Метод фиктивных областей в теории оболочечных конструкций и его численная реализация Текст научной статьи по специальности «Математика»

"Волга"по современным проблемам теоретической и математической физики. Казань, 2006. С. 45-46.

7. Шутов А.В. О распределении дробных долей // Чебышевский сборник. Тула, 2004. Т.5, вып. 3. С.112-121.

УДК 539.3+517.4 Т.А. Кузнецова, К.А. Баев, С.В. Чумакова

МЕТОД ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ В ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ И ЕГО ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

Введение

Известно, что при решении нелинейных граничных задач теории тонких оболочек в статическом случае наиболее простыми, в смысле их численной реализации, являются шаговые методы, суть которых заключается в том, что решение нелинейной задачи сводится на каждом шаге к решению линейных уравнений вида:

d2w d2w d2w

aAw - Tx(x, y) - Ty (X y) ^ - (X y) Q^Qy = q

с нулевыми условиями на границе Г области Q, определяемой серединной поверхностью оболочки, где оператор A либо оператор Лапласа А, либо A2, Tx, Ty, Txy — некоторые непрерывные функции.

Численное решение задачи (1) в случае прямоугольных в плане оболочек, как правило, определяется методом Бубнова-Галеркина. Это связано с тем, что для прямоугольной области Q легко строится последовательность функций {/„}, удовлетворяющих нулевым граничным усло-

виям и взаимно ортогональных в пространстве Ь2(О) (такой системой является система попарных произведений синусов).

В случае области О произвольной конфигурации построение соответствующей системы функций вызывает значительные затруднения. Поэтому вместо метода Бубнова-Галеркина используются другие численные методы.

В теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка эллиптического типа разработан метод, позволяющий сводить соответствующую граничную задачу для любой области О к некоторой граничной задаче для области прямоугольной формы. Этот метод известен в литературе как метод фиктивных областей [1].

В данной работе получен аналог метода фиктивных областей для граничных задач вида (1) в случае, когда оператор, стоящий в левой части уравнения (1), является положительно определенным, что, как показано в [2], соответствует устойчивому состоянию оболочки. Этот метод, сводящий решение граничной задачи (1) в случае оболочки произвольной конфигурации к решению соответствующей задачи для прямоугольной области О, авторы также назвали методом фиктивных областей.

Ниже приводится описание и обсуждаются вопросы численной реализации метода.

§1. Метод фиктивных областей для оболочечных конструкций

произвольной конфигурации

Рассмотрим граничную задачу

д2/т д2/т д2/т

аД2т - Тх(х, у)^ - Ту(x, У)- Тху(x, У)дХду = я(Х) У) (1Л)

Иг = 0, ^ где Г — граница области Б.

= 0, (1.2)

г

Замечание 1. Граничная задача (1.1), (1.2) встает на каждом шаге при решении геометрически нелинейной модели Кирхгофа-Лява жестко закрепленной по краям тонкой оболочки методом последовательного на-гружения в статическом случае [3].

Дополним область О до прямоугольника О с границей Гх. Обозначим через Ох дополнение О до О. В области О рассмотрим новую граничную задачу

ддд2^^ А^ = а£А2-и-ТжДх,у) — -Т^£{Х)у)-ТхУ,£(х,у)д^ду = ^ (0)

где

о, (х,у) е 0 (х,у) е 0 |ТЖ, (х,у) е °

= < а = < Тж,£ =

0, (х,у) е Ох [0, (ж, у) е Ох [¿2, (х,у) е Ох

ТУ, (х,у) е 0 Т = |ТЖу, (х,у) е 0

¿2, (ж, у) е Ох [0, (ж,у) е Ох

с граничными условиями

= 0, у|г = ^х(ж,у), (1.4)

где ^х(ж,у) — заданная функция, для которой ||^х(ж,у)||^1(г) = £.

Пусть уо — решение задачи (1.3), (1.4) в области Ох и пусть ^>2(ж,у) = заданная функция. Тогда последнее граничное условие запи-

_ дгп

= дП г

шется в виде

ду

= ^2(ж,у). (1.5)

г

дп

Таким образом, в области О решается граничная задача (1.3), (1.4), (1.5). По своей постановке эта задача имеет единственное решение у£, ограничение которого в области О принадлежит пространству Соболева Н2(О), а ограничение в области Ох принадлежит пространству Нх(Ох). Доказательство этих двух фактов можно найти в [4].

Рассуждения по своей сути, незначительно отличающиеся от рассуждений, приведенных в [5, Гл.2, §7] при обосновании метода фиктивных областей в случае дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа, позволяют доказать следующий результат, отражающий суть метода фиктивных областей.

Теорема. Решение /ш£ задачи (1.3), (1.4), (1-5) приближает решение эд задачи (1.1), (1-2) в пространстве Соболева Н2(&) с точностью до е, то есть

- ,Ше\\нЦП) <с • е, где постоянная с не зависит от е.

Замечание 2. Задача (1.1), (1.2), фигурирующая в теореме 1 предполагает жесткое закрепление краев оболочки. Результат, аналогичный теореме!, имеет место и в случае шарнирного закрепления краев оболочки.

§2. Вопросы численной реализации метода фиктивных

областей

Во-первых, нужно определиться с величиной е, то есть с допустимой точностью решения линеаризованной задачи на каждом шаге соответствующего шагового метода. Ясно, что величина погрешности на каждом шаге будет суммарно влиять на величину погрешности решения нелинейной задачи. Поэтому здесь большую роль играют различные модификации шагового метода, позволяющие существенно уменьшить число шагов при сохранении точности. В этом направлении можно рекомендовать метод усреднения, описанный в работе [6].

Во-вторых, на каждом шаге вместо линейной задачи вида (1.1), (1.2) решается линейная задача (1.3), (1.4), (1.5). Эта задача решается методом Бубнова-Галеркина. В случае прямоугольной области со сторонами

а и b в качестве системы функций, ортогональных в пространстве L2(D) и удовлетворяющих нулевым граничным условиям, выбираются функции

. 2nnx . 2nny fn,m = Sin —— Sin ь . (1.6)

Решение w£ задачи (1.3), (1.4), (1.5) ищется в виде ряда по системе функций (1.6).

Отметим, что шаговые методы при решении нелинейных задач работают только в области устойчивости параметров.

В данной работе мы не будем останавливаться на вопросах, связанных с эффективными методами определения области устойчивости параметров.

Библиографический список

1. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. М.: Физматгиз, 1960.

2. Кузнецов В.Н. Метод последовательного возмущения параметров в приложении к расчету динамической устойчивости тонкостенных оболо-чечных конструкций: Дис. ... д-ра техн. наук. Саратов, 2000.

3. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975.

4. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1975.

5. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.

6. Чумакова С.В., Пшенов Д.А., Шабанов Л.Е. К вопросу улучшения сходимости метода В.В. Петрова — метода последовательного возмущения параметров // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. техн. ун-та, 2002.