CC BY
4
УДК 517.3
DOI 10.21685/2072-3040-2018-2-6
Е. Д. Деревянчук, И. А. Родионова
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МНОГОСЕКЦИОННОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ДИАФРАГМЫ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ1
Аннотация.
Актуальность и цели. С появлением новых видов материалов, таких как композитные, возникла проблема определения электромагнитных характеристик такого рода материалов. Данная задача является актуальной задачей современной электродинамики. Цель исследования - разработать численно-аналитический метод решения обратной задачи для тонкой многосекционной анизотропной диафрагмы.
Материалы и методы. Рассматривается обратная задача восстановления тензоров диэлектрической проницаемости тонкой многосекционной анизотропной диафрагмы. Задача сводится к решению краевой задачи для системы уравнений Максвелла.
Результаты. Получены численно-аналитические приближенные формулы решения обратной задачи. Разработан метод решения такой задачи. Представлены численные результаты для трехсекционной диафрагмы.
Выводы. Полученные численно-аналитические приближенные формулы решения обратной задачи для тонкой многосекционной анизотропной диафрагмы могут быть использованы при определении электромагнитных параметров анизотропных тонких многослойных пластин волноводным методом.
Ключевые слова: анизотропная диафрагма, многослойная пластина, вол-новодный метод, обратная задача, диагональный тензор диэлектрической проницаемости.
E. D. Derevyanchuk, I. A. Rodionova
RECONSTRUCTION OF ELECTROMAGNETIC CHARACTERISTICS OF A MULTISECTIONAL ANISOTROPIC DIAPHRAGM IN A RECTANGULAR WAVEGUIDE
Abstract.
Background. The appearance of new artificial materials, such as composites, has raised a problem of electromagnetic parameters reconstruction for such materials. This is an actual problem of modern electrodynamics. The aim of the study is to develop a numerical-analytical method for solving the inverse problem for a thin ani-sotropic multi-sectional diaphragm.
Materials and methods. We consider the inverse problem of a permittivity tensor for a thin multisectional anisotropic diaphragm. The problem is reduced to a boundary value problem for Maxwell's equations.
1 Работа финансово поддержана грантом Президента РФ № MK-3604.2018.1.
© 2018 Деревянчук Е. Д., Родионова И. А. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.Org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место .
Results. We obtain numerical-analytical approximate formulas of the solution to the inverse problem. Numerical-analytical method is developed for the problem under investigation. Numerical results are presented for the case of three-sectional diaphragm.
Conclusions. The solution of the inverse problem can be used for tensor permittivity reconstruction for a thin anisotropic multisectional slab.
Key words: inverse problem, anisotropic material, waveguide method, permittivity tensor, multisectional diaphragm, slab.
Введение
В последние десятилетия появилось много различных видов искусственных материалов, таких, например, как композитные. Для определения характеристик такого рода материалов применяют методы математического моделирования. Такого рода задачи относятся к классу обратных задач электродинамики. Данная работа является продолжением работ [1-4], посвященных обратным задачам. Под обратными задачами понимаются задачи, в которых по результатам измерений дифрагированной волны определить характеристики образца материала. К таким задачам относятся обратные задачи геофизики, физики атмосферы, задачи томографии в медицине. В частности, к обратным задачам относятся задачи восстановления электромагнитных параметров образца материала.
В данной работе будет рассмотрена обратная задача восстановления диэлектрической проницаемости каждой секции тонкой многосекционной диафрагмы.
Постановка задачи
Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат (ПДСК). Пусть в ПДСК задан волновод Р = {х : 0 < х < a,0 < х2 < b, < Х3 < с идеально проводящей поверхностью дР (рис. 1).
х3
Рис. 1. Диафрагма в волноводе
В волноводе расположена диафрагма Q (^ с Р). В Р \ Q среда изотропна и однородна с проницаемостями £д = 1, Цо = 1. Диафрагма представляет собой многослойную пластину, каждый слой заполнен анизотроп-
ной средой с неизвестным диагональным тензором диэлектрическом проницаемости:
(1)
f p( j) 0 0 ^
e( j) = 0 p( j) 22 0 , j = 1,..., n
0 0 £0
и известным тензором магнитном проницаемости:
f ц( j) Мц 0 0 ^
( j = 0 ) 0 , j = 1,..., n
0 V 0 >4? ,
(2)
Известно, что толщина каждой секции ^ — ■ 1, т.е. диафрагма, состоит из «тонких» секций.
