Стабилизация импульсных Системс нестационарной линейной частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.376.54 А. Х. Гелиг, И. Е. Зубер

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 1 (№ 1)

СТАБИЛИЗАЦИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ С НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТЬЮ*

В статье изучается импульсная система, описываемая функционально-дифференциальным уравнением и состоящая из неустойчивой нестационарной непрерывной линейной части и импульсного модулятора, включенного в обратную связь. Решена задача синтеза сигнала на входе модулятора, который стабилизирует систему при любых начальных условиях.

Рассмотрим импульсную систему с нестационарной линейной частью, описываемую функционально-дифференциальным уравнением

пт

— =А{г)х + Ъ{г)£, £ = Ма, а = з*{г)х, (1)

где А (г) — т х т-матрица, Ъ(г) и в(г) — т-мерные столбцы, * — знак транспонирования, а(Ь) — сигнал на входе импульсного модулятора, £(£) — сигнал на его выходе. М — нелинейный оператор, который каждой непрерывной на [0, функции <г(г) ставит в соответствие функцию £(£), обладающую следующими свойствами:

1) Для каждой <г(г) существует такая последовательность моментов времени {гп} (п = 0,1, 2,...; ¿о = 0), что £(£) кусочно-непрерывна и не меняет знак на каждом промежутке [¿п,гп+1). Кроме того, выполнено соотношение

0 <£Т < ¿„+1 - гп < Т (0 <£< 1), (2)

т. е. частота импульсации ограничена сверху и снизу.

2) £(£) зависит только от <г(т) при т ^ гп зависит только от <г(г) при г ^ гп.

3) Для каждого п существует такое ¿п € [¿п,4п+1), что среднее значение п-го импульса

«п+1

«п = т—/

гп+1 гп 7

удовлетворяет соотношению

«п = ). (3)

Простейшим примером оператора М может служить широтно-амплитудная модуляция первого рода с линейной статической характеристикой, при которой гп = пТ, Гп = пТ,

£(/)=! °п при пТ < г < пТ + Тп,

(0 при пТ + тп < г< (п +1)Т,

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант №02-01-00542), Совета по грантам Президента РФ для поддержки ведущих научных школ (грант НШ 2257.2003.1), а также программы «Университеты России».

© А. Х. Гелиг, И. Е. Зубер, 2003

где

{signст(nT) а(пТ)

при при

И«Т)| < 1,

И«*)1 > 1,

(4)

= ( Т|а(«,Т)| при |а(«,Т)| < 1, Т" [Т при |ст(пТ)| > 1.

Более сложным примером является модуляция, при которой тп вычисляется не по формуле (4), а является корнем некоторого функционального уравнения (широтно-импульс-ная модуляция второго рода, либо интегральная широтно-импульсная модуляция с линейной статической характеристикой [1-3]).

Задача заключается в построении такой вектор-функции при которой все решения системы (1) обладают асимптотикой ж(£) ^ 0 при £ ^ При этом, естественно, предполагается, что при отсутствии обратной связи (£(£) = 0) система (1) не является асимптотически устойчивой. В случае, когда А, Ь и в не зависят от эта задача была решена в [4].

Будем предполагать непрерывность и равномерную на [0, ограниченность элементов вектора Ь(£) и их производных первого порядка, а также элементов матрицы А(£) и их производных до порядка т включительно.

Введем обозначения: I — единичная т х т-матрица,

ь0 = 1, ьк{г) = + ьк-1{г)А{г) к = 1,2,...,т-1,

Т (*) = \\Ь(1),Ь1(1)Ь(1),...,Ьт-1(1)Ь(1)\\. Предполагается выполнение условия управляемости:

inf | det Т(£)| > 0.

