Операторный подход в задаче статической потери устойчивости оболочечных конструкций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3 + 517.4

В. Н. КУЗНЕЦОВ, Т. А. КУЗНЕЦОВА, С. В. ЧУМАКОВА, Д. В. ПШЕНОВ, Л.Е. ШАБАНОВ

Операторный подход в задаче статической потери устойчивости оболочечных конструкций

Введение

В данной работе рассматривается операторный подход при решении

отдельных задач статической потери устойчивости оболочечных конструкций. суть которого заключается в том. что задача единственности решений уравнений оболочечных конструкций в статическом случае сводится к задаче единственности решений операторных уравнений вида

„, . <Э2и1 . . д2ш , „ д2ю , „

аЛь,- ^(х,у)_ - <рг(х,у)— - <р3(х,у)— = 0 (1)

с однородными граничными условиями. Такой подход позволяет не только получить условия устойчивости оболочечных конструкций, выраженные в терминах спектральных свойств оператора

. 2 , ч э'1 , ; а2 , 4 а3

А - аА - ч>!(х,у)— - чь(х,у)— - <р3{х,у)

дх2 '' ду2 ' '' дудх '

но и судить о локальной потере устойчивости при критических нагрузках в случае жестких оболочечных конструкций.

1. Спектральной критерий потери устойчивости жестких оболочечных конструкций

Известно |1|, что в случае жесткой оболочки уравнения устойчивости для безмоментпого основного состояния приводятся к одному разрешающему уравнению вида

1) .» 1 .,,„ д2и> _ д2ю „_ д2ш .

ЖАш + + + + 28 = 0 (2)

С нулевыми граничными условиями, где Рх, Ру, 5 проекции основных усилий на координатные оси и касательное направление. В случае жесткой, пологой, прямоугольной в плане оболочки, шарнирно закрепленной

q2 g2

по краям, операторы Л4, A?, A2-r-r, А27-— имеют одну и ту же систе-

ox¿ oy¿

му функций {/„га — sin ^пх sin —ту} в качестве системы собственных функций, и /пт удовлетворяют граничным условиям. Этот факт, как будет видно ниже, лежит в основе рассуждений, проводимых при исследовании решений уравнения (2). Б данном случае необходимые выкладки и основные результаты будут такие же, как и в случае операторного уравнения вида

»--55 (3>

где Тх, Ту, Tx¡y, - некоторые непрерывные в области Ü функции ( здесь П - прямоугольник со сторонами а и Ь), с граничными условиями вида

у=ь

=0. (4)

v=0

*=о 9у2

Поэтому с целью сокращения объема изложения все выкладки проведем для задачи (3-4).

Замечание 1. Здесь под решением задачи (3)-(4) понимается любая функция у), принадлежащая области определения оператора

^ДМг4 + 2т^ + тф,

действие которого рассматривается в пространстве Ь2 (П) , при подстановке, которой в уравнение (3) выполняется равенство в пространстве 1а(П).

Замечание 2. Известно [2|, что область определения оператора Д, действующего в пространстве функций из Ьг(^), удовлетворяющих граничным условиям (4), включается в пространство Соболева Я2(0). Таким образом, любое решение ги(х,у) задачи (3)-(4) принадлежит пространству Соболева #2($2).

На первом этапе будем считать функции Тх, Ту, Тху постоянными. Более того, предварительно докажем ряд утверждений для случая

Тг,у = 0.

д2

Пусть {/„,„} система собственных функций для операторов А2,

ох1

д2

удовлетворяющих условиям (4), и пусть А°т,А;т,А^т, соответствующие им собственные значения. При данных предположениях имеют место следующие утверждения.

Лемма 1. Любое решение задачи (З)-(^) является функцией вида:

^ — ^ ^ ^ ^ Рпт/пт I п т

где суммирование ведется по тем парам (п,т), для которых выполняется равенство

Кт - Тх\'пт - Ту\"1т - О . (5)

Утверждение леммы 1 является очевидным. Достаточно разложить функцию ы в ряд по ортогональной системе функций {/„,„}.

Лемма 2. Имеют место следующие утверждения:

1) существуют такие константы Тх, Ту для которых уравнение (5) имеет хотя бы одно решение (Кт<Кт>Кт) ;

2] для любой пары чисел (Тх,Ту) таких, что

\ТХ\<С ,\Ту\<С ,

число решений уравнения (5) ограничено константой, зависящей только от величины .

