CC BY
81
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м IX 1 97 8 № 1
УДК 629.735.33.018.4
ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПАНЕЛЕЙ ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ НАГРУЖЕНИИ
Е. К. Липин.
Изложен аналитический метод оптимального проектирования подкрепленных панелей, находящихся в условиях комбинированного нагружения. Толщина обшивки, количество подкрепляющих ребер, толщина и высота подкрепляющих ребер определяются из условия минимума массы панели при удовлетворении ограничений по прочности, местной и общей потере устойчивости.
Для тонкостенной конструкции характерно, что оптимальное распределение проектных параметров в ее силовых элементах (поясе, панели, стенке) должно определяться с учетом как ограничений по прочности, так и ограничений по местной и общей потере устойчивости. В качестве критерия оптимальности для определения оптимальных параметров этих силовых элементов часто используется принцип равной устойчивости, согласно которому считается, что в оптимальной конструкции все формы потери устойчивости наступают одновременно. Оптимальному проектированию панелей с использованием принципа равной устойчивости в настоящее время посвящен ряд работ (например, [1, 2]). Однако в ряде случаев принцип равной устойчивости выражается числом уравнений, меньшим, чем число проектных параметров, подлежащих определению из этих уравнений. Кроме того, при этом не учитываются ограничения по прочности.
В данной работе дается аналитический метод оптимального проектирования подкрепленных панелей, проектные параметры которой определяются из условия минимума веса при ограничениях по прочности, местной и общей потере устойчивости.
1. Проектные параметры, целевая функция и ограничения. Проектными параметрами для подкрепленной в одном направлении панели являются: Л — толщина обшивки, Лр, ср — толщина и высота подкрепляющих ребер, к — число подкрепляющих ребер*
Задача оптимального проектирования силовой конструкции заключается в выборе значений проектных параметров ее элементов, минимизирующих целевую функцию при наличии ограничений.
В качестве целевой функции в задаче оптимального проектирования подкрепленной панели примем ее массу
М = раЬ(1 +-8) А,
(1)
где М — масса подкрепленной панели, р — плотность конструкционно ср
ного материала панели, а, о—длина и ширина панели, 8 = —^--
отношение площади подкрепляющих ребер к площади сечения обшивки.
В общем случае плоские подкрепленные панели испытывают в силовой конструкции действие одновременно нескольких видов нагружения (сжатие, растяжение, сдвиг). Следовательно, элементы подкрепленной панели могут быть нагружены усилиями: А,г = Ло2, = Л^г = йглг — распределенные усилия, действующие в обшивке подкрепленной панели; Л^, = крср ор — сосредоточенная сила приложенная к подкрепляющему ребру; ог, ах, чхг—компоненты нормальных и касательных напряжений, действующих в обшивке, ор — нормальное напряжение в подкрепляющем ребре.
Принимая во внимание конструктивное оформление панели, рассмотрим следующие возможные виды разрушения подкрепленной панели:
— местная форма потери устойчивости обшивки между подкрепляющими ребрами;
— местная форма потери устойчивости подкрепляющего ребра;
— крутильная форма потери устойчивости подкрепляющего ребра;
— общая форма потери устойчивости подкрепленной панели;
— разрушение (или начало текучести) конструкционного материала панели.
Влияние одновременности действия нескольких нагрузок (комбинированное нагружение) на величину критической нагрузки может быть учтено с помощью уравнения взаимодействия [3].
Согласно уравнению взаимодействия, ограничение по местной потере устойчивости обшивки (отсутствие местной формы потери устойчивости) будет иметь вид неравенства:
где Мг1Н = аг, Мл/Н = ох, Л/^/й = -с„ — компоненты действующих напряжений в обшивке; о°, — критические значения нормаль-
ных и касательных напряжений местной формы потери устойчивости обшивки при независимом действии усилий Л^, Ых, Ихг. Ограничение по местной и крутильной форме потери устойчивости подкрепляющего ребра (отсутствие местной и крутильной форм потери устойчивости) будет также иметь вид неравенства:
где о° — критическое значение нормальных напряжений местной формы потери устойчивости подкрепляющего ребра; о*р — критическое значение напряжений крутильной формы потери устойчивости подкрепляющего ребра; ор — нормальное напряжение в подкрепляющем ребре, возникающее от действия внешних усилий на панель.
