Обратные задачи для гиперболических уравнений с неизвестными коэффициентом в соучае интегрального переопределения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕИЗВЕСТНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ В СЛУЧАЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ О, А. Колтуновекий

В прямоугольнике D = {(x,t) : 0 < x < 1, 0 < t < T < + то} рассмотрим уравнение

utt - uxx + \щ + q(x)a(x, t)u = f0(x, t), (1)

где A — известная постоянная, f$(x,t) и a(x,t) — известные функции, заданные при (х, t) G D.

В работе рассматривается

u x, t q x D

уравнением (1) н такие, что выполняются условия

u(0,t) = Mo(t), u(l,t) = ^{t), 0<t<T, (2)

u(x,0) = uq(x), 0 < x < 1, (3)

ut(x,0) = uxlx), 0 < x < 1, (4)

T

¡«М*.**-^), 0<х<1. (5)

о

Условия (2)-(4) являются условиями первой начально-краевой задачи для гиперболического уравнения (1). Условие (5) — условие интеграль-

u x, t

@ 2008 Колтуновекий О. А.

неизвестный коэффициент д(х). Функции щ(х), щ(х),

а(Ь), ^о(х) известны и заданы при х е [О, 1], Ь е [0,Т].

Так как неизвестными являются решение и коэффициент уравнения (1), обратная задача будет нелинейной. Нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений в различных постановках рассматривались в работах [1-7] и в ряде других, однако в вышеприведенной постановке подобные задачи ранее не изучались. Методы исследования, примененные в данной работе, близки к методам работы [8].

Сделаем следующее

Предположение 1. Существует функция и = и(х,Ь) из класса С2(Б), удовлетворяющая граиичиым условиям (2)-(4).

Произведем замену

и переформулируем обратную задачу: требуется найти функции у(х, Ь) и д(х), связанные в прямоугольнике Б уравнением

и(х,Ь) = у(х,Ь) + и{х,Ь)

Щг - Ъхх + + д(х)а(х, Ь)и = /(х, Ь),

при выполнении условий

щ(0,Ь) = 0, Щ(1,Ь) = 0, 0<Ь<Т, щ(х,0)=0, 0<х<1, х,0) = 0, 0 < х < 1,

(2')

(3') (4')

т

'

о

Функции /(х,Ь) и к(х) равны соответственно

/{х,1) = /0(х,Ь) - (и„ - ихх + и,

т

о

Умножим обе части уравнения (!/) та функцию проинтегрируем почленно получившееся равенство по переменной Ь в пределах от Ь = О до Ь = Т, придем к равенству

т т

/ а(Ь)/(х,Ь)&+Н''(х)-а(Т)у((х,Т)+ ¡[а'(Ь)-\а(Ь)]у¿(х,Ь)сИ

ч(х) = 2-?-т-5-'

/ а{Ь)а{х, Ь)у{х, Ь) СЬ + / а{Ь)а{х, Ь)и(х, Ь) СЬ о о

(6)

Далее будем предполагать выполнение при 0 ^ х следующих неравенств:

т

О < Н ^ У а(г)/(х,г) Л + Ы'(х) < И2,

а

о т

(Г)

О < А а(Ь)а(х,Ь)и(х,Ь)& < А2. о

Введем семейство срезающих функций ар(С) при р > 0:

{С, если |С | < р, если С < -р, с, если С > р.

Для функции р(х, заданной в прямоугольнике В, и чисел [3, 7 € (0,1) определим коэффициент т

/ а(Ь)/(х,Ь)СЬ + Н''( х^ + авн (й) = ^-, (8)

§ а(Ь)а(х, Ь)и(х, Ь) Сх + а^^ (£2) о

т

(г = -а(Т)рг(х,Т) + J[а'(Ь) - \а(Ь)]р4(х,Ь) СЬ, о

т

Ь = 1"№х,*)р(х,*)<*.