Доказательство

Рассмотрим уравнение (5) как совокупность линейных уравнений относительно неизвестных Тх, Ту с козффициен тами А"т,А;17„,А"т . Запишем каждое такое уравнение в виде

Т Т

+ > = (6) Лип Лип

Кт Кт

ДО ДО

Точки и дискретно располагаются на осях ОТх и ОТу. Множе-Кт Кт

ство положительных решений Тх и Ту каждого уравнения (6) есть отрезок, соединяющий две такие точки. Отрезки могут пересекаться в точке (Т?,Т°). В этом случае при таких Т°, уравнение (5) имеет несдин-ственное решение. Через любую точку (Т", Ту) может проходить только конечное число таких отрезков. Их число ограничено константой, зависящей только от величины , что и доказывает утверждение леммы 2 в случае Тх > 0 и Ту > 0. Ясно, что аналогично доказывается утверждение леммы в случае, когда Тх и Ту имеют произвольные знаки.

Рассмотрим теперь случай, когда Тху /Он Тх, Ту, Тху- константы. Поворот осей приводит уравнение (3) к виду

-л I д2 , д2

где Д = А!—+ А2—.

ах* ду*

Здесь ТхЛ, Ту ] - константы; С1 - область, полученная в результате поворота прямоугольника. Граничные условия нулевые на сторонах повернутого прямоугольника. При этом система собственных функций {/пт}

_ <э2 д2

для операторов Д, 7—г, тг-т получается с помощью поворота из систе-дхг оу1

мы {/пт} • Пусть {А°т}, {А^т}, {А£т}, системы собственных значений для этих операторов. Ясно, что утверждения леммы 1,2 имеют место и в этом случае. Приведем их формулировки.

Лемма 3. Пусть |Г|Х < С,\Т\у < С,\Т\ху < С . Тогда число решений уравнения

Жп+т.к^+тук;^ о (7)

ограничено константой, зависящей только от величины .

Лемма 4. Каждое решение задачи (3)-(4) можно представить в виде :

™ — ^ ' Аитг/пт 1

(п,т)

где суммирование берется по тем (п,т), для которых выполняется равенство (7), и где {/пт} - система собственных векторов, удовлетво-

д2 д2

ряющих граничным условиям (4), для операторов Д, —-—.

ОХг оу*

Далее, рассмотрим разбиение области П на прямоугольники : П = Ц^! Будем считать, что Тх, Ту, Тху - кусочно-постоянные функции, а именно, являются константами на

Пусть {/пт'1} базис, состоящий из собственных функций операторов

Э2 в*

Л2' Эх*' д^ В области и лпт.,\' - соответствующие

собственные значения. В этом случае имеет место.

Лемма 5. Пусть |Г|Х < С, \Т\У < С, \Т\ху < С, где константа не зависит от разбиения области П. Тогда число решений уравнения.

' Ь'птШ + ТУ4Х'^Ц — 0 (8)

ограничено константой, зависящей только от величины . Рассмотрим следующую задачу в области Я,:

Д2ш - Г3

д2и>

д2ю

Хдх> Уду*

„ д2ы

д2ь)

Ъх2

д2и> ду2

= 0

где Тх,Ту, Тху постоянные величины.

Имеет место

Лемма 6.Каждое решение задачи (9) можно представить в виде

(п,т)

где суммирование берется по тем (п,тп), для которых выполняется равенство (8).

Отметим, что множество функций которые являются решением задач (9), определяют класс функций годг(х, у), которые являются решением (3)-(4) в случае кусочнопостоянных Тх, Ту, Тху.

Наконец, рассмотрим случай произвольных непрерывных функций ТХ,ТУ, Тху. Предположим, что существует точка (хо,2/о) е П, для которой в случае Тх(х0,у0),Ту(ха,у0), Тху(хо,Уо) выполняется условие (7). Тогда существует отличное от нуля решение ш 1 уравнения

д^и) д^и) д^'ш

А2и> - Тх(хо, у0)-^ - Ту(хо, уо)-^ - 2Тху(х0, Уо)-^ = 0

(9)

с однородными граничными условиями

д2и) дх2

д2и1

ду^

= 0 .

В силу леммы 4 решением ги1 этой задачи является любая функция вида

= «пт/пт , (Ю)

(п,т)

где суммирование берется по тем (п,т), для которых выполняется равенство (7).

