CC BY
44
© К.В. Фомин, 2002
УДК 622.331:622.271.9
К.В. Фомин
МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ МОМЕНТА НАГРУЖЕНИЯ НА РАБОЧЕМ ОРГАНЕ ТОРФЯНОГО ФРЕЗЕРУЮЩЕГО АГРЕГАТА
П
рогнозирование надежности фрезерующих агрегатов на стадии проектирования является актуальной задачей. Точность ее решения во многом определяется тем, насколько величина и характер нагрузки принимаемой при прочностном расчете элементов конструкции соответствует действительной. Нагрузки в элементах привода и конструкции фрезерующего агрегата могут рассматриваться как результат вынужденных колебаний от воздействия различных сил внешнего сопротивления. Они имеют динамический характер и являются случайными функциями, поэтому анализ на-груженности должен выполняться с помощью аппарата статистической динамики.
Основным источником динамической нагруженности привода и элементов конструкции фрезерующего агрегата является нагрузка на рабочем органе (фрезе).
С целью упрощения анализа отдельно рассмотрим нагрузки на рабочем органе при фрезеровании беспнистой залежи и нагрузки, возникающие при взаимодействии рабочего органа с древесными включениями.
При анализе взаимодействия рабочего органа с торфяной залежью необходимо учитывать два фактора, определяющих характер нагружения: во-первых, периодичность взаимодействия режущих элементов с залежью, во-вторых, случайность условий работы агрегата, что приводит к представлению нагрузок в виде последовательностей импульсов со случайными параметрами. При существующих режимах работы фрезерующих агрегатов можно считать, что изменения параметров в пределах длительности импульса практически не происходит.
В случае фрезерования беспнистой залежи при наличии нескольких плоскостей резания, для момента можно записать следующее выражение:
М х
Му (<р)_ М пт ( - ^пт; Рпт ), (1)
т=1п=-х
где п - номер импульса нагружения на т-й плоскости резания; Мпт (/) - функция, описывающая изменения момента нагружения на одиночном режущем элементе в т-й плоскости резания; 1пт -момент возникновения п-го импульса нагрузки на т-й плоскости резания; Рпт - случайные параметры п-го импульса на т-й плоскости резания; М - число плоскостей резания.
Случайный характер параметров импульсной последовательности обусловлен случайным
характером изменения физикомеханических свойств торфа, глубины фрезерования, угловой скорости вращения рабочего органа и многими другими факторами.
Нагрузка, возникающая на рабочем органе фрезерующего агрегата при взаимодействии его с древесными включениями, также представляет собой последовательность импульсов со случайными параметрами. При этом момент возникновения одиночного импульса соответствует началу взаимодействия с древесным включением. Длительность импульса определяется временем взаимодействия с ним. Форма импульсов и их амплитуда являются случайными и зависят от большого числа факторов, в частности, от размеров и формы древесного включения, его глубины залегания, расположения по отношению к рабочему органу, характера взаимодействия. Учитывая, что каждый импульс нагрузки, состоит из нескольких соответствующих отдельным актам взаимодействия каждого режущего элемента с одиночным древесным включением для момента можно записать: х S
Mdy ()= X XМ™ ( - ; Рт ) , (2)
п=-х s=1
где S - число актов взаимодействия режущих элементов с п-м древесным включением; Мт (/) - функция, описывающая изменения момента нагружения на одиночном режущем элементе при s-м акте взаимодействия с п-м древесным включением; (т - момент возникновения импульса нагрузки при 5-м акте взаимодействия режущего элемента с п-м древесным включением; Рт - случайные параметры импульса нагружения (амплитуда, момент возникновения и длительность) при 5-м акте взаимодействия режущего элемента с п-м древесным включением.
Случайный характер нагрузок, действующих на рабочий орган для их анализа, требует применения теории случайных функций. Известно, что для полного описания таких процессов необходимо знать многомерные, в общем случае зависимые от времени функции распределения. Их получение связано с большими сложностями. Для практических нужд достаточно знания одномерных и двумерных характеристик [1, 2], то есть можно ограничиться использованием корреляционной теории. При этом обычно рассматривают два первых момента распределения которые характеризуются математическим ожиданием, дисперсией и спектральной плотностью.
