CC BY
44
Том ХЬШ
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
2 012
№ 2
УДК 532.72
О ПРИБЛИЖЕННОМ МЕТОДЕ РАСЧЕТА ОБЪЕМНОЙ ВЯЗКОСТИ И РЕЛАКСАЦИОННОГО ДАВЛЕНИЯ
В. С. ГАЛКИН
Представлена общая система уравнений неравновесной (релаксационной) газодинамики для ламинарных течений смесей многоатомных реагирующих газов, включающая систему уравнений баланса заселенностей для всех возбужденных квантовых энергетических уровней частиц. На важном частном примере продемонстрирован приближенный метод расчета объемной вязкости и релаксационного давления путем разложения решений уравнений баланса заселенностей в ряды по малому параметру. Для оценки точности метода полученные соотношения сопоставляются с результатами решения соответствующей системы кинетических уравнений при помощи обобщенного метода Чепмена — Энскога.
Ключевые слова: уравнения баланса заселенностей, объемная вязкость, релаксационное давление, обобщенный метод Чепмена — Энскога.
Ранее [1, 2] предложена феноменологическая теория и систематизация уравнений термически неравновесной (релаксационной) газодинамики, описывающих ламинарные высокотемпературные течения смесей многоатомных химически реагирующих идеальных (т. е. неплотных [3]) газов, состояние которых по внутренним степеням свободы частиц может значительно отличаться от локального равновесного состояния (по поступательным степеням свободы состояние близко к локально-максвелловскому). Постулируется, что наиболее общей газодинамической моделью является система уравнений с уровневой кинетикой для всех возбужденных квантовых энергетических уровней частиц. Правые (источниковые) части уравнений баланса заселенностей даются известными полуэмпирическими формулами, обладающими необходимыми свойствами. В них не учитываются слагаемые, обусловленные неравновесностью по поступательным степеням свободы частиц, т. е. возмущениями функций распределения относительно локально-макс-велловских функций. В настоящее время в вычислительных алгоритмах этими слагаемыми пре-
небрегается, хотя при использовании уравнений высокотемпературной газодинамики в приближении Навье — Стокса — Фурье их необходимо, строго говоря, учитывать. Система уравнений замыкается соотношениями переноса в так называемом неравновесном приближении Гиршфельдера — Эйкена. Множители в этих соотношениях переноса совпадают с коэффициентами переноса смеси одноатомных газов (или выражаются через них), т. е. смеси частиц с теми же массами, но с замороженными внутренними степенями свободы. В частности, тензор давлений дается формулой, справедливой для такой смеси, когда отсутствуют объемная вязкость и релаксационное давление. Результаты кинетической теории для этих коэффициентов [4] изложены в известных справочниках и используются в многочисленных пакетах вычислительных программ [5, 6].
Обоснование данной газодинамической модели при помощи кинетической теории дается обобщенным методом Чепмена — Энскога [7 — 11]. В нулевом приближении по числу Кнудсена функ-
/—\
ГАЛКИН Владлен Сергеевич
доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник ЦАГИ
ции распределения — локально-максвелловские по собственным скоростям частиц, это следствие того, что времена релаксации всех физико-химических процессов больше или порядка времени поступательной релаксации. Указанные функции пропорциональны заселенностям, поэтому набор газодинамических переменных состоит из заселенностей, среднемассовой скорости и поступательной температуры, так что кроме уравнений импульса и энергии получаемая система включает уравнения баланса заселенностей для всех возбужденных квантовых энергетических уровней частиц. Возмущения функций распределения определяют общие выражения для переносных свойств (из которых при некоторых допущениях следуют соотношения переноса в неравновесном приближении Гиршфельдера — Эйкена [7, 11]), а также неравновесные вклады в правые части уравнений баланса, которыми обычно пренебрегают. Дан наглядный качественный вывод соотношений переноса в этом приближении [2].
Подчеркнем, что при обосновании обобщенного метода учитывались бимолекулярные химические реакции и не учитывались более сложные реакции. Однако его легко распространить на общий случай химических реакций при условии, что они медленные, распределения по соответствующим энергиям далеки от равновесных.
