CC BY
45
www.volsu.ru
ФИЗИКА
DOI: http://dx.doi.Org/10.15688/jvolsu1.2016.3.4
УДК 534 ББК 22.213
ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СЛОИСТЫХ И СТРУКТУРНО НЕОДНОРОДНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Александр Степанович Кравчук
Доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры био- и наномеханики, Белорусский государственный университет а8к_Ье1агш@шЬох. ги
просп. Независимости, 4, 220030 г. Минск, Республика Беларусь
Анжелика Ивановна Кравчук
Кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры веб-технологий и компьютерного моделирования, Белорусский государственный университет [email protected]
просп. Независимости, 4, 220030 г. Минск, Республика Беларусь
2 Иван Александрович Тарасюк
^ Аспирант кафедры био- и наномеханики,
Белорусский государственный университет ® [email protected]
§ просп. Независимости, 4, 220030 г. Минск, Республика Беларусь
ей &
. Аннотация. Получены уравнения продольных колебаний стержней для все-
^ возможных комбинаций линейно упругих и реологических свойств однородных, про-^ дольно слоистых, поперечно слоистых и структурно неоднородных композиционных стержней. Использованы следующие реологические модели: уравнения линей-^ ной и нелинейной релаксации по наследственной теории (в линейном случае со ста-о рением), технической теории старения, линейное и нелинейное уравнение релаксации Фойгта. При определении эффективных свойств композиционных стержней ис-^ пользовались объемные доли материалов, входящих в композицию, что соответ-^ ствует применению дискретной случайной величины с соответствующим распре-^ делением. В этом смысле понимаются средние значения напряжений и деформа-
ций, возникающих в композиционных стержнях. Получено уравнение продольных колебаний нелинейно деформируемых стержней в смысле произвольного вида нелинейности. Указан способ усреднения нелинейных свойств композиционных стержней с учетом результатов предыдущих публикаций авторов. В некоторых случаях получены аналитические выражения для собственных частот колебания композиционных стержней.
Ключевые слова: слоистый материал, композиционный структурно неоднородный материал, эффективные деформационные характеристики, гипотеза Фойгта, гипотеза Рейсса, приближение Хилла, наследственная теория ползучести, техническая теория старения.
Введение
В статьях [5; 6] разработана методика решения статических задач для одноосной деформации композиционных стержней. Она успешно применена в перечисленных работах при создании обобщенной модели Винклера деформируемого слоя на случай присутствия неоднороднос-тей и включений в его материале.
В связи с успешностью проведения указанных исследований и общеизвестностью вывода уравнения продольного колебания однородного линейно упругого стержня [1] возникла необходимость применить разработанный авторами подход [5; 6] для построения эффективных свойств среды при решении динамических задач, в частности, для композиционных линейно и нелинейно упругих стержней, а также стержней, обладающих реологическими свойствами.
Постановка задачи
Под стержнем будем понимать твердое тело призматической формы постоянного квадратного поперечного сечения площадью и длиной X [1]. Будем считать, что стержень расположен вдоль оси 0х (рис. 1). Для определенности направим ось 0у вверх. Кроме того, не ограничивая общности, будем считать, что одна из граней параллельна плоскости х0у. Будем считать, что внешняя нагрузка (а х), приложенная к сечению, является равномерно распределенной по 5 в любой точке стержня х е [0, X], ее главный вектор Т = (ах} • 5 (интегральные значения нагрузки по сечению) действует вдоль оси 0х. Пусть смещение любого вертикального сечения в точке х е [0, X] в момент времени t будет характеризоваться функцией и(х, 0. Известно, что относительное удлинение (ех) (деформация) стержня в любой точке х определяется дифференциальным равен, . ди (х, I) ством (г) = —-—- [1]. дх
/ 7 -{ :- /
1) *!-\ XI X
/ / 1 /
Рис. 1. Стержень квадратного сечения
Исходя из того что одномерное уравнение состояния композиционного стержня для его элемента длиной не меньшей, чем X' «X определяется уравнением (а^ = з((гх)), можно записать,
что разница сил АТ, приложенных в точках х1 и х2, равна [1]:
ЛТ ].5].5 = ]азГ^иСХ!^) 5 =
дх
дх
дх
=] 3(диМ учх^х. 5,
дх
(1)
дх2
>'(е ) = ^. В (1)
где 3'(е) =-—. В (1) очевидно предполагается, что Х'<(х2 _х1).