(2)
(0Р! 0рР)т1п Ор,
(3)
Так как по линии сопряжения подкрепляющего ребра с обшивкой имеет место условие совместности деформации (гр = г2), то нормальное напряжение в подкрепляющем ребре будет определяться в соответствии с выражением
,„ = £,„ (4,
Согласно уравнению взаимодействия, ограничение по общей потере устойчивости подкрепленной панели (отсутствие общей формы потери устойчивости) будет иметь вид неравенства:
-+ Г^бБГ + ЬЗбИГ Ь (5)
йзобщ г Лдобщ г ^ Лтобщ
общ общ общ
где ог , <зх , хХ2 — критические значения нормальных и касательных напряжений общей формы потери устойчивости подкрепленной пластины при независимом действии усилий А/г, Их,
В качестве критерия разрушения (или начала текучести) конструкционного материала панели примем критерий энергии формоизменения [4]. Согласно данному критерию, ограничение по прочности будет иметь вид неравенства
УN1 + N1 - ЫхЫг + 3N1; <аТ) (6)
где ат — предел текучести конструкционного материала панели или допускаемое с точки зрения требований прочности значение эквивалентного напряжения.
Принимая во внимание равенство (4), из условия (6) получим, что ограничение по прочности (6) для обшивки приводит к удовлетворению ограничений по прочности и для подкрепляющих ребер
зр < ат. (7)
Таким образом, задача оптимального проектирования подкрепленных панелей будет заключаться в том, чтобы определить оптимальное распределение проектных параметров подкрепленной панели (й, Лр, ср), обеспечивающее минимум массы при наличии ограничений по устойчивости (2), (3), (5) и по прочности (6), (7).
2. Метод минимизации массы подкрепленной панели. Сформулированная задача оптимального проектирования подкрепленной панели при наличии ограничений по устойчивости и прочности весьма сложна. Для ее решения введем новую переменную в виде интенсивности напряжений в обшивке о*. Значение о* определим из условия минимума массы панели (1) при условии, что в панели реализуется принцип равной устойчивости, т. е. ограничения по местной и общей формам потери устойчивости (2), (3), (5) представляют собой строгие равенства.
В соответствии с требованиями прочности (6) о* должна удовлетворять ограничению по прочности
Система ограничений (2), (3), (5) в виде равенств и равенство (8) представляют собой совместную систему уравнений, из которой получим выражения проектных параметров Л, hp, ср, к подкрепленной панели как функции новой переменной о*
/ф*), Mo*), ср(°*)> М0*)-
Следовательно, масса подкрепленной панели будет зависеть только от переменной о*, значение которой определяется из условия минимума целевой функции (1)
^ - 0. (9)
Оптимальные значения проектных параметров h, hp, ср, к определяются для полученного из условия минимума массы панели (9) значения переменной о*, если удовлетворяется ограничение по прочности в виде (8). В противном случае (о*>зт) оптимальные значения параметров А, Лр, ср, k определяются из системы уравнений, полученных заменой ограничивающих неравенств (2), (3), (5), (6) равенствами при условии, что о* = от.
Следовательно, для о*<от в оптимальной подкрепленной панели реализуется принцип равной устойчивости (все формы потери устойчивости панели наступают одновременно), а для а* = зт в оптимальной подкрепленной панели реализуется принцип одновременности разрушения по всем возможным формам разрушения панели.
Выражения проектных параметров h, Лр, ср, k как функции переменной о* получим из следующей системы уравнений:
N* I N* i ( Nx* \2 - 1
" - ° ' U;J кбщ + кбш j '
h<3- ha,
(°p , °pP)min = Op. VN¡ +
Ni,
(10)
Критические напряжения местной формы потери устойчивости обшивки и подкрепляющего ребра, а также общей формы потери устойчивости подкрепленной панели будем определять по формулам, приведенным в работе [5].
Критические напряжения о°, о°, местной формы потери устойчивости обшивки, расположенной между подкрепляющими ребрами, определяются по формулам:
¿ = *°х = Ахк>к\ = (11)
где Лг = кгАи Ах — 1гхА1, Ахг = кхгАх\ А1 = ¡Y(Г^i^)Ts'
Коэффициенты кг, кх, кхг, зависящие в общем случае от способа закрепления обшивки по периметру и размеров пластины, принимают в случае длинных пластин (а>6/£) асимптотические значения, которые не зависят от соотношения сторон пластины. Данное обстоятельство имеет место для панели обшивки, подкрепленной в одном направлении.
Согласно [5], для рассматриваемого вида подкрепляющих ребер имеет место неравенство зр<С°£р- Следовательно, для ребра определяющей является местная форма потери устойчивости.
Для шарнирно опертого по двум коротким и одной длинной сторонам = 0,456) подкрепляющего ребра выражения критического напряжения местной формы потери устойчивости
Лр\2 к?«»Е
, (12)
Критические значения напряжений общей формы потери устойчивости [5] будут определяться по формулам:
Общ_ , (1 + р»)Д + ,2. общ_ Л 2(1
. и -г н-г -г ¿2. оощ_ я м'ТГ ' -г
Л1 ра(1 + 5) —Л1 р» Я
(13)
где Е1—изгибная жесткость подкрепляющего ребра, * —коэффициент, учитывающий увеличение изгибной жесткости ребра при асимметричном расположении его относительно срединной плоскости обшивки (в рассматриваемом случае *«3).