Принципиальным является использование определения температуры по кинетической энергии частиц (поступательная температура Т). Понятие температуры «имеет безусловный характер лишь в полностью равновесном состоянии газа в целом; для определения температуры в неравновесном газе требуется дополнительное условие...» [3]. Необходимым является требование, чтобы при переходе в равновесное состояние используемые связи между скалярными газодинамическими переменными превращались в известные термодинамические формулы. В кинетической теории [4] для состояний газа, близких к локальному максвелл-больцмановскому, температура определяется, как в термодинамике, т. е. по кинетической и внутренней энергии частиц. Такая «полная» температура Т отличается от поступательной температуры величиной порядка [4] СУ ■ V, где с — коэффициент объемной вязкости, V — среднемассовая скорость газа; эта величина в равновесии исчезает. В поле течения газа степень возбуждения различных внутренних степеней свободы меняется, соответственно этому необходимо менять определение полной температуры в отличие от поступательной. Именно этим объясняется то, что в обобщенном методе Чепмена — Энскога применяется определение температуры по поступательным степеням свободы Т. В силу такого определения объемная вязкость и релаксационное давление в тензоре давлений идеального многоатомного газа, состояние которого близко к локальному максвелл-больц-мановскому состоянию, отсутствуют, однако аналогичные слагаемые входят в выражение для внутренней энергии газа [12]. При переходе Т ^ Т эти слагаемые появляются в тензоре давлений, который принимает обычно используемый вид.
Например, пусть физико-химические процессы в газе заморожены, за исключением вращений частиц, распределение по вращательной энергии близко к больцмановскому. При использовании поступательно-вращательной температуры Т диагональная часть тензора давлений равна пкТ — сУ ■ V, удельная внутренняя энергия — величине Су (Т) Т, а при введении поступательной
температуры соответственно имеем пкТ( и Су(Т)Т + АУ ■ V. Здесь п, к, Су — числовая плотность, постоянная Больцмана, удельная теплоемкость, обусловленная поступательными и вращательными степенями частиц, множитель А пропорционален коэффициенту объемной вязкости с .
В поле высокотемпературного течения соотношения между временами релаксации физико-химических процессов меняются, вообще говоря, в широких пределах. В частных случаях, во всем поле течения или в его отдельных зонах, эти времена взаимозависимы, пределы их изменений ограничены, поэтому в правых частях уравнений баланса заселенностей появляются большие и малые слагаемые, коэффициенты перед безразмерными формами которых различны по порядку величины. Заселенности представляются рядами по малому параметру 5 — безразмерному времени релаксации, удерживаются первые (нулевые по малому параметру) члены рядов [1, 2, 12]. В результате применения метода возмущений заселенности и, следовательно, соотношения переноса, формулы для внутренней энергии смеси газов и правые части уравнений баланса выражаются через новый, более простой набор скалярных газодинамических переменных. Полученная газодинамическая модель характеризуется меньшим числом уравнений. При учете вторых членов
разложений в тензоре давлений появляются дополнительные слагаемые — объемная вязкость и релаксационное давление [12].
Рассматриваемая ниже приближенная методика расчета этих слагаемых тензора давлений основана на решении системы линейных неоднородных алгебраических уравнений для указанных вторых слагаемых разложений заселенностей в ряды по малому параметру 5. Приближенность методики обусловлена, во-первых, применением полуэмпирических формул для правых частей уравнений баланса. Во-вторых, в этих формулах не учитываются указанные выше вклады возмущений функций распределения. Для их учета необходимо привлечь обобщенный метод Чепмена — Энскога, выходя за рамки феноменологического подхода, что чрезвычайно усложняет задачу. Более того, соответствующие результаты обобщенного метода Чепмена — Энскога носят, как правило, формальный характер в силу ограниченности сведений о сечениях неупругих взаимодействий частиц.
В статье рассматривается вопрос о степени погрешности данной приближенной методики, обусловленной вторым из указанных факторов, т. е. применением выражений для скоростей физико-химических процессов без учета поступательной неравновесности. В первом разделе помещены уравнения газодинамики с уровневой кинетикой. Во втором разделе, в отличие от раздела 3 работы [1], при переходе от исходной общей газодинамической модели к модели с частичной уровневой кинетикой учтены не только первые, но и вторые члены разложения заселенностей в ряды по малому параметру, найдены приближенные выражения для объемной вязкости и релаксационного давления, т. е. рассматриваемый метод применен к более важному и сложному, чем ранее [12], случаю. Для ответа на поставленный вопрос в разделе 3 эти выражения сопоставляются со строгими результатами обобщенного и модифицированного методов Чепмена — Энскога. Указанный переход выполнен в системе интегральных уравнений обобщенного метода Чеп-мена — Энскога для возмущений функций распределения, дающих вклады в правые части уравнений баланса. Получена новая система интегральных уравнений, обеспечивающая строгий расчет объемной вязкости и релаксационного давления. Ее решение ищется в виде ряда по полиномам Сонина, результаты сравниваются с данными приближенной методики.