где

Определим постоянные, которые понадобятся ниже:

(!-/?)#! Щг + Я2

7^1 + ^2' 42 (1-7)^1'

^о = И/ЦьооШ) + <52 гпах \а(х, Ь)и(ж, в

^о = НЛНьооШ) + <32тах|[а(ж^)[/(ж^)]4|, в

^Т3 при А = О,

О

¿и—ш ПРИЛ>0'

А =

Ф0 = (А + 5/2Т)^о + 14/ЗТ3^02. Определим пространства функций, используемые далее:

У = {у(х,г) :у(х,г) е ^Б) П ьж(0,Т;Т^(0,1)),

Уг(х,г) е ,Т;Щ(ОД))},

У= {м(х,Ь) : м(х,Ь) е У,Мххь е Ь2(В)}. Нормы в этих пространствах определим равенствами

1М1у = \\М\к + \\Мххл\\ь2(П).

Исследуем вспомогательную задачу: требуется найти функцию м(х,Ь), которая удовлетворяет в прямоугольнике Б уравнению (е > 0)

-£Мххл + Мгг - МххЛ Амг + Qv{х)а(х,Ь)м = х,Ь) (9)

'''

Функция х, Ь) равна /(х,Ь) - Qv(х)а(х,Ь)и(х,Ь). Заметим, что уравнение (9) — нелинейное нагруженное [9,10] уравнение составного типа.

Теорема 1. Пусть выполняются предположение 1, неравенства (7) и включения ¡(х,Ь) е (Б), Мх,Ь) е (Б), а{Ь) е ^(М), Н(х) е С2([0,1]). Предположим также, что постоянная X не меньше О, функция а(х, принадлежит С1 (И) и выполняются неравенства при (ж, г) бИ'

а(х,Ь) >0, аДх, Ь) ^ 0,

4д2а(ж^)(2Т-£) < \/1 + 2Л(2Т — ^Кх,^ К(х, Ь)К2Т - Ь)] < 1/8, Q2а(x,0) < V4.

Тогда задача (9), (2'), (3'), (4') имеет решение у(х, Ь) го пространства У.

Доказательство. Пусть р(х,Ь) е V. Линеаризуем уравнение (9) и рассмотрим задачу: найти функцию у(х, Ь), удовлетворяющую в прямоугольнике Б уравнению

-£Уххг + - ьхх + Хуг + х)а(х, ф = х, Ь) (9р)

'''

Разрешимость этой задачи в пространстве V фактически установлена в книге [11], так как коэффициент Qp(х) ограничен в силу своего определения (8): ^ < Qp(х) < Q2.

р'''

Умножим обе части уравнения (9р) та выражение (2Т - -ъххл) и проинтегрируем получившееся равенство по прямоугольнику Б. В правой части произведем интегрирование по частям с учетом

'

11 2Т - Ь)М - Мххг) <х<Ь < Ц 2Т - фг

¿хсИ

в

JJ[Fp(2T - Ь)] гМхх <х< + Т J Мхх{х,Т)¥р (х,Т)3,х в о

<

1Л(2 Т-Ь) + \

мг <1х& ■

в

в

Р2 12Т У ¿сей р 2Х(2Т-г) + 1

3 Ц Мхх <х<г + ff .А2Т - Ь)] ? <хЖ

вв

1 1

В силу определения функции Fp(х, Ь), коэффициента Qp(х, Ь), чисел .о и .д, а также условий теоремы 1 получим окончательную оценку

1А(2 Т-1) + \

мг <1х<л

Л 2Т - Ь)М - Мххг) <х<Ь < Л вв

1

+ 5 //+ Iт^ ^ + ф°' ^

в

Рассмотрим левую часть

(-емххг + мгг - Мхх + Амг + Qpаv)(2T - Ь)М - Мххг) <х<Ь.

в

Произведем интегрирование по частям с учетом однородных гранич-'''

тельные в силу условий теоремы 1 слагаемые /+ и остальные слагае-

мые I:

1

/+= е JJ Т — ^(1хЛ + — JJ ¿хсИ + — Т ^

в во

1

+ — JJ ¿хсИ + —Т J Т) (1х + JJ А-у2 (2Т — ¿хсИ

В О В

1

+ ^У С^р(х)а(х,Т)у'2(х,Т) - ^ JJ С^р[а(2Т - ^^¿хЛ о в

1

+ £ // <4* (2Т - + \ Ц VI <Ь& + \т/VI (х, Т)

вв 1

+ \ // <4 ^ + \т/ 4Х (х, т) + Ц л<4 (2т - г) <ьЛ,

вв

1= -Т ! Qp(х)а(х,Т)у(х,Т)Ухх(х,Т) Сх

QpVxx{а(2T - Ь)юг + [а(2Т - Ь)]Сх&.

