Обобщенный пространственно-матричный вид информационного показателя качества синтеза дискретных каналов связи Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

jects using mean shift. In: CVPR, 2000. P. 142-149.

Фам Конг Тханг, асп., pacotha@,gmail.com, Россия, Тула, Тульский государственный университет

COMBINING METHODS FOR TRACKING OBJECTS ON DIGITAL VIDEO

Pham Cong Thang

The descriptions of the mathematical representation of the shape of objects. This paper presents an approach to tracking objects based on Particle Filter with connection method meanshift, using multi-model histogramm parts. A comparison of the results between the object tracking and Particle Filter Particle Filter with connection method meanshift.

Key words: Particle Filter, meanshift, multi-model hictogramm parts.

Pham Cong Thang, a graduate student, pacotha@gmail. com, Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.391

ОБОБЩЕННЫЙ ПРОСТРАНСТВЕННО-МАТРИЧНЫЙ ВИД ИНФОРМАЦИОННОГО ПОКАЗАТЕЛЯ КАЧЕСТВА СИНТЕЗА ДИСКРЕТНЫХ КАНАЛОВ СВЯЗИ

К. А. Батенков

На основе математического аппарата пространственных матриц получено обобщенное выражение взаимной информации детерминированных дискретных отображений непрерывных каналов связи (дискретных каналов связи). Показано, что в качестве показателя качества синтеза оптимального дискретного отображения непрерывного канала целесообразно без потери общности использовать не средние потери информации, а именно взаимную информацию.

Ключевые слова: нелинейная модуляция, пространственно-временной сигнал, базисная функция, пространственная матрица, взаимная информация, средние потери информации.

Известно, что выбор того или иного критерия качества любой системы, в том числе и связи, является чисто субъективным, поскольку определяется наличием определенных требований со стороны разработчика, потребителя или любого другого субъекта. Однако для систем связи Шенноном введено понятие взаимной информации как меры определенности о сигналах на входе канала связи исходя из наблюдений о сигналах на выходе канала [1]. Причем данная мера имеет фундаментальный смысл, по-

скольку однозначно определяется лишь вероятностными характеристиками допустимых для передачи сигналов и канала связи, что является следствием несущественности дальнейшей интерпретации и использования переданных сообщений [2, 3]. Кроме того, взаимная информация и производная от неё пропускная способность позволяют указать условия бе.зоттти-бочной передачи данных при наличии дополнительной последовательной обработки в виде кодирования и декодирования.

В целом же средние потери информации в дискретном канале связи определяются вероятностными мерами, входящих в процесс передачи по каналу связи преобразований и источника, по которым подразумевается выход кодера канала [4]. Соответственно исходя из предположения о детерминированности операторов модуляции и демодуляции общий вид функции правдоподобия дискретного канала шхух, включающего в себя

данные операторы, несколько видоизменится, а варьируемыми переменными соответственно станут не условные плотности, а базисные функции модуляции и демодуляции.

Функция правдоподобия дискретного канала связи определяется на основе уравнения Колмогорова-Чепмена и, по сути, является композицией условных плотностей модулятора wx|х, демодулятора юху^ и непрерывного канала у. Поскольку операторы являются детерминированными,

то их условные плотности представимы в виде некоторых дельта-функций. Существует определённая сложность, связанная с тем, что выходные сигналы модулятора и входные демодулятора имеют непрерывный характер. Однако рассмотрение неограниченного числа сечений подобных процессов в пределе позволяет теоретически получить полную их характеристику [5]. В итоге осуществив предельный переход от аналогового вида к дискретным оказывается возможным исследование сигналов в различных точках дискретного канала связи как случайные процессы с соответствующими плотностями вероятности, а его функциональные узлы - как стохастические системы, описываемые условными плотностями выходных сигналов от входных.