йе
п
Пусть (р) = ^ук • рк - средняя плотность материала стержня на интервале X', где рк - плотность к-й компоненты композиционного материала, а ук - ее объемная доля. Тогда вертикальная инерционная составляющая рассматриваемого участка стержня определяется формулой [1]:
х2 (
д 2и ^
х1
да2
йх • 5,
(2)
где 5 - площадь поперечного сечения стержня.
Пусть на каждую компоненту материала композиционного стержня действуют внешние силы с плотностью ик(х, г) (действующей на единицу массы к-й компоненты композиционного материала), тогда к интегралу сил, действующих на интервале (хр х2), следует добавить силу:
2
I ^ ( х, г) ^йх • 5,
(3)
где (е^()) = ^Ук 'Рк • Ек ^г).
Исходя из баланса действующих сил, получаем, что инерционные силы должны быть скомпенсированы внешними и внутренними силами, тогда из (1)-(3) получаем:
Л(Р>д>-5 = /3
'( ди ( х, г)|д 2и ( х, г)
дг2 ) •> 1 дх
/ х1 V
Уравнение (4) можно переписать в виде:
дх2
2
чйх • 5 + I (х, г) ^х • 5.
(4)
д2и _,,( ди (х, г)|д 2и (х, г)
дх
дх2
_( Е (х, г»
йх = 0
(5)
Если считать, что участок стержня (х х2) настолько мал по сравнению с длиной волны, что выполнена формула Лагранжа [3]:
д2и ди ( х, г~)Лд2и (х, г)
дх
дх2
'_< Е (х, г )>
йх 'г
д 2и „'( ди (х, г) ^ д 2и ( х, г)
-3'
дх
дх2
ЧЕ (х, г))
•( х2 _ х1 ) ,
(6)
где х0 е (х1, х2) - некоторая точка, то из (6) с очевидностью будет следовать локальное уравнение колебания стержня:
,( ди (х, г)
д2и = 3 [ дх ^ д2и (х,г) (е (х,г))
дг2
(р)
дх2
(р)
(7)
х
х
Отметим, что в случае, когда ) представляет собой константу, то есть, например, в случае линейного однородного материала, сложный коэффициент приобретает общеизвестный вид [1]:
дх ] е 2
(р)
= — = а
Применить метод Фурье к решению (7) для произвольной функции 3( ) не представляется возможным. В этом случае его решение будет требовать применения универсальных численных методов, например разностного, и соответственно получить аналитические зависимости влияния неоднородностей на собственные частоты колебаний стержня будет невозможно.
Методика вычисления связи среднего напряжения и средней деформации композиционного стержня без учета реологических процессов
Самым простым способом решения поставленной задачи является установление связи средней деформации стержня (ех) = —) с его средним напряжением (стх).
В соответствии с общей методикой, примененной для решения задачи определения эффективных параметров стержня, рассматривается элемент композиционного материала (макроточка), на границе которого задаются воздействия, имитирующие воздействия, возникающие в стержне, то есть в данном случае рассматривается растяжение/сжатие призматического стержня на участке X' [6].
Принцип реализации метода гомогенизации для призматического стержня квадратного сечения заключается в следующем: если армированный материал состоит из N компонент (фаз) и в среднем изотропен (например, имеет место хаотическое армирование и т. п.), то можно использовать гипотезу Фойгта для призматического стержня о том, что в простейших опытах на чистое растяжение/сжатие предполагается, что деформации по всему объему композиционного материала призматического стержня постоянны. Второй предельный случай (гипотеза Рейсса) заключается в том, что в тех же простейших экспериментах на растяжение предполагается, что напряжения по всему объему композиционного материала призматического стержня в среднем постоянны.
Полученные на основании этих гипотез формулы имеют практическую ценность, так как являются соответственно верхней и нижней оценкой истинных модулей композиционного материала [6].