в

Далее в доказательстве теоремы 1 положительные постоянные Ы^

(г = 1,...) зависят только от входных данных з адачи (9), (2'), (3'), '

ствах, определяемых условиями теоремы 1, но не зависят от числа е > 0. Из неравенства

(-£Уххг + Щг - Ъхх + хщ^ Qpаv)(2T - Ь)Щ - Уххг) СхСЬ

JJ ¥р(2Т - Ь)Щ - Щххл) СхСЬ

в

<

или

I ^

JJ 2Т - ^(уг - уххг) ¿х&

в

в силу условий теоремы 1 и оценки (10) получаем оценку

1

\т J ъ1{х,Т)<1х+^Т J г4(ж,Т)с£Е < Ф0. (11)

о о

Заметим следующее: если при оценке интеграла

JJ 2Т - - Уххл)

в

не проводить интегрирование по частям, то аналогичным образом получается оценка

1

М1и/|(в) + Фххл\\г2(в) < -м2\\Рр\\12{е>).

(12)

Рассмотрим прямоугольник Вт = {(х,Ь) : $ < х < \, \ < Ь < т}, где т — произвольное число из интервала [0,Т]. Аналогично предыдущему умножим обе части уравнения (9Р) та выражен не (2т - - уххЛ), проинтегрируем получившееся равенство по прямоугольнику Вт, используем оценку (12) и тогда приходим к оценке

1

(13)

Как указывалось выше, задача (9Р), (2'), (3'), (4') разрешима в пространстве V/, т. е. данная задача порождает оператор Р, переводящий пространство V в тебя: Р(р) = у. Покажем, что оператор Р имеет в V неподвижную точку.

Для решений задачи (9Р), (2'), (3'), (4') выполняется оценка (13), из которой в силу определения функции (х, £) и условий теоремы 1 следует оценка

1

-НИ -МШит + \\и\\сЧщ)-

(14)

Следовательно, оператор Р любой шар пространства V радиуса г такого, что

будет переводить в себя.

Р

Пусть {р„(х,Ь)} — ограниченная последовательность из пространства V, {щ„(х,Ь)} — последовательность образов функций р„(х,Ь) при действии оператора Р. В силу (14) последовательность {щ„(х,Ь)} ограничена в пространстве V. Заметим, что последовательности {р„{х, Т)}, {р„г(х, Т)} будут ограниченными последовательностями в (0,1). Из ограниченности последовательностей {р„{х,Ь)}, {щ„(х,Ь)}, {р„(х,Т)}, {р„г(х,Т)} и компактности вложения ^2(0,1) в С([0,1]) следует [12], что существуют подпоследовательности {р„к( х,Ь)} и {щ„к (х,Ь)} соответствующих последовательностей и функции р(х,Ь) и щ(х,Ь) такие, что при к ^ж имеют место сходимости:

рПк(х,~Ь) —> р(х,Ь) слабо в V и почти всюду в И, уПк(х,Ь) —> у(х,Ь) слабо в V и почти всюду в И, р„к{х, Т) ^ Р(х,Т) сильно в С([0,1]), р„кь{х,Т) ^ рг(х, Т) сильно в С([0,1]).

Из этих сходимостей следует, что функции р(х, Ь) и щ(х, Ь) связаны уравнением (9р), функция щ(х, Ь) удовлетворяет условиям (2'), (3'), (4'). Обозначим тк(х,Ь) = Щ„к(х,Ь) - щ(х,Ь). Имеет место равенство

-еткххл + тки - Ыкхх + Qpnk т = ^р - QpnJ (V + и).

