Операторный подход при расчете оболочечных конструкций Текст научной статьи по специальности «Математика»

[х]-1

< (М)1 + | ^ 5(х)[(п + 1)-й - п-й + г1(п + 1)-(1+й)]| +

п=1

[х]-1

|У 5Шг(п + 1)-(1+й)| << Со тах |5(п)| +

^ 1<п<Ы

п=1

[х]-1 1

+ ( тах |5(п)|)У-< С 1пх( тах |5(х)|),

1<п<[х] ' 1 Л/ ^П + 1" 1<п<[х] 1 п>

П=1

что и доказывает данное утверждение.

Здесь мы воспользовались тем фактом [2], что

п-гЬ - (п - 1)-й + ¿¿п-(1+й) = 0( Д.).

п2

Библиографический список

1. Бронштейн Б. С. Неограниченность сумматорной функции одного обобщённого характера // Учён. зап. МГУ. 1954. Вып. 165, т. 7. С. 212-220.

2. Гельфонд А. О. Об арифметическом эквиваленте аналитичности Ь-ряда Дирихле на прямой Ие 5 = 1 // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1956. Т. 20, вып. 2. С. 145-166.

УДК 517.5

В. А. МАТВЕЕВ, Т. А. КУЗНЕЦОВА Операторный подход при расчете оболочечных конструкций Введение

В работе [1] показано, что для достаточно широкого класса нелинейных моделей оболочечных конструкций в статическом случае строится последовательность линейных операторных уравнений вида

32гш 3'2гш 32гш

А0™ - ф1,п(х,У) дХ2 - дХОу - ^п(х,У) ду! = ^n(.x,y), (1)

а в динамическом случае -

д2гш д2гш д2гш

а = ^ + ,п(г,х, у) дх2 + фъл*, х, у) ~охоу+

+^3,и(*,х,У)^ + Р4,п(*,ж,у), г е [0,т], (2)

д 2и) ду2

где А0 — линейный оператор (А или А2 в зависимости от использованной нелинейной модели; А — оператор Лапласа), ^^ — некоторые функции из пространства Ь2(0,) в случае (1) или Ьж[0, Т], Ь2(0,) по соответствующим переменным в случае (2), последовательность решений которых сходится в пространстве Соболева к функции прогиба /ш, которая является решением соответствующей нелинейной модели.

При этом было показано, что такие свойства решений операторных уравнений, как свойство единственности, свойство гладкости в зависимости от гладкости начальных условий в случае (2), скорости сходимости проекционных методов к решению, переносятся на решения соответствующих нелинейных моделей.

Такой подход исследования качественных свойств решений нелинейных моделей оболочечных конструкций получил название операторного подхода. Более детальное изложение этого подхода приведено в [2].

В данной работе рассматриваются вопросы применимости операторного подхода к задаче численного расчета оболочечных конструкций, а именно вопросы, связанные с решением операторных уравнений (1) и (2) методом Бубнова—Галеркина, и вопросы улучшения сходимости последовательности решений {и)п} к решению соответствующей нелинейной модели. Дело в том, что метод Бубнова—Галеркина дает хорошие результаты при решении операторных уравнений (1) и (2) только в случае прямоугольной в плане оболочки.

Но в случае, когда не требуется большая точность вычислений, как указано в работе [3], решение операторных уравнений в случае оболочек

произвольной конфигурации сводится к случаю решения операторных уравнений для прямоугольных в плане оболочек.

Что касается улучшения сходимости последовательности решений шп операторных уравнений, то здесь применимы приемы, разработанные в [4], которые позволяют улучшить сходимость метода В. В. Петрова — метода последовательного нагружения, который находит широкое применение при расчете оболочечных конструкций. Изложение этого метода можно найти в [5].

Отметим, что изложенные в данной работе вопросы, связанные с применением операторного метода к задаче расчета оболочечных конструкций, иллюстрируются на примере геометрически нелинейной статической модели Кармана.

1. Применение операторного подхода при расчете

прямоугольных в плане оболочечных конструкций

Рассмотрим геометрически нелинейную модель оболочки — модель Кармана, которая в статическом случае выглядит следующим образом:

ЛД2ш - Ь(ш, Е) - АкЕ = q,

( , ) к ^ (3)

ЕД2Е = -1 Ь(ш,ш) - Дкш, где выражение Ь(ш, Е) = + 1гттпг — 2отражает гауссову

^ 1 \ ' / ду2 дх2 дх2 ду2 дхду дхду 1

кривизну деформированной серединной поверхности оболочки О, Д — оператор Лапласа, Дк = Кхдх2+Кудуур,, Кх и Ку характеризуют кривизну поверхности оболочки О, q — величина нормальной нагрузки, Л и Е — величины, характеризующие материал оболочки.

