Обратная задача восстановления тензора магнитной проницаемости многосекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе по коэффициентам прохождения или отражения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958, 537.876.46

Е. Д. Деревянчук

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕНЗОРА МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ МНОГОСЕКЦИОННОЙ ДИАФРАГМЫ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ ПРОХОЖДЕНИЯ ИЛИ ОТРАЖЕНИЯ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Исследована обратна задача восстановления тензора магнитной проницаемости многосекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе по коэффициентам прохождения или отражения.

Материалы и методы. Обратная задача представлена в виде краевой задачи для уравнений Максвелла; для решения поставленной обратной задачи применяются общие методы теории краевых задач, теории приближенных методов решения нелинейных систем уравнений.

Результаты. Разработан численно-аналитический метод решения обратной задачи восстановления тензора магнитной проницаемости многосекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе по коэффициентам прохождения или отражения.

Выводы. Полученные результаты могут быть использованы при определении электромагнитных свойств анизотропных слоистых или композитных материалов.

Ключевые слова: обратная задача электродинамики, многосекционная диафрагма, тензор магнитной проницаемости, прямоугольный волновод.

E. D. Derevyanchuk

AN INVERSE PROBLEM OF TENSOR RECONSTRUCTION OF A MULTI-SECTIONAL DIAPHRAGM IN A RECTANGULAR WAVEGUIDE BY THE TRANSMISSION OR REFLECTION COEFFICIENTS

Abstract.

Background. The aim of the work is to study an inverse problem of tensor reconstruction of a multi-sectional diaphragm in a rectangular waveguide by the transmission or reflection coefficients.

Material and methods. The problem is considered as an inverse problem of electrodynamics, it is presented as a boundary value problem for Maxwell's equations; it was applied the theory of boundary value problems for Maxwell's equations, the theory of approximate methods for solving nonlinear systems.

Results. The author has developed a numerical-analytical solution for the inverse problem of tensor reconstruction of a multi-sectional diaphragm in a rectangular waveguide by the transmission or reflection coefficients.

Conclusions. The obtained results can be used for determination of electromagnetic characteristics of anisotropic composite materials.

Key words: inverse electrodynamics problem, multi-sectional diaphragm, permeability tensor, rectangular waveguide.

1 Работа выполнена частично при финансовой поддержке гранта Минобрнауки РФ № 2.11.02.2014^ (проектная часть) и Стипендии Президента РФ № 1311.2015.5.

Введение

Задача восстановления тензора магнитной проницаемости многосекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе по коэффициентам прохождения или отражения относится к классу обратных задач электродинамики [1, 2]. Несмотря на то, что разработаны численные методы решения обратных задач для произвольных тел в прямоугольном волноводе [2], до сих остаются актуальными и важными для практики частные случаи такого рода задач, а именно обратные задачи для диафрагмы в волноводе. Под диафрагмой понимается параллелепипед, стенки которого плотно прилегают к стенкам волновода.

Целью данной работы является исследование обратной задачи восстановления электромагнитных характеристик анизотропной многосекционной диафрагмы по измеренным на различных частотах коэффициентам прохождения или отражения.

Данная статья является развитием результатов, полученных в работах [3, 4]. В отличие от работы [3], где исследовалась обратная задача восстановления тензора магнитной проницаемости односекционной диафрагмы, и работы [4], где были получены результаты для обратных задач восстановления тензора диэлектрической проницаемости двухсекционной диафрагмы, в данной статье исследуются обратные задачи восстановления тензора магнитной проницаемости многосекционной диафрагмы.

Обратные задачи сводятся к решению соответствующих краевых задач для системы уравнений Максвелла. На основе разработанного в [4] рекуррентного метода и метода «поворота» диафрагмы [3] получены решения поставленных обратных задач для многосекционной диафрагмы.

Разработанные численные методы решения обратных задач реализованы в виде комплекса программ и апробированы для двухсекционной диафрагмы.

