляющие процессом минимизации объема материала (2.3) с ограничениями (2.5), (2.6), будут следующими [2]:

К

= А;/’ + (Ар - А0) (/+!)_ /(/) , //О) ^ ' I

/?(/)

Ар’ 3

-1 ,

/■(/-+-1; /л/) I / /и; \

/р /р "1" \/р /о/

4/+1) = 4/) + (4/)-и

/?>■

I-1),

а /

(3.6)

я

(/)

Очевидно, что при оптимизации по формулам (3.1) с длинами шагов (3.4) или (3.5) исходные значения проектных параметров должны удовлетворять условиям

<’>^0, /Г>/о, 40)>'о-

В силу зависимости усилий К, А1, И от проектных параметров //, /, I оценка преимуществ приведенных формул пересчета проектных параметров при оптимизации представляет определенные трудности. Однако можно с уверенностью сказать, что в случае справедливости неравенств

К К /гр , К - , И ~

— >1, если -Г-= о; > 1, если -г- — а; — > 1, если -у-= =; п 0 п\1 } 0 /р с0 *р

Т7«1, если Л= А0;-Д=- < 1, если /р = /0; -^-<1, если * = *0>

V /р° ^р =

сходимость оптимизационного процесса по этим формулам будет одинаковой. В других случаях при оптимизации по формулам (3.(3) можно ожидать ухудшения сходимости, хотя, как показали результаты оптимизации, итерационный процесс сходится достаточно быстро [2].

По разработанному методу оптимального проектирования на базе ССП МКЭ [6] была составлена программа в кодах ЭВМ БЭСМ-6, структура которой показана на рис. 1. Программа может оптимизировать конструкции крыла, оперения и фюзеляжа с односвязанным контуром поперечного сечения, состоящие из 4000 конечных элементов типа приведенных на рис. 2 и имеющих до 2500 степеней свободы (5 степеней свободы в узле). Время решения задачи на одном шаге итерационного процесса оптимизации составит около 30 мин. при полуширине ленты системы алгебраических уравнений < 160 (время решения центрального процессора ЭВМ БЭСМ-6). В качестве проектных параметров могут приниматься: толщина обшивки /г; количество, толщина и высота подкрепляющих ребер А, Лр. с, ср; площади поясов силовых элементов / и толщины стенок £ (всего до 7000 неизвестных). Конструкция может подвергаться последовательному действию пяти случаев нагружения.

Сходимость предложенного метода и возможности программы иллюстрируются на примере оптимизации прямого крыла, имеющего жесткую заделку в корне £ = 0 и состоящего из пяти лонжеронов и 23 нервюр. Крыло последовательно нагружалось нагрузками двух расчетных случаев нагружения. Конструкция состояла из 480 поясов, 240 стенок и 240 панелей, а прочностная модель имела 122 узла и 610 степеней свободы, и число проектных параметров было равно 1700. В качестве общих ограничений принимались значения: Л0 =0,1 см, = 0,1 см,/0 = 0,1 см2; а = а=36000 Н/см2, з = 20000 Н/см2; на интенсивность напряжения в панелях, параметры которых определяются требованиями устойчивости, в качестве ограничения принималось значение з = 40000 Н/см2. Программа позволила минимизировать объем конструкции за девять итераций в течение 23 минут. На рис. 3 приведены расчетная схема конструкции и кривые изменения объемов по итерациям. Характерно*

Рис. 1

77 (номер Приближения)

Рис. 3

б ♦

Н/ммг _

300-200-100-

-юо --200--300 -

-т-

Рис. 4

что если ходимость оценивать по целевой функции, то уже на 4-й итерации максимальное значение объема вычисляется с точностью до 2"о. Однако в ряде областей конструкции на 4-й итерации оптимизационного процесса еще нарушены ограничения по прочности и устойчивости, причем с невязкой до 30%. Поэтому о сходимости итерационного процесса можно судить лишь после того, как нее ограничения, накладываемые на напряженное состояние и н,1 значения проектных параметров, выполнены с заданной точностью.

