Обратная задача для гиперболического уравнения второго порядка с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С НЕИЗВЕСТНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ, ЗАВИСЯЩИМ ОТ ВРЕМЕНИ

P.P. Сафиуллова

Работа посвящена исследованию разрешимости обратной задачи с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени для гиперболических уравнений второго порядка, единственности ее решения. Суть задачи состоит в том, что требуется вместе с решением определить неизвестный коэффициент. Задача рассматривается в прямоугольной области, задаются условия обычной начально-краевой задачи и некоторое условие переопределения, необходимое для нахождения неизвестного коэффициента. При решении исходной задачи осуществляется переход от обратной задачи к некоторой прямой вспомогательной задаче с нулевыми граничными условиями. Доказывается разрешимость вспомогательной задачи в описанном выше классе функций. Затем вновь производится переход к исходной задаче, в результате делается вывод о разрешимости обратной задачи. При доказательстве используются метод продолжения по параметру, метод неподвижной точки, методы срезки и регуляризации. В работе доказываются теоремы существования, единственности решения в рассматриваемых классах.

Ключевые слова: обратная задача; гиперболическое уравнение; нагруженные уравнения; метод продолжения по параметру; метод неподвижной точки; метод регуляризации.

1. Постановка задачи

Пусть D есть интервал (0,1) Q есть прямоугольник D х (0,T) конечной высоты T, x есть точка области D, t есть точка интервала (0,T). Далее, пусть f (x,t) po(t), ^o(t), uo(x), u\(x) l^(t) есть заданные функции, определенные при x G D, t G [0,T].

Обратная задача: найти функции u(x,t) q(t), связанные в Q уравнением

utt - uxx + q(t)ut = f (x,t), (1)

u(x, t)

u(x, 0) = u0(x),ut(x, 0) = u\(x), x G D, (2)

ux(0,t) = <po(t),ux(1,t) = фo(t), t G (0,T), (3)

u(0,t) = fx(t), t G (0,T). (4)

Задачами в близкой постановке занимались Валитов И.Р. [1, 2] и Павлов С.С. [3].

В работе [3] рассматривались многомерные обратные задачи с неизвестным коэффици-

q(t)

условие переопределения

¡к (Фшт = М.

п

[1, 2]

пулевыми функциями ^o(t) и фо^)-

2. Разрешимость обратной задачи

При доказательстве теоремы будем пользоваться неравенством

1

10 I -ихдх 1 ' 1 1 '

v2(x) < 2d° У vXdx + ^1 + У v2dx

о 0 о

справедливым для любого x Е D, здесь do - произвольное положительное число. Положим

A(t) = f (0,t)^ » (t), B(t) = 1 , B0 = max\B(t)\,

W »'(t) ’ У ; ^(t)’ [o,r] Wl’

a m = ^0(t) e (t) = ^0(t)

“l(i) = Ж ■ A (t) = Ж ■

x2

a(x,t) = -yiPi(t) - Ti(t)] + xa\(t), b(x, t) = —a(x, t)axx(0, t) — att(x, t) + axx(x, t),

wo(x) = u0(x) ^у[А(0) — ai(0)] + xai(0) j u0(0), wi(x) = ui'(x) — u'/(0) j x^i^i(0) — Ti(0)] + xai(0) j —

—u0(0) j i t(0) — ai t(0)] + xai t(0)| ,

g(x,t) = fxx(x,t) — a(x,t)fxx(0,t),

mi = max[bx(x, t) — axt(x, t)A(t)]2, m = max[bt(x, t) — at(x, t)A(t)]2,

Q Q

2 1 2 1 n0 = 16 max a2x + - m i +2 max axt, n i = —| n0,

Q 2 Q 2

1 1 1 1

n2 = —|— n0 + - max A(t), n3 = ni + - max A(t),

2 4 2 [0,T] 2 [0,T]

1 2 2 n4 ^ — + 2maxax, n5 = 1 + 2m i, n6 = 1 + 4maxaxt,

32 Q Q

n i = 1 + 8 max a2(x,t) + 1 m + max a°(x,t),

Q 2 Q

s i = max\at(x,t)\B0, s2 = max\axt\B0,

Q Q

h = ^2do + 1 + d|) [s 1 + 2s2] + 1 (^d° + ^ + B0.