Одной из важнейших характеристик случайного процесса, дающей распределение мощности по частотам, является спектральная плотность [1, 2]. Для ее определения воспользуемся понятием энергетического спектра случайного импульсного процесса [1]:
р(о)=т1 {12 (к ' И2}, (3)
где 2(к)(со) - спектр к-й реализации случайного процесса (в дальнейшем в выражениях индекс к опускаем); Т - сред-
ний период повторности импульсов; N - число рассматриваемых импульсов; т1 { } - знак усреднения, который связан со спектральной плотностью следующим соотношением
[3]
F (о) = 5 (о)+2лт28(со)
(4)
где т - математическое ожидание случайного процес-са;8 (а) - дельта-функция.
Соответственно дисперсия процесса может быть определена по формуле [1]:
D =— 2я
со - т .
(5)
На основе теоремы о преобразовании масштабов времени и частоты [3] для квадрата модуля спектра момента нагружения (1) можно записать:
\^Му ^)(о) =
ММ N
N
1
= Ш I
т=11=1 п=-Ni=-Л^пт
(
со
\ (
х ехр
о™
ехр
т у
( со ^
І-----------п%Т
ОтМп
СО
\
Оміі
-; р,
х ехр
ехр
( со ^ І---------------------------------------%Т
(6)
V а™1
где £о (со ) - спектр одиночного импульса нагружения; а™ - угловая скорость рабочего органа; (рт - угол сдвига между режущими элементами, находящимися на первой и т-й плоскостях резания; фт - угол между соседними режущими элементами в одной плоскости резания.
Подставив выражение (6) в (3), выделяя члены при п = i; п Ф i; т = I; т ФI и учитывая, что скорость вращения изменяется медленно (примерно постоянна в пределах одного оборота фрезы) и вероятностные характеристики параметров не зависят от временного положения импульсов (в случае стационарного характера изменения условий работы фрезерующего агрегата), а только от их взаимного расположения р = п - i , получим
р'му и)(о ) „
Т
М і 1
I т1172“
м м + I I т, О0
т=11=1
IV! 1У1 I -1
II т1 |— 5
т=1 і о™
(
-• Р
СО
• р
о™
50
о™
со
( 0 2N (
х ехР - І----(%т - % ) } + 1іт 2II1 -
V
о™
2Л +1
у) р=1ч
(7)
Re х
м м I
хIII т11
; Рпт 155
; р,
о™-
1;п-р
п-р
( о 1 ґ
х ехР - І--------%т ехР
со
- І-----------П%Т
(
ехр
со
І—%
о™,
х ехр
І
со
-(п - Р%Т
Предполагая статистическую независимость изменения угловой скорости рабочего органа от остальных случайных параметров импульсов и введя обозначения:
2
Л(ю; р ) = -4-
о™
/2 (о; р )=^ 5
г
Л
; р
2 “0 о™
СО
• р
А (
50
о™
; р
(8)
(9)
/э(о;р )=-
о™по™ ;п—р
; рпт 50
; р,
;п-р
1;п-р
(10)
запишем выражение для энергетического спектра момента, вычисляя условные математические ожидания усредняемых функций (т.е. вначале считаем значение угловой скорости вращения рабочего органа фиксированным):
Р'му (t )(о) = —
м ^
TІml(
е
о™)
^=1
с2 /1(о; р)
4(о™) *
^=1
с2/ (о; р)
+ т1(о™) і
м м
/1(о; т)+"2II
2 9=1
с2/ (о; р)
ср2
л
т у
V™'V™' I о ( \ I2я ^ о
х IIЄхр| -І — %т-%,)| — I 5|— - — 1> +
т=11=1
м м + Ш тк оог™ )
т=11=1
2Л
о™
с2 /2 (о; р )"
%Т г=-да V о™ %Т
х ехр
р=1
м м
Кт9 ехр| - І о %т - % ) | [■ +
л!“?«2 Я/ - )Ке III т1(“^™)
СО
-І--------------------%т
т=11=1 д<$ \ ( ехр
с2 /э(о; р)"
рср* _
КдтЬр х
СО
І'------------п%Т
\ Ґ ехр
со
І—%
х ехр
со
І---------------(п
ч о™ ;п-р
(п - р)рт
л
у V о^™і у
(11)
где т1(а™){} - знак усреднения по скорости вращения рабочего органа:
V СО™т у
V СО™п
—со
1
СО
со
0
п
х
х
т
т
т
+
2
со
т
+
0
х
1
со
со
Б
х
0
п
т1(а™) {ф(а™ )}= |ф(а™ )Ж(а™ )0™ , (12)
-х
где Ж (а™) - плотность распределения угловой скорости
вращения фрезы; ф(а™) - усредняемая функция угловой
скорости; т^ - математические ожидания параметров; Dq
- дисперсия параметров; Кт^ , К^р - коэффициенты
корреляции и взаимной корреляции параметров; Q - число параметров.
