Обобщенный метод Чепмена-Энскога. Часть II. Уравнения многоскоростной многотемпературной смеси газов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м VI 1975

№ 1

УДК 533.6.011

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ЧЕПМЕНА —ЭНСКОГА

Часть II

УРАВНЕНИЯ МНОГОСКОРОСТНОЙ МНОГОТЕМПЕРАТУРНОЙ

СМЕСИ ГАЗОВ

В. С. Галкин, М. Н. Коган, И. К. Макашев

Метод работы [1] применен для вывода газодинамических уравнений многоскоростной многотемпературной смеси одноатомных газов в отсутствие внешних сил. Исследованы приближения Эйлера и Навье — Стокса, дан общий алгоритм построения формального решения уравнения Больцмана.

1. Введение. В работе [1] неявно предполагалось, что отношения масс и сечений столкновений молекул и значения концентраций фиксированы, т. е. не связаны с малым параметром (числом Кнудсена) е 0. Если эти предположения не выполняются, то в рамках механики сплошной среды могут иметь место многотемпературные многоскоростные течения смеси газов. Действительно, рассмотрим для простоты бинарную смесь одноатомных газов. В нулевом по г приближении уравнения Больцмана примут вид

где 1мм — интегралы упругих столкновений.

Если указанные выше параметры конечны, то (1.1) имеет единственное решение: максвелловские функции распределения с одной и той же температурой и единой (среднемассовой) скоростью [2]. Для краткости этот случай впредь будет называться „обычным". Если „снять11 одно предположение, а именно, считать отношение масс молекул малым (Ут^/т2<^ 1), то /21<С^22 и этот интеграл переходит в неоднородную часть уравнения для следующего приближения к решению. Из 112 выделяется „лоренцова11 часть [2], остальные слагаемые также должны учитываться в уравнениях для следующих приближений к решению. В итоге (1.1) примет вид

■у/ц(//) + "2|(/;-/1)с,Шо»=0, /22(//) = 0. (1.2)

Вследствие произвольности «2 оба слагаемых первого уравнения из (1.2) равны нулю. Получающаяся система уравнений удовлетворяется максвелловскими функциями с разными температурами и скоростями. Однако анализ показывает, что при сделанных предположениях время релаксации разности скоростей компонентов где & —характерное газодинамическое время, т. е. двухскоростная газодинамика не реализуется. Модификация метода Чепмена—Энскога для данной бинарной двухтемпературной смеси нейтральных газов была дана в [3].

Наиболее интересным примером многотемпературной смеси является плазма. Метод Чепмена — Энскога для полностью ионизованной двухтемпературной плазмы развит в работе [4] (использованы интегралы столкновения Ландау), частично ионизованной — в [5] (интегралы столкновений Больцмана). Предельный случай, когда все /л™ <С! /л?лг» т. е. вероятности столкновений молекул разного сорта малы по сравнению с вероятностями столкновений одинаковых молекул, рассмотрен В. В. Струминским [6]. Тогда в нулевом приближении по г /п = 0, /22=0. Решением этой системы являются максвелловские функции с разными температурами и скоростями. В результате имеет место многоскоростная многотемпературная газодинамика.

Полученные в указанных работах уравнения справедливы в соответствующих предельных ситуациях. Например, результаты работ [3—5] справедливы при т1<^т2 и несправедливы при т1 — т2. Поэтому возникает задача получения уравнений, применимых для всех предельных и промежуточных случаев, в частности, для любого отношения масс молекул. Их выводу посвящена данная статья.

Подобного рода уравнения для бинарной смеси в навье-сток-совском приближении были получены в [7] приближенным методом, близким методу Максвелла, на основе уравнений кинетических моментов. Однако такой метод применим, строго говоря, лишь для максвелловских молекул.

Наконец, для вывода газодинамических уравнений широко использовался метод Грэда. Наиболее общими здесь являются, по-видимому, работы [8, 9]. В последней был дан вывод уравнений многоскоростной многотемпературной плазмы, в работе [8] — уравнений электродинамики для многотемпературной смеси частично ионизованных газов. Кроме того, в [8] поставлен вопрос о выводе уравнений и для многоскоростного случая, причем необходимость многоскоростного описания обусловлена главным образом наличием сильных электрических полей. Однако известно, что значения коэффициентов переноса, получаемые при помощи метода Грэда, являются приближенными.

