CC BY
23
УДК 621.391
ОБОБЩЕННЫЙ ПРОСТРАНСТВЕННО-МАТРИЧНЫЙ ВИД
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ОГРАНИЧЕНИЙ СИСТЕМ СВЯЗИ
К.А. Батенков
На основе математического аппарата пространственных матриц получены общие соотношения, регламентирующие ограничения на энергию передаваемых сигналов по каналу связи. Показано, что энергия сигнала на выходе модулятора однозначно определяется структурой модулятора и матрицами начальных моментов сигнала на его входе от первого до порядка, соответствующего удвоенной степени нелинейности модулятора.
Ключевые слова: нелинейная модуляция, пространственно-временной сигнал, базисная функция, пространственная матрица, энергетическое ограничение.
В теории связи хорошо известна проблема, предполагающая введение энергетического ограничения на входы канала связи, или выходы модулятора. Так, для операции демодуляции характерно стремление приблизить вектора на его выходе к исходным передаваемым векторам, что выливается в локализацию выходных сигналов вблизи области определения передаваемых сигналов. Причем степень локализации, определяющая точность воспроизведения информации, напрямую связана с соотношением между неопределенностью, вносимой каналом связи, и неопределенностью, обусловленной стохастичной природой самой информации. Поскольку оператор модуляции позволяет формировать сигналы на его выходе в общем случае произвольным образом, то естественно, что оптимальное решение будет соответствовать произвольно большому разнесению между различными передаваемыми сигналами. Данное обстоятельство приводит к необходимости использования бесконечно большой мощности (энергии) для формирования сигналов на выходе модулятора, что приводит невозможности реализации подобных преобразований на практике. В результате следует рассматривать дополнительное ограничение на мощность (энергию) передаваемых сигналов по каналу связи.
Так, энергию сигнала на выходе модулятора возможно представить в виде разности:
Ех = Ш х 2 ю х (х; ґ, г - Ц м2 (ґ, г ю х (х; ґ, г )<3х&с1.г. (1)
ґ г х ґ г х
В соответствии с условием нормировки плотностей вероятности вычитаемое в (1) преобразуется интеграл лишь по переменным времени и пространственным координатам. Детерминированность разложения в обобщенный ряд Фурье выходного сигнала модулятора позволяет представить условную плотность его сечений по времени и пространственным координатам относительно сечений по координатным функциям у(ґ, г) как
238
дельта-функцию, а на основании формулы полной вероятности плотность распределения пространственно-временных сечений принимает форму:
(х; і, г)=| б[х - хТу(і, г) юх (х)Сх.
(2)
Для устранения неоднозначности обозначение плотности распределения выходного сигнала в виде пространственно-временных сечений
юх (х; I, г), либо юх [ х, , Гj }], дополнительно использует в качестве аргу-
ментов соответствующие координаты t и г, а в форме коэффициентов разложения юх (х) - только случайные переменные х. В дальнейшем, если не возникает противоречий, указание на тип сечений не производится, в формулах же отсутствие аргументов с пространственными и временными координатами однозначно идентифицирует сечения как коэффициенты разложения.
Математическое ожидание выходного сигнала модулятора после использования фильтрующего свойства дельта-функции преобразуется к виду скалярного произведения бесконечномерных векторов:
Мх (, г) = | Юх (х)- , г) , (3)
X
Использование (2), (3) и фильтрующего свойства дельта-функции в (1) преобразует энергию выходного сигнала модулятора в форму:
Г 1 2
Ех = |Л {хТУд г)} юх (х)$хЖс1г “Ц*! Фх (х)-хТ^х-у^, г) > Жс1г. (4)
t г х t г 1х
Линейность операции интегрирования даёт возможность представления формулы энергии в виде разности квадратичных форм:
Ех = | хТ < 11 у(і, г)уТ (і, г)СіСг
і г
хю х (х )dx -
-1 ю х (х )хТСх< Л У(і,г VТ (і, г )СіСг >| юх (х )хСх.
