CC BY
9
Теперь, интегрируя по частям один раз вторые члены левых частей уравнений (14) - (17) и два раза последние члены уравнений (14) и (15) с учетом введенных обозначений и сделанных замечаний, систему уравнений динамики балочного элемента можно представить в матричном виде (где {д} - вектор узловых перемещений, зависящий от времени):
тм+и ]{д }+№ м=[/ (')}. (18)
В уравнении динамики балочного конечного элемента (18) приняты следующие обозначения:
[т] = }р [Е][Р}} [Р}<1\ + }р[У]{Ф у}} [Ф }I -
о о
матрица масс [12x12], учитывающая инерцию поступательных (первое слагаемое) и вращательных (второе слагаемое) движений;
[Я] = » [Фх}} [Фу }dl-\рJz [Фу }} [ФхК
_ о о
- гироскопическая матрица [12x12], учитывающая влияние вращения балочного конечного элемента;
I }
[к] = \[К1 ][РЕ] [РЕ] - матрица жесткости [12x12]
о
I
балочного конечного элемента; /() = |[Р](£)[/-
о
вектор сил [12x12].
Таким образом, получены интегральные выражения для матриц жесткости, масс и гироскопической матрицы, описывающие динамику изгибных, крутильных и осевых колебаний балочного конечного элемента с учетом влияния инерции вращения, поперечного сдвига и неравножесткости поперечного сечения. Приведенные соотношения могут быть достаточно легко модифицированы для учета осевых сил при изгибе, депланации сечений при кручении, внут-
реннего демпфирования и других факторов. Соответствующие матрицы для конечных элементов, учитывающих эти факторы, получаются аналогично приведенным выше при использовании дифференциальных уравнений динамики, учитывающих необходимый фактор. Полученные соотношения могут быть использованы в процедуре расчета динамических характеристик роторных систем на основе метода конечных элементов. В следующей работе авторы приведут конкретные численные выражения для конечно-элементных матриц (масс, жесткости и гироскопической) цилиндрического и конического элементов, жесткого диска и подшипников, позволяющие строить конечно-элементную модель роторной системы.
Литература
1. Adams M.L. Rotating machinery vibration: from analysis to troubleshooting. N.Y., 2001.
2. Yamamoto T., Ishida Y. Linear and nonlinear rotordynamics. A modern treatment with applications. N.Y., 2001.
3. KramerE. Dynamics of rotors and foundations. Berlin, 1993.
4. Childs D. Turbomachinery rotordynamics: phenomena, modeling and analysis. N.Y., 1993.
5. Коженков А.А., Дейч Р.С., Якубович В.И. Численное моделирование динамики роторных систем с подшипниками скольжения // Компрессорная техника и пневматика. 1997. № 16 - 17. С. 68 - 72.
6. Nelson H. A finite rotating shaft element using Timoshenko beam theory // Journal of mechanical design. 1980. № 102. P. 793 - 803.
7. Вибрации в технике: Справочник: В 6 т. Т. 1. М., 1978.
8. Khulief Y., Mohiuddin M. On the dynamic analysis of rotors using modal reduction // Finite element in analysis and design. 1997. № 26. P. 41 - 55.
9. Окопный Ю.А., Радин В.П., Чирков В.П. Механика материалов и конструкций. М., 2001.
10. Zienkiewich O., Taylor R. The finite element method. Vol. 1. The basis. Oxford, 2000.
Орловский государственный технический университет
10 ноября 2006 г.
УДК 621.01
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ В КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПАРАХ ПРЯМОЛИНЕЙНО-ОГИБАЮЩЕГО МЕХАНИЗМА МЕТОДОМ ПРОДОЛЬНЫХ РЕАКЦИЙ
© 2007 г. А.В. Владимиров, С.А. Кузнецов
Целью силового анализа является определение уравновешивающей силы или момента, приложенного к ведущему звену, а также определение реакций в кинематических парах механизма. Для определения реакций кривошипно-ползунного прямолинейно-огибающего механизма (рис. 1), деформирующего материал заготовки в процессе огибания, воспользуемся методом продольных реакций, изложенным в работе [1].
Рассмотрим общий случай приложения силы Е к шатунной плоскости прямолинейно-огибающего механизма (рис. 1), а именно к точке контакта К, принадлежащей подвижному рабочему органу, образованному дугой окружности.
Поскольку рычаг Жуковского (фигура АРК) уравновешен не моментом, а уравновешивающей силой (рис. 1), то условная реакция в точке «подвеса» рычага (в полюсе Р), назовем ее полярной реакцией
RP, равна по величине векторной сумме сил, приложенных к звеньям, и уравновешивающей силы:
F+F ур + Яр = о. С другой стороны,
R р = R1 + R з,
где R1 и R 3 - продольные реакции в звеньях 1 и 3 (рис. 1).
71
—--------
I "'X
I ч-
м)
ция R1 звена ОА, тогда в шарнирах формируются реакции: в шарнире А как сумма Fyv и R1, в шарнире В реакция равна продольной R3, а в шарнире О реакция равна реакции в шарнире А. Реакция ползуна равна реакции в шарнире В.
Таким образом, можно определить уравновешивающую силу, приведенную силу, реакции в шарнирах и полную приведенную реакцию чисто графически.
Чтобы получить аналитические зависимости реакций в шарнирах от силы F, действующей на механизм, достаточно спроецировать на координатные оси векторный многоугольник (рис. 1), замкнутый в полюсе Р.
