CC BY
66
УДК 517.3
Е. Д. Деревянчук
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ДИАФРАГМЫ, ПОМЕЩЕННОЙ В ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ВОЛНОВОД,
ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ОТРАЖЕНИЯ
Аннотация. Рассматривается обратная задача электродинамики - задача определения эффективной диэлектрической проницаемости диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод, по известному коэффициенту отражения. Разработан численно-аналитический метод решения поставленной обратной задачи. Представлены численные результаты обоих методов.
Ключевые слова: обратные краевые задачи электродинамики, эффективная диэлектрическая проницаемость, дифференциальные уравнения, численно-аналитический метод, коэффициент отражения.
Введение
Определение электрофизических параметров нанокомпозитных материалов является одной из актуальных задач нанотехнологии и наноэлектроники [1, 2].
С появлением композитных, нано- и мета-материалов возникла необходимость в разработке новых методов решения обратных задач электродинамики, так как применение известных методов на практике, как правило, невозможно из-за композитного характера материалов и малых размеров образцов. Поэтому применяют методы математического моделирования и решают задачи численно с помощью компьютеров.
По данному направлению имеется целый ряд работ как в России [3, 4], так и за рубежом [5, 6]. Решение этих задач с приемлемой для практики точностью на электродинамическом уровне строгости математическими методами требует очень большого объема вычислений и часто невозможно даже на самых современных суперкомпьютерах [7, 8]. Поэтому актуальна разработка численно-аналитических методов решения обратных задач электродинамики.
В данной работе рассматривается задача определения эффективной диэлектрической проницаемости л-секционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод, по известному коэффициенту отражения.
Данная задача сводится к решению обратной задачи для системы уравнений Максвелла. Падающее электромагнитное поле и коэффициент отражения В, а также длина
каждой секции л-секционной диафрагмы предполагаются известными. С использованием условия сопряжения для компонент электромагнитного поля на границах раздела сред внутри волновода задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений. В работе предложен численно-аналитический метод решения системы, которое определяет диэлектрическую проницаемость каждой секции диафрагмы.
Постановка задачи
Пусть в декартовой системе координат задан волновод Р = {х: о < х1 < а,о < х2 < Ь, < Х3 < с идеально проводящей поверхностью ЭР. В волноводе расположено объем-
ное тело Q(Q с Р) - область, которая представляет собой параллелепипед, разделенный на л секций (рис. 1):
Q1 ={х:о<х1 <а,о<х2 <Ь,о<х3 < 11},
Q2 ={х:о<х1 <а,о<х2 <Ь,/1 <х3 < 12},
Qn ={х:о<х1 < а,0 <х2 <Ь, 1п_1 <х3 < 1п}.
Рис. 1. Диафрагма в волноводе
В Р \ Q среда изотропна и однородна с постоянной магнитной проницаемостью во всем параллелепипеде (0 > о) и постоянными диэлектрическими проницаемостями в
каждой секции (є(- > о).
Требуется по известным коэффициентам А и В электромагнитного поля определить эффективную диэлектрическую проницаемость є ^ каждого слоя (рис 2). Амплитуда В прошедшего поля считается известной и получается в результате измерений.
в 4 • 3- 3. 3-
Га 7і 7і 7п Го
А Сі с2 С3 Р
► ► ► ► ►
о А Ь ^ л
Рис. 2. Схема распространения волн в волноводе
Рассмотрим математическую постановку задачи. Поведение электромагнитного поля внутри и вне объекта, расположенного в волноводе, описывается уравнениями Максвелла:
| го^И = -гюе Е, (1)
[го^Е = гюцИ,
где E - вектор напряженности электрического поля; H - вектор напряженности магнитного поля; ю - круговая частота.
Предполагаем, что л / a < k0 <л / b, где k0 - волновое число вакуума, k,2 = ю2 є 0 ц 0.
В этом случае в волноводе распространяется только одна волна (волновод «работает» в одномодовом режиме) [9].
Используя уравнения (l), рассчитаем поле внутри объекта Q. Будем предполагать, что внешнее электрическое поле имеет вид
E 0 = e2 A sin fj e~i^3
с известной амплитудой А. Здесь
Y = ^К -л2/a2 ^rn2£o^o -л2/a2.
Тогда полное поле в n областях объекта Q и вне объекта имеет вид
E(o) = sinf^)(Ae'iY^ + BeiYo); Ew= sin f ^ ) (Є 'з + VY-'з);
Г ...
E(n )= sin (^) ( ( + dJ^' ); E(„+l)=sin ( лт j Fe^Yn 11 x'.
На границе областей L :={x' = o, x' = l1,..., x' = ln } должны выполняться условия сопряжения:
[E]|l = 0; [H]|l = 0.
Тогда получим следующую систему уравнений:
A + B = Cl + Dl;
Y o (B - A ) = Yl (Dl - Cl);
C1e^ + D1eiYlll = C2e^ + D2eiy2ll;
г Y1 (e^ -Qe-Ylll ) = y2 (D2(Y2ll -Qe-^); (2)
Cne-iYnln + D•ei Ynln = Fe-Yn+lln;
Yn(Dnellnln -Cne-iYnln) =Yn+l(-Fe~llnl-1).
В зависимости от того, что полагать в системе (2) неизвестными, задача может быть либо прямой, либо обратной.
Метод решения обратной задачи
В обратной задаче по известной амплитуде падающего поля A и известному коэффициенту отражения B, а также известным длинам каждой секции диафрагмы требуется определить все диэлектрические проницаемости єj, jє (o; n). Идея разработанного ме-
тода решения данной задачи состоит в том, чтобы найти рекуррентную зависимость известных амплитуд А и В от неизвестных диэлектрических проницаемостей еу , (еу е К).
