CC BY
22
(22-25) может быть использована зависимость, аналогичная
(14).
Полученные выражения служат исходным материалом для Учитывая, что изменение угловой скорости вращения рабо- анализа динамической нагруженности элементов приводов
чего органа при взаимодействии с беспнистой залежью мало торфяных фрезерующих агрегатов.
(по сравнению со средним значением) для определения величин
--------------------------------------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Самсонов Л.Н. Фрезерование торфя- фрезерующих агрегатов на стадии проекти- 3. Левин Б.Р. Теоретические основы
ной залежи. - М.: Недра, 1985. рования: Дис. ...канд. техн. наук. Тверь, статистической радиотехники. Т.1.— М.:
2. Фомин К.В. Разработка методики 1991. - 187 с. Сов. радио, 1969. - 750 с.
прогнозирования нагруженности приводов
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ ------------------------------------------------------------------------------
Самсонов Л.Н. - профессор, доктор технических наук, Тверской государственный технический университет.
Фомин Константин Владимирович - доцент, кандидат технических наук, Тверской государственный технический университет.
дним из путей уменьшения динамических нагрузок в элементах привода и конструкции фрезерующего агрегата является снижение уровня силового воздействия со стороны
рабочего органа.
Данная задача может быть решена с помощью методов оптимизации. Если заданы скорость передвижения и угловая скорость вращения рабочего органа, а также диаметр фрезы по концам режущих элементов, тип ножей и их число в плоскости резания задача оптимизации сводится к задаче выбора схемы расстановки режущих элементов, которая формулируется следующим образом: определить значения углов сдвига между режущими элементами в т-й и в 1-й плоскостях резания фт , обеспечивающих минимум дисперсии нагрузки на рабочем органе:
1 “
°Му = — | ^у (®)= т^ (1)
0
где Sмy (®) - спектральная плотность момента нагружения
Му,
при ограничениях по углам расстановки режущих элементов
0 < Фт < 2п , (2)
Рассмотрим вариант решения задачи (1), учитывающий взаимодействие рабочего органа с беспнистой залежью. Величина дисперсии момента определяется через спектральную плотность, значение которой может быть получено следующим образом.
Учитывая периодичность взаимодействия режущих элементов с залежью и случайность условий работы агрегата нагрузка на рабочем органе может быть представлена в виде последовательности импульсов со случайными параметрами. Рассмотрим систему координат, связанную с углом поворота рабочего органа относительно оси вращения ф . Удобство данной системы заключается в том, что из рассмотрения исключается угловая скорость вращения фрезы. Но при этом математическое ожидание и дисперсия нагрузки остаются такими же, как и в системе координат, связанной со временем. При существующих режимах работы фрезерующих агрегатов можно считать, что изменения параметров в пределах длительности импульса практически не происходит. В случае фрезерования беспнистой залежи при наличии нескольких плоскостей резания, момент нагружения равен
М ТО
Му (ф)=И М
пт (ф ф пт; Рпт ), (3)
т=1п=—то
где М - число плоскостей резания; п - номер импульса нагружения на т-й плоскости резания; Мпт (ф) - функция, описывающая изменение момента нагружения на одиноч-
© К.В. Фомин, 2002
УДК 622.23.05:622.7
К.В. Фомин
К ВОПРОСУ О РАЦИОНАЛЬНОЙ РАССТАНОВКЕ
ОЕЖУЩИХ ЭЛЕМЕНОВ НА РАБОЧЕМ ОРГАНЕ ОРФЯНОГО ФРЕЗЕРУЮЩЕГО АГРЕГАТА
ном режущем элементе в т-й плоскости резания; рпт -момент возникновения п-го импульса нагрузки на т-й плоскости резания; Рпт - случайные параметры п-го импульса
на т-й плоскости резания;
Для определения спектральной плотности воспользуемся понятием энергетического спектра случайного импульсного процесса [1]
F (ю) = Ііт
2
N ^то (2Ы + і)Т
ті
{к)
ю)2
(4)
^0 (ю) = | М (р)ехр(- ]®<р)йц>,
о
где М(ф) - функция, описывающая изменение момента нагружения на одиночном режущем элементе в пределах угла контакта с залежью; (рТ - угол контакта режущего элемента с залежью.
Квадрат модуля спектра:
2
\6Му (ю)|
6 Му У
М М N N
= Ш I К, (®; Рпт )‘?0(®; Р )ехр(- ]т(Рт )ехр(- ]0МфТ )>
т=11=1п=-N і=-N
> ехрО юр1 )ехр(/юі Рт ) ,
(7)
где знаком * обозначена комплексно-сопряженная величина.