k2=8s^4d0+(i+d) у

ri=2—{щ+32) - r°=2+(ns+2) (/+d2) ’ гз=(ns+2) + 2d°(ne+^

г4 = П1 + (Иб + 1^1 + Ц) ’ г =32 (11 — 282)) ’

ко = шах |Г2, Гз, Т4,(п2 + 0 , ^и + 0 | ,

1 1 Е1 = 1 У [ад2(х) + ^02(ж) + ^2(ж)]^ж + 3 У [ад!2(х) + -ш0/2(х)]йж+

1 г 1 г 1

+2 У [■ш/1/2(ж) + ад0//2(ж)]^х + 1 У У д2(1хс1т + ~^J ^ШЛхйт,

о оо оо

Сг = 4кг—1, * = 1,2, 3, со = 4Д1,

С1 , 3С2 , Т Г . _ 1

А1 = Сз + — + —, Ао = Со + - [С2 + 2], Т* =

2 4 ’ "41*11 АоА1'

Теорема 1. Пусть для функций f (х,г), фо(Ь), фо(г), ц(г), ио(х) и и1(х) выполняются включения f (x,í) € Ш|(Я), фо(г) € Ш24([0, Т]), фо(г) € Ш|([0,Т]), ио(х) € Ш25(О), и1(х) € ШЮ), ц(г) € Ш|([0,Т]). Кроме того, пусть выполняются условия

ц(0) = ио(0), Фо(0) = и1(0), ио(1) = Фо(0), ц'(г) = 0, 0 <г<Т,

Фо(г) + А(г)Фо(г) - /И0, г) = ° <(г) + А(г)Фо(г) — /Ц1, г) = 0,

г1 > 0, г > 0, Т <Т *, А(г) > ао > 0, 0 < г < Т,

Ао < —ао -. (6)

1 - А1ТАо во

\/^о + л 1 + Л

Тогда, обратная задача (1) - (4) имеет решения {и(х, г), д(£)} такие, что и(х, г) € V, д(£) €

ь^([0,Т ]).

Доказательство. Рассмотрим следующую краевую задачу: найти функцию ы(х,г), являющуюся в прямоугольнике Я решением уравнения

“Ыц Ыхх

+ [А(г) + в(г)ы(0, г)]ыг = д(х, г) - а(х, г)ыхх(0, г)+ (7)

+б(х, í)w(o, г) — 2аг(х, г)ыг(0, г) — аг(х, г)[А(г) + в (г)ы(0, г)]ы(0, г), и удовлетворяющую условиям:

Ых(0,г) = Ых(1,г) = 0, (8)

ы(х, 0) = ыо(х), ыг(х, 0) = Ы1(х). (9)

Определим необходимое ниже пространство V:

V = Мх,г) : у(х,г) € Ш2(0),Ухх(х,г) € Ш1(0),Ухххг(х,г) € Ь2(Я)}.

Норму в этом пространстве определим естественным образом

\\vWv = \М^(Я) + II Vхх \\ш1(д) + \\^ххх*\\ь2(д)-

Положим

ф = —а(х, г)ыхх(0, г) — аг(х, г)[А(г) + в(г)ы(0, г)]ы(0, г)—

—[А(г) + в(г)ш(0, г)]шг(х, г) + ь(х, г)ш(0, г) — 2аг(х, г)шг(0, г).

Пусть е есть произвольное положительное число. Рассмотрим задачу: найти функцию ш(х, г), являющуюся в прямоугольнике Я решением уравнения

— Ыхх — еЫххг = д(х, г) + Ф (10е)

и удовлетворяющую условиям (8) и (9).

Определим срезывающую функцию О(С) следующим образом:

( С, \С\ < Мо,

О(С) = \ Мо, С> Мо,

[ —Мо, С < —Мо,

где Мо = В0 ■

Пусть Ш(х, г) есть заданная функция из пространства V.

Положим

ф1 (х,г,ш, ш (0,г)) = —а(х,г)шхх(0,г) — аг(х,г)[А(г) + в (г)О(ш (0,г))]ш(0, г)—

—[А(г) + в(г)0(ш (0, г))]шг(х, г) + ь(х, г)ш(0, г) — 2аг(х, г)шг(0, г).

Рассмотрим задачу: найти функцию ш(х,г), являющуюся в прямоугольнике Я решением уравнения

— Шхх — еШххг = д(х, г) + Ф1 (10^)

и удовлетворяющую условиям (8) и (9).