Это равенство, оценка (13) для функций х,Ь), сильная сходимость р„к(х,Т) ^ р(х,Т) и р„кг(х,Т) ^ рг(х,Т) в С([0,1]) и определение Qp(х) дают сходимость

\\™кЦ^/ при к ^ж.

Другими словами, для всякой ограниченной в пространстве V последо-{ р„ х, Ь } { Р р„ }

сильно сходящуюся подпоследовательность. Это и означает, что оператор Р вполне непрерывен в пространстве V.

Вполне непрерывность оператора Р, его свойство переводить шар пространства V достаточно большого радиуса в себя и теорема Шауде-ра дают нам, что оператор Р имеет в пространстве V неподвижную точку. Эта неподвижная точка, т. е. функция из пространства

V и будет искомым решением задачи (9), (2'), (3'), (4').

Теорема 1 доказана.

Достаточные условия существования решения обратной задачи ''

Теорема 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1 н условия согласования ^(0) = Н(!) = 0. Предположим также, что выполняются неравенства

Тогда существует решение д(х)} обратной задачи (1'), (2'), (3'),

(4'), (5') такое, что у(х,г) е V, д{х) е Ьж(0,1).

Доказательство. В теореме 1 доказано существование решения уЕ(х,Ь) е V задачи (9), (2'), (3'), (4') для любого значения е > 0. Оценка (11) влечет неравенства

о

1

1

о

Применим известные неравенства

о

тогда

\уе(х,Т)| < у/Щ^, Ы(х,Т)| < ^ при хе [0,1].

В силу условий теоремы

ярн (й) = й, е-уЛг (&) = &, поэтому Qv(х) = ^^ где функция ^х) определена равенством (6).

е

можно доказать разрешимость в пространстве V задачи (1')-(5'). Из оценки (11) можно получить оценку

< М5Ф0 (15)

(аналогично способу получения оценки (13)).

Оценка (15) означает, что существуют числовая последовательность {еь}, подпоследовательность функций {и£к(х, ¿)} и функция у(х, ¿) такие, что при к имеют место сходимости:

еь ^ 0,

ьек(х,Ь) —> г>(ж, £) слабо в V и почти всюду в В, еьъЕкххг ^ 0 слабо в Ь2(В), у£к (х,Т) ^ ^(х, Т) сильно в С([0,1]), х,Т) ^ х, Т) сильно в С([0,1]).

Следовательно, функция у(х, £) удовлетворяет в прямоугольнике В уравнению

Щг - Ъхх + А^ + д(х)а(х,г)(у + V) = Цх,г), (1')

'''

Докажем, что функция «(х, ¿) удовлетворяет и уеловию (5'). Введем функцию

т

о

тогда в силу условий (2') /(0) = /(1) = 0.

Умножим уравнение (1'), где коэффициент д(х) определен равенством (6), па функцию а(Ь) и проинтегрируем получившееся уравнение

ЬТ имеем /''(х) = Н''(х), то условию теоремы 2 /(0) = Н(0), /(1) = Н(1), поэтому = к(х) и условие (5') выполнено.

Итак, функции щ(х,Ь) и ^х) являются решением обратной задачи (1')—(5'), причем предельная функция щ(х, Ь) принадлежит V, функция д(х) принадлежит Ьто(0,1) по построению. Теорема 2 доказана.

'

'

Пусть {щ(х,Ь),д(х)} — решение обратной задачи, где функция щ(х, Ь) принадлежит V, коэффициент д(х) принадлежит Ьто(0,1) и определен равенством (6):

д(х)

д(х) = --,

ч(х)

причем при х е [0,1]

о < Н* < д(х) < Н*, о < л\ < < А1-

По теореме 2 такое решение и такие числа Н*, Н*, А*, А* существуют, например

Н* = { 1- /3)^, Н* = (1 + А* = (1- 7)АЬ А* = (1 +

Тогда при х е [0,1] справедливо неравенство

Н* Н*

о < ч1 = < ч(х) < д*2 =

Обозначим

т

Б(Ь) = Н*\а(Ь)| тах а{х,Ь) + А*\а''(Ь) - \а'(Ь)\, К* = [ Б2{-Ь)3,Ь, хе[0Д] " }

„ „ . [а+\<ц\(2Т-Щ1 + 2\(2Т-г)] а = д{ гшп ■

п а2(2Т - гу

1)2а2Ц2 1 + 2А(2Т - г)

!? = -[[ - 1)' ¿хЛ

1 + 2А(2Т - г)

б

Заметим, что при агг(х,~Ь) ^ 0 (см. условия теорем 1 и 2) а* можно взять в виде

„ д*(1 + 2АТ) . а(х,Т) + Т\аг(х,0) \ а = —-^-тш-—---.