Проекция на ось Y:
Fy -Fyp cos|П-Ф1 I-R1 cosф 1 = 0.
Проекция на ось X:
Fx -Fур sin|П-ф 1 I + R1 sinф 1 -R3 = 0:
где ¥т , Fх - проекции силы F на координатные оси, определяемые соответственно:
а . . а
Fy = FA cos—-f sin— ;
а
а
fx = Fc \ sinT + f cosT •
Рис. 1. К определению реакций в шарнирах прямолинейно-огибающего механизма
Чтобы привести силу F, приложенную к точке шатунной плоскости К, точку приложения силы К соединяем с точкой приведения А и с мгновенным центром скоростей (рис. 1). Далее проецируем силу F на полученные линии как на оси косоугольной системы координат и приводим косоугольную проекцию Fа на линию АК к точке А, а через ее конец проводим линию, параллельную линии ОР до пересечения с перпендикуляром к ОР, восстановленным из точки А , отсекая на перпендикуляре уравновешивающую силу Fур . Затем от полюса Р откладываем вектор силы F, а от него вектор Fур и замыкаем векторный многоугольник полярной реакцией RP .
Через начало вектора RP проводим линию, параллельную линии реакции ОР, отсекая на другой линии реакции - ВР - продольную реакцию R3 шарнира В, а на самой линии отсекается продольная реак-
(1)
(2)
После подстановки выражений (2) и (3) для проекций силы F на координатные оси получим:
а a i
Fc\ cosy - f sin- I-Fyp sin Ф1 - R1 cos Ф1 = 0; (3)
/а а I
Fc\ siny + f cosy |-Fyp cosФ1 + ^lSinФ1 -R3 = (4)
где f - коэффициент трения скольжения.
Величина уравновешивающей силы F определяется через выражение:
Fyp = Mур / ri, (5)
где Mур - приведенный момент к кривошипу r1. Момент приведенный имеет вид:
Mур =(Mсr,)/AP,
(6)
где М С - момент силы F относительно мгновенного центра вращения, который имеет вид
М с = FYX 2 + FXY 2, (7)
где X 2 и 72 - расстояние по осям абсцисс и ординат соответственно между точками К и Р.
Расстояние между точками К и Р, равное аналогу скорости точки К:
r sin Ф
Y2 = YK - YP = r2cosarcsin—--
b
а , . r,sinф,
-R cos— + b cos arcsin—-L,
2b
(8)
r sin Ф
X2 = XP -XK =\ r,cosфj + bcosarcsin—-- Itgф, -
(9)
r2r,sinФ, . а -r, sin ф, ——-1 + R sin—•
таны реакции для обжимного пресса, разработанного на основе огибающего механизма, схема которого представлена на рис. 1. Результаты расчетов представлены на рис. 2 в виде графиков зависимостей изменения реакций от угла поворота кривошипа ф2 [2].
R, Н
Решением уравнений (5) - (9) определяется уравновешивающая сила, приложенная к входному кривошипу.
Таким образом, в уравнениях (3) и (4) неизвестными остаются продольные реакции R1 и R 3 , а также полные реакции в шарнирах О, А и В.
Из уравнения (3) находим продольную реакцию
R1
Fc (cos а - f sin ^2 I- Fyp sin Ф1
R1 =—(-2-2J-. (10)
cos Ф1
Из уравнения (4) находим продольную реакцию
R3
fa ai
R 3 = Fc I sin y + f cos-j J- Fyp cos ф 1 + R1 sin ф 1. (11)
Полные реакции в шарнирах
ro = ra ^ , rb = R3.. (12)
Таким образом, решением уравнений (10), (11) и (12) определяются аналитически все реакции в кинематических парах прямолинейно-огибающего механизма, рабочий орган которого деформирует материал в процессе огибания неподвижной прямой.
На основании изложенной методики определения реакций в кинематических парах прямолинейно-огибающего механизма в математической среде Maple 6 составлена программа для ЭВМ, по которой рассчи-
0 6 ф1, рад
Рис. 2. Реакции в шарнирах прямолинейно-огибающего механизма
Отрицательный участок кривой, характеризующей реакцию в шарнире В, указывает на смену направления действия реакции R В . Несимметричность смены направления относительно оси ординат обусловлена смещением точки приложения силы и отклонением ее на угол под влиянием величины степени обжатия. К концу интервала приближения (слева) происходит увеличение реакций. Это вызвано тем, что на втором полуинтервале происходит снижение уравновешивающей силы, а тангенциальная составляющая реакции шарнира А переходит в продольную, увеличивая тем самым полную реакцию шарнира А и полную реакцию шарнира О.
Литература
1. Кузнецов С.А., Владимиров А.В. Графический и комбинированный методы силового анализа механизмов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2004. № 2. С. 79-81.
2. Владимиров А.В., Кузнецов С.А. Обжимной пресс // Техника, технология и экономика сервиса // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2004. № 6. С. 22-23.
Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, г. Шахты
7 ноября 2006 г.
УДК 656.072
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫМИ СЕТЯМИ
© 2007 г. С.В. Белокуров
Одной из основных проблем при условии оптимального управления транспортными сетями является выбор метода прогнозирования интенсивности движения. Возникающие в этом случае задачи можно
разделить на два класса: на детерминированные и стохастические. В детерминированных задачах все необходимые параметры транспортной сети определены. В основе этих задач используется математиче-