е

Л есть число из отрезка [0,1]. Рассмотрим задачу: найти функцию ш(х,г), являющуюся в прямоугольнике Я решением уравнения

Шг — Шхх — еШххг = д(х, г) + ЛФ1 (10'е>\)

и удовлетворяющую условиям (8) и (9).

Обозначим через Л множество тех ч исел Л из отрез ка [0,1], для которых краевая задача (10еЛ), (8), (9) разрешима в пространстве V при произвольной функции д(х,г) из пространства Ь 2 (Я).

Л

совпадает со всем отрезком [0,1]. А это и будет означать, что краевая задача (10еЛ), (8), (9) имеет решение из пространства V.

Множество Л не пусто, поскольку число Л = 0 принадлежит ему [4]. Доказательство от-Л

(10£д), (8), (9) из пространства V.

Пусть есть прямоугол ьник {(х,т) : х € О, 0 < т <г, г < Т}.

Дифференцируя уравнение (10еЛ) по переменной х, получаем:

Шхгг Шххх ешхххг = 9x(x, г) + Лфlx(x, г).

Умножая это уравнение на функцию Шхг — (х — \)шхх — ешхххг, уравнение (10еЛ) на функцию Ш(х, г), интегрируя по = {(х,т) : х € (0,1), 0 < т < г}, пользуясь леммой Гронуолла, приходим к априорной оценке

1

У [Ш (х, г) + шх(х, г) + ш 2 (х, г) + шхг(х, г) + шхх(х, г)]с1х+

о

г 1

+е J ! ш2тdxdт + шх.хг(х,г)йх + 1[ш‘х,х(1,т)+ ш2х(0,т)^т+

о о о о

1 г 1 г 1

+е У шх,хх(х,г)(1х + ^У У dxdт + е2 У У ш“Хххтdxdт < М, (11)

о о о о о

где N - постоянная, определяемая лишь входными данными задачи и числом е.

Л

Л

с отрезком [0,1]. Следовательно, краевая задача (10£), (8), (9) разрешима в пространстве V.

Далее, оценка (11) позволяет применить метод неподвижной точки - именно, воспользоваться теоремой Шаудера. Краевая задача (10£), (8), (9) порождает оператор М, переводящий пространство V в тебя: М(Ш) = ш.

Из оценки (11) с помощью стандартных рассуждений (см., например [5, 6]) заключаем, что оператор М будет переводить некоторое ограниченное множество пространства V в себя и будет вполне непрерывным на нем.

М

V: М(ш) = ш. Эта неподвижная точка ш(х,г) представляет собой решение уравнения

Шгг — Шхх — еШххг = д(х, г) + Ф1(х, г, ш, ш(0, г)), (12)

удовлетворяющее условиям (8) и (9).

Перейдем теперь к осуществлению процедуры предельного перехода при е ^ 0 и в

(10о)

х х, т

Вновь умножим его на функцию Шхт — (х — 2 )шхх — ешхххт и проинтегрируем по области Яг. После интегрирования по частям, применения неравенства Юнга, с учетом введенных обозначений и с использованием неравенства А(г) + в(г)0(() > 0, приходим к соотношению:

1 г

1У[ш2г(х,г) + Ш1х(х,Шх + 1У[шхх(1,т)+ ш2хх(0,т )]dт+

оо

1 1 г 1 г 1

+2 У шххЛ(х,г)с1х + Ц wXxx(x,t)dx + ^У У ш‘х,хтdxdт + е2 У J ш‘Хххтdxdт <

о о о о о о

г 1 г 1

< ^п3 + ^ У У шхтdxdт + ^п2 + 7^J У w‘Xxdxdт + (13)

о о о о

г 1 г г

+§ е2 У У шхххтdxdт + п*1 шхх(0,т)dт + п^ ш2(0, т)с!т+

о о о о

г г 1

+пб У ш2(0,т)dт + ! У в(т)0(ш(0,т))шх^ (х — 2)шхх| dxdт—

о о о

г 1

ахт(х, т)в(т)0(ш(0,т))ш(0,т) |Шхт — (х — 1)Шхх — еШхххт | dxdт + Кь

оо

1

г

где К1 постоянная, определяемая лишь входными данными задачи.

