CC BY
79
Общетехнические задачи и пути их решения
163
УДК 539.3
П. В. Кауров, А. А. Тимофеев
НОВЫЙ СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ СТЕРЖНЯ МАЛОЙ ЖЕСТКОСТИ ПРИ ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ
Предложен способ определения перемещений стержня малой жесткости при продольно-поперечном изгибе от равномерно распределенной поперечной нагрузки и продольной силы. Представлено решение полного дифференциального уравнения прогибов стержня. Сделано сравнение результатов расчета при нелинейном и линейном решении.
стержень, малая жесткость, перемещения, распределенная нагрузка, продольнопоперечный изгиб.
Введение
Стержнем малой жесткости принято называть стержень, максимальные перемещения которого являются весьма значительными по сравнению с его длиной [1], [2].
При изгибе стержня малой жесткости для определения перемещений в качестве исходного используется полное дифференциальное уравнение его прогибов [3]:
Лх)
1+ I'<X)3J
М(х)
EJ
(1)
где z(x) - прогиб; М(х) - изгибающий момент; EJ - изгибная жесткость. Изгибной жесткостью EJ является произведение модуля Юнга Е материала стержня и осевого момента инерции J относительно главной центральной горизонтальной оси его поперечного сечения.
В разные годы для решения уравнения (1) авторами [1]-[7] применялись различные подходы, позволившие рассчитывать конкретные схемы нагружения стержней малой жесткости. Наиболее подробно данный вопрос освещен в работе Е. П. Попова, где получено решение уравнения (1) методами эллиптических и упругих параметров для задач основного класса и сводящихся к нему [4].
Примером задачи основного класса является продольно-поперечный изгиб стержня (рис. 1). Для данной расчетной схемы максимальный относительный прогиб zmax / L был определен следующим выражением [4]:
z„,„ 4oCos(y)-^'sin(y)
L BL ’
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2011/1
164
Общетехнические задачи и пути их решения
// с //
где По и so - упругие параметры;
Р
у = 180° - arctg(—);
В =
L2\Jo,25P2 +Т:
Рис. 1. Расчетная схема продольно-поперечного изгиба стержня, нагруженного сосредоточенной поперечной силой Р и продольной силой Т
Результаты решения, приведенные в виде зависимости безразмерного максимального относительного прогиба zmax / L от безразмерных параметров PL2 / EJ и TL2 / EJ, показаны на рисунке 2 [4].
Рис. 2. Зависимость максимального относительного прогиба zmax /L от силы Р, длины L, изгибной жесткости EJ и продольной силы Т (при Т >0 - растяжение, при Т <0 - сжатие)
2011/1
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
165
Для случая нагружения стержня малой жесткости равномерно распределенной нагрузкой и продольной силой (рис. 3) решение задачи определения перемещений в литературе не приведено.
Рис. 3. Расчетная схема продольно-поперечного изгиба стержня, нагруженного равномерно распределенной нагрузкой q по длине пролета L
и продольной силой Т
1 Вывод решения полного дифференциального уравнения прогибов стержня
Рассмотрим случай, обобщающий две ранее приведенные схемы продольно-поперечного изгиба стержня малой жесткости (рис. 4).
Рис. 4. Расчетная схема продольно-поперечного изгиба стержня, нагруженного равномерно распределенной нагрузкой q, сосредоточенной поперечной силой Р и продольной силой Т
Изгибающий момент М(х) в уравнении (1) для половины стержня, изображенного на рисунке 5,
х2 х2
Mix) = q—-ZAx + XAz(x) = q —
( P
— + qxc V 2
\
x + Tz(x).
(2)
где Za, Xa - опорные реакции; хс - абсцисса максимального прогиба, значительно уменьшающаяся от величины L / 2 по мере роста прогибов.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2011/1
166
Общетехнические задачи и пути их решения
Рис. 5. Расчетная схема половины стержня для определения его прогибов
Для интегрирования (1) с учетом (2) обозначим [2]:
f (х) =
1
EJ
qx2 P
2 2
x — qxcx
z\x) = y{x) = tg 0(x)
(3)
где 0(х) - угол наклона поперечного сечения стержня с координатой х, (рис. 6), тогда формула (1) с учетом (2) примет вид:
/(*)
[+У2(х)1
т
f(x) + — z(x) EJ
(4)
Рис. 6. Расчетная схема углов наклона поперечных сечений стержня
Проинтегрируем выражение (4):
2011/1
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
167
1-
dy(x)
У(х)
Ф+У2(х)
= sin[0(x)] =
где
[l + /W
= J/(x)dx + jz(x)dx + Cx = ф(х),
\f (x)dx = -1
(5)
EJ
3 2 2
x x x
q-----P------qxn
6 4 2
Выражение (3) с учетом (5) перепишем в виде
фО)
у(х) = z'(x) =
тогда
ф|'%
(p(x)dx
ф2(х)
л/ !-<P2W
+ С2.
(6)
Определим постоянные интегрирования Ci и С2 из граничных условий. Как показано на рисунке 5, прогиб в начале координат равен нулю, то есть
^(0) = 0,
тогда по выражению (6)
С2=0
(7)
При x — Хс угол наклона поперечного сечения стержня и значение функции синуса от него равны нулю (см. рис. 6), то есть
ср (хс) = sin[0(xc)] = 0,
тогда по выражению (5)
Q =
1
EJ
2 з
P^ + qx
4 3
T rxc
EJ Jo
£cz (x)dx
Выражения (6) и (5) с учетом (7) и (8) запишем в виде
ф (x)dx
**> = Jo
•\А-ф2м
ср(х)
3P(x^ — x2) + 2q(x3 — 3xcx2 + 2x3c)
12 EJ
(8)
(9)
(10)
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2011/1
168
Общетехнические задачи и пути их решения
т
гх Т Гхс
J о z{x)dx------J о z{x)dx.