і г
(15)
Поскольку полная система координатных функций у(^ г) произвольна, то без потери общности она может быть выбрана ортонормирован-ной:
Л г )УТ (t, г)Лс1г = Е . (6)
і г
В результате энергия выходного сигнала демодулятора определяется в виде разности сумм вторых начальных моментов коэффициентов разложения сигнала и квадратов первых, то есть сумм дисперсий коэффициентов разложения сигнала в системе координатных функций у (і, г):
Ех = 1г (м х,2)-М Т,,М х,„ (7)
где 1х А -след двумерной матрицы А, являющийся, по сути, суммой её диагональных элементов [1]; м х, . ={Мх х } - i-мерная матрица
’ к1’—’ к. \1_ к1 =1,¥
порядка да начальных моментов ьго порядка сигнала на выходе модулятора х, элементы которой определяются как математические ожидания соответствующих произведений [2]:
I
Мхк1,..., хк. = | ® х (х )П хк]^х . (8)
1 х j=1
Соответственно саму матрицу начальных моментов возможно представить в виде
М х,1 = ! х 1Юх (х )^х , (9)
х
где х1 = хх... хх - ькратное прямое (декартово) произведение векторов х
---V---/
I
[3, 4], задающее пространственную матрицу со всевозможными комбинациями элементов, входящих в данные вектора, то есть для произвольных
пространственных матриц А ={Ак к } и В ={в^ кь } их прямое произведение формирует матрицу А х В ={ Ак ,...,к Вк ,...,к }, размерность которой
равна сумме размерностей исходных матриц А и В.
В дальнейшем для устранения неоднозначности в описании прямого произведения и произведения двумерных матриц, для двумерных матриц символ «X» используется только при переносе формулы с одной строки на другую, о чём обязательно упоминается по тексту. Тип операции
возведения в степень оговаривается непосредственно перед или после пер-
вого применения этой операции в выражении и последующих его модификаций. Для векторов и многомерных матриц (размерности большей двух) возведение в степень всегда соответствует кратному прямому произведению.
Очевидно, что
М х,1 = I хюх (х )^х , (10)
х
Мх,2 = I ххТ®х (х)^х , (11)
х
tгMх,2 = I хТх^х (х)^х . (12)
х
Также следует подчеркнуть, что энергия сигнала на выходе модулятора согласно (7) зависит лишь от дисперсий коэффициентов разложения,
а следовательно однозначно может быть определена на основе лишь одномерной плотности распределения вероятности ю х (хк), к = 1, ¥ в соответствии с (10) и (12).
Бесконечномерная плотность распределения вероятности сигнала на выходе модулятора согласно формуле полной вероятности [5] принимает вид:
_ ( Л
юх(х)=I§ х-Еф/^.^/}х юх(х)^х. (13)
х V i=1 )
Одномерная плотность вероятности сигнала на выходе модулятора задаётся в форме:
_ ( N0 ____
(хк)=1§ хк -Еф/,к{і.-..,і}х «х(хVх,к=1¥,
х V
і=1
(14)
где Ф/,к = (фк к к \ к-Гм - сечение ориентации к ^ + 1)-мерной матрицы Ф;, по сути, являющееся совокупностью элементов матрицы Ф; при фиксированном значении последнего индекса к, то есть ьмерной матрицей.
Математическое ожидание сигнала на выходе модулятора определяется путём подстановки (13) в (10):
( N Л
г г 1 а
Мх1 = I х15 х - Е Ф/ (1,...,/}х юх (х)dxdX. (15)
х х V /=1 )
Учитывая фильтрующее свойство дельта-функции, внешний интеграл сокращается, а линейность суммирования и интегрирования приводит к следующему виду математического ожидания сигнала на выходе модулятора:
N.
