CC BY
16
Таблица 3
Характеристика тяги \1шрИ 1 \1трк \ и J
Ограниченная тяга ортогональная вектору скорости |р| < 1 0.0926 0.0878 0.4711 0.6514 1.1023
Ограниченная тяга без условия | р| < 1 0.0967 0.0914 0.4425 0.6305 1.1006
Импульсная тяга без условия ортогональности 0.1084 0.0984 0.4810 0.4810 0.9980
Таблица 4
Характеристика тяги а е I, 0 ^и■ ■ 0
Ограниченная тяга ортогональная вектору \ р\ < 1 1.0 0.0999 7.4689 70.415 9.940
Ограниченная тяга без условия \ р\ < 1 1.0074 0.1049 7.6180 71.526 11.580
Импульсная тяга без условия ортогональности 1.0087 0.1062 8.2808 72.500 10.822
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика, М, : Наука. 1975. 304 е.
2. Сапунков Я. Г. Оптимальное управление космическим аппаратом с двигателем ограниченной или импульсной тяги и солнечным парусом // Мехатроника, автоматизация, управление. 2014. № 4. С. 55-61.
УДК 531.36:521.135
Г. Д. Севостьянов
ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ
ЧЕТЫРЕХ ТЕЛ
Интеграл энергии п тел записан в относительных скоростях. Для относительных уравнений движения дана форма в триадах. Построено частное решение для тетраэдра тел (п = 4).
Теоретические проблемы небесной механики до сих пор требуют своего решения: проблема захвата в системе трех тел; проблема Смейла о конечности количества тел относительного равновесия и др. Частные
аналитические решения [1-4] позволяют объяснить некоторые свойства движения системы тел.
Интеграл энергии Е = Т + П = Ео в задаче п тел, где
Т = Е т у
п = -
/ Е
mimj
д=1
■ ■ ! Ду
i<j
можно, считая центр масс О неподвижным ( ^ тдУд = 01, после умно-
\Л=1 /
п
ження на 2 ^ тд = 2М записать в относительных скоростях, вычитая д=1
( п 2
в обеих частях I ^ тд 14 I = 0: \Л=1 /
Е
м=1
i<j
mimj
(V - у)2 - 2
М
= 2МЕо, м = /М.
(1)
При п = 3 он записан в [4]. 2- квадрат «параболической» скорости
г(п-1)
для двух тел М,; и М^ Сумма слева в (1) содержит 2 Уравнения для относительных движений ( Дij = У, — 1
скобок.
/ Е
тд
Д ^ Д i
Л
д=1
« < ^
можно записать, выделяя ньютоновскую силу. Так,
Я Д10 / Д12 , ^23 , Дз1
Д 12 = -Мт^Г + тз/ I ТГ- + ТГ- +
Д3
Д3
12
Д3
Д23
Д3
Д31
. Д 24 . Д 41
+ л 9 +
12
Д3
Д24
Д3
Д41
+
+
(2)
где имеется ряд из триад. Триада равна нулю, если три ее тела образуют равносторонний треугольник. Для п = 3 триада использована в [5].
п=3
образуют равносторонний треугольник, а также для тетраэдра (п = 4). Если длина ребра тетраэдра Д(£), то для движения тела М2 около М^
Д/
Д12 = -МД, М = /М, М = ^
тд,
(3)
д=1
т.е. относительная траектория плоская. Пусть ОМ к = Гк в неподвижной системе О^пС тогда
= ¡т (Ш2А12 + тзД1з + Ш4Д14) = —т\к2то, к2 = Д
плоской будет и абсолютная траектория М^ Аналогичные уравнения для всех тел системы:
Гк + к2г к = 0, к = 1, 2,3,4, (4)
в неподвижной системе О^пС В связанной системе Охуг координаты четырех тел пропорциональны А, тогда в системе О^пС
Гк = Арк(£), к = 1, 2,3, 4. (5)
Если при £ = 0 система неподвижна, то тела согласно уравнениям (4)
О
гося тетраэдра уменьшаются) до их столкновения. Аналогичное решение
О
Системы О^пС и Охуг совпадают, рк(£) = ск(т1,т2,т3,т4), имеет место интеграл энергии:
г 2 с3
т- ^=, (б)
откуда находятся законы движения г к (£) системы тел.
Время движения всех тел до удара равно
П А3/2
^ = Д0 = А(0).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хильми Г. Ф. Качественные методы в проблеме п тел. М. ; Л. :: Изд-во АН СССР, 1958. 123 с.
2. Зигель К. Л. Лекции по небесной механике. М, : Изд-во иностр. лит. 1959. 300 с.
3. Тхай В. Н. Симметричные периодические орбиты задачи многих тел. Резонане-ность и парад орбит // Прикладная математика и механика. 1995. Вып. 3. С. 355-365.
4. Севастьянов Г. Д. Равнобедренная конфигурация в плоской неограниченной задаче трех тел. Ч. 2 // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2012. Вып. 14. С. 142-144.
5. Севастьянов Г. Д. Равнобедренная конфигурация в плоской неограниченной задаче трех тел // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 12. С. 187-189.