Постановка задачи: требуется по известной амплитуде A падающего поля и известным значениям коэффициента прохождения A на различных
частотах восстановить тензоры диэлектрической проницаемости Е( j = 1,...,п, каждой тонкой секции многосекционной диафрагмы, помещенной в прямоугольный волновод.
Метод решения задачи
Поведение электромагнитного поля внутри волновода P удовлетворяет уравнениям Максвелла:
[rot H = -7Ю£0 E, [rot E = iro^0H,
I rot H = -iroe( j) E, [rot E = m\L{j) H,
(3)
(4)
здесь система (3) описывает поведение электромагнитного поля вне диафрагмы, а система (4) - внутри диафрагмы. Вектор E - вектор напряженности электрического поля, H - вектор напряженности магнитного поля, ю> 0 -круговая частота. Предполагается, что волновод работает в одномодовом ре-
2 2
жиме [5]. Тогда волновое число ^ (^ =ю £оМю) удовлетворяет следующему неравенству: я/a < ^ <п/Ь , где a - ширина волновода, Ь - высота волновода. Предполагается, что внешнее электрическое поле имеет вид [5]:
E0 = A sin
nxL 1 e-iY0x3
e2 ~
a ]
что соответствует волне типа Hlо с известной амплитудой A, Уо k(2 —Я2/a2 ^ю2ео^о — П2/a2 , Уо - постоянная распространения вол-
ны #ю, е2 - орт вдоль оси Оу . Вектор Н0 определяется из второго уравнения системы (3).
С учетом того, что волна Ню имеет поляризацию Е = (0 Еу 0), Н = (Нх 0 Н г), полное поле вне Q имеет вид
E =
81И
81И
пх a пх a
j (Ae_iYoz + BeiYoz )e2, z < 0, Fe_iYoze2, z > l,
(5)
а внутри диафрагмы поле имеет вид
E = sin I a j ((^ + )e2, j = 1,..., n,
(6)
Здесь А - амплитуда падающей волны; В и ^ - коэффициенты, подлежащие измерению.
Подставляя выражения (1), (2) в системы уравнений Максвелла (3), (4), получим соответствующие выражения для постоянных распространения:
2 П2
Yo = JW eo"o —^ Yj V a
Л
(
2 j j __П
W ^22^33
.2 V, j
"1
"33
(7)
На границе областей должны выполняться условия сопряжения:
[Еу ]ь = 0, [Нх ]Ь = 0, (8)
где Ь :={(х,у,г): г = 0, г = /} ; [ - скачок предельных значений функции на границе раздела сред Ь; Еу, Нх - тангенциальные составляющие векторов Е, Н соответственно.
На основе работ [1-3] для тензоров (1), (2) с учетом выражений (5), (6) и (8) справедливы формулы зависимости коэффициента прохождения А от компонент диэлектрических и магнитных тензоров:
2e
F
(Ws) =
-iYo(Ws )ln ТГ Yj (Ws)
1 П n(j)
j=o M-11
^ pi+ta ),n+i(»s)
Hi "o
, s = 1,...,2n,
(9)
где
Y ' _1 Y '
P1 =1, Pj+1 = Т^—ГТPj cosaj +~(7) qjisinaj, "1i "11
Yj-1 Yj
qi = 1, qj+1 = /.-1) Pj i sin a j + -j qj cos a j,
m1!l ) U(1)
(10)
a
= Yj (lj -lj-1), j =!,...,n
Выражение (9) есть не что иное, как система п комплексных уравнений с п комплексными неизвестными е2^) (ю) = е^/) (ю) + / ©2'' V®, j = 1,.., п , или система 2п вещественных уравнений с 2п действительными неизвестными
е22)(ю),^), ' = 1,...,п .