Изложенное ниже можно рассматривать как дополнение к статьям [1, 12]. Используются предположения и, в основном, обозначения [1]. Однако поступательная температура теперь обозначается как Т(. Некоторые вопросы теории объемной вязкости и релаксационного давления рассмотрены ранее [12]. Анализ степени влияния объемной вязкости проведен на задачах о распространении звука и структуре ударной волны в молекулярном газе. Подчеркнуто, что особенно сильное влияние объемная вязкость оказывает на дисперсию звука.
1. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ РЕЛАКСАЦИОННОЙ ГАЗОДИНАМИКИ
Рассматриваемые уравнения предназначаются для описания высокотемпературных течений газов как сплошной среды при произвольных отклонениях от локального равновесия по внутренним степеням свободы в различных областях течения. Принятые допущения изложены ранее [1, 2]. Система общих уравнений релаксационной (неравновесной) газодинамики включает уравнения баланса заселенностей квантовых состояний а частиц химических компонентов 1
dni а
— + n-aV • V + V • Па Via = а , (1.1)
i = 1,2,..., N s[1, N], а = 0,1,..., N= Го,
уравнение движения
pd| + V-n-£Pj.F; = 0, П = P5 + п ; (1.2)
уравнение баланса внутренней энергии
п
Р dt
d ( " ^
E
v Р /
+ П: Vv + V • q - ^piVi • Fi = 0, (1.3)
где внутренняя энергия смеси идеальных газов, отнесенная к числу частиц, дается формулой:
£ = | кТ+£int =1X + Е?). (1.4)
пГа
Уравнения (1.1) — (1.4) образуют замкнутую систему уравнений при известных выражениях [1] для Vа, К1 а, П, q, £. Использованы следующие обозначения: I — время; 1, у — номера
компонентов смеси, принимающие значения от 1 до N N — число компонентов смеси; а, в — наборы номеров квантовых состояний частиц сортов 1, у, принимающих все возможные значения для этих частиц соответственно; п1 а — число частиц сорта 1 в квантовом состоянии а в единице
объема (заселенность квантового состояния а частиц сорта 1), V — среднемассовая скорость смеси газов; К1а — производство частиц сорта 1 в квантовом состоянии а в результате переходов
между уровнями энергии и химических реакций; У1а — вектор диффузионной скорости частиц
сорта 1, находящихся в квантовом состоянии а; Р — след (дивергенция) тензора давлений; я — бездивергентный тензор напряжений; 8 — единичный тензор; q — полный тепловой поток; р — внешняя сила, действующая на единицу массы компонента 1, отнесенная к числу ее частиц; £ — внутренняя энергия смеси; £ш — составляющая внутренней энергии смеси, обусловленная внутренней энергией молекул; — энергия образования частиц сорта 1 (при наличии химических реакций); п, р — числовая и массовая плотности смеси газов
(п,р) = X(п,Р1),(п,Р1 ) = X(па,®Ла), 1 = [1,Щ, а = Го,N«1, (1.5)
ц, р1 — числовая и массовая плотности компонента 1; — число ненулевых квантовых уровней частицы компонента 1, суммирование проводится по всем значениям показателей суммирования. Точкой обозначено скалярное произведение векторов и скалярное (внутреннее) произведение вектора на тензор, двумя точками — двойное скалярное произведение тензоров второго ранга, например:
V V = ут—, УП =дПтп , П:Vv = П дУт, т,п = 1,2,3,
т ' ' тп -ч ' ' 111
дГт дГт дГц
где проводится суммирование по повторяющимся индексам, г — радиус-вектор. Напомним [1], что для сокращения обозначений в наборах индексов не вводятся разделяющие запятые, так что а1, а2 = а1а2; 1, у = у и т. д.
Приведем важнейшие уравнения, являющиеся следствием системы уравнений (1.1). Так, уравнения баланса числовых плотностей компонентов 1 получаются суммированием уравнений (1.1) по всем квантовым состояниям а:
+ цУ- V + У- цV = К), 1 = [1, Щ]. (1.6)
Здесь ц — числовая плотность частиц компонента 1 определена второй формулой (1.5); V — диффузионная скорость компонента 1; К — число частиц сорта 1, возникающих в результате химических реакций в единице объема за единицу времени. Суммируя уравнение (1.6) по 1, получаем уравнение баланса числа частиц смеси:
+ пУ-V + У- X пМ = X К. (1.7)
а
При сохранении числа частиц в ходе химических реакций правая часть равна нулю. Исключением являются, например, реакции диссоциации и рекомбинации. Путем умножения уравнений (1.6) на т1 и суммирования по а, 1 приходим к уравнению неразрывности:
^Р + рУ-V = 0.