При выводе (11) учтено, что изменение параметров импульсов нагружения мало по отношению к их средним значениям, поэтому использовано разложение функций, подлежащих усреднению, в ряд Тейлора в окрестности точки с координатами, соответствующими значениям математического ожидания параметров и ограничиваясь членами до второго порядка включительно.
Усреднение дискретной части энергетического спектра с учетом четности и фильтрующих свойств дельта-функции и с использованием соотношений [3]:
с8(х-хо) = 8^7^]; X /(х)(сх-хо)dx = А/(^С'
дает:
т1(ю™) і
/1(°/'
V
\ і е
о™ ;тд)+ 21
2 9=1
с /2 (о/о™; р)
ср2
х
т
мм ( ■ о / \12я « ( о 2яг 11
хЦ ехр| - І — %т-% ,)| — I 51 — |^ =
т=11=1
(
у %Т г=-« V о™ %т
= !
/1(2я/%т ; т)+11
д=1
с2 /2(2яг/%т ;р)
ср2
\
х
т у
(13)
Учитывая, что изменение угловой скорости вращения рабочего органа мало по отношению к его среднему значению при установившемся режиме работы, разложим функции, подлежащие усреднению, в ряд Тейлора в окрестности точки с координатами, соответствующими значениям математического ожидания, и ограничиваясь членами до второго порядка включительно, для энергетического спектра момента нагружения на рабочем органе можно записать:
г
Рму (t) (о) = Т
м Ца-1, (оЩ - 4^ Ца'2, (о)Щ, +
2 9=1 2 9=1
«
+ і
г=-«
/1(2яг/%т ; т)+11
о%т 1Г ( о%Т
2яг
2яг
; т2)+ —
9=1
мм с
з2 /2 (2яг/% ;р)
ср2
л
ту
т=11=1
IIехр -І'—(%т-%)
%Т
м м
+ ,
+ К22ят1 (о^)КтІ2В
т=11=1 9<в
2Л/ _ \ мм
+
(14)
р=1
N5«2 И1 - ілгі) Re III К3двт1р (о °)Кдт1вр
где
К1д (о)=/1(о;т«™; т)+2
К29 (о) = /2 (о; то™ ; т2 )+1
т=11=1 9<в
с2 /1(ю;ю™; р )
со™
с2 /2 (о; о™; р )
да
оа
Що™ ,
Що™ ■
К22ят1(о) /2 (о; то™ ; т2
)ехр(- І-° %т -% )
тт™
о™
1
+—
2
с2 /2 (о; о™; р )
со™
I ■ о ( О
ехр -І----------(%т -% )
от™
D/TМ .
V ™ У_
без учета корреляции между значениями угловой скорости
а
К32вт1р (о )~ /3 (о; то™ ; ^ )ехр( - І~° %т - % ) 1
V то™ у
х
х ехр
( о ^ І-----------р%Т
1
+ — 2
ехр
о
І—%
о™
У
(
ехр
с2/э(о
л;п-р;р )
сот™ п
о
-І------П%Т
\
х ехр
о
п у
Л (
V /TМ ;п-р
~%
ехр
І-
Oтмп
о
от™ •п- р у V ;ґ1 Р
-(п-р%т
Що
где т™о , D/тМ - соответственно математическое ожидание и дисперсия угловой скорости вращения рабочего органа.
Выражения для спектральных плотностей момента нагружения могут быть получены, если в выражении (14) вычесть величину, равную математическому ожиданию, из значения энергетического спектра при о = 0 .
При взаимодействии рабочего органа с древесными включениями период повторности импульсов имеет показательный закон распределения [6]. В этом случае, спектральная плотность момента му определится следующим образом: пусть заданы число I различных форм древесных включений и вероятность встретить их в залежи р , а также плотности распределения размеров древесных включений и их глубины залегания в пределах глубины фрезерования W (<і ),Ж (Н ). Разобьем распределения на достаточно малые
+
X
т
т
+
х
тот™
х
х
Г=—со
т
интервалы dm ...dm+1 , Н1 ...Н/+1, таким образом, чтобы изменения величин d и Н в пределах выделенных диапазонов мало изменяли характер и величину нагрузок на рабочем органе.