Из первого и четвертого уравнений системы (10) при замене , я** по формулам (11) получим выражения для /г и £ как функции переменной о*
|> Н£*Т. (14)
где
Для получения выражений /гр и ср как функции переменной о* предварительно из третьего уравнения системы (10) получим связь между Лр, ср и о* при замене А .по формуле (14) в выражении (12)
для ор
Ар=.А,СрУ^; (15)
Используя (14) и (15), произведем замену во втором уравнении системы (10) выражений для а°б1«, а°бщ, -с°вщ по формулам (13). Из данного уравнения получим зависимость ср от а* в виде сложного трансцендентного уравнения, которое невозможно в явном виде разрешить относительно ср. Для получения явного выражения для Ср (з*) введем параметр я, который с учетом (13), (14), будет иметь вид:
_N._ ЛЬР« ^Ч3
а (-1 ^гС + ^^Ь А Агк ■ (16)
'[ г р»(1 + 8) ]
Согласно ограничению (5), параметр а будет характеризовать вклад нагрузки Мг в критическое состояние общей потери устойчивости.
В дальнейшем выражение (16) будем использовать в качестве ограничения по общей форме потери устойчивости. Следовательно, из (16) при замене А? по формулам (13) —(15) в виде
4 А0 У А,Га;5 4 Лт Ср
получим выражение для ср как функцию о^:
V'* V т.А1А0УАаА3 \ а 1 v '
Согласно (17), толщина подкрепляющего ребра Ар, определяемая по формуле (15), будет функцией параметра а:
Лр = Л3Л4(а). (18)
Подставляя Л, Ар, ср и И по формулам (14), (17), (18) в выражение для целевой функции (1), получим массу подкрепленной панели М как функцию переменной от и параметра я
М = раЬ
А2 . А*А\ / Д, \3/2 .
^(а.о^. (19)
Из условия минимума целевой функции (19) при фиксированном значении параметра а
дМ .
—цт = ?аЬ
дат
которое вследствие условия
А л. А*А* (А\312 Ь (
О,
д*М , 2А2 . А
—,5- = раЬ >0
будет достаточным условием минимума массы подкрепленной
панели, получим выражение переменной о* как функцию параметра а
^_____ 4 ^ ' ' ^ "' ' '
• _ Л2 л/ >-Ь Л, Кл Ач { а \ . т
Зт~ X V К л0- V ■ ( )
При получении выражений для проектных параметров А, А, Ар и ср как функций о^ использовались ограничения в виде равенств для местной формы потери устойчивости обшивки и подкрепляющего ребра.
Значение параметра а определим из ограничения по общей форме потери устойчивости (5) в виде равенства при замене проектных параметров А, Ар, ер, А по формулам (14), (17), (18), (20)
-^-+ + «и>
Решение уравнения (21) относительно параметра а может быть найдено по одному из известных численных методов решения трансцендентных уравнений.
Для найденного из (21) значения параметра а определяется по формуле (20) значение эквивалентного напряжения а*, при котором проектные параметры, рассчитанные по формулам (14), (17), (18), доставляют минимум целевой функции (1).
В качестве примера решалась задача оптимизации проектных параметров шарнирно опертой по краям подкрепленной панели со следующими исходными данными:
а = 200 см, Ъ— 100 см, = 2-104 Н/см, Nz - 104 Н/см,
;У,г = 0,4-104 Н/см, Е = 0,72-107 Н/см', v = 0,3, А, = 4, кя=1, ¿« = 5,35, £р = 0,45б, зт — 3-104 Н/см.
Для данного примера, в соответствии с разработанным методом оптимального проектирования, получены следующие значения оптимальных параметров:
h ==1,0 см, Ар =1,28 см, ср = 16,45 см, k — 4,74, 0;= 1,850-10* Н/см2 <3-104 Н/см2, 8=1, т^= 1,285, а = 0,150,
«Ср
доставляющих минимальное значение массе подкрепленной панели:
Ж/р = 4,0 -104 см3.
ЛИТЕРАТУРА
1. Андриенко В. М„ Белоус А. А. Устойчивость подкрепленных в одном направлении пластин при двухосном сжатии. Труды ЦАГИ, вып. 1353, 1971.
2. Синицын В. Ф. Выбор оптимальных панелей, жесткости и веса крыла. Труды ЦАГИ, вып. 1682, 1975.
3. Поспелов И. И., Белоус А. А. Устойчивость панелей крыла малого удлинения. Труды ЦАГИ, вып. 1783, 1976.
4. Гольденблат И. И., Копнов В. А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М., .Машиностроение", 1968.
5. Тимошенко С. А. Устойчивость упругих систем. М., Гостехиздат, 1946.
Рукопись поступила 16/П 1977 г•