EJ Jo EJ Jo
Для решения интеграла в выражении (9) используем замену следую-
щего вида:
1
V !-ф20)
I —II
= а0 + ауу{х) +... + ап ср" (х) = Z я,vox
/=0
(11)
где aj - коэффициенты аппроксимирующего полинома.
Для подынтегральных выражений в (10) используем значения прогиба, полученные решением приближенного дифференциального уравнения
z"(*) =
М(х) 1
EJ EJ которое, согласно [5], выглядит так:
z(x) - q
qx Рх qL
---------—х
2 2 2
Т
ч---z(x)
EJ
Абсцисса максимального прогиба Хс определяется исходя из того, что длина L в деформированном состоянии остается такой же, как и в недеформированном, то есть
L = 2 ^1 + z'(x) 2 дос =2 -sjl + у2(х)дх. (12)
Сделав преобразование
^\ + у2 (х)
1
л/1-ф26)
можно записать выражение (12) в виде
dx
L
-Тт^-Т&ф,“№
У 1-ф (х) /=0
(13)
2011/1
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
169
Таким образом, система уравнений, описывающая перемещения стержня малой жесткости, показанного на рисунке 4, имеет вид:
ф(х)
+
Ф) = f0 X^V+1M;
i=О
3Р(х2 -х2) + 2q(x3 - Зхсх2 + 2хъс) 12 EJ
Тс- ,, Т
+
EJ Jo
J*-I (x)dx - — I* z, (x)dx-
Ь = 2\Х;^(х)6х
i=О
zl(x) = q
P
Tk
kx sh(kx)sh(kL)
2
sh(kL)
T
EJ
Для решения данной системы уравнений была составлена программа расчета.
2 Полученные результаты расчета
Результаты решения по разработанной программе для случая q = 0 (см. рис. 1) совпадают с данными, представленными на рисунке 2. Результаты решения для случая Р = 0 (рис. 3) представлены на рисунке 7.
На рисунке 8 представлены результаты линейного и нелинейного решения дифференциального уравнения прогибов, которые совпадают друг с другом только до значений zmax / L, не превышающих 0,1.
По мере роста прогиба происходит смещение влево правой шарнирно подвижной опоры (рис. 3), что не учитывается в линейной теории изгиба и расчет по ней ведется как для балки большей длины, прогибы которой также больше, чем при расчете по нелинейной теории.
Рисунок 8 показывает, что для балок с максимальным относительным прогибом zmax / L > 0,1 безразмерный параметр нагрузки qL / EJ при линейном решении будет меньше, чем при нелинейном, так как прогиб балки большей длины произойдет раньше при меньшем нагружении.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2011/1
170
Общетехнические задачи и пути их решения
Рис. 7. Зависимость максимального относительного прогиба zmax /L от величины распределенной поперечной нагрузки q, длины L, продольной силы Т
и изгибной жесткости EJ
Рис. 8. Сравнение результатов нелинейного (а) и линейного (б) решения дифференциального уравнения прогибов
2011/1
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
171
Заключение
Получена зависимость максимального относительного прогиба от величины нагрузки, длины, продольной силы и изгибной жесткости. Проведено сравнение решения по линейной и нелинейной теории продольно -поперечного изгиба стержня.
Библиографический список
1. О прямом изгибе бруса малой жесткости / Е. Н. Тихомиров // Расчеты на прочность. - М. : Машгиз, 1962. - Вып. 8. - С. 3-35.
2. О расчете на изгиб стержней малой жесткости / Н. И. Долгов // Расчеты на прочность. - М. : Машгиз, 1963. - Вып. 9. - С. 56-81.
3. Механика материалов / С. П. Тимошенко, Дж. Гере. - М. : Мир, 1976. - 672 с.
4. Теория и расчет гибких упругих стержней / Е. П. Попов. - М. : Наука, 1986. -
296 с.
5. Строительная механика корабля. Ч. 2. / П. Ф. Папкович. - Л. : ГСИСП, 1941. -
960 с.
6. Large deflections of a cantilever beam with uniformly distributed load / F. V. Rohde // Quarterly oa Applied Mathematics. - 1953. - Vol. 11, № 3. - Pр. 337-338.
7. Large deflections of cantilever beams / K. E. Bisshopp, D. C. Drucker // Quarterly of Applied Mathematics. - 1945. - Vol. 3, № 3 - Pр. 272-275.
Статья поступила в редакцию 08.11.2010;
представлена к публикации членом редколлегии А. В. Индейкиным.
УДК 625.12.033.38
А. Ф. Колос, А. М. Абдукаримов
МЕТОДИКА РАСЧЕТА АМПЛИТУД КОЛЕБАНИЙ ГРУНТОВ ЗЕМЛЯНОГО ПОЛОТНА, ОТСЫПАННОГО ИЗ ЛЕССОВЫХ ГРУНТОВ
При движении подвижного состава возникают сложные пространственные колебания в теле земляного полотна и за его пределами, характеризующиеся амплитудой колебаний, частотой, виброскоростью и другими параметрами.
Вибродинамическое воздействие на грунты, как известно, оказывает негативное влияние на их прочностные и деформативные характеристики, что влечет за собой снижение несущей способности земляного полотна и повышение его деформативности.
насыпь, земляное полотно, амплитуда, колебания, лессовый грунт, затухания, загаса-ния, распространение, несущая способность.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2011/1
