CC BY
26
© Л.Н. Самсонов., К.В. Фомин, 2002
УДК 622.23.05:622.7
Л.Н. Самсонов., К.В. Фомин
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЗАИМНЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПЛОТНОСТЕЙ НАГРУЗОК НА РАБОЧИХ ОРГАНАХ ТОРФЯНОГО ФРЕЗЕРУЮЩЕГО АГРЕГАТА
В
настоящее время в торфяной промышленности нашли широкое применение фрезерующие агрегаты с несколькими рабочими органами [1]. При решении задач динамического анализа таких трансмиссий помимо спектральных плотностей необходимо знать взаимные спектральные плотности нагрузок на рабочих органах [2]. Спектральные свойства системы стационарных и стационарно связанных случайных процессов описываются матрицей спектральных плотностей [3]
^1 (ю )^12 (ю )•••• -^1 г (ю )
^21(ю)^2 (а)---^2ц(а)
*^и1(ю ¿2 (ю )• • •(ю )
где ц - число рабочих органов.
Матрица (1) содержит на главной диагонали спектральные плотности всех случайных процессов и вне диагонали - взаимные спектральные плотности
Для определения взаимных спектральных плотностей воспользуемся понятием взаимных энергетических спектров, которые связаны известными соотношениями [3] Взаимные энергетические спектры двух импульсных случайных процессов, в виде которых могут быть представлены нагрузки на рабочих органах фрезерующего агрегата [2], равны [3]:
(ю) = ^(^2+ 1)у т1 ^)(- /юУч )(/ю)}, (2)
Р'ч у(ю) = ж 2+ 1)У т1 ^ ' Уп )(- /ю А (3)
где 2М+1 - число импульсов в усеченных реализациях процессов; Т - средний период следования импульсов;
тД }-знак усреднения; 2^^(/ю), 2^^(/ю) - преоб-
разования Фурье к-х реализаций у-го и ^-го процессов.
При существующих режимах работы фрезерующих агрегатов можно считать, что изменения параметров в пределах длительности импульса практически не происходит. При нескольких рабочих органах, имеющих один
тип и размер режущих элементов, одинаковое число ножей в плоскости резания и диаметр, для крутящих моментов, рассматриваемых в системе отсчета, связанной с углом поворота рабочего органа при взаимодействии с беспнистой торфяной залежью, имеем
М\ Ж
М1 у (р) = Мпт (р—р1пт — р1г; Р1пт \
т=1п=-ж Му ж
Муу (р) = Мпт р—р2пт ~ру; Рупт )=>
т=1п=—ж
/
Мгу (р) = М пт (р — р¿пт — р[гг; Ргпт \
т=1п=-ж
(4)
где Му - число плоскостей резания на у-м рабочем органе; п - номер импульса нагружения на т-й плоскости резания; Мпт (р) - функция, опи-сывающая изменения п-го импульса момента нагружения на одиночном режущем элементе в т-й плоскости резания на у-м рабочем органе;
РУ пт -момент возникновения п-го импульса нагрузки на
т-й плоскости резания на у-м рабочем органе; Рупт -
случайные параметры п-го импульса на т-й плоскости резания на у-м рабочем органе; руг - угол сдвига между режущими элементами, находящимися на первом и у-м рабочем органе.
Рассмотрим определение взаимных спектральных плотностей крутящих моментов на у-м и ^-м рабочих органах фрезерующего агрегата. Используя свойства преобразования Фурье [3] из (4), для 2 (ю), получим
2уМпту (ю ) = (5)
Му Ж
^0(ю;Рупт )ехР(— /юРут )ехР(— }®ПтРт )ехР(— /®Р„ ),
т=1п=—ж
2цМпту (ю ) = (6)
т=1п=—ж
где Му, Мл - число плоскостей резания, соответственно на у-м и ^-м рабочем органе; Бц(ю)-спектр импульса нагружения на режущем элементе; Рупт , Р^пт - случайные параметры импульсов для у-го и ^-го рабочего органа; рут , рг^т - угол сдвига между
режущими элементами на первой и т-й плоскостях резания для у-го и ^-го рабочего органа; ру - угол между соседними режущими элементами в одной плоскости резания; пт - номер импульса т-й плоскости резания
Рт
Б0 (р) = | М (р)ехр(— jpp)dp
(7)
0
где М(ф) - функция, описывающая изменение момента нагружения на одиночном режущем элементе в пределах угла контакта с залежью; рт - угол контакта режущего элемента с залежью.