Каждому сочетанию размеров и глубин залегания древесных включений dmСp = (ёт + dm+l)/ 2 и
н1ср = (Н/ + н
/+1 )/ 2 для всех их форм и условий взаимодействия соответствуют значения нагрузок М, (dтСр; Нср; t). Выделяя в последовательности импульсов нагружения импульсы одинаковой формы, амплитуды и длительности (т.е. соответствующие одинаковым условиям взаимодействия рабочего органа с древесными включениями одной формы, глубины залегания и размеров) и учитывая, что интервалы между импульсами в данном случае будут распределены также по показательному закону [3], запишем выражение для спектральной плотности такого процесса [3] при со Ф 0 :
Би, (а) = 2ЩР1Р1\8к11 (¿о}2, (15)
где Бщ (¡о)- значение спектра момента нагружения на рабочем органе при взаимодействии с древесным включением размером dkСp , глубиной залегания Н^р и ,-й формы; X
среднее число древесных включений, попадающих на рабочий орган в единицу времени;
ёк+1 Н/+1
Рк =| Ж(ё)ёё , Р =| Ж (н)ёН , (16)
ёк н/
Рк - вероятность встречи древесного включения из интервала размеров ёк ^ dk+1 с рабочим органом; Р1 - вероятность встречи древесного включения в интервале глубин залегания Н1 Н1+1.
Суммируя импульсные последовательности для всех размеров, глубин залегания и форм древесных включений, получим?
К L I
Бву(о) = 2ХХХХРкЩБкП(о)2 , (17)
к=1/=1,=1
где К, L - число интервалов, на которые разбиты Ж (ё (Н ).
При а = 0 значение Б (о) равно
Боу (о)= 2жт1 {М ( )}5(ю) . (18)
Наиболее полно определить характер нагружения позволяет учет структуры импульсов нагружения, обусловленный наличием нескольких актов взаимодействия режущих элементов рабочего органа с древесным включением. Учитывая случайное число элементарных актов взаимодействия, получим выражение для спектральной плотности момента нагружения на рабочем органе
К L I X
Боу(а) = 2ХХЕЕРкРР, XР(ХШ = 8)х к=1/=1,=1 8=0
-ЕЕ т1 Б (о;
Тхк/Ш ;т%к/1К)х (19)
%=^=1
х Б*И,1гкШ ;т1к/1К)ехр(- ¡а( %кИ ^гкИ))}, где Р(Хк/, = 8) - вероятность появления 8 импульсов нагружения, обусловленных элементарными актами взаимодействия режущих элементов с древесным включением размером ёкСр ,
глубиной залегания Н^р и ,-й формы, 8 = 0,1...; т хкИ = т хкИК - тхкИН - длительность % -го импульса нагружения, обусловленного элементарным актом взаимодействия режущего элемента с древесным включением размером ёкСр, глубиной залегания Н^р и ,-й формы; t%kli -
сдвиг между началом взаимодействия рабочего органа с древесным включением и % -м импульсом нагрузки при
взаимодействии с древесным включением размером ёкСр , глубиной залегания Н /Ср и ,-й формы; Б (а) - спектр элементарного импульса нагружения; т1 { } знак усреднения, связанный со случайным местом попадания древесного включения по ширине рабочего органа и формой древесного включения.
В зависимости от размеров древесных включений и места попадания по ширине рабочего органа во взаимодействии участвует различное, случайное число плоскостей резания.
Считая статистически независимыми моменты нагружения на рабочем органе при взаимодействии с чистой залежью и с древесными включениями общие значения спектральной плотности и дисперсии момента на рабочем органе фрезерующего агрегата равно сумме соответствующих спектральных плотностей моментов.
Таким образом, для определения вероятностных характеристик нагрузки на рабочем органе фрезерующего агрегата необходимо знать форму импульсов нагружения и вероятностные характеристики их параметров, которые в свою очередь определяются конструкцией и режимами работы рабочего органа, изменчивостью условий работы, прочностных свойств залежи, плотности торфа, профиля поверхности карты, количеством древесных включений, их формой, расположением и размерами, при этом могут быть использованы экспериментальные данные [4, 5, 6, 7].