Покажем, что в этом случае существует нетривиальное решение задачи (3)-(4) в случае непрерывных функций ТХ1 Ту, Тху.

Возьмем некоторую функцию вида (10), где 0 < апг„ < С,. Допустим, что мы построили функцию и>лг-1. Тогда и)ц(х,у) определим следующим образом.

Рассмотрим разбиение области Г! на 2Л' равновеликих прямоугольников: Г! = и?-! и на рассмотрим задачу вида:

Д2и, - - 2Тху(х„у.)-^ = 0 , (11)

= WN-1

е^ш

г< ' дх2

д2гиК-

г?

дх2

д2и> ду2

ЭУ2 гг

= 0,

где (ач>г/г) - некоторая точка, принадлежащая области П,. Положим

= + Шлг-1. (12)

где гу^дг - решение следующего уравнения

д^и) д^И) д^ии

с однородными граничными условиями в области П;, где

у) = - тх(х„у,)

-Ту{х>,у^д д - 2Тху{х<, у{)

С^дГ-1

Эу2 -»V-'»" ' (14).

Ясно, что если й^лг - некоторое решение задачи (13), то функция ги^ вида (12) является решением задачи (11).

Задача (13) имеет решение. Этот факт доказывается на основании тех же рассуждений, которые приведены в монографии Ж.-Л. Лионса [3], гл.1, §4.3. Отметим, что в нашем случае в качестве последовательности приближенных решений задачи (13), полученных методом Бубнова, рассматривается последовательность функций вида

ГДО Л,1 ~ система собственных функций оператора Лапласа А в области

ni.

Рассмотрим некоторую последовательность решений , г = 1,2, ■ • • , 2n, задач (11) вида (12). Ясно, что они определяют нетривиальное решение w^ задачи (3)-(4) в случае кусочнопостоянпых функций Т Т Т

Замечание 3. При построении решений W/v можно рассматривать последовательность разбиений области П на более мелкие подобласти iij, чем те, которые рассматривались выше.

Относительно последовательности {'Шлт}имеют место следующие утверждения.

Лемма 7. Существует такая последовательность разбиений области П, для которой последовательность функций {ttJ;v} ограничена в пространстве Соболева N¡¡((1).

Доказательство

В силу (10) функция w 1 ограничена в Яд(Г2) константой С\. Пусть wk ограничена константой С*. Так как wk решение задачи (3)-(4) полученное, на предыдущем шаге разбиения области il, то в силу (14) функция <?/и i,i ограничена в пространстве в константой e/t^f-, где е* опре-

деляется как наибольшая из величин:

sup |Гх(аг, у) - Тх(хи Vi)l. sup \Ту{х, у) - Г„(х<, у{)|, (z,y)en< (iirtetJi

sup \Тху(х,у) ~Txy(Xi,yi)\. (i,»)en<

В силу рассуждений, необходимых при доказательстве существования решения задачи (13), которые повторяют рассуждения, приведенные в [3], гл.1, §4.3, из оценки

||?№,»I|lj№) <

следует ограниченность функции Щк+1 с пространстве Я^(П) величиной £/,%?■ Таким образом, функция Wi^+i, которая является решением задачи (11), ограничена в пространстве #2(П<) величиной (1 + и,

следовательно, для функции Wk+i имеет место оценка

1К+1||я*(П) < Ск{1 + £к) . Отсюда в силу (12) получаем

1Ы1я><п) < Сх П (1 + ■ (15)

k<N- 1

Рассмотрим такую последовательность разбиений области П, для которой сходится произведение

оо к~ 1

Тогда в силу (15) получаем утверждение леммы 7.

Лемма 8. При условии леммы 7 существует такая последовательность функций {шдг^} , которая сходится в пространстве Ьг(С1) .

Доказательство

Покажем компактность множества функций {'Ш\-} в пространстве Ь2(И). В силу леммы 7 множество {и>к} является равномерно ограниченным. Равностепенная непрерывность функций из этого множества следует из равностепенной ограниченности их частных производных первого и второго порядков, что показано в лемме 7. Следовательно, но теореме М. Рисса множество {и>лг} компактно, что и доказывает утверждение леммы 8.