61 У
(1.8)
Температура газа Т( есть мера поступательной энергии частиц (поступательная температура), поэтому для дивергенции тензора давлений справедлив закон Клапейрона — Менделеева:
Р = пкТ.
(1.9)
В дальнейшем будет использовано приближение Эйлера для левых частей уравнений баланса (1.1), (1.3), (1.6), (1.7), когда пренебрегается их членами, обусловленными диссипацией. Учет этих членов при вычислении объемной вязкости и релаксационного давления дает слагаемые более высокого порядка по числу Кнудсена по сравнению с полученными в следующем разделе. Указанные уравнения баланса приобретают следующий вид:
6п1 а &
+ п1аУ- v = Ка, 1 = [1, N1 а =
0, N1)
6 ( п >
р 6
-£
V Р /
+ РУ-V = 0,
+ пУ - V = К, 1 = [1, N1,
61 1 1 11
— + пУ-V = VК .
61 ^ 1
(1.10) (1.11) (1.12) (1.13)
В дальнейшем понадобятся уравнения баланса заселенностей п1аг , которые получаются суммированием уравнений (1.10) по а1
6п,-
+ п- У - V = К■
^ п1 а2 ¥ у а2'
(1.14)
пЩ = V Ща, Каг = V Ка, 1 = [1, N1, а1 = |~0,
а1
а1
а 2 =
0, М()
Важно подчеркнуть, что в данном и в следующем разделах (как и в [1]) предполагается справедливым равенство
к = к а
1ча 11ш <
(1.15)
где правая часть находится при условии локального равновесия смеси газов по поступательным степеням свободы частиц и не учитывается упомянутый во вводной части статьи вклад поступательной неравновесности. Тогда, например, для бимолекулярной химической реакции имеем:
К1 = к34 п3п4 - к12 п1п2
(1.16)
и т. д. Константы скорости реакции к34, к^ не зависят от парциальных плотностей.
2. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ОБЪЕМНОЙ ВЯЗКОСТИ И РЕЛАКСАЦИОННОГО ДАВЛЕНИЯ
В выражении для дивергенции тензора давлений (вместо (1. 9)) появляется объемная вязкость, если в поле течения времена всех неупругих процессов много меньше характерного времени течения 4, или объемная вязкость и релаксационное давление, если часть времен релаксации порядка 4. Следуя [1], разделим набор номеров квантовых уровней на две части, полагая
а = а1а2, а1
о,
а2 =
0, #
Далее предполагается, что времена релаксации т для а1 -процессов заведомо много меньше 4, для а2 -процессов времена релаксации Т2 = О(4). Химические реакции относятся к а2 -процессам. Типичным примером является случай, когда к а1 -процессам относятся вращения молекул, к а2 -процессам — колебания [13, 14].
Таким образом, в данных условиях имеется малый параметр
8 = ^«1.
4
При этом внутренняя энергия молекулы дается двумя слагаемыми:
р = рI + рИ рI = рI рН = рП г'1а ~ ^-ча ' г'1а' г'1а ~ ^ча^ ' 1а ~ ча2 '
(2.1)
где верхними индексами I и II указываются энергии а и 1а2 -состояний соответственно. Для
экономии места введено часто используемое предположение, что энергии р не зависят от номеров квантовых уровней а1 .
Запишем уравнения (1.10) в безразмерном виде, сохраняя обозначения,
ёпЧ,
Ча . _ ,-т .. 1 тЯ , туII
л ■ + п1 а^ ' V =5Ка + КЧа
(2.2)
где 1 = [1,Щ, а =
0,
. Первый член справа относится к быстрым а1 -процессам, второй —
к медленным а2 -процессам.
Ищем решение системы уравнений (2.2) в виде:
п- = п- г- г- = г(0)+5г(1) + -(0О
21ча 11Ю2 ча< ^га ^га ' '
-5г«+ 40 )О (52),
а=а1а2, х г(а)=1,е 4?=°.
а1 а1
(2.3)
Подчеркнем, что величины г1а являются функциями энергий Б1а, а также г, £ По определению
ПЧа2 X ПЧа1а2 , X П1а2 П1 .