Умножим равенство (12) на функцию Шг(х, г) и проинтегрируем по цилиндру Яг. Интегрируя по частям, применяя неравенство Юнга, приходим к соотношению:

1 г 1 г 1

1 J[wх(x,t) + ш‘х(х,г) + ш2(х,г)^х + У dxdт < щ J J «хdxdт+

о о о о о

г 1 г г г

+2 / / w2dxdт + 32 J «хх (0,т )dт + 2У «2(0, т )с!т + У «х(0,т )dт—

о о о о

г 1

У У ат(х,т)в(т)0(ш(0,т))ш(0, т)штdxdт + К2, (14)

00

где К2 постоянная, определяемая лишь входными данными задачи.

Сложим неравенства (13) и (14). Получим:

1 1 ЦЫ(х,г)+ ш‘х (х,г) + w2(x,t)]dx + 1 У[ш2г(х, г) + wXx(x,t)]dx+ оо

г г 1

1 2 2 2

+^[шххх(1.г) + «¿.«и )]* + *//< <Ыг+

о о о

1 г 1 г 1

+|У [«ххг(х,г) + wXXX(x,t)]dx + е{ У «ххтdxdт + е2 У J «хххтdxdт

ххг(х, г) + «х:хх(х, t)]dx + е / / «ххтdxdт + е2 / / «х.ххтdxdт <

о о о о о

г 1 г 1 г

< Ъ[ [«тdxdт + 2 [ [ w2dxdт + ^п4 + 3^ Jшхх(0,т)dт+

г 1 г 1 г 1

+ (П3 + 2) / / ^dxdт + (П2 + 2) / / «2ххМт + -32Г У / «2ххтdxdт —

о о о о о о

г 1

У У ат(х,т)в(т)0(ш(0,т))ш(0,т)шт(х,т)dxdт + (15)

т

оо

г 1

+ / I в(т)0(ш(0,т))«хт(х — 2)wxxdxdт—

оо

г 1

ахт(х, т)в(т)0(ш(0, т))ш(0, т) ^«хт — (х — 2)«хх — еШххх^ dxdт+

оо

г г

1

+ (п5 + 2) Уш2(0, т)dт + (пб + 1) J«х(0, т)dт + ^1.

о

Рассмотрим по отдельности последние пять интегральных слагаемых неравенства (15). Обозначим

t 1

J1 = —J j aT(x, t)B(t)G(w(0, t))w(0, r)wT(x, r)dxdr.

0 0

Поскольку |G(£)| < |£|, to

t 1

|Ji| < max|at(x,t)|B0 / w2(0,t) lwTIdxdr.

Q J J

00

Воспользуемся неравенством, приведенным перед формулировкой теоремы. Имеем

1 1

w2(0, t) < 2d0 J wX(x, r)dx + ^1 + J w2(x, r)dx.

(16)

Отсюда

t г 1 1

|J1| < s1 J 2d2 J wX(x, r)dx + ^1 + J w2(x, r)dx

0 0 0 Применяя неравенство Гельдера, получим

(|wT |dx) dr.

t Г 1 1 1 I 1 \ 2

|J1| < s1 J 2d0 J wX (x, r)dx + ^1 + J w2(x, r)dx ■ ¡J wT- dx\ dr.

Обозначим

1

y(t) = J[w2(x, t) + w^x, t) + wX(x, t) + wX,x(x, t) + wXt(x, t)]dx

Тогда

|J1| < S1 ^2d0 + 1 + J y(r)y2 (r)dr = S1 ^2d0 + 1 + -щ) I У2 (r)dr.

(2dX + 1 +1)/ ‘

00 Аналогичным образом можно оценить слагаемые J2 и J3: t 1

J2 = —

00

ахт(x, t)B(t)G(w(0, t))w(0, t) ^wxt — (x — 2)wxx — ewxxx^j dxdr.

t

3 2 f 3

| J2| < 2s2(2d0 + 1 + j2 ) J У2 (r)dr+

+ 16S2

4d0 + (^ + d|^) / y2(r)dr + 32Z2 I I wxxxtdxdr-

^ I 3 ¡2'

0

t t 1

0

32

00

t

t

1^31 =

і і

J ! В(т)Є('ш(О, г))юхт(х - ^)wxxdxdт 0 0

< - Во

'/24 + і/1+2о~ /

0

у 2 dт.

Последние два слагаемых неравенства (15) оцениваются следующим образом г г 1 г 1

У ш2(0, т)dт < 2d0 J !шх(1х(1т + ^1 + ^ w2dxdт,

о о о о о о

і і

У wT■ (0, т)dт < 2Гт У У wXтdxdт + ^1 + ^ wT■ dxdт.