Утверждения лемма 7 и 8 позволяют провести рассуждения такие же, как рассуждения, приведенные в [3], гл.1, §4.3, и доказать следующий результат

Теорема X.Пусть в области существует точка (хо,Уо) , для которой уравнение (7) при Тх(хо, уо), Ту(хо, уо), Тху(хо, уо), имеет решение. Тогда задача (3)-(4) имеет нетривиальное решение.

Как следствие теоремы 1, докажем спектральный критерий неоднозначного решения задачи (3)-(4). Имеет место

Теорема 2.Задача (8)-(4) тогда и только тогда имеет ненулевое решение, когда существует точка (хо,уо) 6 П , в которой спектр оператора А(хо, уо) содержит либо нулевое, либо отрицательное значение, где оператор А(хо,уо)

в случав Тху ~~ 0 имеет следующий вид

д2 д2 А{хо,Уо) = А2 - Тх(хв,уо)-7^ - Ту(х0,у0)-щр ,

и в общем случае

—2 д2 д2

Л{хо, уо) = А - Т'х(хо, Уо)-^ - Ц(х0, Уо)-^ ,

где А , Т'х, Ц

получены из оператора А2 и функций Тх, Ту в результате поворота осей координат.

Доказательство

Предположим, что во всех точках (х,у) е оператор А(х,у) имеет положительный спектр. Это означает, что, если

Ш = ^ , &пт/пт > (п,т)

ТО

(х, у){пт ,

(п,т)

где Хпт(х,у) > 0 для всех (х, у) 6 П . Тогда

{А{х, у)ы, и>) = ¿2 а?пт\пт{х, у)1/пт > 0, (16)

(п,т)

где 1Упт коэффициенты нормирования, ортогональных функций /пт. Из неравенства (16), следует, что оператор, определяемый левой частью уравнения (3), является положительным, и, следовательно, задача (3)-(4) имеет единственное (нулевое) решение.

Обратно, пусть в точке (х0, Уо) спек тр оператора А(х0, уд) имеет строго отрицательное значение, т.е. существуют п0, тп0 , для которых в случае Тху г 0 имеем

+ то) - Тх{хо, 2д >о - Ту(х0, уа)тпд < 0 . (17)

Рассмотрим подобласть П1, которая получается из П сжатием в Л раз по осям и и, возможно, сдвигом так, что она содержит точку (х0,уо) . Тогда относительно подобласти П1 левая часть неравенства (17) будет выглядеть следующим образом

А4("о + ™о) - Т*Ы, 3/о)А2^ - Ту(хо, у0)Х2тп1 . (18)

Ясно, что при некотором А > 0 выражение (18) будет равно нулю. Далее, утверждения лемм 7 и 8, а, следовательно, и утверждение теоремы 1 остаются в силе, если при построении последовательности гилг в качестве начальной ненулевой функции рассматривать функцию и' 1 , которая определяется решениями задач (3)-(4) с постоянными функциями Тх, Ту, на области П] и ее дополнениях с нулевыми граничными условиями. Это в силу теоремы 1 доказывает существование ненулевого решения задачи (3)-(4).

Случай Тху ф 0 рассматривается аналогично. Тем самым теорема 2 полностью доказана. Аналогично доказательству теоремы 2 доказывается спектральный критерий устойчивости жесткой, прямоугольной в плане оболочки. А именно, имеет место

Теорема 3. Пусть нагрузки, действующие, на оболочку, таковы, что спектр оператора А(х,у), определяемого левой частью уравнения (2) по аналогии с тем, как это делалось в теореме 2, в любой точке (х, у) 6 П остается положительным. Тогда оболочка сохраняет устойчивое состояние. В противном случае произойдет потеря устойчивости оболочки.

Замечание 4. Отметим, что в процессе доказательства теоремы 2 было установлено, что появление ненулевых решений носит локальный характер. А именно, решение отлично от нули в некоторых окрестностях точек, где спектр оператора А(х, у) содержит нулевое значение. Это дает основание говорить о локальной потере устойчивости жесткой оболочечной конструкции.

Замечание 5. Отметим, что спектральный критерий потери устойчивости жестких конструкций работает только для первой критической нагрузки. В закритической области линейная модель слишком грубо описывает поведение оболочки.

В следующем параграфе мы получим спектральный критерий устойчивости оболочечных конструкций, который работает и в закритической области нагружения.