Подставляя выражение (7) в (4), выделяя члены при п = і;п Ф і; т = і;т ФІ и учитывая, что вероятностные характеристики параметров не зависят от положения импульсов (в случае стационарного характера распределения
условий работа фрезерующего агрегата), а только от их взаимного расположения, р = п — i получим
ЕМу (о ) =
2 ' м ( мм
Фт
где N - число рассматриваемых импульсов; Т - средний период повторности импульсов; т^ } - знак усреднения;
2(к)(о) - спектр к-й реализации случайного процесса (в
дальнейшем в выражениях индекс к опускаем).
Энергетический спектр связан со спектральной плотностью следующим соотношением [1]
Е (о) = S (о) + 2лт28(со), (5)
где т - математическое ожидание случайного процесса;
8 (о) - дельта-функция.
Используя свойства преобразования Фурье [1] на основании выражения (3), для 2 (о) получим
М ТО
2Мпту (о)= X X ^ (о; рпт )ехР(— ]°Фт )ехР(— ]оптФт )
т=1п=—то
(6)
где S<0k) (о ) - спектр одиночного импульса нагружения на режущем элементе; рт - угол сдвига между режущими элементами, находящимися на первой и т-й плоскостях резания; рт - угол между соседними режущими элементами в одной плоскости резания; пт - номер импульса т-й плоскости резания;
Фт
М ( \ М М / \
I ті (ю; Рт ) 2 }+ 11 т 1 (?0 (ю; Рт К (ю; Р )}>
т=1 т=1І=1
> ехр[- ]'ю(Рт - РІ)] +
2N I \ ММ, ч
Ііт 2II 1 - -р-7 I Re II т1К0 (ю; Рпт К>; Рі;п-р )}>
А 2 N +1 ) ...17 1
(8)
р=1^ ' т=1І=1
> ехР[- № (Рт - РІ )]ехР(- ]'юРРТ )].
Введем следующие обозначения в выражение (8) \12
/і(ю; Р ) = К (ю; Р )2
/2 (ю;Р) = ^ (ю; Рт К (ю; р),
/э (ю; Р ) = К0 (ю; Рпт К(ю Ркп-р ),
(9)
(10) (11)
Учитывая, что изменение параметров импульсов нагружения мало по отношению к их средним значениям, разложим функции, подлежащие усреднению, в ряд Тейлора в окрестности точки с координатами, соответствующими значениям математического ожидания параметров, и ограничимся членами до второго порядка включительно
/ (ю;Р )=/ (®; щ)+
Q
+ I
q=і
д (ю; Р)'
( \ 1 Q Р - mq)+ уI
q=і
д2/(ю; Р)
(Pq - mq? +
д2/ (ю; Р)
(Р - Щ )р5 - т5)
+!
д<5
Среднее значение / (ю; Р) равно ті{/ (ю; р)}= / (ю; тд )+
(12)
1 Q 11
2 ,
д=1
д2/(ю; Р)
дР2
д2/(ю; Р) дР^
(13)
где Рц - параметры импульсной последовательности; тц -математические ожидания параметров; Бц - дисперсия параметров; Кцх - коэффициенты корреляции и взаимной
корреляции параметров; Q -число параметров.
Знак q<s означает, что суммирование распространяется на все попарные сочетания слагаемых.
С учетом (13) из (8) получим выражение для определения энергетического спектра момента нагружения на рабочем органе
т
т
т
т
рМу (® )
гМу
2
Фт
(
М V
т ^
9=1
д/»;р)
ЙР2
Вд - М V
2 9=1
д2/2 (»;р)
ЙР2
Вд +
/1(ю;ш9)+ 1V
д=1
д2/2 (»; Р)
°Ч Гх
ММ ~ то / ~ л
х£іехр[- у^(фт - я ^ ^ 4»-—і
т=11=1 г=-то V фТ ]
М М
+ 1V V
т=11=1 q<s і_ -і - J т
д2/ (»; р )
дРчдР,
2Ж / \ М М
+ Иш2VI 1------МRe УУУ
N—то 2Ж +1 ]
+ (14)
Кт^ ехР[- ]ш(Фт -Фі )]+ . д2/, (ш; Р)"
Р=1Ч ' т=11=1 д< s
х КдтЫр ехР[- ]ш (Фт - Фі )]ехР(- ]»РФт ) ) В выражении (14) учтено, что [1]
дРддР,
Ііш
N —— то
2п
2 N I
1 + 2Re VI 1 -
Р=1^
2п то I 2т
---- V о! ш---------------
Фт г=-ТО V Фт ]
2 N +1
ехі
Р(- ]шРФт )
(15)
Первое слагаемое непрерывной части спектральной плотности (14) не зависит от расстановки режущих элементов. Сравнивая непрерывную часть Fмy (ю), зависящую от
расстановки режущих элементов и дискретную составляющую, можно заметить, что последняя больше на величину порядка /1 (ю; Р). Кроме того, учитывая, что
/1»; тд )»!