¿>0 п

Сделав в системе (1) замену переменных [5]

х = Т (£)г,

приведем ее к виду

¿г ей

= Ао(ф + е^, а = в0(Ф,

(5)

(6) (7)

где в5(£) = **(*)Т(£), е1 = (1, 0,..., 0), Ао(£) = А1 + Л2(*),

А-, =

00 10

00 00

00 00

00 10

, А2(£) =

0 а1(£) 0 «2^)

0 ат(£)

Будем искать постоянную положительно определенную матрицу Н и строку вд, при которых справедливо неравенство

НО(£) + £д(£)Н < -вН,

(8)

а

п

0

где = Ао(£) + ехвд, в — положительное число. Очевидно, что неравенство (8) равносильно следующему:

£(*) < 0, (9)

где £(£) = ^(¿)Н— 1 + Н— ^(г) + вН-1. Выберем матрицу Н— 1 в виде

Н

-1

Ъ1 ^12 0 • 0 0

^12 ^2 3 • 0 0

0 Л-2 3 ^3 • 0 0

0 0 0 • Ът — 1 Ът— 1,т

0 0 0 • Ът— 1,т ъ т

где кг^ = — 2 \Zhihj, Ь^—положительные числа. Согласно [6] матрица Нявляется положительно определенной при любых Ъ > 0. Наша цель выбрать числа Ъ и вектор во таким образом, чтобы было выполнено неравенство (9). Представим матрицу £(£) в следующем виде:

£(£) = С + Р(¿) + Д, где С = А1Н— 1 + Н-1Ад + вН-1,

Р (¿) = А2 (¿)Н— 1 + Н-1Ад (¿), Д = в^Н— 1 + Н-1в0ед.

Положим во = ЛНв1, где Л — параметр, который будет выбран ниже. Тогда у матрицы Д элемент, стоящий в верхнем левом углу, будет равен 2Л, а остальные элементы равны нулю. Матрицы С и Р(£) имеют вид:

С=

в^1 Л-1 + в^-12 ^12

+ в^-12 2^12 + в^2 Л-2 + в^2 3

^12 ^2 + в^2 3 2^2 3 + в^3

0 0 0

0 0 0

Р (*) = О мд м 5

0 0 0

Ът— 1 + въ т—1,

2Ът— 1,т + вЪт

где О — нулевая матрица размерности (т — 2) х (т — 2),

м

т— 1,т

т—2^т—1,т ат—2^т

2ат— 1Ът— 1,т ат^т— 1,т + ат—1Ът

ат— 1Ът— 1,т + ат — 1Ът 2ат^т

а

Рассмотрим матрицу Q(t) = C + P(t) и обозначим через Ai,..., Am-i ее главные диагональные миноры, отсчитываемые от правого нижнего угла. Тогда

A 1 — 2hm_ 1,m + ßh m — -y/h m-1hm + (ß + 2am(t))hm.

Фиксировав hm > 0, выберем hm-i столь большим, чтобы Ai < 0 при всех t > 0. Для этого достаточно, чтобы hm-i удовлетворяло неравенству

Н

> /3 + 2вират(г).

Нт ¿>0

Обозначим через (г = 2,..., т) матрицу размерности г х г и составленную из элементов матрицы (, стоящих на пересечении ее последних г строк и г столбцов. Тогда Аг = det (¿. Представим матрицу в блочном виде:

Qi —

где

qn qi qi Qi-i

?22 = 2Нт_2,т-1 + вНт-1 + 2ат-1Нт-1,т,

9гг = 2Нт-г,т-г+1 + вНт-г+1 при г = 3, . . . , т - 1,

Ятт вН1,

столбец размерности г — 1. Согласно свойству блочных матриц [7] справедлива формула

det (г = det (¿-1 (дй — ^(.-^г),

которую можно представить в виде

Аг = 2Аг-1Нт-г,т-г+1 + 7г(£),

где 7г(^) зависит от Н^ лишь для к = т, т — 1,..., т — г + 1. Итак, справедливо соотношение

Аг = (10)

Поэтому, если выбором Нт-1,..., Нт-г+1 обеспечено выполнение свойства

signАfc = ( —1)й (11)

при к = 1, 2,..., г — 1, то, беря в (10) Нт-г достаточно большим, мы обеспечим выполнение свойства (11) и при к = г. Поскольку Ь = ( + Д, то согласно установленному выше виду матрицы Д справедлива формула

det Ь = 2ААт-1 + det (. (12)

Выберем теперь А таким образом, чтобы

sign(det Ь) = ( —1)т. (13)

Из (12) следует соотношение

( —1)т det Ь = —2А|Ат-1| + ( —1)т det (.