В случае диафрагмы, состоящей из тонких пластин, т.е. (¡у — 1у_1) ■ 1,
и при условии того, что Уу (¡у — _1) ■ 1, выражения (1о) для коэффициентов р', qj имеют вид
lim P j+i = lim
l j -lj
lj -lj-i^0
Y j-1 Yj . .
p. cos a. + /.ч q .i sin a.
u(i-1) J Mil
u11
Y j -l Yj
pj qjiaJ;
uli uli
lj -h-1^°
lim qj+1 = lim
Y j-1
Yj-1 Yj
Pji sin a j +
u11
Pjia j +-
Y j
u11 u11
U11
j = 1,..., n.
t л q j cos (X j
(.r
Таким образом, окончательно имеем следующую систему уравнений:
2e
-iY 0(«s )ln
Y j К-)
■ 0 N(jГ
J=0 N11
п
— («л) =- . .
A Yn(«) P(+)(« ) + Y0 q(+)(
s = 1,...,2n,
N11
рП+1(®Л )+N0 qn+1(®s)
(11)
Yj-1 Yj
P1=1, pj+1 = т pj+—qjiaj,
un un
q1 =I q.+1 =
Y j-1
■ p. ia j + -
Y j
Aj-1VJ J N(j VJ' u11 u11
a
= Yj ((j -lj-1), j =1,...,n.
(12)
где постоянные распространения, входящие в уравнения (11)-(12), выражаются по формулам (7).
Для того чтобы определить первые компоненты тензоров на главной
диагонали £(1), выполним поворот диафрагмы на угол ф = 90° относительно
оси 02. В результате поворота тензоры диэлектрической проницаемости преобразуются и примут следующий вид:
(13)
Тогда уже для новых тензоров (12) система уравнений (11) примет вид
2е-УоК )1п ПП У* (О)
f £( J) £22 0 0 ^ ' "22 0 0 Л
j = 0 £( j) £11 0 , "(J) = 0 "(J) "11 0
0 V 0 £( J) £33 у 0 V 0 "33? „
F
(®s) =
■ 0 u(j1 J=0 "11
s ь^рйк)
s = 1,...,2n,
"22
Y j -1
P1 =1, pj+1 ~ ~m PJ +
Y J
"22-11
"221
■qjia J,
(14)
q1 =1' qj+1
Yj-1 - .- ^ Yj _ -—Piia j (jy qj■
" 22
"2j i
a
= Yj ((j -lJ-1J =1,...,
Y j =
,2CJ I, J
.2 ^ „ j
Ю £
1"33
"22
"3J3
(15)
(16)
Численные результаты
В данном разделе представлены численные результаты решения поставленной обратной задачи. Все единицы измерения указаны в системе СГС.
Параметры волновода а = 2 см, Ь = 1 см, измерения проводятся на частотах / = 11,94 ГГц, /2 = 8,12 ГГц, / = 9,55 ГГц, что соответствует « = 75,02 ГГц, «2 = 51,02 ГГц и « = 60,00 ГГц (оо = 2л/), амплитуда падающего поля А = 1. В первом столбце табл. 1 указаны значения коэффициента прохождения на каждой частоте, во втором - вычисленные значения диэлектрической проницаемости, в последнем столбце указаны максимальная
погрешность вычислений. Толщины секций: 11 = 2-10-4, ¡2 —11 = 3 • 10-4, ¡3 — ¡2 = 2 10-4 см. Значения тензоров магнитной проницаемости: ц(1,2,3) = diag(1 1 1). Точные значения тензоров:
' 7 0 0^ ( 4 0 0 ^ ( 3 0 0Л e(1) = 0 1,3 0 , e(2) = 0 1,9 0 , .e(3) = 0 4 0 v0 01J I0 0 1J 10 0 1, Таблица 1
F Значения — ( ю; ), i = 1,2,3 Вычисленные значения е(1) по формуле (12) max Д,%
В исходном положении диафрагмы определяем вторые компоненты на главной диагонали каждой секции диафрагмы £22, е22), е22), вычисления проводятся по формулам (11), (12), (7)
0,9999 - 0,0015i 0,9999 - 0,0021i 0,9999 - 0,00150i е222,3) = (1,273 1,893 4,037 ) 2,06
После поворота на угол ф = 90° относительно оси 02 определяем первые компоненты на главной диагонали каждой секции диафрагмы еЦ, еЦ), еЦ. Вычисления проводятся по формулам (14)-(16)
0,99998 - 0,0040i, 0,99998 - 0,0040i, 0,99996 - 0,0056i е|11,2,3) =(6,946 4,026 3,015) 0,77
Из табл. 1 видно, что приближенные формулы (11)-(12) и (14)-(16)
можно применять для толщин порядка микрометра l < 10 5. Тогда погрешность вычислений не будет превышать 3 %.