д< s
д2 /2 (»; Р)'
дР,дРд1
К,
qsmlp
(16)
а также учитывая малость расстояния между плоскостями резания по сравнению со «временем корреляции» изменения параметров импульсов, составляющим, по экспериментальным данным, около 2 м [2], можно констатировать, что дискретная составляющая является преобладающей частью спектральной плотности, зависящей от расстановки режущих элементов. Поэтому условие (1) может быть записано в виде
ВМу ~
1 ТО — | SD
0
ш — шш,
(17)
где SD (» ) - дискретная составляющая спектральной плотности.
Ограничивая число гармоник и интегрируя SD(ш ), получим
2пфт
=1 I
Фт
д=1
д2/2 (2т/Фт;Р)
р2
д
Вд Гх
ММ
х V VехР
т=11=1
2т / \
- ]------(Фт -Фі)
Фт
(18)
где Я - число рассматриваемых гармоник. Обозначая
Рыу (г )= /1
2лг
Фт
-; т
1 ®
1V 2 ,
д=1
д2/2(2т/Фт ;р)
дРд
В,
д--
и раскрывая двойную сумму, выражение (18) запишем в виде
(19)
V
ВМу =
1 Я
— V рМу (г)
2тФт Г=1
М
V ехР
т=1
2лг
М
-]-Фт IV ЄХР
Фт ]т=1
. 2т
] фт
Фт ]
Несмотря на ограничение (2), задача поиска экстремума выражения (19) может быть сведена к задаче поиска в свободном пространстве, поскольку минимум функции лежит внутри ограничений (2), так как дисперсия Dмy принимает максимальное значение при рт = 0 и рт = 2л .
Определим необходимое условие экстремума функции
(19)
л Я -а
V”М,у (г)ф 2ф Г=1 дФ1
1 Я я
^ V”М? (г)ф
2Ф -=1 дФ2
М
т=1 ' М
1 я л
Н- V (г )/-
2кфт Г=1 дФт
2т ^ Фт Фт ] |т>;ехР( т=1 4 2т ] ф Фт
2т' Фт Фт (V єхр| ]т=1 ' 2тг ] ф ч Фт
2т ] Фт Фт IV ехР ]т=1 I 2т- |] V Фт
= 0;
= 0;
= 0.
(20)
Осуществляя преобразования, получим
Я М ■
V ^Му (г )г V 5іп
ГГ
г=1 т=1
Я М
V рМу(г )г Vі
г=1 т=1
2яг / \
----(Фт -Ф1)
Фт
= 0;
2яг / \
----(Фт-Ф2 )
Фт
= 0;
(21)
л м г 2л "
VрМу (^)^ Vsin (Рт-РМ ) = °-
г=1 т=1 -Рт -
Рассматривая достаточные условия экстремума [3], связанные с определением знака квадратичной формы функции DMy, на основании критерия Сильвестера можно выделить значения углов сдвига, при которых достигается минимум дисперсии момента нагружения. Для этого необходимо выполнение условий
т
т
+
т
т
т
т=1
т=1
т
а11 а12 а21 а22
> 0,
а11 £ * 2 сЗ
а21 а22---а2ш > 0,
аМ1 аМ2---аМш
где
2 Я
фт г=1
2т і \
----(Фт-Фі)
Фт
(22)
Таким образом, задача выбора схемы расстановки режущих элементов сводится к решению системы нелинейных ал-
гебраических уравнений (21) и выделению значений рт , удовлетворяющих условиям (22).
Если параметры импульсов нагружения статистически независимы, полученное решение является точным. В противном случае оно может рассматриваться как первое приближение и служить исходным для дальнейшего уточнения с помощью прямых методов оптимизации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Т. 1. - М.: Сов. радио, 1969. - 750 с.
2. Влияние профиля поверхности и механических свойств основания на
гусеничную машину /Корчунов С.С., Селенов В.Г., Ефимов Е.В., Абакумов О.Н. // Исследование физико-механических свойств торфа. - Л., 1978. - С. 50-59.
3.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1984.
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ
Фомин Константин Владимирович - доцент, кандидат технических наук, Тверской государственный технический университет.
