Определение контрастно-частотной характеристики фотоматрицы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНТРАСТНО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФОТОМАТРИЦЫ

С.В.Балясный, М.Б. Цудиков

Предложен метод расчета контрастно-частотной характеристики фотоматрицы.

Ключевые слова: фотоматрица, оптическая передаточная функция, контрастно-частотная характеристика, преобразование Фурье.

Любая оптико-электронная система всегда вносит искажения в полученное изображение. Рассматривая такую систему как передаточную функцию, можно определить искажения, вносимые каждой составляющей этой системы. Как известно, фотоматрица не может одинаково хорошо обрабатывать весь спектр частот входного сигнала. Связано это, в том числе, и с физическими ограничениями на минимальный геометрический размер единичного элемента (пикселя). Имея математическое описание контрастно-частотной характеристики фотоматрицы (КЧХ), можно спроектировать фильтр, компенсирующий эти искажения.

При определении КЧХ фотоматрицы примем допущение, что матрица состоит из прямоугольных пикселей с прямоугольной фоточувствительной зоной (рис. 1).

Для получения математической модели матрицы, представленной на рис. 1, обозначим центр каждого пикселя £-функцией (рис. 2).

В общем случае одномерная периодическая 8 функция с конечной областью определения N имеет вид (рис. 3).

Рис. 1. Модель фотоматрицы

225

Рис. 2. Центры пикселей

ф л

-МХ -ЗХ -2Х -X о X 2Х ЗХ ЫХ Х

Рис. 3. Периодическая 3 -функция

Выражение, описывающее функцию, представленную на рис. 3, имеет следующий вид

N

ф0(х)= X0 5 • (8(0.5а - к-х)+ 8(0.5а • к + х)), (1)

к=0

где область определения функции по оси х; Х- период функции по оси х.

Для ограничения бесконечной высоты 3 -функции, найдём её свертку с функцией, описывающей профиль матрицы:

£0, при |х| < ——;

п II (2) 0, при А" >-,

д\(х) =

где ЛУГ - «протяженность» матрицы.

Функцию, описывающую профиль отдельного прямоугольного пикселя, запишем аналогично [3] как

N

%(*) = ЪъЬ-ЪХХ (3)

где

а

Е0, при\х\<-;

О, при |х| >

а

а- протяженность фоточувствительной зоны (рис.4).

ф

-X

Рис. 4. Двумерная проекция модели матрицы

Определим передаточную функцию двумерной модели матрицы как свертку функций (1), (2) и (3)

/М = \ (фо М * Ф1 (х) * Ф2 (х))<Ь- (4)

На основании теоремы о свертке передаточную функцию матрицы ^С/^.г)' описанной уравнением (4), можно представить как

N

N

N

К/сох)= /Фо{хУ2^™*^. /ф2(х>-2^)л<5)

Преобразование Фурье для уравнений (2) и (3) рассмотрено авторами в [3].

-Ы

0.5ЛГХ-СО,

^ ! ■ \ n -2л/(хю ) т б1п(0.5 • a юх) f2(/шх) = $ф2е 2/хшх><ь = ^о • а -и.

-N 0.5 • а Шх

Для уравнения (1) преобразование Фурье определим как

f0 (/юх) = | ф0е-2р/(хшх ^х = соб(0.5 • а юх).

(7)

(8)

Тогда для передаточной функции матрицы окончательно получим

F (/ю х ) = Е0 • а •

б1п(0.5 • а юх) б1п(0.5 • N • X юх)

0.5 • а • ю

х

0.5 • N • X •ю

• соб(0.5 • а юх). (9)

х

Исходя из уравнения 9, КЧХ проекции фотоматрицы примет вид

F (юх )= ^ (/ю х }

Е0 • а • 81П(0 5 ^а •Шх) • *1п(05 •N •Х юх) • соб(0.5 • а )

0.5 • а ю

0.5 • N • X •ю

х

(10)

Для примера построим КЧХ профиля матрицы с параметрами N = 5, X = 1, а = 0.75 (рис. 5).

Для матрицы с параметрами 2N - область определения функции по оси х; X - период функции по оси х ;2М - область определения функции

по оси у; у - период функции по оси у 8 -функции примет следующий вид

N

Ф01 (х, У) = Е 0.5 • (8(0.5а • к - х)+ 8(0.5а • к + х))х

к=0

М

х Е0.5 • (8(0.56 • I - у) + 8(0.56 • I + у)).