Полученные зависимости позволяют выделить ряд особенностей, отражающих характер формирования нагрузки на рабочем органе фрезерующего агрегата. При взаимодействии фрезы с беспнистой залежью спектральная плотность момента имеет сложную структуру и состоит из двух частей. Первая часть определяется величиной квадрата модуля спектра функции, описывающей форму импульса нагружения, а также зависит от расстановки режущих элементов и пропорциональна дисперсии изменения параметров импульсов, а также корреляционным и взаимнокорреляционным функциям параметров.
Другая составляющая обусловлена периодичностью взаимодействия режущих элементов с залежью и определяется величиной средних параметров импульсов. Вид этой части определяется функцией плотности распределения изменения угловой скорости вращения рабочего органа.
При взаимодействии с древесными включениями вид спектральной плотности определяется квадратом спектра функции, описывающей форму импульса нагружения, и его величина пропорциональна числу древесных включений попадающих на рабочий орган в единицу времени.
Предложенный подход позволяет определять вероятностные характеристики момента нагружения на рабочем органе на стадии проектирования, которые служат исходным материалом для динамического анализа элементов конструкции и привода фрезерующего агрегата.
----------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Т.1. - М.: Сов. радио, 1969. - 750 с.
2. Рытов С.Н. Введение в статистическую радиофизику. - М.: Наука, 1976. - 471 с.
3. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. - М.: Радио и связь, 1982. - 622 с.
4. Зиновьев Д.А. Исследование пнисто-сти верховой залежи на участке производ-
ства фрезерного торфа//Торф и его переработка. - Л., 1978. - С. 26-29.
5. Влияние профиля поверхности и механических свойств основания на гусеничную машину/Корчунов С.С., Селе-нов В.Г., Ефимов Е.В., Абакумов О.Н. //Исследование физико-механи-ческих свойств торфа - Л., 1978. - С. 50-59.
6. Размеры древесных включений в обработанном слое отремонтированных площа-
дей/Малков Л.М., Пономарчук
Ф.С.//Технология и комплексная механизация торфяного производства. - Калинин, 1986. - С. 14-17.
7. Самсонов Л.Н. Фрезерование торфяной залежи. - М.: Недра, 1985. - 211 с.
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ ------------------------------------------------------------------------
Фомин Константин Владимирович - доцент, кандидат технических наук, Тверской государственный технический университет.
© Н.А. Малыхина, А.А. Погонин, О.В. Белянкина, 2002
УДК 666.94:621.796.63
Н.А. Малыхина, А.А. Погонин,
О.В. Белянкина
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВОПРОСА ТЕЧЕНИЯ ГАЗОВОГО ПОТОКА С ТВЕРДЫМИ ЧАСТИЦАМИ
невматический транспорт является одним из прогрессивных видов транспорта для сыпучих материалов на предприятиях различных отраслей промышленности. Он получил широкое распространение в цементной
Промышленности для транспортировки мелкодисперсных материалов. Чтобы обеспечить оптимальную конструкцию передающей трубы пневмотранспорта, а именно диаметр, угол поворота, необходимо рассмотреть теоретические
вопросы движения воздушной среды совместно с твердыми частицами.
Для получения практических значений параметров пневмотранспорта был рассмотрен вопрос движения газа, для чего была использована система уравнений в двухскоростном, двухтемпературном приближении для газовзвесей с твердыми частицами без учета деформации, дробления и коагуляции.
Используя интегральную форму уравнений сохранения массы, импульса и энергии для компонентов,
были определены скачки на поверхности разрыва.
Решая систему уравнений для цилиндрической или сферической симметрии и используя метод характеристик, были получены уравнения траектории газа и частиц.
В конечном итоге было получено уравнение следующего вида:
ССх
и
С
2
1 + -
Р1Р2а
+
2РьР(У2-Л№) +ст(а/Рь )4,
где индексы 1 и 2 относятся к газу и твердым частицам соответственно; V - скорость, а - скорость звука, р -плотность, рь - истинная плотность вещества частицы.
Решая это уравнение, можно получить траекторию движения частиц, следовательно, можно спроектировать пневмотранспорт так, чтобы иметь минимальную турбулентность потока, а также минимальное сопротивление при изменении направления потока, что приводит к уменьшению энергозатрат для переноса газовзвесей (так