1. Постановка обратной задачи дифракции

Пусть в декартовой системе координат задан волновод Р = {х : 0 < х1 < а,0 < х2 < Ь,_^ < х3 <

с идеально проводящей поверхностью ЭР. В волноводе расположена многосекционная диафрагма в (в с Р - область) с секциями

в] = {(х,у,г): 0 < х < а, 0 < у < Ь, ¡]-_ < г < ¡]-},

в = Ов],

]=1

здесь ¡] _ ¡]_1 (известная) толщина ] -й секции и ¡0 = 0, ¡п = I, I - полная длина диафрагмы. В Р \ в среда изотропна и однородна с проницаемостями £0 > 0, ^0 > 0 . Каждая секция в] диафрагмы представляет собой анизотропную среду с известным диагональным тензором диэлектрической проницаемости:

f« (j) «11 0 0 Л

s( j) = 0 «22^ 0

0 0 «33W

(1)

и неизвестным тензором магнитнои проницаемости:

f Il1(j 1 0 0 Л

¿¿( j) = 0 122(j1 0

0 0 10

(2)

Поведение электромагнитного поля внутри волновода P удовлетворяет уравнениям Максвелла

вне диафрагмы и

[rot H = -iwe0 E, [rot E = iw|i0H

rot H = -iws( j) E, [rot E = 7Юц( j)H

(3)

(4)

внутри диафрагмы, где E - вектор напряженности электрического поля, H -вектор напряженности магнитного поля; ю> 0 - круговая частота. Будем

2 2

предполагать, что волновое число ко (ко = Ю £olo) удовлетворяет следующему диапазону: п/a < ко < п/b [3]. В этом случае в волноводе распространяется только волна Ию, волновод работает в одномодовом режиме. Внешнее электрическое поле имеет вид [5]:

E0 = Asin ^ ^L j e~iYo хз e2, что соответствует волне типа Ию с известной амплитудой A,

Y0 = >/ко - л2/a2 =^/w2£0l0 -л2/a2 , Y0 - постоянная распространения волны Ию, e2 - орт вдоль оси Oy . Вектор H0 определяется из второго уравнения системы (3).

С учетом того, что в волноводе распространяется только волна Ию, будем искать поле в волноводе в виде

E = (0 Ey 0), H = (( 0Hz).

Полное поле вне Q имеет вид пх

sin I

E =

sin I — I (Ae-lY°z + BelY°z )e2, z < 0,

° J (5)

sin

(aj Fe-iYoze2, z > l,

и внутри каждой секции Qj :

E = sin|ПХ)(Cje~ÍljZ + DjéljZ)e2, lj_i < z < lj, j = 1,...,n +1. (6)

Здесь Yn+i = Yo ; A - амплитуда падающей волны; В и F - коэффициенты, известные из результатов измерений. На границе областей должны выполняться условия сопряжения:

[ Ey ]L = 0, [Нх ]L = 0, (7)

где L :={(х, y, z): z = 0, ..., z = lj,..., z = ln }, j = 1,., n , []L - скачок предельных значений функции на границе раздела сред L; Ey, Нх - тангенциальные составляющие векторов E, H соответственно.

Введем следующие обозначения для рассматриваемых обратных задач: P - обратная задача восстановления характеристик диафрагмы по значениям коэффициента прохождения F/A , Q - обратная задача, в которой используются значения коэффициента отражения В/A . Неизвестные величины записаны в нижнем индексе, в верхнем - поле чисел, в котором разыскиваются искомые величины. Тогда постановка задач имеет вид.

Постановка обратных задач P„(j) (Q„(j) ): требуется по известным ко-

1 ц

эффициентам прохождения F¡A (или коэффициентам отражения В A) электромагнитного поля, измеренным на различных частотах, определить диагональный тензор магнитной проницаемости (1 j (j = 1,.,n ) каждой секции

анизотропной многосекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод.

2. Обратные задачи р„(}) и Qi})

Математическая постановка задачи сводится к решению краевой задачи (1)-(7) для системы уравнений Максвелла. Из системы (4), равенств (6) и (7) имеем следующее выражение для постоянной распространения уу :

Y,

V

( (Л п2 ^

2 (J) П

Ю е22 ^0--о

а

J L, J = 1,•••,n . (8)

/

В работе [2] для тензоров (1), (2) были получены формулы зависимости коэффициента прохождения А от компонент диэлектрических и магнит-

ных тензоров и формула зависимости коэффициента отражения В А от компонент диэлектрических и магнитных тензоров:

2e

-iY 0ln

F

п

Y;

j=0 i(L1

A P(+)+l0 q(+)

ц(и) и11

Pn+1

10

in +1

(9)

и

B

f Yn P(-)+Y0 q(-) ^ (n) Pn+1 + и 0 qn+1

A f Yn p(+) + Y0 q(+) ^ (n) pn+1 + n0 qn+1

(10)

где

1 (±) Yj-1 ± Yj

P1=1,p2 =j P1cos a j

q! sin a

j

(±) Yj-1 (±) , Yj (+). .

pj+1 ^-Tj-iyp) cosajqj4sinaj,

Y '-1 Y '

q1 = I q2 ^-rjirrP1isinaj±—т)jyq1cosaj, и11 j i1i

(±) Yj-1 (+). . , Yj (±) q)+1 = jpj 4sinaj + qj —P

cos a,

a

= Y) ((' -1)-1), j =1,...,n.