I=0

Площадь матрицы описывается системой уравнений:

NX

(11)

Ф11(х У ) =

Е0, при х £

0, при |х| >

Е0, при |у| £ 0, при|у >

2 :

Щ

МУ МУ

(12)

0

Отдельный пиксель определим, как и в [3], функцией

Ф12( х, у) =

Е0 при х £

а

тах 2

6

, у

а

£

6

тах 2

(13)

0при |х| ^ -тах, у > "тах

22

В результате двумерную модель матрицы опишем функцией /(х, у ) = 11 (Ф01(х, у) * Ф11у) * Ф12(х, у)) ^у.

(14)

Рис. 5. КЧХ профиля матрицы

По аналогии с выражениями (5 - 8) и (3), окончательно получим для передаточной функции матрицы

F (/ю х,/ю у ) =

= Е0 • а • 6 •

Б1П (

(0.5 • а юх) б1п(0.5 • N • X юх)

0.5 • а ю

х

0.5 • N • X •ю

• соб(0.5 • а юх )х

х

б1п(0.5 •б юу) б1п(0.5 • М •У юу) / \

х—--у—----у— со8(0.5 •б • ю у)

0.5 • 6 • ю пъ.луг.У.™ у У>

у

0.5 М У ю

у

■ч

Тогда КЧХ матрицы примет вид

Р О® х, ) = О® х, ) =

(0.5 ■ а юх) sin(0.5 ■ N ■ X юх)

Е0■а■Ь■

sml

0.5 ■ а юх 0.5 ■ N ■ X юх

■ cos(0.5 ■ а ю х )х

х

sin(0.5 ■ Ь юу) sin(0.5 ■ М ■ У юу)

0.5 ■ Ь ю

у

0.5 ■ М ■ У ю

cos

(0.5 ■ Ь ■

ю

у

у

(16)

Используя уравнение (15), построим КЧХ фотоматрицы (рис. 6). График построен для модели со следующими параметрами:

- количество пикселей по осям N = 5, М = 5 ;

- относительный размер пикселя X = 1, X = 1;

- относительный размер фоточувствительной зоны а = 0.75, Ь = 0.75.

Рис. 6. КЧХ фотоматрицы

Рассмотрим срез КЧХ (рис. 6) вдоль положительной части оси абсцисс (рис. 7).

На рис. 7 представлена КЧХ двумерной проекции фотоматрицы, изображенной на рис. 4, в положительной части системы координат для пикселей с периодом X = 1. Частота пикселей матрицы

® матрщы = 2" = 2" = . Из графика следует, что фотоматрица с периодом X = 1 лучше всего воспринимает сигналы с частотой до юх » р, что соответствует теореме Котельникова, согласно которой частота дискрети-

230

затора должна как минимум вдвое превышать частоту дискретизируемого сигнала. Данное обстоятельство позволяет говорить о достоверности представленной модели расчета КЧХ фотоматрицы.

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\

\ / \ на 1КЕ

..д../.

V \

АУ) 0.5

Рис 7. Срез КЧХ вдоль положительной оси абсцисс

Выводы

1. Предложена методика аналитического расчета контрастно-частотной характеристики с учетом ее геометрических параметров. Результаты расчета удовлетворяют теореме Котельникова.

2. Методика расчета может быть применена для определения КЧХ матриц с другой геометрической формой, рассмотренных в [4].

3. Аналитически определенная КЧХ фотоматрицы позволяет проектировать оптимальные частотные фильтры оптико-электронных систем для уменьшения ошибок дискретизации аналогового оптического изображения в цифровых системах обработки информации.

Список литературы

1. Якушев Ю.Г. Теория и расчет оптико-электронных приборов: учебник для вузов. 4-е изд. М.: Логос, 1999. 480 с.

231

2. Порфирьев Л.В. Основы теории преобразования сигналов в оптико-электронных системах. Л.: Машиностроение. 1989. 387 с.

3. Цудиков М.Б., БалясныйС.В. Аналитическое определение контрастно-частотной характеристики ячейки фотоматрицы // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула, 2013. Вып. 9. Ч. 2. С. 315 - 322.

4. Балясный С.В. Оценка относительной контрастно-частотной характеристики пикселей различной формы // Современные проблемы математики, механики, информатики: Региональная научная студенческая конференция. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 119 -125.

Балясный Сергей Викторович, асп., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Цудиков Михаил Борисович, канд. техн. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет

DEFINITION OF THE CONTRAST-FREQUENCY RESPONSE OF THE PHOTOMATRIX

S.V. Balyasny, M.B. Tsudickov

The method of calculation of the contrast-frequencyresponse of a photomatrix is offered.

Key words: photomatrix, optical transfer function, contrast-frequencyresponse, Fourier's transformation.

Balyasny Sergei Vicktorovich, postgraduate, sergo120@gmail. com, Russia, Tula, Tula State Universty,

Tsudickov Mikhail Borisovich, candidate of technical sciences, docent, tsudick-ov. mb@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University