2. Приближение Эйлера. Используя обычные обозначения, запишем систему уравнений Больцмана

+ /**(//) + 2 41ым{//) (2.1)

М дЬ дх1 * *■

или в безразмерном виде*

Л

I'Л f «7 ] /\ /\ /\ 1 Л /\ Л

г “^7" = ~ ^ амм ~п-1им (//), (2-2)

__________ “ м+м

* Как и в [П, индексами Ы, М, ... = 1,2.5 обозначаются номера ком-

понентов, 5—их число.

где параметры адш характеризуют порядок отношений сечений столкновений, масс молекул и концентраций. При алм!~1 имеем обычный случай, при алглг'~е — случай, рассмотренный в [6]. В дальнейшем считаем в -> 0 и а-ым произвольными по величине, т. е. 0(е)<ан<0(1). Из (2.1) следует система уравнений переноса многоскоростной, многотемпературной смеси одноатомных газов

В N пы

Г) и

N “Л/

3

уРдг = Ия,

+ Пм уим = о, рЛ/

+ ■{- У<7лг = ,

Т„

ТкПы иг~

(2.3)

где йы !ОЬ— д,іді -\-iin у,

ид' = П), р;у = тпм , рлг ил/ — (/Яд' ),

ся = — Ия 9 Ры = Пм кТк = (1/3 Шм Сд.), PNlj==PN 8/у-Ь рт/ ,

Р?мц= («л'[Сд,.сл7]), <7дг = < сцШц с%/2), (Ау = $/нАс1с/,,

И,у] = (Лу + Луі)/2-8<уЛ**/3,

(Ял; л’) “ [ 2 4“ 1хм (//) (ШЛ'СЛ ‘> т1-' 4/2) ^с у.

Л + Л'

(2.4)

(2.5)

Дальнейшие рассуждения ведутся по аналогии с [1]. Если там „основным" оператором был интеграл упругих столкновений, то здесь таковым будет 1мы- Решение в нулевом приближении по а ищем в виде

„(0)

, 5>« - *«»>, (2.в>

где с$ = . Используя (2.6), найдем уравнения переноса ну-

левого приближения

п* /7(0>

и ми- АГ

— &ге,0>

2 £>*

Ві ” ~т “'Л?' У“"Л/' ~~ ^ ~оГ~ ^ ЧР$ ~ ^ Якії >

П* У’(О) /")*

Ж

£>г

(2.7)

Здесь /?$) и вычисляются согласно (2.5) по /$>. Для их определения и использования в п. 3 найдем в виде ряда по неприводимым полиномам Эрмита [6, 10] интеграл

/лш(/(0>/<0>)=Л°>

3 Л0)

„(О)

Р/У

+ 7 ЛШ [Дл?лгг Длш./ ] [та^Л'г ®Л7 ] ~Ь ЭдгуУГ ДдШ —

2—Ученые записки ЦАГИ № 1

(2.8)

17

где Ьым = и$—и$ =— Ьмы- Выражения для коэффициентов разложения даны в Приложении. Уравнения переноса (2.7) накладывают на и$> и Т$ ограничения*

< - <1 - О (-£- и), тт - Т<°> - О 7-), (2.9)

-\-рммП;и ) , т71 ~ (пм ~Ь Пм )[АД'.и ЦмлгФ)^ ; (2.10)

здесь Ту.—время релаксации разности температур компонентов, у.нМ = шм (/ил? -\-тм )-1 • Величины Ф$и определены в Приложении таким же образом, как и в [2] (для максвелловских молекул и молекул — упругих шаров Ф<^ ~ [хдм-1 (тц + тпм )1тм тм ]^ и gNм где и йл/м — постоянная в выражении для силы межмолекулярного взаимодействия и диаметр молекулы). Относительные разности скоростей и температур компонентов будут порядка единицы, если

Т Т7'~&.

V ’ 1

В условиях работы [6] все перекрестные интегралы малы в сравнении с /ад. В многотемпературном (но односкоростном) приближении указанные интегралы либо снова малы, либо часть из них является величиной „основного11 порядка, но сводится к лорен-цову виду (1.2).