4Т2 [од] а2(х, 0)

Лемма 1. Пусть в уравнении (1') А ^ 0; а(х, ¿) € С1 (В) и а(х, ¿) > 0, а4(ж,г) < 0 при (х,г) е В; д(х) € Ьоо(0,1) и 0 < д\ < д(х) < д2; /(х,г) е (В). Тогда для решения задачи (1')-(4') из пространства V справедлива оценка

1 + 2Х(2Т — ¿) К '

Б

'

Иы - *хх+Хщ+дауЫ2 Т - 1)ахЖ Б

= JJ/ — дау)уг(2Т — г) ¿х&.

Б

Как и при доказательстве теоремы 1, в левой части произведем инте'

'

-д[а+\(Н\{2Т-1)\о2д,хЖ^- [[ ~ Ча11?('1Т ~ ¿)2

2 4 "У 2+А(2Т"^

Продолжим оценку (17):

д[а + К \(2Т - Ь)] [1 + 2\(2Т - Ь)] а2 (2Т - Ь)~

а2(2Т - Ь)2 [1 + 2А(2Т - Ь)]

в

¿хЛ

или

1 + 2Л(2 Т-±)

в

1 + 2А(2Т - Ь) а*^ 1 + 2А(2Т - Ь)

в в

Поэтому

а2(, + и)Ч2Т - (]хЖ ^ Г Г 2аУ + 2а>и* _ ^ Д*.

1 + 2А(2Т - Ь) JJ 1 + 2А(2Т - Ь)

вв

Лемма 1 доказана.

Достаточные условия единственности решения приведены в следующей теореме.

Теорема 3. Пусть выполняются условия леммы 1, функция а(Ь) принадлежит С2([0,Т]), причем а(Т) = а'(Т) = 0.

Предположим также, что справедливо неравенство

К *Е*

А*

< 1. (18)

ПГ

Тогда существует единственное решение {у(х, Ь), д(х)} обратной задачи (1')-(5') такое, что у(х,Ь) е V, д(х) е Ьто(0, 1), 0 < д* < д(х) ^ Ч*-

Доказательство. Пусть функции щ(х,Ь) и щ(х,Ь) — два решения обратной задачи (1')-(5') такие, что ^{х,Ь),щ{х,Ь) е V, 0 < д* < дДх) ^ д* (г = 1, 2). Их разность у(х,Ь) = щ{х,Ь) - щ(х,Ь) удовлетворяет уравнению

V« - УххЛ + д\ау = (д2 - д\)а(у2 + и)

''

V

Как и в доказательстве теоремы 1, можно получить оценку

Мв 11 V ¿х& + I I ¿х&

I I , + и)2(2Т - Ь)2 , , < (42 -41? \ .. ^-—¡-¿хЛ. (19)

А Т - Ь

в

д х - д х мы 3 равна

т

§(д2(х)а(Ь)а(х,Ь) + д2(х)[а''(Ь) - Аа'(Ь)])«(х,Ь) ¿Ь

42 (х) -(ц{х) = 5--•

д1(х)д2(х)

Воспользуемся известным неравенством

1 \ 1 /

\*,,\< у*

х

\0

и неравенством Гёльдера, тогда (д2(х) - д1(х))2

<

I Т /1 \ !/2

1

А

*\2

Б(Ь) I J у2х{х, Ь) ¿х

х

\о \о

Т Т 1

1

<

(А*)2 /Jу2х(х,Ь)ЛхА.

