CC BY
45
Механика
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (1), с. 130-133
УДК 534.1
ОПИСАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН В СЛОИСТЫХ ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ УТОЧНЕННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ МОДЕЛЕЙ
© 2011 г. Н.И. Архипова 1, В.И. Ерофеев 1’2, Н.П. Семерикова 1
1 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2 Нижегородский филиал Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН
Поступила в редакцию 01.04.2011
Показано, что уточненные (неклассические) стержневые модели могут быть применены для описания динамических процессов в слоистых элементах конструкций. Рассуждения проводятся на примере двухслойного стержня, совершающего продольные колебания.
Ключевые слова: упругая волна, слоистая конструкция, стержень, уточненная модель.
Наряду с инженерными (классическими) моделями в динамике стержней существуют так называемые уточненные или неклассические модели [1]. Эти модели учитывают дополнительные факторы, влияющие на динамический процесс, или свободны от некоторых гипотез, принятых в инженерных теориях и ограничивающих область их применимости.
Классическую теорию Д. Бернулли, принятую при описании продольных колебаний стержня, обобщают модели Релея-Лява (учет кинетической энергии поперечных движений частиц стержня), Бишопа (учет еще и потенциальной энергии сдвиговых деформаций), Минд-лина-Германа (свобода от гипотезы об одноосно-сти деформированного состояния стержня) [2, 3].
Уточненные модели применяют, как правило, при описании высокочастотных волновых процессов, когда длина волны становится сравнимой с диаметром поперечного сечения стержня и инженерные модели принципиально неприменимы. Однако в упомянутом частотном диапазоне следует учитывать многомодовость волнового процесса, и предпочтение, чаще всего, отдается не уточненным стержневым моделям, а моделям твердотельных многомодовых волноводов - упругий слой (задача Лэмба) и толстостенный цилиндр (задача Похгаммера-Кри) [5, 6].
В публикуемой работе показано, что уточненные стержневые модели могут быть применены для описания динамических процессов в слоистых элементах конструкций. Рассуждения проводятся на примере двухслойного стержня, совершающего продольные колебания.
В работе [7] рассматривается распространение одномерных продольных волн по составно-
му (двухслойному) полубесконечному стержню. Составной стержень представляет собой совокупность двух стержней, находящихся в контакте друг с другом. Сила контактного взаимодействия предполагается линейно-упругой. Считаем также, что в начальный момент времени на левый конец стержней действует импульс кинематического или силового происхождения, а правый конец свободен.
Движение стержней описывается системой уравнений [7]:
дх2 д 2ы2 "дх2"
д 2ы2 "д"2"
+ Я(ы2 - Ы1 ),
(1)
где иі - продольные перемещения стержней, Еі, , р і - их параметры (модули Юнга, пло-
щади поперечных сечений и плотности) (і —1,2), Я - сила упругого взаимодействия стержней.
Система (1) может быть сведена к одному уравнению относительно перемещения Ы1. Для
этого достаточно выразить ы2из первого уравнения системы и подставить во второе. В результате получим:
(
1 +
м
р2&
д2
2 У
с2 + с
,2 рД ^ д2ы
Р252
Р'5^д‘Ы (С2 + с2)
+
Я
V Г2~2 у
д4ы
дх2
+
д4ы^
д4
+г2с2^-21 д 2Х С С дх4
— 0.
Здесь ы — ы1 (х, і), С —VЕ / Р1, С2 —^Е2/ р2 скорости продольных волн в стержнях.
Заметим, что аналогичное уравнение может быть получено в модели Миндлина-Германа, описывающей продольные колебания стержня
[2-4]:
д2м 2 д2м 2 2X дw Л
-т -CW-к2---------=о,
dt дх Ир дх
d2w
dt2
-K2C2 d!w + k28(X + M)
Кісх „ -ыс
дх2
2 4X дм
2 w+к-----------= 0.
Ир Ир д х
(3)
4-
X д ?2
X+цдм 4fc2 X+ц KjX
4 с ;
H2pf я4-
2k2X
дТы
X
(с +KC )
д2м
Р у
д4м
дх2
д? дх
+K2C2 C
д4м ^
дх4
=0.
