Оптимальная переориентация орбиты с помощью тяги, ортогональной вектору скорости космического аппарата Текст научной статьи по специальности «Физика»

Рекуррентная формула для нахождения Dn,c и Dn,s функций получена в [2], там же исследованы их свойства.

Формула (10) это аналитическое решение краевой задачи (5), (6). Полученный результат справедлив для малых значений времени т. Корректность вывода подтверждается тем, что при 6 = 0, когда один из слоев оболочки имеет нулевую толщину, решение (10) совпадает с решением соответствующей задачи для однослойной оболочки (см. [3]).

Численный анализ результатов решения задачи показал, что существенное влияние на поведение изгибающего момента оказывает отношение жесткостей слоев оболочки. Чем оно больше, тем быстрее решение для изгибающего момента стремится к решению соответствующей стационарной задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вильде М. В., Коссович Л. Ю., Шевцова Ю. В. Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая многослойной тонкой оболочки// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 2. С. 56-64.

2. Коссович Л. Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1986. -176 с.

3. Kossovich L. Yu., Parfenova Ya. AFlexural transient waves in shells of revolution : an asymptotic approach // ZAMP. 2000. № 4. P. 611-628.

4. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и оперционное исчисление. М. : Физматгиз, 1961. -524 с.

УДК 629.78

Я. Г. Сапунков

ОПТИМАЛЬНАЯ ПЕРЕОРИЕНТАЦИЯ ОРБИТЫ С ПОМОЩЬЮ ТЯГИ, ОРТОГОНАЛЬНОЙ ВЕКТОРУ СКОРОСТИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

С использованием переменных КустиинхеГшо Штмфеля [1, 2] в статье решена задача об оптимальной переориентации орбиты космического аппарата (КА) для трех вариантов условий, наложенных на тягу двигателя аппарата. В первом случае тяга полагается ограниченной (двигатель малой тяги) и вектор тяги ортогонален вектору скорости аппарата. Во втором случае сохраняется лишь условие ограниченности тяги. В третьем случае тяга полагается импульсной (двигатель большой тяги). Для решения задач об оптимальной переориентации орбиты КА использовался принцип максимума Понтрягина.

1. Постановка задачи. Как известно, орбита КА определяется с помощью пяти классических элементов: а - большая полуось эллипса,

е - эксцентриситет, / - угол наклона орбиты, - долгота восходящего узла, - угловое расстояние до перицентра. Положение КА на орбите определяется истинной аномалией Результаты решения задач об оптимальной переориентации орбиты представлены ниже в безразмерных переменных. Для возвращения к размерным переменным необходимо использовать масштабы координат положения К А Я, координат скорости V, времени Т и тяги, отнесенной к единице массы Ж, которые определяются по формулам

Я = <^(1 - е2), V = М/Я, Т = Я(Я/(7М))1/2, Ж = 7М/Я2,

где 7 - гравитационная постоянная, М - масса центра притяжения.

Далее большая полуось орбит будет отнесена к размерному значению большой полуоси начальной орбиты. Ориентация орбиты КА в начальный момент времени определяется классическими элементами:

ан = 1.0, ен = 0.1, 4 = 5.0°, ^н = 30.0°, = 50.0°. (1)

Начальная истинная аномалия КА = 0.5 рад. Ориентация орбиты, на которую необходимо перевести КА, определяется классическими элементами:

ак = 1.0, ек = 0.1, /к = 8.0°, ^к = 34.0°, = 46.0°. (2)

Функционал, определяющий качество процесса управления и принимающий минимальное значение для оптимального процесса, представляет собой свертку двух критериев (времени и суммарного импульса величины тяги, отнесенной к единице массы КА, затраченных на процесс управления) с весовыми множителями, в безразмерных переменных имеет вид

J = J («о + а1|р|) а0 = 1.0, а1 = 2.5. (3)

о

Для задач с ограниченной тягой на управляющий параметр наложено ограничение |р| < ртах = 1.0.