Под сечениями процесса в классической теории случайных процессов подразумевают случайные величины, соответствующие значениям случайного процесса в некоторый момент времени [5]. В результате случайный процесс сопоставляется некоторому стохастическому вектору, характеристики которого полностью согласуются с исходным процессом в случае бесконечномерности вектора. Однако для подобных разложений затруднительно исследовать энергетические (мощностные) параметры случайных процессов, поскольку их координатными функциями являются дельта-функции, в обычном понимании имеющие бесконечную энергию и определяемые лишь на основе некоторых функционалов [6], поскольку вообще корректное определение подобных функций в рамках классической

57

теории функции не существует. В связи с этим более разумно сопоставлять случайный процесс некоторому вектору путём разложения по некоторым координатным функциям, энергия которых принимает конечную величину. Следует учесть, что только полная система функций позволяет считать погрешность аппроксимации при бесконечном числе коэффициентов разложения нулевой [7]. Однако подобное обстоятельство не является критическим, так как выбор базиса разложений произволен и при определенных условиях можно ограничиться применением лишь полных систем координатных функций.

Таким образом, определение системы координатных функций как

бесконечномерной вектор-функции у(/, Г )= [у!^, г ), у 2 (/,г ),..., у¥(/, Г )]Т позволяет представить сигнал на выходе модулятора и базисные функции модулятора в виде обобщенного ряда Фурье [8]:

х(, г ) = хТ у(/, г),

Т

N

а •

где х = (хі,Х2,...,х¥) - бесконечномерный вектор коэффициентов разложения входного сигнала х(і, г) в базисе функций у (і, г); і = 1, Иа - бесконечномерный вектор коэффициентов разложения базисных функций модулятора ф^1 к. (і,г) в базисе функций х' = у''.

Коэффициенты разложения вычисляются как скалярные произведения координатных функций и исходных колебаний:

х = 11 х(і, г)у (і, г)с1г&,

і г

і

П хк,-j=1 1 &

фкъ...,к> = 11 Фкх,...,ку ,г)у(?,г, 1 = 1Ма .

1 ^ г

Тогда операция нелинейной модуляции представима в векторной форме [9]:

Nа Г N N N

X = I I I ... I ■

1=1 к! =1 к2 =к1 к^ = к^ _1

Коэффициенты разложения базисных функций модуляции целесообразно представить в виде (1 + 1)-мерной матрицы переменного порядка

Ф1 ={фк к 11 1 —¡Тт —, у которой только элементы с неубываю-

I’"-’ ^ к\,...,к1 =1,N, ]=1,¥

щими индексами, за исключением последнего, могут быть отличны от нуля, то есть фк: к. 1 = 0 Зк/ < к1 «, / < /', /, /' = 1,1. Соответственно размер

(порядок) матрицы Ф1 - N х...х N х^. Произведение подобной матрицы Фг-

-----V----

1

на вектор х по определенному индексу кі имеет вид [10]:

N

I

ф і {/}

х

Хк1 ^..^ кі ^.^ кі, ] кі = кі -1

N

1 Хк1 ^..^ кі,..., кі, 7 к1 =1

k1,...,кі-1,кі+1,...,кі =1,N, І=1,

к1,...,кі-ь кі+1,...,кі =l, N, ІЧ

Несложно видеть, что результатом данной операции является также матрица Ф/ {/}х, размерность которой на единицу меньше исходной. Число же і в фигурной скобке операции умножения (1), по сути, указывает на номер индекса матрицы Фь по которому производится умножение. Последующее перемножение полученной і-мерной матрицы на тот же самый вектор х снижает размерность еще на единицу:

[ф і ад '}х=

N N

1 1 ХкіХкі -ф к1,...,кі >,...,кі ,...,кі ,І

к' =1 к =1к1, . ,кі-1,кі'+1, . кі-1,кі+1, . ,кі =1,N, 7=1, Поскольку данная процедура является линейной и не зависит от порядка суммирования, то и порядок следования векторов в произведении также не влияет на результат операции. Следовательно можно ввести обозначение:

[фі №№ }х = [фі{і '}х]{і}х = Фі{і, і }х. (2)

В итоге подобной итеративной процедуры после і этапов матрица вырождается в вектор. Таким образом, формула нелинейной модуляции приобретает форму:

Na

х = IФ;{1,..., і}х . і =1

Аналогично и стохастический сигнал на входе демодулятора целесообразно сопоставить с бесконечномерным вектором. Выбор той же самой системы координатных функций у(і', г') позволяет представить сигнал на входе демодулятора в виде обобщенного ряда Фурье:

(3)

х

(і', г') = х'Т у(і', г'),

(4)

где х' = (х 1,Х'2,...,х'

) - бесконечномерный вектор коэффициентов раз-

ложения входного сигнала х' (', г') в базисе функций у(?', г'), элементы которого вычисляются как скалярное произведение:

х' = 11 х' ^', г')у (?', г')Лг' А'. t 'г'

Базисные же функции демодуляции имеют функциональную зависимость от нескольких переменных времени и пространственных координат, что предполагает более сложный вид разложения:

59

сю

сю

¥ ¥

ф'а(Ь-’ґ'і,г'ь->г'і)= X ••• X Ф\-

к]=1 кі =1

і,к,кі,...,к; 11 ТкЛ 7’ „Л _ І=1

і = 1, , к = 1, Щ',

где ф'і к к к _ коэффициенты разложения базисных функций демодулятора ф'і к ( 1,...,t\,г'1,...,г',) в базисе функций у(ґ',г'), определяемые в виде:

фі,к ,%,...,к

|... л... |

¿'і ¿'іг'1 г'і

і=1

Ф'і ,к (? '1 ,•••, * 'і, г'1 ,•••, г'і) Ж\... Ж 'і Жг\- Жг'і•

Применением условия ортонормированности базиса у(?г') и свойства симметричности базисных функций демодуляции преобразует операцию нелинейной демодуляции к виду:

Кь ¥ ¥ ¥ і

' к II м. X X • •• X - П х'к.. І=1 і' V 1к ік і

і=1 к =1 к2 = к кі = кі-1

только элементы с

Коэффициенты разложения базисных функций демодуляции также целесообразно представить в виде (, + 1)-мерной матрицы переменного

п°рядка Ф', ={ф';ДА к. }=—к1_к. =1,¥, у которой

неубывающими индексами, за исключением первого, могут быть отличны от нуля, то есть ф', к к1 к^ = 0 Зк/ < к1 >, I < /', /, /' = 1,,. Соответственно размер (порядок) матрицы Ф', - N'х^х...х~. Использование операций

----V---

,

произведения многомерной матрицы на вектор [10] позволяет аналогично (2)-(4) получить выражение для нелинейной демодуляции в форме суммы ,-кратного произведения:

Nb

х' = X Ф', ^.^1+1}х'. (5)

,=1

Поскольку рассматриваемые операторы модуляции и демодуляции имеют детерминированный вид (3) и (5), то соответствующие им условные плотности обладают дельтообразной формой:

®х/ х(х,х) = 5

юх'/ х' (x', х') = 5

А Ка г п Л

х- XФі{1,...,і}х

V і=1

ґ щ

х'- X Ф'і {2,..., і + 1}х'

V і=1

где 5(х) - дельта-функция многомерного аргумента х.

Использование фильтрующего свойства дельта-функции позволяет получить следующий вид функции правдоподобия дискретного канала связи:

N

х-І Ф'] {2,...,І + 1}х’ І=1

dX'.

x', ІФі{l,...,і}х

і=1 _

Дальнейшее же упрощение функции правдоподобия путём применения фильтрующего свойства дельта-функции достаточно проблематично, поскольку размерность сигнала на выходе демодулятора х' конечна, а на входе х' бесконечна. Кроме того, при условии, что отсутствует взаимнооднозначная связь между данными векторами на основе (5), потребуется разбиение многомерной области интегрирования в (6) на части, для каждой из которой существует однозначная обратная функция [11]. В результате функция правдоподобия разделяется на несколько слагаемых, соответствующих всем возможным значениям обратных функций.

Следствием данного обстоятельства является возможная потеря информации о сигнале на входе демодулятора х' при наблюдении выходного сигнала х', дополнительно к потерям, обусловленным стохастично-стью непрерывного канала связи шху х. Так, если взаимно-однозначная зависимость отсутствует, то заданному сигналу на выходе демодулятора х' соответствует некоторый диапазон сигналов на входе х' [12]. Значит, невозможно точно указать, какой именно сигнал на входе демодулятора х' породил сигнал на выходе х'. В данном случае требуется дополнительная информация, которая совместно с сигналом на выходе демодулятора х', позволяет точно идентифицировать сигнал на входе х'.