Применяя (2.9) и (2.10), нетрудно показать, что 1/2 1мм (/<°>/<°>) =

— во всех случаях. Действительно, рассмотрим первые

члены разложения (2.8). Из определения и и (2.9), (2.10)

следует, что

0(0) ^ и_ ^(0) _(2 11)

ым Рл^+Рж » ’ ым К/+«и)»' К ’

Поэтому первые два члена разложения (2.8) имеют порядок — -~^/$>/Л. Остальные члены в (2.8) не изменяют сделанных оценок. Следовательно, интегралы 1/2 /лщ(/(0)/(0)) должны учитываться в уравнении для следующего приближения к решению. Отсюда

также следует, что функции (2.6), где Т§\ ~и($> удовлетворяют уравнениям переноса (2.7), действительно являются решением уравнений (2.1) в нулевом приближении по а, во всех случаях отличаясь от полного решения на величины порядка е. Такую же точность имеют, очевидно, и уравнения переноса (2.7).

3. Приближение Навье — Стокса. Решение системы уравнений Больцмана (2.1) ищем в виде ряда /л? = 2/^'= Х</«)сР№) по степе-

Г Г

ням числа Кнудсена г, предполагая О (е)<. аым < 1 • Для <р^> имеем уравнение

-т- 2 4-^(/(о)/<о))=/^(/(0)/(°>ф(1))+2 /аш(/<°>/<о>ср(1)из.1) м+ы м+ы

* Здесь и ниже предполагается, что отношения Т^ /Тм конечны, что естественно в случае нейтральных газов.

В силу изложенных в [1] соображений линеаризованный интеграл перекрестных столкновений разбиваем на самосопряженную и несамосопряженную части путем следующих преобразований подынтегрального выражения:

/%у/%у (?№ + <№’) ~/м> -

-г iff/7 + wm w+w - ^ - т8>) -4-[/те' -/WIW + т8)' + тй,+ 98>)

Интегралы столкновений от этих слагаемых обозначим через Inm (/(°)/(0) <Р(1)), Inm (/(°)/(°), <р(1)) соответственно. С учетом (2.9) и (2.10) можно убедиться в том, что Inm имеет порядок е по сравнению с Inn и поэтому должен учитываться в уравнении для /лр . Действительно,

Inm (/(0) /‘°> <Р(1)) = О [<?(» hm (/<°> /(0) )] = О [idf^fdt] =

= О [е/л^лг (/(о) /<°> T(i))]. (3.3)

С учетом (2.7), (2.8) обычным способом для «рй* получим уравнение

/Г [2 [Wni } duul/dXj + (wl-----|-j ср V In Т$ —

~\NM [&NMi \ \H8ni Wfjj] + $NM &N M 'Wti (w%--g-j -(-

, J-

= /*д-(/(0) /“» + 2 Inm (/<°> /(0> ?<’>). (3-4)

M + N

Сумма в левой части — разложение (2.8), первые два члена которого сокращаются с соответствующими слагаемыми, получающимися при исключении DыTN)|Dt. Можно показать, что

левые части уравнений (3.4) ортогональны к собственным функциям интегрального оператора этих уравнений, которые представляют собой сумматорные инварианты упругих столкновений. Следовательно, решение уравнений (3.4) существует и с учетом условий „однозначности"

//£> ^г) <Й5>=0, 2//^ тл,А0) = 0,

N

2//а^ № ты №2 йск} = 0, г>1, (3.5)

N

которые необходимо наложить на /$* в соответствии с числом произвольных постоянных (всего 5-|-4), входящих в решение однородного уравнения, единственно. При этом для и.ц и Ты в резуль-

<п)

тате решения получим ряды по степеням е, а пы = пн .

Из (3.4) следуют важные свойства получаемого решения

[ ( ш) 2 1ым (/(0) /(0) ?и)) а^0)= 0. (3.6)

J V \/2тыс^2 )м*я

Важность этих свойств, справедливых для любого приближения к решению (см. п. 4), обусловлена тем, что они позволяют рассматривать задачу нахождения какого-то приближения к fN независимо от следующих приближений.

Неоднородная часть уравнения (3.4) — сумма из полиномов Эрмита. Поэтому и решение этого уравнения может быть представлено в виде ряда по соответствующим неприводимым полиномам Эрмита с коэффициентами, зависящими от w%- Уравнения для этих коэффициентов можно решать, как обычно, с использованием разложений по полиномам Сонина. Рассмотрим сначала вклад в решение от первых двух слагаемых в неоднородной части (3.4). Эта часть решения, в отличие от обычного случая,

содержит суммы по М из аым1Шц^\пТ{м, Ьым [wmwaj ] du(MildXj,. где а^и, Ьым — скалярные коэффициенты, зависящие от w%, 1Длм1|>-д Тим = Т$ — Тм . Именно в таком виде решение для бинарной смеси максвелловских молекул приводится в работе [7]. Однако при этом удерживаются члены, имеющие порядок барнеттовских, т. е. О (г2). Поэтому, если ограничиваться приближением Навье — Стокса, то решение должно быть „очищено11 от внепорядковых элементов. Проведем это для наглядности на примере бинарной смеси: обобщение на случай произвольного числа компонентов не содержит в себе новых принципиальных моментов.