2. Спектральный критерий устойчивости гибких, прямоугольных в плане оболочек

В |3| был разработан, так называемый, метод линейной аппроксима ции но отдельным параметрам, который позволил свести задачу однозначности решения достаточно широкого класса нелинейных уравнений механики к задаче однозначности решений некоторой последовательности линейных операторных уравнений вида

,д2ги

д2ы

А®" <Р\,п{Х>У)-д^ ~ <Рг,п(.Я>У)-ду2 ~ Фз,п(Х>У) с однородными граничными условиями:

„д2ы дху

О

'1г

д2ш Эх*

д2ь>

Яу2

=-0 .

(19)

(20)

где последовательность функций ^:П(х,у), 1—1,2,3 полностью определяется действующими на оболочку нагрузками, и где Г - контур прямоугольной области О.

При этом указанный выше метод работает в области однозначности решений нелинейных уравнений, включая и параметры однозначности решений в закритической области нагрузок. Там же [3] показано, что, если последовательность задач (19)-(20) при всех п > щ имеет единственные решения, то и нелинейная модельная задача оболочки имеет единственное решение. Более того, если свойство единственности решений задач (19)-(20) сохраняется при незначительном изменении нагрузок, то оболочка находится в устойчивом состоянии.

В первом параграфе настоящей работы был получен спектральный критерий однозначности решения операторных уравнений вида (19) с граничными условиями (20). Отсюда, например, в случае уравнения Кармана получается следующий критерий устойчивости однородной обо лочки.

Теорема 4. Пусть (г«о, £о) некоторое решение нелинейной модель ной задачи оболочки, отвечающее набору нагрузок (¡о = (?ъ <?2, • • • )■ При этом оболочка тогда и только тогда находится в устойчивом состоянии, когда для любой точки (хц,Уо) из области Г2 спектр линейного оператора

А(хо,Уо) = -^А2 ~П(х0,у0)~ -Т^х0,у0)~ ,

полученного из оператора А(х0, Уо)

Б д2 д2 д2

Л{х0, уо) = -А2 - Тх{хо, уо)-^ - Ту[хо, уо)-^ - Т^х0,Уо)-тщ ,

где

т - т дЕ° т дГ°

ху~ дхду' у Эх*' х ду1'

в результате поворота осей координат, является строго положительным.

В заключение отметим, что утверждения, подобные утверждению теоремы 4 имеют место не только для уравнения Кармана и не только для прямоугольных в плане оболочек. Но в данной работе мы не будем останавливаться на этих вопросах.

Библиографический список

1. Вольмир Л.С. Устойчивость деформируемых систем . -М.:Наука,1967.

2. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. - М.:Мир,1972.

3. Кузнецов В.Н. Метод последовательного возмущения параметров в приложении к расчету динамической устойчивости тонкостенных оболо-чечных конструкций./Диссертация на соискание уч. степени д.т.п,- Саратов - 2000.

УДК 539.3+517.4 В. Н. КУЗНЕЦОВ, Т. А. КУЗНЕЦОВА, С. В. ЧУМАКОВА

Операторные методы в нелинейной механике Введение

Целью настоящей работы является изложение основных положений операторного подхода при решении таких задач нелинейной механики как задача устойчивости оболочных конструкций, задача гладкости решений и скорости сходимости проекционных методов в динамическом случае.

Операторный подход заключается в применении к решению перечисленных выше задач известных результатов, касающихся решений линейных операторных уравнений

^ = -A(t)w + f, t е [о, г]. (1)

В случае, когда оператор A(t) при любом t е [0, Г] является самосопряженным, положительно определенным оператором, известен результат С.Г. Крейна о существовании и единственности решения уравнения (1) , удовлетворяющего начальным условиям. Методы теории ограниченных полугрупп операторов, в частности, метод эквивалентных операторов позволил Т.А. Кузнецовой показать гладкость решений уравнения (1), если только операторы A(t) эквивалентны оператору, порождающему ограниченную полугруппу, и начальные функции и / принадлежат области определения некоторой степени такого оператора.

Показано, что результаты относительно свойств решений уравнений (1) позволяют получить условия на внешние воздействия, при которых для достаточно широкого класса нелинейных моделей оболочек, содержащих известные модели Кирхгофа и Тимошенко, соответствующие краевые задачи имеют единственное, достаточно гладкое решение в пространстве Соболева, и тем самым, допускают хорошую точность аппроксимации проекционными методами.