Будем считать, что О — прямоугольная в плане поверхность, и граничные условия отвечают либо жесткому, либо шарнирному закреплению краев оболочки. Решение (ш,Е), где ш — функция прогиба, а Е — функция усилий, рассматривается в пространстве Соболева Н2(О).

N

Представим д в виде д = ^Д^, где У г Е |Дд^| ^ 1, и обо-

¿=1

п

значим дп = ^ Дд^. При п =1 функции (ад,^) находим в результате

¿=1

решения системы уравнений

DД2w _ Дк^ = д,

е д2 ^ = -Дк w.

Допустим, что мы нашли решение ^п_1,^п_1). Тогда wn ищется как решение операторного уравнения ^ . 2 , 2w , Лдп , ч д2w , Л

DД w_^1,п(х,У)_^2,п(х,у)+ 2^з,п(х,У)дХду = V4,n(x,У), (4)

где

д 2^п_1 д 2^п_1

<^1,п = —о 2 , ^2,п =

ду2 ' ' дх2 '

д 2^п_1 д ^

^3,п = м м-, ^4,п = Дкп— 1 + gn,

дхду

и где решения (4) удовлетворяют соответствующим нулевым граничным условиям. Функция ¥п ищется как решение операторного уравнения вида

= _1 L(wn, Wn) _ ДкWn. (5)

В результате возникает последовательность функций ^п}^)=1. Отметим, что эта последовательность получается иным способом, чем указано в [1-2]. Но так же, как в [1], можно показать, что последовательность сходится в пространстве Соболева к функции прогиба w, определяемой нелинейной системой (3).

Таким образом, решение системы нелинейных уравнений (3) сводится к решению последовательности операторных уравнений (4) и (5). Решение этих уравнений ищется методом Бубнова—Галеркина. Отметим, что эта численная схема решения нелинейной модели (3) более простая, чем численная схема, основанная на методе последовательных нагружений, приведенная в [5].

Здесь, как и в методе последовательных нагружений, встает задача улучшения сходимости последовательности {"п} к функции прогиба ". Приведем здесь один из вариантов решения этой задачи.

Допустим, что построена последовательность {"^п-]1. Тогда "п строим следующим образом:

"п-1 + Топ '"'" =-2-,

где "п находится по указанной выше схеме.

Другим вариантом улучшения сходимости последовательности {' п} может служить построение последовательности {"п} по схеме, приведенной в работе [4], для улучшения сходимости метода последовательных нагружений. Но здесь мы не будем на этом останавливаться.

2. Применение операторного подхода при расчете оболочечных конструкций произвольной конфигурации

Рассмотрим случай, когда область О является областью произвольной конфигурации. В этом случае начальное решение ) находим, например, методом сеток. Остальные решения ) будем находить с заданной точностью £ методом Бубнова—Галеркина. С этой целью дополним область О до прямоугольника с границей Г. В этом прямоугольнике рассмотрим новую граничную задачу, записанную в операторной форме:

. 2 д2" д2" д2" , ч аеД " - ^1,п,едХ2 - ^2,п,е+ 2^,п,£д^ = ^,п>е, (6)

где

Д (х,у) е )Vi,n(x,У), (х,у) е .

а =\ ^¿,п,е(ж,у) = < г = I, 2,

о, (х,у) е о, и, (х,у) е о,

^з,п,£ (х,у) =

"о, (ж, у) е о,

|^4,п(х,у), (Х,у) е ° ^4,п,е(ж,у) = <

[о, (ж, у) е О,

с граничными условиями

= 0 (при жестком закреплении краев оболочки). (7)

, дш ш|г = 0, — 11 дп

г

Как показано в [3], решения шп операторного уравнения (6) с граничными условиями (7) с точностью до £ приближают в пространстве Соболева Н2(О) решение шп соответствующего операторного уравнения в области О.

Решение шп задачи (6)—(7) ищется методом Бубнова—Галеркина.

Библиографический список

1. Кузнецов В. Н. Метод последовательного возмущения параметров в приложениях к расчету динамической устойчивости тонкостенных конструкций : дис. ... д-ра техн. наук. Саратов, 2000.

2. Кузнецова Т. А., Кузнецов В. Н. Ограниченные полугруппы операторов и их приложения. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2004.

3. Кузнецова Т. А., Баев К. А., Чумакова С. В. Метод фиктивных областей в теории оболочечных конструкций и его численная реализация // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 4. С. 55—60.

4. Кузнецова Т. А., Чумакова С. В., Шабанов Л. Е. К вопросу улучшения сходимости метода В. В. Петрова — метода последовательного возмущения параметров // Проблемы прочности элементов конструкций под воздействием нагрузок и рабочих сред : межвуз. науч. сб. Саратов : Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 2002. С. 61—64.

5. Петров В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1975.