Знание функции правдоподобия шху х (6) и распределения сигнала

на входе модулятора шх делает возможным на основе правила умножения вероятностей определить совместную плотность вероятности шх,х' :

(6)

шх,х'(х,х ) = шх (х)|ш

х х

•5

ыъ

х'-1 Ф'і {2,...,І + 1}х' І=1

йх', (7)

Х', I Ф; {1,..., ¿}Х / =1 _

которая в свою очередь, согласно формуле полной вероятности, определяет плотность вероятности сигнала на выходе демодулятора юХ>:

' *а г /

Х', IФ;{1,...,<}х ;=1 _

а, путем замены переменных в (8) х = у и Х' = у', задает апостериорную плотность вероятности юХ/Х':

шх'(х ) II шх (х)ш.

}х х

х х

йх -5

Къ

х'-1 Ф'і {2,..., І + 1}х' і=1

йх', (8)

^х (х ) | ® х'/ х

®х/х'(х,х )'

5

У 'у

Иа

dy5

Иь

х'-1 ф' і {2,..., і + 1}у'

і=1

. (9)

Ау'

у', I ф, {1,...,,}у _ ,=1

Полученные распределения полностью определяют величину средних потерь информации, являющихся, как указывалось выше, наиболее адекватным показателем качества синтеза дискретных отображений непрерывных многопараметрических каналов связи. При этом варьируемыми переменными, по-прежнему, остаются операторы модуляции и демодуляции, но уже нерандомизированного типа, имеющие вид многомерных матриц ф,, і = 1,Иа и фі , і = 1,Иь соответственно.

Следовательно показателем качества синтеза оптимального дискретного отображения непрерывного канала являются средние потери информации, определяемые в соответствии с (7) и (9) следующим образом:

' Иа г /

У'', £ Ф, {1,..., ,}х

,=1

К II ^х (х) | ®х'/х

х х

У

5

^х (х) I ®х'/ х

X ІО£-

Иа

х', £Ф,{1,...,,}х ,=1

5

Иь

х'- I Ф'і {2,...,і + 1}у'' і=1

Иь

х'- I Ф'і {2,...,І + 1}х І=1

dy "X

11 ^х (у )^хУ х

У 'у

Иа

У', £ ф, {1,..., ,}у , =1

dy5

Иь

х'- £ ф'і {2,...,і + 1}у' і=1

dx' (10)

—dxdx'.

dy

Применение фильтрующего свойства дельта-функции позволяет несколько упростить (10):

х

У

Иа г у'', £ ф, {1,. ,. х 1 С ^х (х) I ®х'/ х 1 }х е Иа £, г* 1

_ ,=1 1 х' _ , =1 _

х5

Иь

£ (ф'і {2,...,і + ''-ф' і {2,...,і + 1}х')

і=1

X

dx'

С Г И„ 1

ІОg 11 ^х (у )^хУ х у', £ ф, {1,..., ,}у dy х

V У 'у _ ,=1 _

х5

И

£ (ф'і {2,...,і + 1}у''-ф' і {2,...,і + 1}у')

і=1

dy'

dy'' dx.

Представление логарифма произведения в виде суммы логарифмов, а также учет условия нормировки для функции правдоподобия непрерывного канала связи юхчх преобразует средние потери информации к форме:

Я = -| юх (х)^ юх (х)^х -| юх (х) | шх</х

У '■

Ка г 1

У'', ІФі{1,...,і}х

І=1

X

с Г На г ,1

х Iю х'/ х х', 5; Фі {1,..., І}х

V х' _ І=1 _

X

х5

І (ф' і {2,..., І + 1}у"-Ф' і {2,...,І + 1}х')

І=1

дх'-

(11)

с Г И; 1

log 11 юх (у )юх'/х у', 5; ф і {1,..., і}у

V У 'у _ і=1 _

^У х

х5

Иъ

І (ф'і {2,...,І + 1}у''-Ф'і {2,...,І + 1}у')

І=1

ду'

ду'' дх.