Подставляя (5), (6) в (2), (3), выделяя члены при п = і;п Ф і и учитывая, что вероятностные характеристики параметров не зависят от положения импульсов (в случае стационарного характера распределения условий работа фрезерующего агрегата), а только от их взаимного расположения, р = п - і получим
2
^1/77(®)
Рт
МV МЛ I , л г ,
X X т1 р0 (р; Ртт К
(р; РцЦ )]ехр[/р \Pvrn рг}1)] +
т=1/=—да 2 N
Ііт 2 XI 1 —
N^да 2N +1
р=1
м„ М
Rex
(8)
V ( ( \)
X X т1(^ 0 (Р; Рупт К (р; Р7]1;п—р )]х
т=1/=—да
х ехР[./Р (Pvm — Рц1 )]ехР(— І®РРТ )]ехР[./Р [Ру — Рцт )],
F■nV (р) = Х
Рт
Mv Мф
X X т1^0 (р ; Рупт К(р; Рф )]ехр[/р (Рї7і — Р\т )] +
т=1/=—да 2 N
Ііт 2XI 1--------------— IRex
N^да "Ч 2N +1)
р=1
(9)
х
Mv МФ ( і \)
xX X т1 р 0 (р ; Рупт )К0 (р; Р^/;п—р )]
т=11=—да
х ехР[./Р Ц/ — Рут )]ехР(— .¡аРРТ )]ехР[./Р (РЛг — Рут )]. Введем следующие обозначения в выражениях (7), (8)
/уЛ2(р;Р )=5’0(р; рут )К0(р; Р), (10)
/ут]Ъ (р ;Р) = К0 (р ; Ртт )К0 (р; Рг};і;п—р ), (11)
/т?у2 (р;Р )=К0(р; Рцт )^0(р; Р), (12)
1г}уЪ (р;Р) = К0 (р ;Р1]пт )^0 (Р;Ру;1;п—р ), (13)
Учитывая, что изменение параметров импульсов нагружения мало по отношению к их средним значениям, разложим функции, подлежащие усреднению, в ряд Тейлора в окрестности точки с координатами, соответствующими значениям математического ожидания параметров, и ограничимся членами до второго
порядка включительно. Среднее значение /(р;Р) равно
щ{/ (р; р)]= / (р; тд)+
Q
д2/(р; Р)
дР2
+ X
д< s
д2/(р; Р)
к,
(14)
где Рд - параметры импульсной последовательности; тд - математические ожидания параметров; Dq -дисперсия параметров; Кд$ - коэффициенты корреляции и взаимной корреляции параметров; Q - число параметров.
На основании (14) из (8), (9) с учетом /уЧ2(ю;т)=/уф(ю;т), П 2(ю;т) = /у(ю;т),
1 Q
1X
2 ,
q=1
1 Q
1X
2
q=1
д2 /уг]2 (р; Р)
дР:
д2 /у (®; р)
дР:
1 Q
= 1 X :=1 1 Q
= 1X
д2/уПз (р; Р)
дР2
:=1
д2 /у (®; р)
дР:
получим выражения для определения взаимных энергетических спектров моментов нагружения на рабочих органах
Руп (® ) =
УГ]\
2
Рт
МуМф
XV XX
т=11=1 :< 5
д2/уЧ2(р;р)
дР:дР5
-т
МуМ:
2N ґ 2 \ МуМф
+ Ііт 2XI1-----------IRe XXX
N ^да 2 N + 1 )
К:5 угітї ЄХР [і ® (р17Я РГ}1 )] +
д2/упЪ (р; Р)"
дР:дР5
р=1 ' т=1/=1 :< 5
к:5уцт1р ехР[./Р (Рут — Рф )]ехР(— .¡рррт ) +
Q
/У7]3(р;т:)+ - X 2 :=1
V
МуМц
д2уф (р; Р)'
дР2
Л
т )
XXехр[/РрУ® — Рф )]
т=1/=1
2ж
2’Л ^ I 2л^
х------ X д\Р------------------
РТ кГ—да У Рт
ехр[/р(р
уг рГ}Г )], (15)
Рфу (р)
Рт
д2/у (р; р )" дР:дР,
МуМф
XV XX
т=11=1 :< 5 х К:5цутї ехр[/Р (рф — рут )] +
2^ , \ MvMф
+ Ііт 2XI1------------1Re XXX
N ^да 2 N +1)
д2/ЛуЪ(р; Р)' дР:дР,
р=1 1 А у т=11=1 :<5
к:5цут1р ехР[7'Р (Рф — Рут )]ехР(— .¡рррт ) +
т
т
X
х
т
+
т
т
X
т
х
+
+
х
х
X
т
т
х
/ \ 1 ^ /фу3(ю, тд )+ — ^
2 д=1
V
МуМц
32/„у3(ю; Р)'
сР2
л
т у
XXехр[/®(Рп/ — Рут )]х
ехр[/'юру — руг )],
т=11=1
2я
2п I ~| 2як
х----- X д\ю-------------
Рт к=-Ж I Рт
(16)
где К дзуцтХ , Кд5уцш1р , Кд5цут1 , Кд5цут1р коэффи-
циенты корреляции и взаимной корреляции случайных параметров импульсных процессов моментов нагружения на различных плоскостях резания, у-х и ^-х рабочих органах.