Такая зависимость была найдена:
нейным уравнением относительно п неизвестных диэлектрических проницаемостей е у .
Очевидно, что количество уравнений меньше, чем количество неизвестных. Записывая данное уравнение при различных значениях круговых частот, получим необходимое количество уравнений. Для случая п секций достаточно знать значения А и В при п/2 круговых частотах, чтобы составить систему из п уравнений.
Математическая модель для трехсекционной диафрагмы
Для трехсекционной диафрагмы формулы для обратной задачи имеют вид
А = УпрП±1±мП±1
В У пРп±1 ±У 09™’
(3)
где
р± = 1; р2 = Уор± соб а ± у1д1±I бш а;
р±±1 = У у _1 Р± соб а у ± у 9±1 бш а у; 9± = 1; 92 = УоР±I бш а ± У19± соб а1; 9±±1 = У у-гР±1 б1п а у ± у ^ соб а;-;
С учетом того, что У у =^Ю2£у ц0 - Т12/а2 , уравнение (3) является комплексным нели-
А =У пР±±1 ±У о9±±1 В У пР-±1 ±У о9-±15
(4)
где
р± = 1; р2 = Уор± соб а1 ± ухд±I б1п а1;
Р3 = У1 р2 соб а2 ± у2д21 б1п а2; р4 = у2р3 соб аз ± у3д31 б1п а3;
д± = 1; 92 = Уор±I б1п а1 ± у^* соб а1;
?3 = У 1р2I Б1п а2 ± у2д2 соб а2; ?4 = У2р3I Б1п а3 ± у3д3 соб а3;
Численные результаты
Данная модель была реализована и протестирована в системе компьютерной математики МаШСа&
Результаты моделирования представлены в табл. 1.
Таблица 1
Точные значения е^ Исходные данные Численные результаты
£1 = 1,1 a = 2 см, b = 1 см, с = 2 см, l1 = 0,5 см, £1 = 1,09
е2 = 1,2 l2 = 1,2 см, l3 = 2 см, ю1 = 2,5, ю2 = 1,7, £2 = 1,2
е3 =1,3 B(ю1 ) = 0,13 - i 0,03, B(ю2) = 0,31 + i 0,3 е3 =1,3
£1 = 1,3 a = 2 см, b = 1 см, с = 2 см, l1 = 0,5 см, £1 = 1,29
£2 =-1,1 l2 = 1,2 см, l3 = 2 см, ю1 = 2,5, ю2 = 1,7, £2 =-1,095
е3 =-1,2 B(ю1 ) = 0,78 -i 0,63, B(ю2) = 0,08 + i 0,996 £3 =-1,22
Из табл. 1 видно: погрешность вычислений не превышает 3 %, что доказывает эффективность данного метода.
Заключение
Таким образом, был разработан численно-аналитический метод решения обратной задачи электродинамики для определения диэлектрической проницаемости л-секционной диафрагмы в волноводе по коэффициенту отражения.
Отметим некоторые особенности разработанного численно-аналитического метода:
- метод прост в реализации;
- позволяет находить диэлектрические проницаемости каждой секции л-секционной диафрагмы с приемлемой для практики точностью;
- может быть применен для изучения электрофизических характеристик композитных и метаматериалов.
Список литературы
1. Изменение типа резонансного отражения электромагнитного излучения в структурах «нано-метровая металлическая пленка-диэлектрик» / Д. А. Усанов, А. В. Скрипаль, А. В. Абрамов, А. С. Боголюбов // Письма в ЖТФ. - 2007. - Т. 33, № 2. - С. 13-22.
2. Complex permittivity of composites based on dielectric matrices with carbon nanotubes / D. A. Us-anov, A. V. Skripal, A. V. Abramov, A. S. Bogolyubov // Technical Physics. - 2011. - V. 56, № 1. -Р. 102-106.
3. Смирнов, Ю. Г. Применение ГРИД технологий для решения нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 3. - С. 39-55.
4. Гурина, Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гурина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 2. - С. 44-53.
5. Study of a slab waveguide loaded with dispersive anisotropic / Tao Pan, Guo-Ding Xu, Tao-Cheng Zang, Lei Gao // Applied Physics A. - 2009. - Р. 367-372.
6. Near-perfect tunnelling and amplification of evanescent electromagnetic waves in a waveguide filled by a metamaterial: Theory and experiment / J. D. Baena, L. Jelinek, R. Marques, F. Medina // Physical Review B. - 2005. - № 72.
7. Shestopalov, Yu. V. Volume Singular Integral Equations Method for Determination of Effective
Permittivity of Meta- and Nanomaterials / Yu. V. Shestopalov, Yu. G. Smirnov, V. V. Yakovlev //
Proceedings of Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2008), Cambridge, USA, July 2-6. - Cambridge, 2008. - P. 291-292.
8. Shestopalov, Yu. V. Development of Mathematical Methods for Reconstructing Complex Permittivity of a Scatterer in a Waveguide / Yu. V. Shestopalov, Yu. G. Smirnov, V. V. Yakovlev // Proceedings of 5th International Workshop on Electromagnetic Wave Scattering, October 22-25, Antalya, Turkey. - Antalya, 2008.
9. Вайнштейн, Л. А. Электромагнитные волны / Л. А. Вайнштейн. - М. : Радио и связь, 1988.
Деревянчук Екатерина Дмитриевна Derevyanchuk Ekaterina Dmitrievna
аспирант, postgraduate student,
Пензенский государственный университет Penza State University
E-mail: [email protected]
УДК 517.3 Деревянчук, Е. Д.
Определение диэлектрической проницаемости диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод, по коэффициенту отражения / Е. Д. Деревянчук // Вестник Пензенского государственного университета. - 2013. - № 1. - C. 97-102.