Рассмотрим линейно-деформируемый композиционный структурно неоднородный материал элемента стержня X' из п линейно-деформируемых компонент с модулями упругости Ек и объемными долями у^ Тогда напряжение натяжения (стх) в (8) определяется по заданной средней деформации элемента стержня (ех) [6]:
(ст*)=Е)Х .(О, (8)
где
Е)х =
1+Цу к • Ек 1-Е
к=1 Ек
2
к=1 Ек
N
Отметим, что если вместо {Е*)х взять усреднение по Фойгту (ЕХ)Ф = Еук'Ек [6], то (8)
к=1
даст решение для упругого продольно слоистого стержня, а если взять усреднение по Рейссу
Р
(Ех)р = I
Г N V1 Yk
V k=1 ^
то (8) будет физически эквивалентно решению динамической задачи усред-
нения для поперечно слоистого стержня.
Используя метод Фурье [1] для решения уравнения свободных колебаний ((g (х, t)) = 0 в (7)), можно получить формулу для определения собственных частот колебания продольно слоистых, поперечно слоистых стержней и композиционных структурно неоднородных стержней (рис. 2):
(Е>1 (Р)
(р) , ' м (р) (г = )
(9)
Рис. 2. Зависимость низшей собственной частоты I
продольно слоистого (штрихпунктирная линия),
юП"пс' поперечно слоистого (пунктирная линия) и юк°яп композиционного структурно неоднородного (непрерывная линия) стержней длиной X = 1 м от концентрации у первого материала в двухкомпонентной смеси (Е1 = 2 -1011 Па; Е2 = 0,7 •1011Па; р = 7850 кг/м3; р2 = 8330 кг/м3)
Из условия наличия неоднородностей в материале стержня в соответствии с характером вывода уравнения (1)-(4) можно утверждать, что количеством N достоверно вычисленных частот (9) для композиционного стержня является значение, удовлетворяющее неравенству:
X V — >>Х'
N
то есть длина волны N должна быть больше размера неоднородности минимум в 10 раз.
г •я
г •я
поп. с
ю
ю
X
X
пр. с
Учет реологии однородного материала стержня
В этом случае можно получить затухание собственных частот со временем, обусловленное внутренним трением в материале. Будем использовать наследственную теорию ползучести. В рамках этой теории будем использовать уравнения релаксации вязкоупругого однородно стареющего материала с ядром релаксации R(t, т) и мгновенным модулем упругости Е(0 [2; 5]:
(0 = Е(^ 8х(0-}Ех(т) Л,(^т)йт
(21)
ст
В этом случае (1) можно записать для ДТ(г):
ДТ = Е (г )•
ди(^1, г) г ди(х1,т)
дх
Г
дх
•Ях (г, т)йт
• 5 _
_ Е (г).
ди(^2, г) гди(х2,т)
дх
Г
0
дх
•Ях (г, т)йт
• 5 =
Е (г )• 1 й (^^ (г. х) йх
х 1 0
■5 =
= Е
2
(г )•/
д 2м ( х, г) <• д 2м ( х, х)
дх2
дх2
Rx (г, х)й х
л
йх • 5.