Уравнения системы (3.4) „зацепляются" через интегралы перекрестных столкновений, т. е. „сильное" влияние одной из функций ср^2 на другую имеет место лишь в обычном случае. Поэтому основное приближение к решению, например, для <pi), нужно искать, записывая «20) = к}01 + Д21, 7’2°) = Т(10)+ДТ21 и разлагая /(20) , срг’1 по степеням Д21 и ДГ21, ограничиваясь нулевым приближением как в первом, так и во втором уравнениях*. Для нахождения срг’ необходимо применить „обратное" переразложение. Это дает возможность пользоваться результатами, полученными в [2] для обычного случая, с ошибкой в решении порядка г по сравнению с единицей.

Частное решение системы (3.4), обусловленное первым членом неоднородной части, имеет вид

л„(°)

фЛ7 == — В$ ['WNI ----B{N>[WNi'WNj\ —fa. " . (3-7)

где разложения по полиномам Сонина Вн) в первом приближении не зависят от скоростей молекул. Подставляя (3.7) в (3.4)„ получим оценку В(н (Млш /дХ] ~е2. Поэтому Фл? можно представить в виде

ди{0)

= - Вк [дал,, тщ } ~ + О (е2), В„ = + В%\ (3.7а>

* В разлагаются в ряд только коэффициенты при , du^jdxj ит.п.

Из (3.7) и (3.4) обычным [2] способом получаем систему алгебраических уравнений для (А^, л = 1, 2). Рассматривая ее сначала как систему уравнений для определения В\‘\ в подынтегральных выражениях „скобочных коэффициентов", появляющихся в результате соответствующего интегрирования интегралов перекрестных

■столкновений, заменяем /(°\ В(21), на /2°°\ В(2)0, , которые

выражены не через Т(°\ и21С>, а через и‘0). При определении

Ваналогичная процедура применяется к /і0), В{1>, чаз^ После такой „чистки" решения получим (М ф ІУ; М, N— 1, 2):

интегралы Q = Q(T<ti)) определены так же, как и в [2]. Соответствующий (3.7а) вклад в тензор напряжений имеет вид

Здесь т]л; — парциальный коэффициент вязкости. Частное решение, индуцируемое вторым слагаемым левой части (3.4),

(3.9)

?“= - (— + «21 $3/2 ) 4\ ІП 7'і°)'

(3.10а)

Коэффициенты а0, Ь0, агу, Ьи не зависят от скоростей молекул. Аналогично решение, обусловленное четвертым членом в неоднородной части (3.4),

Используя (3.10а), (3.11), найдем

о£!)= (и, -иіУ^ - [а0 уіп Ті0) + Ь0 у 1п Т^- с10 Д12] (я, /я,)"1, 4!) = (и2 — М20))(1) = [а0 V 1п Ті0)-(- Ь0 V 1п 7^0)— <*0 Д12] (п2 т2)-\

^11} = 4" Лі"2 Рі] V 1п ^ + ьи V 1п Т(2п) — йи Д12) =

= 4 ЛГ2/»10) [(ац + *„) V 1п 7І° >- Д12] (1 + 0 (в));

(3.12)

(3.13)

^1)=4-Л^0)[(«21+*2.) V 1п П0)+ <*21 да2] (1 + 0(е)).

^ I

Примененное в (3.13) упрощение обусловлено тем, что

Ьп у (71°> - Т[0)) ~ в2, а21 у (Л0)- ГГ) ~ е2.

Используя при решении уравнений для коэффициентов ту же методику, что и выше, получим

= Д-1

где Д — определитель.