(11)

Каждое из уравнений (9) и (10) представляет собой комплексное нелинейное уравнение с п неизвестными цЦ (( = 1,...,п). Из уравнения (9) при к (к = п/2, если п - четно, к = п/2 +1, если п - нечетно) на различных частотах (т = 1,...,к) получаем систему нелинейных уравнений:

2е-'Т0К )n j Y) (С) ___)=0 И(1)

A ^^ (Cm ) + (Cm )

F(Cm )

(m = 1,..., к),

(12)

решая которую методом Левенберга - Марквардта, находим неизвестные ) (( = 1,..., п).

Для того чтобы найти остальные компоненты диагонального тензора

^22 (( = п)' будем применять так называемый метод «поворота диафрагмы», предложенный в работе [3], суть которого состоит в следующем. Пространственно ориентируя диафрагму в волноводе, найдем такое положение диафрагмы, при котором изменится положения компонент тензоров на главной диагонали, а именно необходимо найти такой поворот диафрагмы,

при котором компоненты цЦ и ^22 (У = !,•••,п) поменялись бы местами. Это поворот относительно оси Oz на угол ф = я/2, которому соответствует матрица

( 0 10 ^

A =

-10 0 v° 0 1

(13)

В результате поворота тензор магнитной проницаемости примет вид

' ta^ > 0 0 Л

j 4-1h(j >4 j 1 = 0 Ц11(Л 0

v 0 0 ^0 ,

Тензор диэлектрической проницаемости преобразуется так же^ Тогда для новых тензоров выражение для постоянной распространения у у каждой

секции многосекционной диафрагмы примет вид

Y j =

„2 >

2 (i) П

V «2 /

j =In .

(14)

Проводя аналогичные рассуждения, как и для тензоров в исходном положении диафрагмы, окончательно получим следующую систему уравнений:

F (com)

2в-^оК) П-Yi(Ст)

j =0

Ц^Рй (m )+-f№ (cm)

(m = 1,..., n),

=1Р2 =,(- 1 (±) = Yi-1 p(±)

Р1=1,p2' =jP1C0S a j ±лг)

q1 Sin a j,

pj+1

&4 Pj

Y j

cos a + ч

J (j) j

v 'i sin a,

^22

(15)

1 ~(±) Yj-1 ■ • - ± Yj ~ q1 =1,q2 "(-уР11 Sinaj ±~(j) q1C0Saj,

^22 ^22

,(±)=)_ p(±)i _

q)+1 = -(-у p) ^sin aj+-j q)'cos aj'

JY)_ q(±),

a

=yj'((-lj-1), j =1,...,n,

(16)

решая которую методом Левенберга - Марквардта, находим неизвестные компоненты (] = 1, . ., п).

Проводя аналогичные рассуждения для коэффициента отражения, получим, что решение обратной задачи Q--( ]) сводится к системам:

( ) (»m ) + (»m ) B(Cm ) =_-1_-0_

A Yn К ) p(+)(fi ) , Y0 (»m )q(+)(fi ):

Щ pn+11 Cm) + - qn+11 »m )

(17)

-11

-0

B(Cm )= -11

^ pn+1 (Cm & (Cm )

-0

A Y n К ) - (+)(C ) + Y0Kiq(+)(m )

(n) pn+1 v Cm) + - qn+11 Cm j

(m = 1,..., к),

(18)

-11

-0

решая которые методом Левенберга - Марквардта, находим неизвестные -(1) и -2:2) (( = 1, . ., п) искомого тензора.

3. Численные результаты

Разработанные в разд. 2 численные методы решения обратных задач были реализованы в виде комплекса программ. В табл. 1 представлены численные результаты решения обратной задачи Р . Все единицы измерения

£ ],1}

указаны в системе СГС.

Параметры волновода: а = 2,286 см, Ь = 1 см; измерения проводятся на частоте / = 11,93 ГГц, / = 8,12, амплитуда падающего поля А = 1, толщина каждой секции I] _ /у_1 = 0,5 .Тензоры диэлектрической проницаемости каждой секции известны:

(43 0 0 ^ (11,6 0 0 ^

s(1) =

0 28 0 v 0 0 28,

s(2) =

0 0

9,4 0 0 9,4

В первом столбце табл. 1 указаны значения коэффициента прохождения на каждой частоте при исходном положении диафрагмы и после поворота, во втором - вычисленные значения тензора магнитной проницаемости каждой секции двухсекционной диафрагмы, в последнем столбце указаны точные значения искомых величин.