о оо 0 о о

С учетом проделанных выкладок от (15) нетрудно перейти к неравенству

і і ЦЫ(х,Ь)+ wX(х,і) + wт(x,і)]dx + 1 J[wXt(x, і) + w‘Xx(x,t)]dx+

о о і і

і і

+4 У wXX(1, т)dт + wXX(0, т)dт + ^У У wXтdxdт+

о о о о

і і і і і

+2 УwXXX(x,і)]dx + є] У wXXтdxdт + є2^ ^ wXXXтdxdт

<

оо

і і і і і і ^ ^ ^ ^ _ І І їм2 /

< т< J wTdxdт + тxJ J *'<Ь*т + т^ J wXтdxdт+

о о о о о о

і і

+(пт+2) Я

оо

wXXdxdт + 2Гт ( п5 + -

і і

(п5+2) і І '

оо

wX dxdт+

+кі У У2 (т)Гт + кт J ут(т)Тт + Еі

(17)

оо

В силу условий теоремы следствием этого неравенства может служить следующее соот-

ношение

(18)

у(г) < С1 у y(т)dт + С2 у у 2 (т)dт + сз у у (т)dт + со. о о о

Оценивая первое и второе слагаемые соотношения (18) с помощью неравенства Юнга, получаем

у(і) < УТ(т)Гт + Ао.

(19)

Воспользуемся обобщенной леммой Гронуолла, или леммой Бихари [8], согласно которой функция у(і) из соотношения (19) будет ограничена сверху некоторой функцией ¿(і), являющейся решением дифференциального уравнения ¿;(і) = Аі^т и удовлетворяющей начальному условию ¿(0) = Ао.

і

і

і

і

і

і

і

і

Решением данного дифференциального уравнения является функция г(г) — Ао • (1 — А^Ао)-1.

При Т < Т* имеем г (г) < Ао • (1 — А1ТАо)_1 = А, и далее у(г) < г(Т). Вспоминая (17), получим окончательную оценку

г г 1

У(г) + У «хх(1,т)^^т + 4г1 У шхх(0,т)dт + 4^ У J шхтdxdт+

оо

г 1 г 1

+2е У [«ххг(х,г) + wXXX(x,t)]dx + 4е У У «ххтdxdт + 4ге2 J ^ «хххтdxdт <

3

о о о о

< С1Тг(Т) + схТг2 (Т) + сзТг (Т) + со — К. (20)

Из оценки (20), свойства рефлексивности гильбертова пространства [7], теорем вложения и теоремы о возможности выбора из последовательности, сходящейся сильно, подпоследовательности, сходящейся почти всюду [9], следует, что при выполнении условий теоремы существуют числовая последовательность {ет}, функциональная последовательность {шт(х, г)} решений задачи (10£т), (8), (9) и функция ш(х, г) такие, что при т ^ ж имеют место сходимости ет ^ 0 Шт(х, г) ^ ш(х, г) слабо в пространстве (^), «т(0, г) ^ ш(0, г) почти всюду на отрезке [0, Т], етштххг(х, г) ^ 0 слабо в пространстве Ь2^). Очевидно, что для функции ш(х, г) будут выполняться уравнение (10о) и условия (8) и (9).

Имеет место неравенство

|«(0,г)| < |V2dо + у^1 + ^ | Х(Т).

Из этого неравенства и из условия (6) теоремы следует, что для функции ш(х,г) выполняется уравнение (10о) -

С учетом вида г(Т), условия (6) теоремы, получим, что С(ш(0,г)) — ш(0, г), в силу чего придем к решению задачи (7) - (9).

Определим функцию у(х, г): у(х, г) — ш(х, г) + а(х, г)ш(0, г). Очевидно, что для функции у(х,г) выполняется уравнение

Угг — Ухх + [А(г) + в(г)у(0, г)]Уг — ¡хх,

а также условия

Ух(0,г) — а1(г)ь(0,г), Ух(1,г) — д. (г)у(0,г),

у(х, 0) — и'о(х), уг(х, 0) — «1 (х).

Определим функцию и(х, г) как решение задачи Коши

«хх(х,г) — у(х,г), и(0, г) — ц(г), «х(0,г) — фо(г).

Обозначим «1(х, г) — игг(х, г) — ихх(х, г) + [А(г) + в(г)ихх(0, г)]иг(х, г) — ¡ (х, г).

Для этой функции имеют место равенства

«1хх(х,г) — 0, «1(0,г)— «1х(0,г) —0.