[«>!, т>!]13 _ 1 Г гщ [хи>и ж2]12

р|0) У щ

Ь21 I = Д

(3.14)

/40)

[и»і, -5Х]12

п2

[5п Щ]і

Р і

(0)

- Ущ-'рр”] {м^Діі+ЯзЙДЦ В

Л I тъ [^2, та^хІ21_____________________[52. ^2121

11 У щ "

рТ

]/Г~^ П1 1*^21 ^ 1]21 С

А = I®!, 52]12, В =п2^/~ [^!, 52]12, С ~п2 [52, 52]2+/г1 [52, 52]21,

причем 5л? = Зз12(>ъу%) Мы, Д* получается из Д заменой нижних индексов 1^=г2, а' Дь Д*г получаются заменой г-го столбца Д, Д* соответственно на столбец элементов (0, —15/4, 0). Далее для коэффициентов, входящих в <рл?у, аналогично найдем

(3.15)

где Е получается из Д путем умножения на (—1) третьего столбца; Е(. найдем в результате замены 1-го столбца в Е на столбец элементов (0, —15/4 р2 А,, 15/4 р2Л2). Коэффициенты, входящие в <рїІ,ІУ , зависят от Т{°\ входящие в 1¥— от Т2)*.

О (£»).

При этом второе из условий однозначности (3.5) выполняется с точностью

Наконец, рассмотрим вклад в решение от третьего слагаемого в неоднородной части (3.4). С погрешностью О (г) по сравнению с единицей в окончательном решении при нахождении можно-опустить интеграл перекрестных столкновений, тогда

?”1= -н ^22“ Ал/Ж/ ]\WfJi 11) Щ ] (1 + О (е)) (3.16)

л/

и для вклада от <рл}‘ в тензор напряжений имеем

Рт! -рТ 4 [А*л» Ь»М1 ], $« = £>« (Т№). (3.17)

° пЫ 9.^7

Таким образом, получены переносные свойства многоскоростной многотемпературной смеси одноатомных газов в первом приближении по полиномам Сонина. При учете следующих членов разложения коэффициентов по полиномам Сонина в переносные свойства, вообще говоря, будут давать вклад не выписанные в (3.4) члены разложения (2.8).

Однако для максвелловских молекул полученные выражения содержат всю информацию о переносных свойствах смеси газов, так как неприводимые полиномы Эрмита являются собственными функциями линеаризованного интеграла столкновений для максвелловских молекул в обычном случае, к которому формально, с точностью О (е2), сводится решение системы (3.4). Для таких молекул

коэффициенты ап, Ь0, й0 и, следовательно, равны нулю.

Полученные выше выражения переносных свойств для максвелловских молекул переходят в соответствующие формулы из [7], если в последних отбросить внепорядковые члены, пропорциональные \д&няи /дх}\, ч(Т$- Т1\) и т. п. Исключением является второе слагаемое в выражении для (3.13), пропорциональное Д]2: полученное в [7] выражение неверно, что является, по-видимому, следствием неверного вычисления моментов третьего порядка от интегралов столкновений.

Для завершения исследования приближения Навье — Стокса

необходимо еще найти вклад в Яы и (для двухтемпературной бинарной смеси это сделано в [3]). Вклад «ря* в будем искать следующим образом. Выделим из |рй) члены, ответственные за вклады в о^, и обозначим остальную часть у]}* через <рл-». Тогда (ты1кТы) сц о^1)=«рй)— <рлг* и в исследованном приближении по полиномам Сонина /$* + (1 + фл?*), где максвелловская функ-

ция содержит уже полные гидродинамические величины: Ты , им, пи . Вклад от нее в дается выражением, приведенным в Приложении. Основной вклад в /?л/ представляется выражением / 1ш (Р(0)Р(0)У*) гпн Сы йсп = Н(ы*, причем интеграл отличен от нуля только от векторной части <рл?*. Для максвелловских молекул 0^=0, поэтому вклад срл?» в /?л? отсутствует.

Чтобы вычислить М?* с достаточной для приближения Навье—

Стокса точностью, разложим Мф N ио степеням АМы и Д ТМы, удерживая главные члены разложения. В итоге получим

Как уже отмечалось выше, для максвелловских молекул дополнительные члены, пропорциональные 7^1,2 и Д12, равны нулю. Влияние дополнительных членов будет максимальным в односкоростном, однотемпературном случае, когда уравнение переноса

для ил? в системе (2.7) является уравнением с малым параметром при производных. Из этого уравнения можно найти выражение для скорости диффузии, причем дополнительные члены в (3.18) обеспечивают поправки по полиномам Сонина к коэффициенту диффузии £>12 и определяют значение коэффициента термодиффузии. Аналогичные дополнительные члены в равны нулю (в рассмотренном приближении Т$ = 0).