(22)
Действуя далее аналогично (2)-(6) с использованием (22), получаем уравнение продольного колебания стержня с учетом реологии однородного материала:
д2и _ Е(г)
дг2
Р
д 2и(х,г) г д 2и(х,т)
дх2
дх2
-Ях (г,т й
+
И (х,г)
Р
(23)
Отметим, что при использовании нелинейного уравнения релаксации стержня [4]:
1
(г) = 3 (в х (г)) -13 (в х (х)) -Ях (г, х) й х
совершенно аналогично (23) можно получить уравнение:
дг2
3'
,( ди ( х, г)
дх
д2и ( х, г ) \
3'
,( ди ( х, х)
дх2
дх ) д2и (х, х)
5 дх2
Ях (г, х)й х
Е (х, г)
Учет реологии композиционного материала стержня в соответствии с наследственной теорией ползучести
Рассмотрим продольно слоистый стержень длиной X из п различных материалов с собственными значениями мгновенного модуля упругости Ек(г) и ядрами релаксации Ях к(г, т), будем предполагать, что для пакета выполнена гипотеза Фойгта о равенстве для всех слоев их деформаций, тогда для каждого из слоев получаем напряжение:
к (^г) = Ек (г) • (вх (х,г)) -!(вх (x,х)) -Ях к (г,х)йх
(24)
Домножая на объемные доли ук и суммируя по к = 1, п (25), слева получаем среднестатистическое значение напряжения в смысле дискретной случайной величины, распределение которой определяется ук:
(о (х,г)) = (Е(г))Ф. (вх (x,г))_!(вх (x,х)) •(Я (г,х))ф ах
/ф \ х 1
(25)
Р
Р
О
где
(а, (^t)) = £уk-ах, (x,t), (Е(t))ф = 1ук • Ек (г), (Кх (^т))ф =т~^• Ек ^)• КхЛ (^т) . k=1 к=1 (t^ф к=1
Перейдем к рассмотрению поперечно слоистого стержня длиной X из п различных материалов с собственными значениями мгновенного модуля упругости ЕДО и ядрами релаксации Rx к^, т), будем предполагать, что для пакета выполнена гипотеза Рейсса о равенстве для всех слоев их напряжений, тогда для каждого из слоев получаем напряжение:
х (х, t))
Ек (t)
8х,к (x, 1' )-}8х,к (x, т)•Rx,к (t, т) ат
(26)
Предположим в (26), что ехк (х,t) = ук-(ех (х,t)), где (ех (х,t)) - средняя деформация домножая (26) на ук и суммируя по к = 1, п, получаем:
пакета,
(ах (^t)) = (Е(г))р(x,t))-}(ех (^т)){Кх (t,т))^т'
\
0
(27)
/
где (Е (t)}р = I
У к
=1 Ек (t )
, (Кх (t,т))р =1ук2 • Ях,к (^т). к=1
Таким образом, если при выводе (25) и (27) рассматривать элемент стержня длиной X' с использованием стандартной методики усреднения [5], можно получить для структурно неоднородного композиционного материала одноосно нагруженного стержня следующую связь между напряжениями и деформациями:
(^t)) = (Е^))х • (ех (x,t)} -}(ех (^т)У(Ъ (t,т))х ¿т
где
(Е (t)> х =
1
к Ек ^)
(28)
1Ук • Ек (t) • Лх,к (t, т) + (Е ^)}р 1ук2 • Лх,к (t, т)
(Я (t, т)\ = --^-.
Используя усредненные коэффициенты уравнений (25), (27), (28), по аналогии с результатами (21)-(24) можно получить уравнения затухающих колебаний для продольно слоистого, поперечно слоистого и структурно неоднородного композиционного стержня:
а2и_(Е ^))ф (д2ы (х, t) ; д2ы (х, т)
дt2
(р)
дх2
-я
дх
.2 \ х
Ях (^т))Фат
g ( х, t)
■ (р) ,
д2и_(Е(t))р Гд2» (х,t) ; д2м (х, т)
дt2
(р)
дх2
-я
дх
2 \ х
К (t, т)) / т
(р)
(29)
д2и_(Е(^ ГдЧх^ Гд2»(х,т)
дt2
(р)
дх2
-Я
дх2
(Ях (t, т))/т
(р)
-1
а
х
+
+
Количество N достоверно вычисленных частот для композиционного стержня определяется неравенством:
X V — >> X' N
Инженерный способ анализа частотного спектра с учетом реологии стержня
Возможно более интересные (аналитически обозримые) результаты по сравнению с непосредственным решением уравнений (23) можно получить с использованием простейших соотношений теории ползучести по теории старения [7]. В частности, предположить, что уравнение релаксации имеет вид:
:(х, г ) = Е-вх (х ).¥(г)
(30)
где Е - модуль упругости стержня; ¥(г) - функция релаксации, в частности, Т(г) = ---, где
коэффициенты а и р зависят от температуры [7]. В этом случае уравнение (23) приобретет вид:
д2и = Е д2и (х, г) ^ е ( х, г)
дг2 Р дх2
•Т(г)+;
(31)
Соответственно из (30) можно получить угасающие собственные частоты для однородного стержня (рис. 3):
О 500 1000 1500 2000 2500
Рис. 3. Зависимость низшей собственной частоты ю 1 (г) стержня длиной X = 1 м от времени г (Е = 0,7 • 1011; р = 8330 кг/м3 и функцией релаксации Малинина [7] в виде ¥(г) = 1/(1 +10_6 г))
О
Совершенно элементарно выглядят обобщения (30) и (31) при получении затухания собственных частот для продольно слоистого стержня юПрс(г) (гипотеза Фойгта), поперечно слоис-
того стержня ю"°"' с(г) (гипотеза Рейсса) и структурно неоднородного композиционного стержня ю™ (г) (гипотеза Хилла):
юГ (г) = ^(г))ф, »Г с'(г) = ^^)>Р , «""(г) = ^^))х (' = ^),(32)
! » „ £ ^Е(г ) + (Ех)р £ г*2^к (г) где (*(г)) ф = щ- Ъ.Е ^ (г), (*(г)) р = £у к2-% (г), (т(г)) х = ^--,
Ек, ^к(г) - концентрация, модуль упругости, функция релаксации к-й компоненты композиционного материала (к = 1, п), (Е)ф, (Ер, (Ех ~ средние значения модулей упругости по Фойгту, Рейссу и Хиллу, определяемые соотношениями, приведенными в абзаце после уравнения (8). При использовании нелинейного уравнения релаксации по теории старения [7]
Ох (х, г ) = з(в х (х ))-Т(г) несложно обобщить уравнение (7) до уравнения, содержащего функцию релаксации
л ди ( х, г)
ди = I дх ) д2и (x, г) т(г) + (е (х,г)) (33)
дг2 " Р дх2 (р) ■ 1 7
Методика получения нелинейной функции 3( ) гомогенизированного п-компонентного слоистого или структурно неоднородного композиционного упругого стержня в случае применения билинейной диаграммы Прандтля или степенной функции для описания деформирования каждой из компонент изложена в работе авторов [6] для деформирования без разгрузки упруго-пластических и гиперэластичных материалов. Так как в данной статье рассматривается только упругая деформация стержня, то есть особенности разгрузки отсутствуют, то результаты [6] могут быть перенесены на этот случай с точностью до замены названий констант. При этом будет неявно использоваться гипотеза о том, что растяжение/сжатие нелинейно упругого материала стержня 3( ) центрально симметрично относительно начала координат.
Вязкоупругое тело модели Фойгта
Одним из наиболее распространенных способов решения задач реологии является использование нелинейного релаксационного уравнения Фойгта [8], являющееся физическим аналогом параллельно закрепленных двух нелинейных упругого и вязкого элемента:
СТ =
= 3(S) + EÍS1 (34)
где 3( ) - как и раньше монотонно возрастающая функция, описывающая растяжение/сжатие
первого упругого элемента (в линейном случае, как всегда, 3' = — = E - модуль упругости);
de
Е( ) - монотонно возрастающая функция вязкости второго вязкого элемента (в линейном случае _, d5
d leí - вязкость материала); s = — = -
дг дгдх
Опуская повторение очевидных преобразований (22), получаем общее уравнение однородного нелинейно-вязкоупругого стержня по модели Фойгта:
Г ди (х, г) ^ / ди (х, г) ^
д2и ^ дх ) д2и (х,г) ^ дх ) д3и (х,г) е (х,г) (35)
дг2 р дх2 р дгдх2 р
При использовании гипотезы о равенстве скоростей деформаций всех компонент композиционного материала в пакете из п различных компонент в случае использования линейной модели в обоих деформируемых элементах для каждого материала с номером к (Зк = Ек, 5к = лк) несложно из (34) получить следующие усредненные уравнения для продольно слоистого, поперечно слоистого и структурно-неоднородного композиционного материала:
а = (Е)ф ■е'+ (л)ф е , а = (Е)р ■е + МР 83, а = (Е)х ■е + <Л>х , (36)
где Еф, Ер, Ех определены в абзаце после уравнения (8),
/XV /л\ / Е\ V У2 Лк / \ ((л)ф +Мр) (л) ф = 1У к • Лк, (л) р = (Е)р 1у 2 • Е", (л) х =-2-.