X + ц
4----— = 1 + ■
X
11
Р 2 S 2
C
I X
Р
= с 2 + с 2 P1S1 = C 2 + C1 Р 2S2
И2р = P1S1
2 к2 X= R •
2
^f C 2 +K? C2 2 к 2 X f 1 1 t
2
И Р ,2n2n2 _ n2n2 P1S1
p1S1
R
C 2 + C 2 C1 + C 2
K* C*-C? = CC 1 t l 12
R
Здесь ф; ОХ-*, /)- продольные и поперечные перемещения частиц стержня, Н - толщина
стержня, р - плотность материала, С =^(А,+зЦ /р, Сх = ^/ц / р - скорости продольных и сдвиговых волн, X, ц - константы Ламэ, к1; к2 - корректирующие коэффициенты, позволяющие увеличить частотный диапазон применимости модели. Система (3) сводится к одному уравнению относительно продольного смещения:
стержней. Для совместности системы (5) необходимо также предположить равенство скоростей Ci = Ci, KjQ = C2 (или наоборот). В этом случае толщина эквивалентного стержня равна h = IC1 ~ C 2 ^ , она будет увеличиваться V 2 Р15i
с ростом силы упругого взаимодействия стержней по закону у/я и уменьшаться как 1 с
V pi Si
ростом погонной плотности первого стержня. Корректирующие коэффициенты в модели Миндлина-Германа связаны с параметрами ис-
C2
2 т ^2
ходных стержней зависимостями к1 = 2—2 х
Ci
х p1S1 -РS ,к■ = C -C2 P'S1 -Р.S , что поРА - 3Р2S2 2 8C12 Р2S2
зволяет получить выражение для скорости волн
P1S1 3р 2 S 2
(4)
Таким образом, продольные колебания составного стержня можно описать уравнением Миндлина-Германа продольных колебаний некоторого гипотетического стержня, параметры которого выражаются через параметры исходных стержней следующим образом:
Рі
сдвига в виде: Ст — С, 2
х Ч рА -Р252
В частном случае, если считать плотность одного из стержней малой (пусть р2 ^ 0), система уравнений (1) сводится к уравнению продольных колебаний стержня модели Бишопа:
д2ы д 2ы 2 д4ы , д 4ы
Р^—;— Е5—-—ру210 ——г + ЦУ210—- — 0. (6)
д2 дх д дх2 дх4
Здесь V - коэффициент Пуассона, 10 - полярный момент инерции, а параметры эквивалентного стержня с параметрами исходных стержней связаны соотношениями:
Р5 — рА,
Е5 — Е151 + Е2 5 2,
РАЕ2 5 2
РУ 1о =
(7)
цу I о = ■
R
ES ES
R
(5)
В этом случае параметры составного стерж-
Е2 ^
ня должны удовлетворять условию —- > —-, а
Е1 ^ 2
полярный радиус инерции и коэффициент Пуассона эквивалентного стержня определяются
2 Е1 ^ 1
соотношениями
E 2 S 2 - E1S1
E 2 S 2 R
ES, - ES,
Сведение к модели Миндлина-Германа возможно, если параметры составного стержня удовлетворяют условию р1£1 > 3р2^2, или (что
у = -
. Скорости продольной и сдви-
2ЕА1
говой волн в стержне модели Бишопа выражаются через скорость продольной волны в ис-
то же самое) > 3 , где h12- толщины ходном стержне C0 = C2 +
Р1
Р:
e2 S 2 Р1^
, Ct= C1.
+
+
Известно (см., например, [6]), что энергия волн в диспергирующих системах переносится с групповой скоростью. Исследуем, сохраняется ли эта закономерность для слоистых элементов конструкций.
Система (1) может быть получена из вариационного принципа Гамильтона-Остроградско-го с помощью уравнений:
д дL
ді д[ ды1 ді д дL
ді „Г ды2
д| —2 ді
д дL
дх „Гды.
д дL
дх „Г ды 2
_дЬ
ды1
_дЬ_
ды
— 0,
— 0,
где лагранжиан Ь следует задать в виде:
Ь — Р151 1 гды1 V ЕА Г ды1
2 1 V ді ^ 2 V дх ^
Р252 ^ ды2 Е2 52і г ды2 V Я
2 1 ді 1 2 1 > дх У 2
дW дБ п
------+ — — 0.
ді дх
Здесь [3]
(
W —
дЬ Гды
ды1 | V ді ді
дЬ Гды
ді
- Ь
плотность энергии;
(
дЬ
д
ды1
дх
ды1
ді
дЬ Г ды
ді
дх
2
ді
2
дх
р 2 5 2 Г ды 2 ^2 Е2 5 2 Г ды 2ч2
2 V ді ) 2 V дх '
Я, ,2
+ у(ы1 - ы 2 ) ,
ды2 ды2
дх Л ді
Скорость переноса энергии волн введем как отношение
< S >
—-
(15)
(8)
(9)
Уравнение переноса энергии (уравнение Умова-Пойнтинга), соответствующее (8), запишется в виде:
< W >
где в числителе стоит среднее значение плотности потока энергии, а в знаменателе - среднее значение плотности энергии.