Подчеркнем, что полученные выше уравнения переноса нулевого и первого приближений имеют ту же структуру, что и в [6|, но другие выражения для коэффициентов переноса. Случай [6] играет здесь ту же роль, что и релаксационный случай в [1].

4. Общее формальное решение. Переходя в уравнении Больцмана от переменных (£, х, ЗД к переменным (^, х, с$) и считая, что зависит от х и / через пм, им и Тм и их пространственных производных, получим следующее уравнение для /ы\ /\> 1:

- 4-2 2 Ям (/(г)/(г-‘-,)) = (/(0)/(0) <Р(Г))+ 2 &М (/(0)/(П> ?(г)). (4-1)

/?2~£'201)+ Чк Т2п1 п,

Х(«п + ^п)\уТ2 - 2/гТ2щп2\ [вд2, 52]21^2

-4-2[/^(/<')/^-«)+ 2 /^(/(г)/(г-г,)1

* 1 = 1 М + К

1 = 1) Мф N

М

Производные д;0) =-^- + Ил?)-у исключаются с помощью уравнений Эйлера, для г^1 имеем

•°Л7 (г) пМ

ог

— у-пк 0ы\ иы = иы)+ СЦ , Пм з«)=/сл?)/ы] с!^-, (4.2а)

п ^N (г) -^(Г) Г*(г) .-*(0) /^л/(г-1) ЗдР

Рл? -57-= Я* — Рл (оАг#-V) ИАг — Рл? V-------~ш----------Н--- +

+ Пх<!>)\Л' ) - V • П^г) + 2^(у • Р* °‘Г °); (4.26)

' 1= 1

Рыц = Пл'г/ - 9МСШ *щ , <>. = ты / с<°> с<°).Д>с^т. (4.2в)

^г)=4~ 2 / 2 (/(,) /(л+1“г)) ^ 3?» ^>+

/ = 1

+ 1-2/2 /лм (/(г>/(г~г)) /и* с№ ^0); (4.2г)

г=о лг^л?

3 / °Л' (г) ^ жу./ (г) V 0И(г-1)и^

“2^—т----------+ ■•■+- 1гг ;=1Гл? _р*£Д0лг---------------------т--■

—4Я V • «5?> — Пл'^у “(°} — V •*л:); (4.2д)

Рх = 7:\- - з ?Д- °Л7- 1С<^)= № №2 йс$\ (4.2е)

Яы х,¥ Рця%°м " ^л/‘ °л' 2 11 л' Злг

-"(г) _ Г ,(г) (0) 2 >) ^7(0).

(4.2ж)

-* -» 1 г тм с(°)2 _

1^Л- = Гл- - О*. Ял, , ^<Г) = 4- 2 / 2 /ли (/<г>/<'+1-‘>)--------------------------------2~— м0) +

г=1 .м+л'

+ 4-2/2 1™(Л»Рг-1))-^^сГс№. (4.2з)

^ (=0‘/ ЛГ + УУ *

При построении данного алгоритма учтено следующее: им и Гл? представляются рядами по е; входящие в исходные уравнения переноса (2.3) центральные моменты функций распределения Тк и

т. д. вычисляются через = Млм поэтому их нужно перераз-

ложить относительно с$; необходимо также разложить по е оператор Ду

Можно показать, что левые части уравнений (4.1) дляс учетом (4.2) ортогональны к собственным функциям интегрального оператора этих уравнений. Следовательно, решение уравнений (4.1) существует и с учетом условий однозначности (3.5) единственно.

Это решение обладает свойствами

/(^,0)2)2 0. (4.3)

и \тмСы )м + N

На каждом этапе учитываются внепорядковые по г члены. Можно значительно уменьшить число таких членов, однако при этом алгоритм построения ряда для /м получается слишком сложным.

Выше предполагалось, что числа Кнудсена различных компонентов одного порядка в. В действительности же они могут сильно различаться. Однако это не приводит к изменению алгоритма решения. В самом деле, пусть все вЛ, существенно различаются между собой, причем г = тахгд,-^0. Требуется построить решение уравнений Больцмана в этом случае для О (е)-< а.уж < О (1).