Поэтому свойство (13) будет выполнено, если

Л < _18и

2 ¿>о |А т —

Из (11), (13) в силу критерия Сильвестра вытекает неравенство (9).

Желая воспользоваться развитым в [2, 3] методом усреднения, введем функции

г

«(£) = при ^ £ < £п+1 (п = 0,1, 2,...) и и(£) = /[£(А) — «(А)]!А. Сделав в уравнении

0

(7) замену

г = у + е!М, (14)

придем к соотношениям

у = Ао(£)у + е^ + Ао(£)е1М, (15)

а = вду + ки, (16)

где к = вде1. Уравнение (15) можно представить в виде

у = Я(*)у + ад, (17)

где т = е^-у — а) + ! = Ао(£)е1 + е1к. Рассмотрим функцию Ляпунова

V (у)= удНу.

Производная ее по £ в силу уравнения (17) имеет вид

У = уд(Н£ + £дН )у + 2удНт. (18)

Очевидно неравенство

2у*Я«; < /хУ + -||Я5«;||2, (19)

М

где м — положительный параметр, который будет выбран ниже. Воспользовавшись соотношениями (3), (16), преобразуем т следующим образом:

т = и>1 + и>2, (20)

где и>1 = е\хй + Аоеги, и>2 = е!вд(у — у), а чертой отмечены «замороженные» функции, равные при ^ £ < £п+1 их значениям, вычисленным в точке ¿п. В [2, 3] были установлены неравенства

Ж| < Т|«(*)|, (21)

+ Т2 /

J и2(г)<и < У (22)

3

г

В силу (21) имеем оценку

\Ы\ < <*1ТМ, (23)

где ¿1 = 1x1 + 1, поскольку 11С^)е 111 = 1- Очевидно неравенство |вд(г/ — у)\ ^ ¿гЦу — у\\, где ¿2 = \\во\\. Поэтому справедливо соотношение

1Ы1 (24)

Из (20), (23), (24) вытекает оценка

1М1 <51Т\у\ + 62\\у-у\\. (25)

В силу (3), (16) имеет место представление

V = во(у-у) + 4У +

Отсюда в силу (21) получаем неравенство

м 02(||у-у|| + 1Ы1) + Т\х\\у\. Предположим, что Т удовлетворяет оценке

Т|к| < 1. (26)

Тогда

где ¿3

М Оз||у-у|| + <5з|Ы|, (27)

¿2

1 — Т М'

Подставив (27) в (25), получим соотношение

|МЮ4||у-у|| + <55т1Ы|, где ¿4 = ¿2 + ¿^3Т, ¿5 = ¿]^3. Отсюда следует неравенство

М^251\\у-УГ + 25!Т'2\\УГ. (28)

В силу неравенства Виртингера [2,3], (2) и (17) справедливы соотношения

tn + 1 ¿тг+1 ¿тг + 1

/4Т 2 Г 8Т 2 С

Ну-уН2^— J + — у + (29)

Отсюда и из (28) вытекает оценка

¿тг+1 ¿тг + 1 ¿тг + 1

| Ц«,^ ^ | (||ЗД2 + Н|2)сй + 2Т2г2 |

Предположим, что Т удовлетворяет неравенству

16Т2 ¿2 <п2. (30)

Тогда

¿тг + 1 ¿тг + 1 ¿тг+1

У |И|2^ < ¿вТ^ ||£у||2^ + ¿7Т2 у ||у||2

г„

16^2 2п2 ¿2

где 36 = 7Г2_16^т2 , ¿7 = 7Г2_16д|Т2 • Отсюда следует оценка

tn+1 tn + 1

J ||w||2dt < ¿gT2 J ||y||2dt, (31)

tn tn

где ¿8 = ¿7 + ¿6 sup ||D(t)||2.

t>0

Обозначим через Л+ и Л_ максимальное и минимальное собственные числа матрицы H. Тогда в силу (31) справедливы соотношения

tn+1 tn+1 tn+1 tn+1

j \\H^w\\2dt < Л+ j \\w\\2dt < Л +S8T2 j \\y\\2dt < J-5ST2 j Vdt. tn tn tn tn

Отсюда ввиду (18), (19), (6) вытекает неравенство

in+1

V(y(t„+i)) - V(y(tn)) < -p J Vdt,

tn

Л+ 2 T"T

где p = /3 — /л---—(5gT . Просуммировав эти неравенства по п от 0 до N — 1, получим