Перемещения м1(х, t), и2(х, t) считаем изменяющимися по закону бегущей гармонической волны:
и1 (х^) = Ае'0 + А*е-0, м2(х,/) = Ле'0 + Л"е-т, (16) где А, В — комплексные амплитуды, А , В — их комплексно-сопряженные значения, 0 = юt - кх — фаза волны, ю - круговая частота, к — волновое число.
Усреднение в (15) проведено по периоду изменения фазы гармонической волны (<5> =
1 2л 2л
= — ГSd0 , < W > = — fwd0).
?л ’ 2л 1
(10)
(11)
(12)
Скорость переноса энергии, вычисленная по формуле (15), описывается выражением уэн = (2E1S1шkR2 + 2Е2 S2шk х х (-р^ш2 + + Е^^2 - R)2)/
/R2(-рДш2 + 3E1S1k2 -R) + (17)
+ (р2 S2ш2 + Е2 S2 к2 + R) х х (-р^ш2 + Е^\к2 -R)2, в котором учтена связь между комплексными амплитудами А и В:
^ = -(-р1 2 + Е1^к2 - Я)А (18)
Я '
Частота и волновое число связаны законом дисперсии:
- плотность потока энергии.
Для лагранжиана (9) явный вид выражений (11), (12) следующий:
= рА ^2 + ЕАч,2 +
Г2 1 (
ю —±--------------
2 рД
к2 рД (с2 + с22 )+(1 + Р^)
V'
Я
Р252
\4 (с12 - с22 )2 +(1+р542
П Р252
Я
22
2 ^2 У
х ч 1/4
2£2 (С2 - С22 )(1 -М
V Я 2* Р^
’2 У
1/4
+
(19)
1 )Я
52 У
Это соотношение получается из (1) подстановкой решения в виде (16).
Групповую скорость V гр определим, продифференцировав (19) по волновому числу. Она равна
+
2
+
2
+
2
2
д
2
+
V2
k Pf (Cl2 + C2 )-
2k:
2S2 2kpiSi(Ci2 - C22)(l)
P1 S_! (cl - C22 )2 + - pS
R
R
Pi2S
2 1 (cl -c22)2 +(l + P^)2 + 2k2^(c2 -C22)(l - P^)
R2 V ’ V P2S2 R V A P2S2
R
(20)
■ P1S1 I
R
(ci2 + C22)+(l + ІҐPlS1 (c2 -C22)2 +(l -^L)2 + 2k2^(ci2 -C22)(l --^
P 2S2
22
-4 PlS^ (c2 - C22 )2
PiV
PiSi
PiSi
R
P2 S2
R
P2S2
R
PiSi
-PiSi
Если частоту, входящую в (17), заменить волновым числом по формуле (19), то убедимСЯ Что V э„ = V гр .
Таким образом, показано, что энергия упругих волн и по слоистым элементам конструкций переносится с групповой скоростью.
Работа выполнялась при финансовой поддержке РФФИ и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (2009—2013 гг.).
Список литературы
1. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории стержней, пластин и оболочек. М.: ВИНИТИ, 1973. 272 с.
2. Артоболевский ИИ, Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979. 296 с.
3. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. М.: Наука, Физматлит. 2002. 208 с.
4. Вибрации в технике: Справочник в 6-ти томах / Ред. совет: К.В. Фролов (пред.). - М.: Машиностроение. Т.1: Колебания линейных систем. 2-е изд., испр. и доп. / Под ред. В.В. Болотина. 1999. 504 с.
5. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
6. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наукова думка, 1981. 284 с.
7. Товстик П.Е., Товстик Т.П. Распространение волн по составному стержню // Волновая динамика машин и конструкций. Материалы Всероссийской конференции, посвященной памяти А.И. Весницкого. Н. Новгород: Изд. «ТИРАСП», 2004. С.110.
k
v =
4
k
DESCRIPTION OF ELASTIC WAVE PROPAGATION IN LAYERED STRUCTURAL ELEMENTS USING IMPROVED MODELS OF BARS
N.I. Arkhipova, V.I. Erofeyev, N.P. Semerikova
It is shown that (non-classical) improved models of bars can be used to describe dynamical processes in layered elements of structures. Examples related to a two-layer bar performing longitudinal oscillations and transverse vibrations of an inextensible string are discussed.
Keywords: elastic wave, sandwich construction, rod, improved model.