На рис. 4 распределение интенсивности напряжений о = = — М М, +ЗЛ^Г, по растянутым и сжатым панелям

показывап, что полученное оптимальное распределение проектных параметров удовлетворяет ограничениям по прочности и устойчивости. Ц | рис. 5 и 6 приведены графики нормальных з^и касательных напряжений в обшивке, толщины сжатых и растянутых

панелей Ар в двух сечениях крыла £ = 0,2 и £ = 0,7. В таблицах на рис. 5 н б приведены значения проектных параметров в сжатых панелях крыла А и В. Там же дано сравнение критических напря-

п с£ / _ Ср \

жений о; ,, ПО величине ~ = — Н-ь “ ) С КрИТИЧеСКИМИ НЭ-

Область актибньїх ограничении по прочности \//\/їір=<5,Ьо>Ь0

Область констрдктиб-нь/х ограничении

Область антивных ограничении по устойчивости г=1, \Ы\/ЬС ^ б, Ьс >Ь0

1=0,2

Ыь

л.

Н /мм1 300

100

ТОО

о

-700

-гоо

-300

-т

Ьс,ЬР,мм | иг „ Поперечное0 сечение пане пи ”

О

ц/а,Н/мм1 5,0

Ь, мм 415

чг •О ] а, мм 330

Ьс, мм 1,85

Панель А1 К 5

Лп К.с , мм 3,5

■О——*' ср, мм 30

Ь/кСр 2,51*

^р с / Ь с 1,13

<51,.г,,н/м”г 400

Фактор Влияния пи Фаррару 0,7

О —о

б/л ах ,Н/мм1 т т

1

Рис. 5

0,7

Ь!к

И/1

'"тиЩп/г

I Лр ■

ц/а, н/мм1 2.0$

Ь, мм Ч75

а, мм 400

Ьс ,мм 1,64

к 11

ЬР с, мм 2,6

с0, мм 12,3

Ь/ кср 1,93

Ьрс / 1,58

в111Г,Н/ммг 175

Фа коп ? блияни ,7 по Фаррар^ 0,175

бтах.фм2 [7] 290

Рис. 6

пряжениями згаах, определенными по Фаррару [10], величина которого определяется геометрическими параметрами поперечного сечения оптимальных панелей. Полученные результаты и проведенное сравнение показывают, что разработанный метод позволяет проектировать рациональные силовые конструкции, удовлетворяющие ограничениям по прочности, устойчивости и ограничениям на минимальные значения проектных параметров, при минимальных затратах объема материала по критериям равнопрочности и равнеустойчивости.

1. Старока домская 3. М., Симонов В. Г. Оптимизация авиационных конструкций на несколько случаев нагружения с применением метода конечного элемента с учетом потери устойчивости сжатых панелей. Труды ЦАГИ, вып. 1777, 1976.

2. Б и р ю к В. И., Липин Е. К., Фролов В. М. Методы проектирования конструкций самолетов. М., „Машиностроение", 1977.

3. А л ф у т о в Н. А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М., „Машиностроение", 1978.

4. Тимошенко С. А. Устойчивость упругих систем. М., ,Гос-техиздат", 1946.

5. Л и п и н Е. К. Проектирование сложных силовых конструкций максимальной жесткости с учетом требований прочности, местной и общей потери устойчивости. Труды ЦАГИ, вып. 1768, 1976.

6. И в а н о в Ю. И., М а з у р В. В. Специализированная система программирования расчетов на прочность методом конечных элементов. Труды ЦАГИ, вып. 1731, 1976.

7. Б е л о у с А. А., Поспелов И. И. Устойчивость панелей крыла малого удлинения. Труды ЦАГИ, вып. 1783, 1976.

8. Липин Е. К. Оптимальное проектирование подкрепленных панелей при комбинированном нагружении. „Ученые записки ЦАГИ", т. 9, № 1, 1978.

9. Гилл Ф., Мюррэй У. Численные методы условной оптимизации. М., „Мир", 1977.

10. Хертель Г. Тонкостенные конструкции. М., „Машиностроение", 1965.

Рукопись поступила 23/VI 1978 г.