Мх,1 = Е| фі {1’-"’і}х «х (хVх
і=1 х
(16)
Нелинейность оператора модуляции позволяет представить (16) в форме сумм произведения пространственных матриц:
N0
М х,1 = Е ф і {і,---, і 1,---і}Мх.і ,
(17)
і=1
где
А{іа ,---,Іа'\1Ь ,---1Ь1 }В
х В
Е---Е Ак1,---,к1а ,---,кіа,,---,к„ кі кі ,
х
кПа +1,---,кПа +1Ь -1,кіа ,кпа + 1Ь +1,---,к«а + 1Ь'-1,кіа' ,к"а + 1Ь' +1,---,к«а + пЬ
}
произведение па-мерной матрицы A={Aki ,...,k^ } на пь-мерную B ={в^ ,...,k }
одинакового порядка по индексам lala. = 1,na у первой матрицы A и lb,...,lb■ = 1,nb у второй B, результатом данной операции является матрица с размерностью равной сумме размерностей исходных матриц за вычетом числа индексов, по которым осуществляется произведение для одной из
матриц; Mx . = {Mx x } - i-мерная матрица порядка N началь-
kV"’ ki Jk1,...,ki =1,N
ных моментов i-го порядка сигнала на входе модулятора х, элементы которой аналогично (8) определяются как математические ожидания соответствующих произведений [2]:
i
Mxkl,...,xk. = J Wx (Х)П \ dx . (19)
i x j=1
Соответственно саму матрицу начальных моментов возможно представить в виде аналогичном (9):
Mx,i = J xi Wx (x)dx . (20)
x
Для произвольных пространственных матриц A, B и С возможно показать выполнимость аналога ассоциативного свойства:
(A{k1 |k 2 }B ){k3 |k 4 }C =
[(A{k3 |k4 }c){k1 -1 k2 }b](dim A 1, ",dim A+dimC 3), k3 < dim A, k3 < k1,
[(A{k3 + 1|k4 }c){k1|k2 }B](dim A-1,-,dim A+dimC-3), k3 < dim A, k3 > k1, (21) A{k1 |k2 - 1}B{k3 - dim A +1 k4 }C), k3 > dim A, k3 - dim A +1 < k2,
A{k1 |k2 }(B{k3 - dim A + 2|k4 }c ), k3 > dim A, k3 - dim A +1 > k2,
(k- k■ )
где dim A - размерность произвольной матрицы A [6]; A n’'"’ ln - оператор транспонирования пространственной матрицы A ={Ak kd. A} соответственно перестановке индексов kt ,...,k. на последние позиции, то есть
A 1 П ={Ak1,...,ki1 -1,k,n +1,...,kdimA ,k,1,...,k,n } П £ dim A . (22)
Следует отметить, что если C является вектором (dim C = 1), то в (21) для k3 < dim A операция транспонирования не выполняется, так как единственное измерение C сокращается при выполнении пространственного произведения.
Кроме того, справедливо и дистрибутивное свойство:
A{k1 |k2 }(B + C) = A{k1 |k2 }B + A{k1 |k2 }C . (23)
Несложно видеть, что для двумерных матриц A и B справедливы
следующие тождества:
л{2|і|б = AB, (24)
a{i|i}b = AT B, (25)
л{і,2|і,2}б = tr(AB), (26)
для одномерного случая векторов а и b -
a{l|l}b = a{l}b = aT b, (27)
а для одномерного вектора а и двумерной матрицы A -
A{2|l}a = A{2}a = Aa, (28)
A{l|l}a = A{l}a = ATa . (29)
Для операции транспонирования двумерной матрицы A выполняются следующие равенства:
A (1)= A (2J) = AT, (30)
A(2)= A(1,2) = A . (31)
Операция же транспонирования, примененная к некоторому вектор-
столбцу a = {ak }, по сути, преобразует его в матрицу A ={A1k} с одной
строкой, число столбцов которой соответствует числу элементов вектора а:
a(1)=fe }(1) = {Au }= aT . (32)
Отсюда следует, что пространственное произведение оказывается частным случаем (18) при условии одномерности матрицы, на которую производится умножение.
Для отдельно взятого значения сигнала на выходе модулятора подстановка (14) в (8) приводит к линейной форме математического ожидания:
Na
Mxk = Z (vecF/,k)T vecMx,/, (33)
/=1
где vecA - оператор векторизации матрицы A = {Ak ,...,k } размерности n,
преобразующий её в вектор, размещая последовательно все строки направления n ((p - 1)-кратное сечение ориентации (k1, ..., kn-1)) одно под другим, перебирая все возможные комбинации строк направления n (k1, ..., kn-1), начиная с последнего индекса kn-1, при этом элементы результирующего вектора вычисляются следующим образом:
(vecA)Z1(k._i) ^max(k)+ ki = Aki,...,k/ , / = 1,¥ , kj = 1 max(kj ), (34)
j=1 l=j +1
Таким образом, вектор математических ожиданий сигнала на выходе модулятора Mx1 полностью определяется структурой модулятора Mi, / = 1, Na и матрицами начальных моментов сигнала на его входе Mxi от
первого до порядка, соответствующего степени нелинеиности модулятора
N.