Переход от одной системы отсчета (связанной с углом поворота рабочего органа) к другой (время) осуществляется с помощью соотношения
(17)
где —ф — угловая скорость рабочего органа.
При этом необходимо учитывать случайный характер угловой скорости вращения фрезьг Переход осуществим на основе теоремы о преобразовании масштабов времени и частоты временной функции и спектра [3^ В этом случае спектры моментов нагружения на у-м и ^-м рабочих органах равны
2уМпту(: )—)
Му ж ,
= 1X —
т=1п=-ж -фпт (
ю
фпт
ю
ехР — /-----Рут
У
V
ю
фпт
х ехр
—
фпт
Л ( \
—
ехР — /---------Руг
у
V
—
фпт
(18)
У
М.
ч 00 1
= Х X —
т=1п=—ж —фпт (
—
х ехр
—
-п„
—
фпт
ехр
-• Р
фпт
ехр
V
—
фпт
У
фпт
( \ —
/---------Рф
—фпт
(19)
где —фпт - угловая скорость рабочего органа в пределах длительности п-го импульса на т-й плоскости резания.
Подставив выражения (18) и (19) в (2) и (3), выделяя члены при п = i; п Ф i; и учитывая, что скорость вращения рабочего органа при взаимодействии с беспнистой залежью изменяется медленно (примерно постоянна в пределах одного оборота фрезы) и вероятностные характеристики параметров не зависят от временного положения импульсов (в случае стационарного характера распределения условий работа фрезерующего агрегата), а только от их взаимного расположения р = п - i, получим
рМу^ )уц
(— ) =
X
/уц3 (2яг/РТ ; тд )+1 X
г=—ж _ \
М М
; XX ехр
т=11=1
М М
' д=1
д2/уцэ(2яг/ рт ;Р)
. 2яг .
']---(Рут — Рф)
рТ
Р2
1д
т у
2 яг 2 I 2 яг
+
+ ^X ^X ^X К2д5 уцт1 (— )Кд5 уцт1 т=11=1 д< 5
2N | \ ММ
+ Пт 2 ^X I 1 — _ АГ ~ I ^е ^X ^X ^XК3ц5уцт1р — )Кд5 уцт1р N^да , V 21\ + 1 у ,, ,
р=1ч у т=11=1 д<5
2яг /
(20)
FMy(J)цу — )
X
г=—Ж
ММ
/ \ 1
/цу3 (2я грт ; тд )+ 2 X 2 д=1
д 2 /цу 3(2яг/рт ;Р)
д Р2
т у
2яг / \
']-------\Рц1 — Рут)
рт
х XX ехр
т=11=1
ММ
+ К2дяцут1 (—')Кд$цут1
т=11=1 д< 5
2 яг 2 V 2 яг
(21)
2 N /
+
N“V 2N +1 у .
р=1ч у т=11=1 д<5
М М
Нт 2XI1 0 дг л I^е XXXК3д5цут1р{—Кд5ц\т1р
/д 2N + 1 у ,, ,
х ехр
Рт
где Ц(юф) - плотность распределения изменения угловой скорости
В выражениях (20), (21) введены следующие обозначения
К 2дуцп1 (—) = т150|-—; Рц ^5о ; Рф Н ,(22)
К3дя уцтр (— )
(23)
1
I — Фп—Ф;п—р
-50
уцпт
—Ф;п-р
К
2д$цут1
(—) = т1 S0|-—;Рцт^|^01--;Рщ,(24)
К3д5цут1р (—)
{ 1
= т11-
где
I — Фп—Ф;п—р
щ{ }
цупт
\ I 50
(25)
Л1
—Ф;п—р
знак усреднения по величине угловой скорости
рабочего органа.
+
х
х
х
X
+
х
х
0
п
тРт
со
X
0
со
со
0
со
со
(22-25) может быть использована зависимость, аналогичная
(14).
Полученные выражения служат исходным материалом для Учитывая, что изменение угловой скорости вращения рабо- анализа динамической нагруженности элементов приводов
чего органа при взаимодействии с беспнистой залежью мало торфяных фрезерующих агрегатов.
(по сравнению со средним значением) для определения величин
--------------------------------------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Самсонов Л.Н. Фрезерование торфя- фрезерующих агрегатов на стадии проекти- 3. Левин Б.Р. Теоретические основы
ной залежи. - М.: Недра, 1985. рования: Дис. ...канд. техн. наук. Тверь, статистической радиотехники. Т.1.- М.:
2. Фомин К.В. Разработка методики 1991. - 187 с. Сов. радио, 1969. - 750 с.
прогнозирования нагруженности приводов
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ ------------------------------------------------------------------------------
Самсонов Л.Н. - профессор, доктор технических наук, Тверской государственный технический университет.
Фомин Константин Владимирович - доцент, кандидат технических наук, Тверской государственный технический университет.