2. Примеры решения задачи. В табл. 1 в безразмерных переменных приводятся результаты решения задач с функционалом (3) об оптимальном переводе КА с орбиты (1) на орбиту (2) для трех видов тяги. Для всех трех видов тяги оптимальный процесс состоял из трех этапов: первый и третий этапы активные, на которых величина тяги принимает максимально допустимое значение, а второй этап пассивный, на

котором двигатель отключен. Для импульсного двигателя длительности активных этапов нулевые и в эти моменты времени происходит скачкообразное изменение вектора скорости КА. В первой колонке табл. 1 и 2 указаны характеристики оптимальной тяги. Во второй и третьей колонках табл. 1 приводятся значения импульса модуля тяги (приращение характеристической скорости) на начальном и конечном этапах соответственно. В четвертой и пятой - длительности пассивного этапа и длительности всего процесса управления, а в шестой - значения функционала.

Таблица 1

Характеристика тяги |1тРн1 1^тРк 1 J

Ограниченная тяга ортогональная вектору скорости |р| < 1 0.0926 0.0878 0.4711 0.6514 1.1023

Ограниченная тяга без условия | р| < 1 0.0967 0.0914 0.4425 0.6305 1.1006

Импульсная тяга без условия ортогональности 0.1084 0.0984 0.4810 0.4810 0.9980

Таблица 2

Характеристика тяги а е I, ° ^и,

Ограниченная тяга ортогональная вектору скорости |р| < 1 1.0 0.0999 7.4689 70.415 9.9400

Ограниченная тяга без условия | р| < 1 1.0074 0.1049 7.6180 71.526 11.580

Импульсная тяга без условия ортогональности 1.0087 0.1062 8.2808 72.500 10.822

В табл. 2 приводятся значения классических элементов орбиты К А для пассивного этапа для трех видов тяги.

Из табл. 1 видно, что функционал, определяющий качество процесса управления, минимален в случае импульсной тяги.

В табл. 3 и 4 приводятся аналогичные данные оптимальной переориентации орбиты КА с функционалом (3) для случая, когда начальная орбита определяется соотношениями (1), а конечная орбита, на которую необходимо вывести К А, соотношениями:

ак = 1.0, ек = 0.1, 1К = 18.0°, Пик = 74.0°, = 86.0°. (4)

Характеристика тяги \1шрИ 1 \1трк \ Д^пас и J

Ограниченная тяга ортогональная вектору скорости |р| < 1 0.0926 0.0878 0.4711 0.6514 1.1023

Ограниченная тяга без условия | р| < 1 0.0967 0.0914 0.4425 0.6305 1.1006

Импульсная тяга без условия ортогональности 0.1084 0.0984 0.4810 0.4810 0.9980

Таблица 4

Характеристика тяги а е I, 0 ^и■ ■ 0

Ограниченная тяга ортогональная вектору \ р\ < 1 1.0 0.0999 7.4689 70.415 9.940

Ограниченная тяга без условия \ р\ < 1 1.0074 0.1049 7.6180 71.526 11.580

Импульсная тяга без условия ортогональности 1.0087 0.1062 8.2808 72.500 10.822

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика, М, : Наука. 1975. 304 с.

2. Сапунков Я. Г. Оптимальное управление космическим аппаратом с двигателем ограниченной или импульсной тяги и солнечным парусом // Мехатроника, автоматизация, управление. 2014. № 4. С. 55-61.

УДК 531.36:521.135

Г. Д. Севостьянов

ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ

ЧЕТЫРЕХ ТЕЛ

Интеграл энергии п тел записан в относительных скоростях. Для относительных уравнений движения дана форма в триадах. Построено частное решение для тетраэдра тел (п = 4).

Теоретические проблемы небесной механики до сих пор требуют своего решения: проблема захвата в системе трех тел; проблема Смейла о конечности количества тел относительного равновесия и др. Частные