Из изложенного ранее видно, что главное приближение к решению при этом не изменится. Следующий член разложения ищется путем линеаризации решений уравнений Больцмана по бд, относительно /$>. В результате в переносные свойстваТвходят члены разного порядка, что можно учесть при решении конкретных задач (в плазме, как известно, теплопроводность легкого компонента много больше теплопроводности тяжелого; для вязкости имеет место обратное соотношение). При помощи только что выписанного алгоритма получаем формальное решение системы уравнений Больцмана в виде ряда по е —тахед, -»0. Отношение каждого члена разложения к предыдущему порядка г, но в каждое конкретное приближение входят и внепорядковые члены.

ЛИТЕРАТУРА

1. Г а л к и н В. С., К о г а н М. Н., М а к а ш е в Н. К. Обобщенный метод Чепмена — Энскога: 1. Уравнения неравновесной газовой динамики. .Ученые записки ЦАГИ“, т. V, № 5, 1974.

2. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М., Изд-во иностр. лит., 1960.

3. Галкин В. С. Применение метода Чепмена — Энскога к случаю двухтемпературной бинарной смеси газов. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1967, № 6.

4. Брагинский С. И. Явления переноса в плазме. В сб. „Вопросы теории плазмы*, вып. I, Госатомиздат, 1963.

5. Chmieleski R. М., FerzigerJ. К. Transport properties of a nonequilibrium partially ionized 'gas. Phys. Fluids, vol. 10, 1967, N 2.

6. Струминский В. В. Влияние диффузионных скоростей на течение газовых смесей. Доклад на XIII Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике. М., 1973; ПММ, 1974, № 2.

7. Gold mam Е., Sirovich L. Equations for gas mixtures. Phys. Fluids, 1967, vol. 10, N 9.

8. Г огосов В. В., П о л я н с к и й В. А., С е м е н о в И. П., Я к у-б е н к о А. Е. Уравнения электрогидродинамики и коэффициенты переноса в сильном электрическом поле. „Изв. АН СССР, МЖГ*, 1969, № 2.

9. С и л и н В. П. Введение в кинетическую теорию газов. М., „Наука*, 1972.

10. Грэд Ш. Асимптотическая теория уравнения Больцмана. В сб. „Некоторые вопросы кинетической теории газов". М., „Мир", 1965.

11. Walker Е. L., Tanenbaum В. S. Investigation of Kinetic models for gas mixtures. Phys. Fluids, 1968, vol. 11, N 9.

12. Рубашов И. Б., Бортников Ю. С. „Электрогазодинамика", М., Атомиздат, 1971.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Применяя известную технику [2], найдем следующие выражения для коэффициентов разложения (2.8)

=4 V'!znм\*■мpN Алш / е е* 1,2 gi dg^,

(1>

т

м

Ф/йи = / (1 — сое' х) ьаь,

м ты + тм „

Р = 4 аг3 (вії а — а сИ а); а = 2 л

т(0

7 Л? ,-1 ^MN,

т(0)

1 м

(^> ^Vім/'*' > ёдш)’ ^ ^Л1ЛГ + ^ЛР

Л = - 16 К*рР Пм ^£2

э

(2)

dg■л<i)

2 1,2 [ »

-2 I п-і ГЧ ,(Т)0..

+ 4Ф$, (1 - ім„)Н + Зv2F)dgj, Я = 3/=■ + -^ зЬ а;

— 00 х г Г '

Р,™ = тг5 К / с-*-” г4 Ый, р Ц- (■і ^ 1 ш +

О V *• I \ гж

+ 3р.2у(1 —/іИЛ/)2^2 + З®2^ +иИ£2т— —

(4)

?м ^ (1 - *мы) [Г + ~~] } + Н* [2 g2 Г?ы (1 - ІМІІ) + И]\dg. (5)

Для максвелловских молекул Ф

(0

мм

(3) — (5) принимают следующий упрощенный вид:

RNM ~ 2 ®лш Дуидг ’

= 6 кры’ пм цм І^д, Ф^іи

(1)

глщ ■

2 и

м и1 л2

МИ 1 3 [Лдт

Т,у.и = 2 "пм {*■-« ^лг (4 Фд'ж — 3 Фдом),

71 пм К (2 Флш - фл™)

СОПБІ И формулы (1),

(6) (7>

^ і і 2 ^.И .2 .2

(8)

(9)

Выражения (6) — (9) совпадают с соответствующими интегралами от точных значений интегралов перекрестных столкновений [11]. Достаточно полный анализ Ямм и И7$м проведен в [8, 12].

Рукопись поступила 281VI 1974 г.