Следовательно, «1(х,г) есть тождественно нулевая функция.

г

1

Положим д(г) = А(г) + В(г)ихх(0,г). Очевидно, что функции и(х,г) и д(г) связаны в прямоугольнике ^ уравнением (1). Выполнение условий (2) для функции и(х,г) очевидно. Покажем, что выполняется условие их(1,г) = (г).

Положим Ф(г) = пх(1,г) — ф0(г). Имеет место равенство

ф"(г) + д(г)Ф (г) = о.

Из этого равенства и из условий Ф(0) = Ф (0) = 0 (следующих из условий согласования) вытекает, что функция Ф(г) есть тождественно нулевая функция. А это и означает, что выполняется условие их(1,г) = *фо(г).

Принадлежность функций и(х, г) и д(г) требуемым классам очевидна. Таким образом, найденные функции и(х, г) и д(г) дают требуемое решение искомой обратной задачи. Теорема доказана. СИ

Определим класс

Ш = {{и(х,г),д(г)}: и(х,г) е у,их(х,г) е у,и,хх(х,г) е У,д(г) е ь^([0,т]),д(г) > 0}.

Теорема 2. Пусть для функций f (х,г), ф0(Ь), ф0(г), ц(Ь), и0(х) и и1(х) выполняются все условия теоремы 1. Тогда, в множестве Ш1 обратная задача (1) - (4) не может, иметь более одного решения.

Доказательство. Предположим, что обратная задача (1) - (4) имеет в множестве два решения {и\(х,г),д\(г)} и {и2(х,г), д2(г)}.

Положим и(х, г) = и1(х,г)—и2(х,г), д(г) = д1 (г)—д2(г). Для функции и(х, г) выполняются равенства

иц — ихх + д1(г)и + —— ихх(0, г)п2г = 0, (21)

ц (г)

и(х, 0) = щ(х, 0) = 0, их(0, г) = их(1,г) = 0.

х

х = 0 х = 1

иххх(0,г) = а1(г)ихх(0,г), иххх(1,г) = в1(г)ихх(0,г).

х

Положим

у(х,г) = ихх(х,г), ф(г) = а1(г)ихх(0,г), Ф(г) = в1(г)ихх(0,г).

Придем к функции ь(х,г), для которой будут выполняться следующие равенства

уы — Ухх + д1(г)ш = —у(0,г)у2г, ьх(0,г) = ф(г), Ух(1,г) = Ф(г), у(х, 0) = Уг(х,0) = 0. ц (г)

Положим у0(х,г) = [Ф(г) — ф(г)] + хф(г).

ад(х, г) = у(х, г) — у0(х, г),

ь(х, г) = —а(х, г)ахх(0, г) + у2*(0, г) — аа(х, г)+

ц (г)

+ахх(х,г) — д1(г)аг(х,г)------------^ у2г(х,г).

ц (г)

Имеют место равенства

мы — 'Шхх + д^'Шг = —а(х, t)wxx(0, г) — 2аг(х, г)мг(0, г) + Ь(х, г)м(0, г), (22)

мх(1,г) = мх(0,г) = 0, (23)

м(х, 0) = мг(х, 0) = 0. (24)

Дифференцируя равенство (22) по переменной х, умножая на функцию мхг — (х — 2)мхх,

интегрируя по Qt, используя условия (23), (24), применяя неравенство Юнга, получим

1 г

4 У (х’г) + м2хх(х, г)^х + 4 /[м2х(1, т) + м2х(0, т)}1т <

00

t 1 t 1 ^ t

< p1 J j wXTdxdr + p2 j J w‘lxdxdr + J wXX(0,r)dr+

0 0 0 0 0 t t 3 f 2/п I 3 I 2

+3У wT (0, т )dr + 4У w2(0,t )dr, (25)

00

где ¿1 > 0,

p1 = T + § maxq1(t) + t^j maxaX(x, t) + maxaXt(x, t) + 1 maxbX(x, t),

p2 = 1 + 1 maxq1(t) + ^ maxaX(x, t) + 1 maxaXt(x, t) + 1 maxbX(x, t) - некоторые ограничен-

ныб величины.

Умножим равенство (22) на Wt, проинтегрируем по Qt.