Заключение
В данной работе предложены приближенные формулы решения поставленной обратной задачи. Численные результаты показывают эффективность использования приближенных формул для определения тензора диэлектрической проницаемости для толщин диафрагмы меньше 0,2 мкм.
Библиографический список
1. Деревянчук, Е. Д. Решение обратной задачи определения тензора магнитной проницаемости диафрагмы в прямоугольном волноводе / Е. Д. Деревянчук // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 1 (25). - C. 34-44.
2. Smirnov, Yu. G. Reconstruction of permittivity and permeability tensors of anisotropic materials in a rectangular waveguide from the reflection and transmission coefficients at different frequencies / Yu. G. Smirnov, Yu. V. Shestopalov, E. D. Derevyan-chuk // Proceedings 128 of Progress in Electromagnetic Research Symposium (PIERS 2013, Stockholm, Sweden, August 12-15). - 2013. - P. 290-295.
3. Derevyanchuk, E. D. Tensor permittivity reconstruction of two-sectional diaphragm in a rectangular waveguide / E. D. Derevyanchuk, Yu. G. Smirnov // Proceedings of the International Conference "Days on Diffraction - 2014". - St. Petersburg, Russia, 2015. - P. 65-68.
4. Shestopalov, Yu. V. Inverse problem method for permittivity of an n-sectional diaphragm in a rectangular waveguide / Yu. V. Shestopalov, Yu. G. Smirnov,
E. D. Derevyanchuk // Proceedings of Progress in Electromagnetic Research Symposium (PIERS 2014, Guangzhou, China, 25-28, 2014). - Guangzhou, 2014. - P. 26102613.
5. Вайнштейн, Л. А. Электромагнитные волны / Л. А. Вайнштейн. - М. : Радио и связь, 1988.
References
1. Derevyanchuk E. D. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fizi-ko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2013, no. 1 (25), pp. 34-44.
2. Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu. V., Derevyanchuk E. D. Proceedings 128 of Progress in Electromagnetic Research Symposium (PIERS 2013, Stockholm, Sweden, August 12— 15). 2013, pp. 290-295.
3. Derevyanchuk E. D., Smirnov Yu. G. Proceedings of the International Conference "Days on Diffraction - 2014". Saint-Petersburg, Russia, 2015, pp. 65-68.
4. Shestopalov Yu. V., Smirnov Yu. G., Derevyanchuk E. D. Proceedings of Progress in Electromagnetic Research Symposium (PIERS 2014, Guangzhou, China, 25-28, 2014). Guangzhou, 2014, pp. 2610-2613.
5. Vaynshteyn L. A. Elektromagnitnye volny [Electromagnetic waves]. Moscow: Radio i svyaz', 1988.
Деревянчук Екатерина Дмитриевна
кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, научно-исследовательский центр «Суперкомпьютерное моделирование в электродинамике», Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Derevyanchuk Ekaterina Dmitrievna Candidate of physical and mathematical sciences, researcher, the research center "Supercomputer modeling in electrodynamics", Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Родионова Ирина Анатольевна
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: [email protected]
Rodionova Irina Anatol'evna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
УДК 517.3 Деревянчук, Е. Д.
Восстановление электромагнитных характеристик многосекционной анизотропной диафрагмы в прямоугольном волноводе / Е. Д. Деревянчук, И. А. Родионова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2о18. - № 2 (46). - С. 56-63. Б01 1о.21685/2о72-3о4о-2о18-2-6.