Сумма начальных моментов второго порядка сигнала на выходе модулятора йМх,2 путём подстановки (13) в (12) вычисляется как
( N Л
^ а
йМх 2 = {X X18 х-ЕФ,{1,...,і}х шх(х)<іх^х. (35)
х х V і=1 У
Применение фильтрующего свойства дельта-функции позволяет сократить внешний интеграл, а линейность операций интегрирования и суммирования преобразует (35) к виду:
ыа ыа
*М х,2 = ЕЕ! (Ф і {l,..., і}х )Т (ф І ‘І1— і}х )юх (х ¥х . (36)
і=1 І=1 х
Использование (27) по отношению к операции транспонирования и і раз (29) к пространственному і-кратному произведению матрицы на вектор делает возможным представление:
*Мх,2 = Е Е | (фі {l,..., іI1— і]х !{і11і(ФІ {l,..., І'I1— І}хІ )юх (хVх , (37)
і=1 І=1 х
а дальнейшее применение аналога ассоциативного свойства (21) и учет скалярности суммы начальных моментов второго порядка сигнала на выходе модулятора йМх,2 приводит к следующему результату:
ыа ыа
*М х,2 = ЕЕ (фі {і + 1і +1]Ф І )í1,..., і + і + і}| Х +І юх (х)^х . (38)
і=1 І=1 х
На основе (20) выражение (38) представляется через матрицу начальных моментов сигнала на входе модулятора х:
ыа ыа
ИМ х ,2 = ЕЕ (Ф і {< +1І + 1]Ф і Ні..., і + І |и, і + і}Мх,і+і . (39)
і=1 І=1
Аналогичным образом получается вычитаемое в формуле энергии выходного сигнала модулятора (7) на основе (17) и (27):
М Т,1М х,1 = Е Е (ф, {1,..., <1,...<}Мх,,- Мф і {1,..., І |і,..../К,і). (40)
і=1 І=1
Аналог ассоциативного свойства (21) и скалярность (7) приводит следующему результату:
ыа ыа
М ТдМ х,1 = ЕЕ (ф і {і +11 + 1]ф І ){1,..., і + 11,..., і + іК, Мх, І). (41)
і=1 І=1
Подстановка (39) и (41) в (7) и использование свойства дистрибутивности (23) трансформирует выражение для энергии выходного сигнала модулятора к виду:
Na Na
Ex = IS(Фi{ + 1j + 1]Фj)&,...,i + II..,i + iK,,+j -M,,Mx,j ). (42)
i=1 j=1
Таким образом, энергия сигнала на выходе модулятора однозначно определяется структурой модулятора Фь i = 1, Na и матрицами начальных моментов сигнала на его входе Mxi от первого до порядка, соответствующего удвоенной степени нелинейности модулятора Na.
Список литературы
1. Магнус Я.Р., Нейдеккер Х. Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике / пер. с англ; под ред. С. А. Айвазяна. М.: Физматлит, 2002. 496 с.
2. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устойчивых систем: учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1991. 608 с.
3. Корн Г., Корн К. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: 1970. 720 с.
4. Морозова В. Д. Введение в анализ: учебник для вузов / под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996. 408 с.
5. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: учеб. пособие для втузов. 2-е изд., стер. М.: Высш. шк., 2000. 480 с.
6. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра: учеб. для вузов / под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. 3-е изд. стереотип. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2002. 336 с.
Батенков Кирилл Александрович, канд. техн. наук, докторант,
tppzi atsii.tiila.ni, Россия, Орёл, Академия ФСО России
COMMUNICATIONS SYSTEM ENERGY LIMITATION GENERALIZED SPATIALLY
MATRIX VIEW
K.A. Batenkov
General relationships regulating communication channel signal energy limitation are obtained on basis of spatially matrix mathematics. It’s demonstrated that output modulator signal energy is identically determined by modulator structure and ordinary moment matrixes of input modulator signal from first order to order corresponding nonlinearity modulator double degree.
Key words: nonlinear modulation, space-time signal, basic function, spatially matrix, energy limitation.
Batenkov Kirill Aleksandrovich, candidate of technical science, doctoral candidates, tppziatsii.tiila.ni, Rissia, Oryol, Akademy of Federal Security Guard of Russian Federation