Используя условия (24), получим

1 t 1 t 1

¡J[wx(x,t) + wX(x,t)+ w2(x,t)]dx < p§ У У wTdxdr + 2J J w2dxdr+

0 0 0 0 0

2 t t t

+J wXX(0,r )dr + iy w2 (0,r )dr + J wT- (0,r )dr, (26)

0 0 0

где p§ = 1 + max q1 (t) + тэт max a2 (x, t)+max a2 (x, t) +1 max b2 (x, t) - некоторая ограниченная

2 [0,T] 2°i q q 2 Q

величина.

Сложим соотношения (25) и (26). Применяя неравенство (16), взяв ¿1 = имеем

1 1

2 У WX(x, t) + wT(x, t) + w2(x, t)]dx + 4 У [wXt(x, t) + wXX(x, t)]dx+ 00

t t t 1

+ 4 У [wXX(0, r)]dr + 4 / WXx(4, T)]dr < S f У [wX + wT + wT + wTt + wXX]dxdT,

0 0 0 0

где P4 = 4 + xi^ P5 = Xd0, P6 = Рз + X + dp! P7 = P1 + 5dx s = max{p2,P4,P5,P6,P7} -некоторые ограниченные величины.

Из этого неравенства и леммы Гронуолла следует оценка

1

У[м‘2(х, г) + м‘х(х, г) + м2(х, г) + м‘х:х(х, г) + м^х, г)]йх < 0.

0

Отсюда м(х,г) = 0 в Следовательно, с учетом вида функции м(х,г), м(х,г) = у(х,г) —

у0(х,г) = 0, т.е. у(х,г) = у0(х,г).

При х = 0 имеем у0(0, г) = 0 а значит и у(0, г) = 0.

Таким образом, получаем, что функция у(х, г) является решением уравнения

угг — ухх + д1(г)уг = 0,

и для нее выполняются условия

ух(0,г) = ух(1,г) = 0, у(х, 0) = 0, уг(х, 0) = 0.

Решением этой задачи является тождественно нулевая функция: у(х, г) = 0. Это равносильно тому, что ихх(х,г) = 0. Граничные условия (21) дают тождество и(х,г) = 0. Таким образом и1(х,г) = и2(х,г). При этом д1 (г) = д2{Ь). Теорема доказана. □

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Точное значение чисел г1; г и т.д. во многом определяется тем, как автор подбирает коэффициенты в неравенстве Юнга. При ином, нежели у автора, выборе эти числа изменятся.

Замечание 2. Условия ф0(г) + А(г)ф0(г) — /х(0, г) = 0 Ф'0(г) + А(г)ф'0(г) — fx(1,t) = 0 не являются принципиальными; если эти функции не тождественно нулевые, то лишь незначительно изменятся выкладки.

Замечание 3. Переход от неравенства (18) к неравенству (19) выполнен лишь для удобства (именно, для точного определения числа Т*). На самом деле вполне возможно сразу к неравенству (18) применить обобщенную лемму Гронуолла.

Замечание 4. Выбор параметра М0 при построении функции С(е) определяется желани-

д(г)

д(г)

М0

учитывать большее число слагаемых в правой части, и число Т*, вообще говоря, увеличится.

Литература

1. Валитов, И.Р. Обратные задачи для гиперболических уравнений: случай неизвестных коэффициентов, зависящих от времени / И.Р. Валитов, А.И. Кожанов // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. - 2006. - Т. 6, № 1. - С. 3-18.

2. Валитов, И.Р. О разрешимости двух обратных задач для гиперболических уравнений / И.Р. Валитов // Тр. Стерлитамак. филиала Акад. наук республики Башкортостан. Сер. Физико-математические и технические науки. - 2006. - № 3. - С. 64-73.

3. Павлов, С.С. Нелинейные обратные задачи для многомерных гиперболических уравнений с интегральным переопределением / С.С. Павлов // Мат. заметки ЯГУ. - 2011. -Т. 19, № 2. - С. 128-154.

4. Якубов, С.Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения / С.Я. Якубов. - Баку: Элм, 1985.

5. Кожанов, А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи / А.И. Кожанов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Т. 44, № 4.

- С. 694-716.

6. Кожанов, А.И. О разрешимости некоторых нелинейных обратных задач для уравнений составного типа / А.И. Кожанов // Тр. III междун. конф. «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы биологии, информатики, физики». - Нальчик, 2006. - № 5. -С. 42-51.

7. Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногин. - М.: Наука, 1980. - 488 с.

8. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. -М.: Наука, 1967. - 472 с.