для произвольного N оценку

tN

pj Vdt < V(y(0)) - V(y(tN)) < V(y(0)). (32)

0

Выберем теперь положительный параметр ^ таким образом, чтобы p > 0. Последнее неравенство равносильно следующему:

¡л2 - Рц + ^58т2 < 0. Л

Очевидно, положительное удовлетворяющее этому неравенству, найдется, если T удовлетворяет оценке

<33>

В силу доказанной ниже леммы можно выбрать такое в, что неравенство (33) будет выполняться, если справедливы условия (26),(30). Из (32) вытекает, что ||y(t)|| G L2[0,+oo). Согласно (31) ||w(t)|| € L2[0,+оо). Поэтому в силу (29) \\y-y(t)\\ G L2[0,+oo). Отсюда и из (27) следует, что v(t) G ¿2[0, Поскольку функция v(t) постоянна на

промежутке [tn,tn+i), ввиду свойства (2) v(t) ^ 0 при t ^ Отсюда в силу (21) u(t) ^ 0 при t ^ Из (32) следует равномерная по n ограниченность ||y(tn)||. Поэтому, согласно (2), (15), ||y(t)|| ограничена равномерно по t > 0. А тогда из (15) следует равномерная ограниченность ||y(t)||. Отсюда и из ||y(t)|| G ¿2[0, вытекает асимптотика y(t) ^ 0 при t ^ Согласно равенству (14) z(t) ^ 0 при t ^ Отсюда и из (6) вытекает, что x(t) ^ 0 при t ^ Таким образом, получен следующий результат: Теорема. Пусть в системе (1) непрерывны и равномерно по t > 0 ограничены элементы вектора b(t) и их первые производные, а также элементы матрицы A(t) и

их производные до порядка т включительно. Предположим, кроме того, что справедливы свойства (2), (3), (5), (26), (30), и

= А[Т-1(г)]*Нвь

Тогда ж(£) ^ 0 при £ ^ и любом х(0).

Лемма. Пусть положительно определенная матрица Н € Ктхт удовлетворяет при в > 0 неравенству

НД + < -вН

и А1 ^ А2 ^ ... ^ Ат — ее собственные числа. Тогда справедлива оценка

(ХГ^.ЯГ1. (34)

Доказательство. Докажем сначала верхнюю оценку (34). Обозначим через ^

т

ортонормированные собственные векторы матрицы Н. Тогда Н = ^ А^^Л.*, и НД +

¿=1

< —вН < — вА^-^Н* ^ — вА^-_8^Л.*. Отсюда вытекает неравенство А^-+ Д*)^ < — вА^--1, из которого следует оценка вА^-1 ^ А^-||Д + Д*|| ^ 9А^-||Д||. Таким образом, ^ 2 И^И и вехняя оценка (34) доказана. Для доказательства нижней оценки (14) надо вместо (8) рассмотреть эквивалентное матричное неравенство (9) и воспользоваться для него установленной верхней оценкой (34), а также тем обстоятельством, что собственные числа матрицы Н-1 обратны собственным числам матрицы Н.

Summary

Gelig A.Kh., Zuber I.E. Stabilization of pulse-modulated systems with nonstationary linear part.

The pulse-modulated system described by a functional differential equation is considered. It has a continuous unstable nonstationary linear part and a pulse modulator in an expression for a feedback. A synthesis of a modulator input, which stabilizes the system for every initial state is performed.

Литература

1. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М., 2973.

2. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб, 1993.

3. Gelig A.Kh., Churilov A.N. Stability and Oscillations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Boston, 1998.

4. Чурилов А.Н. Стабилизация линейной системы с помощью комбинированной импульсной модуляции // Автоматика и телемеханика. 2000. №10. С. 71-76.

6. Isidory A. Nonlinear Control Systems. Berlin, 1989.

6. Зубер И.Е. Стабилизация линейных нестационарных систем на базе специального преобразования подобия // Кибернетика и системный анализ. 1998. №5. С. 27-39.

7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1966.

Статья поступила в редакцию 23 апреля 2002 г.