1 О 0 0

Продолжим оценку (19) с учетом результата леммы 1:

.М I I V ЗхЗ;Ь + 11 «х ¿х& в

т

1 с се к * р* се

^ (А?)2 I 52 Л ' Л ^ (1хЖ ' К* = Л (1хЖ-

вв

Так как неравенство (18) строгое, равны нулю следующие интегралы: Й ¿хЗЬ = 0 и / / V д,хЗЬ = 0,

X

В В

следовательно, г;(х,£) = 0 в прямоугольнике О. Теорема 3 доказана.

Далее рассматривается

Обратная задача II. Найти функции и(х,Ь) и д(х), связанные в прямоугольнике Б уравнением

ии - иххЛ д(х)а(х,г)щ = ¡0(х,Ь) (20)

п такие, что выполняются условия (2)Д5).

Будем считать, как и выше, что выполняется предположение 1. Произведем замену

и(х,~Ь) = «(х,~Ь) + и(х,~Ь)

и переформулируем обратную задачу: требуется найти функции у(х,Ь) и д(х), связанные в прямоугольнике Б уравнением

«и - Ъххх + д(х)а(х, Ь)щ = ¡(х, Ь), (20')

при выполнении условий (2')—(5').

Функции /(х,Ь) и к(х) в данном случае равны соответственно

!(х,1) = ¡0(х,1) - (ии - Пхх), т

Н(х) = ^о(х) — J а(Ь)и(х, Ь) о

Умножим обе части уравнения (20') та функцию а(Ь), проинтегрируем почленно получившееся равенство по переменной Ь в пределах от Ь = 0 до Ь = Т, приходим к равенствам

т т

/ а(Ь)/(х,Ь)сИ + Ь/'(х) — а(Т)«1(х,Т) + § а'х,Ь)&

Ф) = ~-?-?-2-• (21)

§ а(Ь)а(х,Ь)у^х,Ь)&+ / а(Ь)а(х,Ь)Щ(х,Ь)& о о

Далее будем предполагать выполнение при 0 ^ х следующих неравенств:

т

О < Н ^ У а(Ь)Цх,г) А + НН'(х) < Н2, о

т (22)

О < в ^ У а(г)а(х,г)Щ(х,Ь)Л < В2. о

Для функции р(х, ¿), заданной в прямоугольнике В, и чисел [3, 7 € (0,1) определим коэффициент т

¡а(Ь)/(х,Ь)& + Н"(х^арн, (&)

Яр(х) = ^-, (23)

§ а(Ь)а(х,Ь)Щ(х,~Ь) А + а^Вг (С2) о

1 1

С1 = —а(Т)рг(х,Т) + J а {Ь)р^х,Ь) А, С2 = J а(Ь)а(х,Ь)р^х,Ь) А.

где

т т

а {Ь)р^х,Ь) А, С2 = J а{Ъ)а{ о о

Определим постоянные, которые понадобятся ниже:

~ = (!-№ ~ = Щг + Я2 41 7Вг + В2 ' 42 (1 - 7)В1 '

Во = Н/Нь^т) + Я2т&х\а(х,г)Щ(х,г)\, в

Во = \\Ы\ь00(в) + Я2Щах\[а(х,г)Щ(х,г)^\, в

Ф0 = (14/ЗТ3 + 13/4Т)Р2 + 14/ЗТ3Рд.

Исследуем вспомогательную задачу: требуется найти функцию у(х, Ь), которая удовлетворяет в прямоугольнике В уравнению (е > 0)

-£«ххл + «и - «XX + ЯЛх)а(х, = Ву (х, Ь) (24)

'''

Функция (х, Ь) равна /(х, Ь) - (х)а(х,Ь)и1{х,Ь).

Теорема 4. Пусть выполняются предположение 1, неравенства (22) и включения f(x,t) е Ьж(D), ft(x,t) е Ьж(D), a{t) е СЩОД}), h(x) е ^2([0, 1]). Предположим также, что функция a(x,t) принадлежит С1 (D) и при (х, t) G D выполняются неравенства

a(x,t) >0, at(x,t) ^ 0, Q2a(x, 0) < Q2a(x, 0)T <

-^[1 + 4Qi a(x,t)(2T — t) + Qx | at( x,t) | ] > Q\[a(x,t) + | a^ x,t) | (2T -

Тогда задача (24), (2'), (3'), (4') имеет решение v(x,t) из пространства V.

Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 1, только вместо вспомогательного множителя (2T — t)(vt — vxxt) используется выражение (2Т — t)(vt — vxxt) + ~^vtt-

Достаточные условия существования решения обратной задачи '''''

Теорема 5. Пусть выполняются все условия теоремы 4 и условие hh ются неравенства

т

2Фо — < 1«

о

la(T)К J W(t)1 dt l < pHu

/2Т

тах J \а{Ь)а{х,Ь)\Л < 7В1. о

Тогда существует решение {у(х,Ь), д(х)} обратной задачи (20'), (2')-(5') такое, что у(х,Ь) е V, д(х) е Ьж(0,1).

Доказательство теоремы 5 аналогично доказательству теоремы 2.

Обсудим вопрос о единственности решения задачи (20'), (2')-(5').

Пусть {ю(х,Ь)^(х)} — решение обратной задачи, где функция Ах, принадлежит V, коэффициент д(х) принадлежит Ьто(0,1) и определен равенством (21):

Ч{х) =

q{x)

причем при х е [О,1]

О < Н\ < д(х) < Н*2, О <В1^$(Х)^В*2.

По теореме 5 такое решение существует. Тогда при х е [0,1] справедливо неравенство

И

И

О <q*i==t< q{x) < q*2 = =#•

B

ВЛ

Обозначим

qi

T max a(x, 0)' [0Д]

Tt = ±

qi

(qi)2 au

D

* (2T - t) dxdt

+ 2 J J a2U?( 2T - t)2 dxdt,

D

S(t) = H9\a(t)\ max a(x,t) + B9\a(t)\, К = S"(t)dt. же[од] J J

о

Достаточные условия единственности решения приведены в следующей теореме.

Теорема 6. Пусть в уравнении (20') функция Ax, t) принадлежит С1 (В) и a(x,t) > 0, at(x,t) < 0 при (x,t) G В; функция a(t) принадлежит С1 ([0, T}), причем a(T) = 0; функция f(x, t) принадлежит Ьж(В). Предположим также, что справедливо неравенство

К* R*

B

< 1.

Тогда существует единственное решение {Ax, t), q(x)} обратной задачи (20'), (2')-(5') такое, что v(x,t) е V, q(x) е Ьж(0, 1), 0 < q\ < q(x) < ql.

—*

a =

a

Доказательство теоремы 6 аналогично доказательству теоремы 3.

ЛИТЕРАТУРА

1. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972.

2. Романов В. Г. Устойчивость в обратных задачах. М.: Научный мир, 2005.

3. Аниконов Ю. Е. Формулы в обратных задачах для уравнений 2-го порядка // Докл. АН СССР. 199L Т. 320, № 4. С. 848-850.

4. Savateev Е. G. An inverse problem for the Burger's equation and its hyperbolic regularization // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1993. V. 1, N. 3. P. 231-244.

5. Savateev E. G. Well-posedness and reduction of an inverse problem for a hyperbolic equation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1994. V. 2, N. 2. P. 165-180.

6. Denisov A. M. Determination of a nonlinear coefficient in a hyperbolic equation for the Goursat problem // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1998. V. 6, N. 4. P. 327-334.

7. Scbeglov A. Yu. The inverse problem of determination of a nonlinear course in a hyperbolic equation //J. Inverse Ill-Posed Probl. 1998. V. 6, N 6. P. 625-644.

8. Валитов If. P., Кожанов А. If. Обратные задачи для гиперболических уравнений: случай неизвестных коэффициентов, зависящих от времени // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2006. Т. 6, вып. 1, С. 3-18.

9. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. школа, 1995.

10. Дженалнев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Ин-т теорет. и прикл. математики, 1995.

11. Kozbanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

12. Ладыженская О. А., Уральцева H. H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

г. Южно-Сахалинск

18 августа 2006 г.