_ . = — +
t=i t=i Ek
Используя (36) по аналогии с (35), легко получить реологические уравнения продольных колебаний композиционного стержня по линейной модели Фойгта. Например, для структурно-неоднородного композиционного стержня получаем:
д»=(Е)хд2» (^t), (л)хд3» (x,t) (g(x,t)) (37)
дt2 (р) дх2 (р) дtдx2 (р) ■ ^ '
В (37), как всегда, длина структурного элемента I' мала по сравнению с размерами стержня X.
Отметим, что в случае нелинейных функций Зк () и 5 к (), описываемых степенной функцией или диаграммой Прандтля для каждого к (к = 1, п), необходимо также воспользоваться методикой работы [6].
Заключение
Получены уравнения продольных колебаний стержня для всевозможных комбинаций линейно упругих и реологических свойств как однородных стержней, так и продольно слоистых, поперечно слоистых и структурно-неоднородных композиционных стержней с использованием приближения Хилла для эффективных свойств стержня.
Использованы следующие реологические модели: уравнения линейной или нелинейной релаксации по наследственной теории (в линейном случае со старением), технической теории старения, нелинейное и линейное уравнение релаксации Фойгта.
В некоторых случаях получены аналитические выражения для собственных частот колебания композиционных стержней.
Получены уравнения продольных колебаний однородных нелинейно упругих стержней, указан метод обобщения этих уравнений на случай композиционных материалов с учетом реологии поведения материала.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Араманович, И. Г. Уравнения математической физики / И. Г Араманович, В. И. Левин. - М. : Наука, 1969. - 288 с.
2. Арутюнян, Н. Х. Контактные задачи теории ползучести / Н. Х. Арутюнян, А. В. Манжиров. - Ереван : Ин-т механики НАН Армении, 1999. - 320 с.
3. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. - М. : Наука, 1986. - 544 с.
4. Горшков, А. Г. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций / А. Г. Горшков, Э. И. Старовойтов, А. В. Яровая. - М. : Физматлит, 2005. - 576 с.
5. Кравчук, А. С. Моделирование ползучести по наследственной теории в простейшей модели деформируемого покрытия постоянной толщины / А. С. Кравчук, А. И. Кравчук // АРМОМ. Серия: Естественные и технические науки. - 2014. - №2 2. - Электрон. текстовые дан. - Режим доступа: http://apriori-journal.ru/seria2/ 2-2014/Kravchuk-Kravchuk.pdf. - Загл. с экрана.
6. Кравчук, А. С. Применение простейшей модели деформируемого покрытия постоянной толщины в механике твердого тела / А. С. Кравчук, А. И. Кравчук // АРМОМ. Серия: Естественные и технические науки. -2014. - № 1. - Электрон. текстовые дан. - Режим доступа: http://apriori-journal.ru/seria2/1-2014/Kravchuk-Kravchuk.pdf. - Загл. с экрана.
7. Малинин, Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н. Н. Малинин. - М. : Машиностроение, 1975. - 400 с.
8. Ржаницын, А. Р. Теория ползучести / А. Р. Ржаницын. - М. : Стройиздат, 1968. - 418 с.
REFERENCES
1. Aramanovich I.G., Levin V.I. Uravneniyamatematicheskoyfiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka Publ., 1969. 288 p.
2. Arutyunyan N.H., Manzhirov A. V. Kontaktnye zadachi teorii polzuchesti [Contact Tasks of Creep Theory]. Yerevan, Institut Mehaniki NAN Armenii, 1999. 320 p.
3. Bronshtein I.N., Semendyaev K.A. Spravochnikpo matematike dlya ingenerov i uchashchikhsya vuzov [Textbook on Mathematics for Ingineers and Students]. Moscow, Nauka Publ., 1986. 544 p.