9. Ладыженская, O.A. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа /

O.A. Ладыженская, H.H. Уральцева. - М.: Наука, 1973. - 578 с.

Регина Рафаиловна Сафиуллова, кандидат физико-математических наук, кафедра «Алгебра, геометрия и методика обучения математике:», Башкирский государственный университет (г. Стерлитамак, Российская Федерация), [email protected].

Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & Computer Software:»,

2013, vol. 6, no. 4, pp. 73-86.

MSC 35R30

Inverse Problems for the Second Order Hyperbolic Equation with Unknown Time Depended Coefficient

!?.!?. Safiullova, Bashkortostan State University, Sterlitamak, Russian Federation, [email protected]

We analyze the solvability of the inverse problem with an unknown time depended coefficient for a second-order hyperbolic equation. We also study uniqueness of the problem solution. The problem is stated as follows: it is required to find a solution and an unknown coefficient of the equation. Here the problem is considered in a rectangle area, with a set conditions being typical of the first boundary-value problem and an overdetermination condition being necessary of the unknown coefficient searching. To study solvability of the inverse problem, we realize a conversion from the initial problem to a some direct supplementary problem with trivial boundary conditions. We prove the solvability of the supplementary problem in the class of the functions considered above. Then we realize a conversion to the first problem again and as a result we receive the solvability of the inverse problem. To prove solvability of the problem, we use the method of continuation on a parameter, fixed point theorem, cut-off functions, and the method of regularization. In the article we prove the theorems of the existence and the uniqueness of the problem solution in the class of the functions considered above.

Keywords: inverse problem; hyperbolic equation; weighted equation; continuation method on parameter; method of a motionless point; regularization method.

References

1. Valitov I.R., Kozhanov A.I. Inverse Problems for Hyperbolic Equations: Unknown Time Depended Coefficients Case [Obratnye zadachi dlya giperbolicheskikh uravneniy: sluchay neizvestykh koeffitsientov, zavisyashchikh ot vremenij. Vestnik NGU, Ser. Matematika, mekhanika, informatika, 2006, vol. 6, no. 1, pp. 3-18.

2. Valitov I.R. On Solvability Two Inverse Problems for Hyperbolic Equations [O razreshimosti dvukh obratnykh zadach dlya giperbolicheskikh uravneniy]. Trudy Sterlitamakskogo filiala Akademii nauk respubliki Bashkortostan, Ser. Fiziko-matematicheskie i tekhnicheskie nauki, 2006, no. 3, pp. 64-73.

3. Pavlov S.S. Nolinear Inverse Problems for Many-Dimensional Hyperbolic Equations with Integral Overdetermination [Nelineynye obratnye zadachi dlya mnogomernykh giperbolicheskikh uravneniy s integraPnym pereopredeleniemj. Matematicheskie zametki YaGU, 2011, vol. 19, no. 2, pp. 128-154.

4. Yakubov S.Ya. Lineynye differentsial’no-operatornye uravneniya i ikh prilozheniya [Linear Differential-Operated Equations and It’s Applications]. Baku, ELM, 1985. 220 p.

5. Kozhanov A.I. Nonlinear Weighted Equations and Inverse Problems [Nelineynye nagruzhennye uravneniya i obratnye zadachi]. Zhurnal vychislitel’noy matematiki i matematicheskoy fiziki, 2004, vol. 44, no. 4, pp. 694-716.

6. Kozhanov A.I. On Solvability Some Nonlinear Inverse Problems for Composite Type Equations [O razreshimosti nekotorykh nelineynykh obratnykh zadach dlya uravneniy sostavnogo tipa]. Trudy mezhdunarodnoy konferentsii <Nelokal’nye kraevye zadachi i rodstvennye problemy biologii, informatiki, fiziki>. Nalchik, 2006, no. 5, pp. 42-51.

7. Trenogin V.A. Funktsianal’nyy analiz [Functional Analysis]. Moscow, Nauka, 1980, 488 p.

8. Demidovich B.P. Lektsii po matematicheskoy teorii ustoychivosti [Lectures on the Mathematical Theory of Stability]. Moscow, Nauka, 1967, 472 p.

9. Ladyzhenskaya, O.A., Ural’tseva N.N. Lineynye i kvazilineynye uravneniya ellipticheskogo tipa [Linear and Quasilinear Elliptic Equations]. Moscow, Nauka, 1973, 578 p.

Поступила в редакцию 24 июля 2013 г.