Первый член в правой части (11), по сути, оказывается ничем иным как энтропией сигнала на входе модулятора и никоим образом не зависит от параметров модулятора и демодулятора. Второй же член является взаимной информацией между входом модулятора и выходом демодулятора, но взятой с отрицательным знаком. Следовательно без потери общности можно рассматривать в качестве показателя качества синтеза оптимального дискретного отображения непрерывного многопараметрического канала не средние потери информации, а взаимную информацию:

1 х,х' = | юх(х) | юх'/х

х

У''

N

у'', ІФі {1,..., і}х

І=1

с " г . "

I юх'/ х х', ІФі{1,...,і}х х

V х' _ і =1 _

х5

Иъ

І (ф' і {2,...,і + 1}у''-Ф' і {2,...,і + 1}х')

І =1

dX'

с Г г , 1

log 11 юх (у )юх'/х у', 5; ф і {1,..., і}у ду х

V У 'у _ і=1 _

х5

N

І (ф'і {2,...,І + 1}у''-Ф'і {2,...,і + 1}у')

І=1

ду'' dx.

Таким образом, получено обобщенное выражение взаимной информации детерминированных дискретных отображений непрерывных каналов связи на основе математического аппарата пространственных матриц. Показано, что в качестве показателя качества синтеза оптимального дискретного отображения непрерывного канала целесообразно без потери общности использовать не средние потери информации, а именно взаимную информацию.

Список литературы

1. Галлагер Р. Теория информации и надежная связь: пер. с англ. / Р. Галлагер; под ред. М.С. Пинскера, Б.С. Цыбакова. М.: Советское радио, 1974. 720 с.

2. Кудряшов Б.Д. Теория информации: учебник для вузов / Б.Д. Кудряшов. СПб.: Питер, 2009.

3. Батенков К. А. Максимум взаимной информации как основной критерий синтеза инфокоммуникационных систем // Труды СевероКавказского филиала Московского технического университета связи и информатики. Ростов-на-Дону: ПЦ "Университет" СКФ МТУСИ, 2013. С. 51-53.

4. Батенков К.А. Математическое моделирование непрерывных многопараметрических каналов связи в операторной форме // Телекоммуникации. 2013. № 10. С. 2-4.

5. Вентцель Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения: учеб. пособие для втузов / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. 2-е изд. стер. М.: Высш. школа, 2000. 383 с.

6. Гельфанд И.М. Обобщенные функции и действия над ними / И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. Изд. второе. М.: Госуд. изд. физ.-мат. лит, 1959. 470 с.

7. Теория электрической связи: учеб. для вузов / А.Г. Зюко, Д. Д. Кловский, В.И. Коржик, М.В. Назаров; под ред. Д. Д. Кловского. М.: Радио и связь, 1999. 432 с.

8. Батенков К.А. Обобщенный пространственно-матричный вид энергетических ограничений систем связи // Известия ТулГУ. Технические науки. 2013.№ 3. С. 238-245.

9. Батенков К.А. Оценка количества базисных функций нелинейной модуляции // Известия ТулГУ. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. Вып. 11. Ч. 1. С. 217-222.

10. Соколов Н.П. Пространственные матрицы и их приложения / Н.П. Соколов. М.: Госуд. изд. физ.-мат. лит, 1960. 300 с.

11. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления / В.С. Пугачев. М.: Физматгиз, 1962. 883 с.

12. Стратонович Р.Л. Теория информации / Р.Л. Стратонович. М.: Сов. радио, 1975. 424 с.

Батенков Кирилл Александрович, канд. техн. наук, докторант, Россия, Орёл, Академия ФСО России

GENERALIZED SPATIALLY MATRIX VIEW OF DISCRETE CHANNEL INFORMATION

PERFORMANCE INDEX

K. A. Batenkov 64

Transmitted information expression generalized of continuous channel discrete mapping (discrete channel) is obtained on basis of spatially matrix mathematics. utilization Feasibility of transmitted information as continuous channel discrete mapping synthesis performance index instead of average information losses is demonstrated.

Key words: nonlinear modulation, space-time signal, basic function, spatially matrix, transmitted information, average information losses.

Batenkov Kirill Aleksandrovich, candidate of technical science, doctoral candidate, Rissia, Oryol, Akademy of Federal Security Guard of Russian Federation