Особый Режим в задаче переориентации орбиты космического аппарата Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Панкратов И. А., Сапунков Я. Г., Челноков Ю. Н. Об одной задаче оптимальной переориентации орбиты космического аппарата // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2012, Т, 12, вып. 3, С, 87-95,

2, Челноков Ю. Н. Переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Прикладная математика и механика, 2012, Т. 76, вып. 6, С, 895-912,

УДК 629

И. А. Панкратов, Я. Г. Сапунков, Ю. Н. Челноков

ОСОБЫЙ РЕЖИМ В ЗАДАЧЕ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

В настоящей работе исследуется следующая задача оптимального управления ориентацией орбиты космического аппарата (КА): необходимо определить ограниченное по модулю управление и :

итах — и — итах < ОС^ и ±|и1,

ортогональное плоскости орбиты КА, переводящее орбиту КА, движение центра масс которого описывается уравнениями

„(А г . с .

2— = А о , шп = и-%\ +—^ гз, (И с г2

dç c p

dt r2 ' 1 + e cos ç ' из заданного начального состояния

c = con st,

t = to = 0, ç(0) = ço, A(0) = A(0) = Л0 о (cos ( + i3 sin (

2

2

в конечное состояние

t = ti =?, ç(ti) = çi, vect A(ti) о Л* о (cos ( + i3sin (j =0.

22

При этом необходимо минимизировать функционал

г il

J = (ai + a2|u|) dt, ai,a2 = const > 0.

Jo

A

Л - кватернион ориентации op биты К A, r - модуль радиуса-в ектора r

центра масс КА, с - постоянная площадей, ^e - параметр и эксцентриситет орбиты, f - истинная аномалия. Верхняя волна - символ сопряжения. Величины с,р, e, fo, Л0, A* - заданы; подлежат определению ti, fi и оптимальный закон управления u = u(t).

Поставленная задача решается с помощью принципа максимума. Для этого вводятся переменные / и х, сопряженные к фазовым переменным Л и f. Функция Гамильтона^Понтрягина имеет вид

1 r с

H = -(ai + «2|u|) + 7:[u Vi + — (vs + 2х)], (1)

2 с r2

где v1, vs - компоненты кватерпиона, v = Л о

Оптимальное управление, находимое из условия максимума функции Гамильтона Iкштрягина (1), имеет вид

umaxsign Vi, r|vi|/(2«2c) - 1 > 0, uo =4 0, r|vi|/(2«2c) - 1 < 0,

?, r|vi|/(2«2c) - 1 = 0, t G [t*; t**].

Также была построена система дифференциальных уравнений для сопряженных переменых и условия трансверсальности, не содержащие неопределенных множителей Лагранжа. Исходная задача сведена к краевой задаче с подвижным правым концом траектории 10-го порядка.

В работе [1] было показано, что порядок краевой задачи можно понизить (без её усложнения) на 6 единиц и привести её к уравнениям

¿VI С <^2 С Г <^3 Г /оч ~ТГ = , ~77~ =--2 VI + - ^3, — =--Щ^. (2}

а£ г2 а£ г2 с с

Рассмотрим подробнее случай особого управления, когда

ГМ/(20!2С} = 1 (3)

на некотором промежутке времени [£*; £**]. (При этом функция Гамильтона 1кштрягина (1) не зависит явно от управления. Можно показать, что это возможно лишь при «1 = 0.)

Возведём соотношение (3) в квадрат и продифференцируем его по времени, имеем:

г2 ^ г аг 2

2с2 ^ + 2с2 ОТ2 =0.

Следовательно,

vi = 0,

1 r dr (4)

-V2 + —,-т: vi = 0. с с2 dt

Продифференцируем второе соотношение (4) по времени и учтём (2):

uo =

c

rV3

r

1 / i dr\ d2r

С V ddt + rdt2

1 dr

vi - -

r dt

В случае круговой орбиты (г = сопэ!) оптимальное управление имеет вид и0 = с2^/(г3^3).

Авторами предложен оригинальный алгоритм численного решения указанных дифференциальных краевых задач оптимальной переориентации орбиты КА, являющийся комбинацией методов Рунге Купи 4-го порядка точности, Ньютона, градиентного спуска. Приводятся примеры расчетов. Построены графики оптимальных траекторий и управлений.

Начальное и конечное значения кватерниона ориентации орбиты равны:

Л0 = ( 0.340051, -0.202771, 0.778442, -0.487111); Л* = ( 0.270571, -0.135281, 0.784644, -0.541133).

Л 1

0.5

-0.5

Л2

Ап

--и

Л1

Лз

0 0.2 0.4 0.6 0.8

U 1

0.5

-0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Рис. 1

Л 1

0.5

-0.5

Л2

Л0

Л3

U 1

0.5

-0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.!

1 1.2 t

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

t

Рис. 2

На рис. 1 приведены результаты решения в безразмерных переменных краевой задачи для функционала J01 |u|dt ^ min (e = 0.2) и неособого управления. На рис. 2 - для того же функционала и особого управления. Отметим, что при переходе к безразмерным переменным в уравнениях

0

появляется характерный безразмерный параметр N = umaxp3/c2. При численном решении полагалось, что N = 0.5.

Значение минимизируемого функционала в первом случае оказалось равным JHeocoб = 0.4897, а во втором - J0C06 = 0.4936.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Ks 12-01-00 165).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Челноков Ю. Н. Оптимальная переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Математика, Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2006, Вып. 8, С, 231-234,

УДК 629.78

Я. Г. Сапунков

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ КОСМИЧЕСКИМ АППАРАТОМ С СОЛНЕЧНЫМ ПАРУСОМ И ДВИГАТЕЛЕМ ИМПУЛЬСНОЙ ТЯГИ

С использованием KS-переменных (переменные Кустаанхеймо -Штифеля) с помощью принципа максимума Понтрягина решена пространственная задача оптимального управления о встрече двух космических аппаратов (КА), один из которых неуправляемый и движется только под действием силы притяжения к Солнцу, второй аппарат управляется с помощью солнечного паруса и импульсного двигателя. Функционал, определяющий качество процесса управления, представляет собой линейную комбинацию с весовыми множителями двух критериев: времени и суммы величин импульсов, затраченных на процесс управления. Приводятся результаты численного решения задачи.

1. KS-переменные u = (u0, ui, u2, u3), s = (s0, si, s2, s3) связаны с векторами положения центра масс КА и его скорости ну соотношениями [1, 2]

r = PT(u)u; у = (2/r)PT(u)s; r = |r| = u2, h = v2/2 - yM/г.

(1.1)

Переменная h определяет полную энергию единицы массы КА, M -масса притягивающего центра, y _ гравитационная постоянная.

Переменная т, функциями которой являются KS-переменные u, s, h, связана со временем t соотношением

dt/dT = u2. (1.2)