Таблица 1

Значения

F(1)(®!) F(1)(®2) Вычисленные Точные

A , A F (2)(rnj) F (2)(ю2) Цц M-22 , ц(2> ц(2> ^Íí* ^^ , Цп)

A , A

f 1.206 0 0" f 1.2 0 0"

0,272 + 0,457/; 0,090 - 0,179/; A(1) V 0 0 1.989 0 0 1 У , А(1) = 0 2 0 0 0 1 V

0,326 + 0,353/; f 2.26 0 0" f 2.27 0 0 \

0,170 - 0,137/ a(2) 0 3.99 0 д(2) = 0 4 0

V0 0 lj V 0 0 1 V

f1.99996 0 0 " f2 0 0"

0,516 + 0,817/; £(1) = 0 5.00001 0 , £(1) = 0 5 0

0,785 - 0,205/; V 0 0 1V V0 0 1V

0,497 + 0,561/; f8.0001 0 0 " f8 0 0"

-0,372 - 0,775/; a(2) = 0 12.0022 0 а(2) = 0 12 0

V 0 0 i V V0 0 1 V

Из табл. 1 видно, что относительная погрешность вычислений не превышает 5 %, что говорит об эффективности разработанного метода.

Заключение

Разработан численный метод решения обратной задачи восстановления тензора магнитной проницаемости многосекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе по коэффициентам прохождения или отражения. Метод реализован в виде комплекса программ, протестирован на тестовых задачах. В статье представлены численные результаты решения обратной задачи для двухсекционной диафрагмы, относительная погрешность вычислений не превышает 5 %. Предложенный метод может применяться для определения электромагнитных характеристик анизотропных материалов.

Список литературы

1. Ильинский, А. С. Математические модели электродинамики / А. С. Ильинский, В. В. Кравцов, А. Г. Свешников. - М. : Высшая школа, 1991. - 224 с.

2. Медведик, М. Ю. Обратные задачи восстановления диэлектрической проницаемости неоднородного тела в волноводе / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов. -Пенза : Изд-во ПГУ, 2014. - 76 с.

3. Деревянчук, Е. Д. Решение обратной задачи определения тензора магнитной проницаемости диафрагмы в прямоугольном волноводе / Е. Д. Деревянчук // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 1 (25). - С. 34-44.

4. Derevyanchuk, E. D. Tensor permittivity reconstruction of two-sectional diaphragm in a rectangular waveguide / E. D. Derevyanchuk, Yu. G. Smirnov // Days on

Diffraction : Proceedings of the International Conference (St. Petersburg, Russia, 2014). - St. Petersburg, 2014 - P. 65-68.

5. Smirnov, Yu. G. Permittivity reconstruction of layered dielectrics in a rectangular waveguide from the transmission coefficient at different frequencies / Yu. G. Smirnov, Yu.V. Shestopalov and E. D. Derevyanchuk // Inverse Problems and Large-Scale Computations, Series : Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. - 2013. -Vol. 52. - Р. 169-181.

References

1. Il'inskiy A. S., Kravtsov V. V., Sveshnikov A. G. Matematicheskie modeli elektrodinamiki [Mathematical models of electrodynamics]. Moscow: Vysshaya shkola, 1991, 224 p.

2. Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G. Obratnye zadachi vosstanovleniya dielektricheskoy pronitsaemosti neodnorodnogo tela v volnovode [Inverse problems of dielectric permeability reconstruction of a heterogeneous body in a waveguide]. Penza: Izd-vo PGU, 2014, 76 p.

3. Derevyanchuk E. D. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2013, no. 1 (25), pp. 34-44.

4. Derevyanchuk E. D., Smirnov Yu. G. Days on Diffraction: Proceedings of the International Conference (St. Petersburg, Russia, 2014). Saint-Petersburg, 2014, pp. 65-68.

5. Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu. V. and Derevyanchuk E. D. Inverse Problems and Large-Scale Computations, Series: Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. 2013, vol. 52, pp. 169-181.

Деревянчук Екатерина Дмитриевна

лаборант-исследователь, Научно-исследовательский центр «Суперкомпьютерное моделирование в электродинамике», Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Derevyanchuk Ekaterina Dmitrievna Research-laboratory assistant, Research Center "Supercomputer modeling in electrodynamics", Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

УДК 517.958, 537.876.46 Деревянчук, Е. Д.

Обратная задача восстановления тензора магнитной проницаемости многосекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе по коэффициентам прохождения или отражения / Е. Д. Деревянчук // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. - № 4 (36). - С. 84-92.