4. Gorshkov A.G., Starovoytov E.I., Yarovaya A.V. Mekhanika sloistykh vyazkouprugoplastichnykh elementov konstrutsiy [The Mechanics of Layered Viscous-Strong-Flexible Elements of Constructons]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2005. 576 p.
5. Kravchuk A.S., Kravchuk A.I. Simulation on Creep by Hereditary Theory in a Simple Model of Constant Thickness Deformed Coating. APRIORI. Seriya: Estestvennye i tekhnicheskie nauki, 2014, no. 2. Available at: http://apriori-journal.ru/seria2/2-2014/Kravchuk-Kravchuk.pdf. (accessed Nivember 16, 2014).
6. Kravchuk A.S., Kravchuk A.I. Application of a Simple Model of a Deformed Coating of Constant Thickness in Solid Mechanics. APRIORI. Seriya: Estestvennye i tekhnicheskie nauki, 2014, no. 1. Available at: http://apriori-journal. ru/seria2/1-2014/Kravchuk-Kravchuk. pdf.
7. Malinin N.N. Prikladnaya teoriya plastichnosti i polzuchesti [Applied Flexibility and Creep Theory]. Moscow, Mashinostrienie Publ., 1975. 400 p.
8. Rzhanitsyn A.R. Teoriya polzuchesti [Creep Theory]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1968. 418 p.
LONGITUDINAL OSCILLATIONS OF LAYERED AND STRUCTURALLY HETEROGENIC COMPOSITE RODS
Aleksandr Stepanovich Kravchuk
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Professor of Department of Bio- and Nanomechanics, Belarusian State University ask_belarus@inbox. ru
Prosp. Nezavisimosti, 4, 22003 Minsk, Republic of Belarus
Anzhelika Ivanovna Kravchuk
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Web Technologies and Computer Modeling, Belarusian State University [email protected]
Prosp. Nezavisimosti, 4, 220030 Minsk, Republic of Belarus
Ivan Alexandrovich Tarasyuk
Postgraduate Student of the Department of Bio- and Nanomechanics,
Belarusian State University
Prosp. Nezavisimosti, 4, 220030 Minsk, Republic of Belarus
Abstract. The equations of longitudinal oscillation of a rod for all possible combinations of linearly elastic and rheological properties of homogeneous, longitudinally layered, cross-layered and structurally inhomogeneous composite rods were derived. An equation of longitudinal oscillation of nonlinear deformable rod in the sense of an arbitrary form of nonlinearity was obtained. In determining the effective properties of the composite rod of different structure the volume fractions of materials were used. It corresponds to the application of a discrete random variable with an appropriate distribution. In this sense the average values of the stresses and strains that occur in the composite rod were considered. Method of obtaining a multi-homogenized non-linear function of the laminate or structurally inhomogeneous composite elastic rod in the case of the use of bilinear Prandtl diagram or power function to describe the deformation of each component is described by the authors in earlier publication which applied to deformation without unloading of elastic-plastic and hyper elastic materials. Because in the article reader deals only with the elastic deformation of the rod, i.e. especially without unloading, then the previous results of studies can be transferred to this case is up to a changing constants names. This will implicitly use hypothesis that the tension / compression of nonlinear elastic material of rod are centrally symmetric around the origin. It was found that the Voigt approximation of effective properties of the rod corresponds to longitudinal layered structure of the rod, and the Reiss approximation corresponds to its cross-layered structure. The effective properties of structurally inhomogeneous composite rod are obtained as Hill approximations. The linear or nonlinear equations of hereditary theory (in the linear case with aging), the technical theory of aging, non-linear and linear Voigt equation of relaxation were used in the paper. According to these theories the equation of oscillations of the homogeneous rod were constructed. It is further generalized to the case of the composite rheological active rod. The density of the composite rod is calculated as the sum of the densities of the components multiplied by the corresponding volume fractions, regardless of the structure of the composite rod. In some cases, the analytical expressions for Eigen frequencies of oscillation of composite rods were obtained.
Key words: layered material, composite structurally heterogenic material, effective deformation characteristics, Voigt hypothesis, Reuss hypothesis, Hill approximation, hereditary creep theory, technical theory of aging.