Ю2
а1 а2
В нулевом приближении имеем систему уравнений
Ка= 0,
решение которой имеет вид [1]:
.(°) = ГЩ (т ) = гец
1а ¡а1а^ ¿ / _ Ча >
(2.4)
где п1а„ (Т) — больцмановская локально-равновесная функция распределения по
а 10102 а1 -энергиям:
^ща2 ( Т ) = ~7 ^'а^ еХр
Т1аг
( Е1 Л
^ 1а1а 2
Т1а2 = V еХр в1
( Е1 \ дфа 2
" кТ
V 1еч = 1, (2.5)
10102 у '
а1
1 = [1, N], а1 = |~0, 1, а2 = |~1,
5г.а1а2 — статистический вес квантового состояния с внутренней энергией Еща . Ранее [12] учи, (0) ч
тывались лишь нулевые члены разложений заселенностей в ряды по малому параметру (г а и т. п.).
Для определения объемной вязкости и релаксационного давления необходимо найти г-О, что и является целью данного раздела. Применяемая методика аналогична методу Чепмена — Энскога в том смысле, что полные производные от газодинамических переменных исключаются при помощи уравнений баланса низшего приближения, эти полные производные обозначаются через 60 / 6^. Выражение (1.4) теперь запишется в виде:
£ = 2кТ + пV пЩ ( 10л + )(Е!а + ЕЦ2 + Е?1) = £(0) + б£(1), (2.6)
1,а
, Пи
£(0) = 3кТ+£1 (Т) + £11 + £с\ £1 (Т) = V::ЦL10л(Т)Е1
£II = ^ ЕП £ с1 = Т п^ь £ ПЮк.7(1)Е!
п 2 п п
1,а? 1 1,а
(2.7)
В выражениях (2.6), (2.7) учтены формулы (2.1) и последние два равенства (2.3). Величина £
является неравновесной поправкой к величине £(0), даваемой нулевым приближением. В следующем приближении из уравнения (2.2) находим:
((2 # ) + пЩ 4ЧУ - V = Ка (б/) ) + ка,0,
(1)
(2.8)
К1,0 = к10 \2= feq, а = а1а2 , а1 =
0,
а2 =
0, М^
Здесь 1 = [1, N1, слагаемое К^^^ 1)) получается линеаризацией по б оператора К ¡а относительно 40), слагаемое К0,0 вычисляется при ziа= 40) = 10Л. Величины, определяемые при г1а = 10л , снабжаем нижним индексом 0. Для первого слагаемого формулы (2.8) имеем:
60 / „ел \ ,ел 60п102 + 1 _ _
п1'а2 1 1а \с1а с1а2 ) 6{ '
(2.9)
л0 / сел \ = ¿-ел 60п1а2 1 ¿-ел / I —I \ 60 Т
~6Ц\п102 11а )= 11а 6^ + ~Т:Щаг а - —02 / 6Ь
—0= ^кТ' —02 = ^ V 5У —i еХР(——У ), 4 = "Г'
кТ т1а2 р1 кТ
60пЧ,
(У На2
0 1 = -пЧУ • V + КЧ0,
(2.10)
где индексы 1, а1, а2 пробегают указанные выше значения. Выражения (2.10) получены при помощи уравнений (1.12), (1.14) соответственно. Для вычисления ^0используем формулы
(2.6), (2.7), (2.19). Заменяя в уравнении энергии (1.11) £ ^ £(0), приводим его к виду:
-i ё0пча2 + ^ ( рП + рсМ ё0ПЮ2
1М.
Ф 61 ЧГ^^ 61 ) Л
+ V т ы 0 а2 + у С ри +
т 1Ча ^ Ча Ча2 Ч
= -к^- V - ^ X К,0,
ч,а -1
Ф = |3к +4} , 4 =—, Ч = [1,Л], а = а1а2, а1 = к
дТ
п
а2
0, Ы2Ч)
где су — удельная теплоемкость при постоянном объеме, обусловленная внутренней энергией а1 -уровней. Используя полученную отсюда формулу для о0Т/& и первую формулу (2.10) в выражении (2.9) и подставляя результат в левую часть соотношения (2.8), находим систему линей-
ных неоднородных алгебраических уравнений для искомых величин 5-4
(1):
К Ча (5г( 1)) = © V + X Ка2,0 (( 2 + 4.2 + е?1) +
[ Ч,а2
2 X
К,0
(2.11)
© =
,Пч02
п
кИеч[р! --PI Ф=KII - 7ечК
1X1 Ча \ Ча сЧ'а2 ) ' 1^Ча,0 ^Ча11ча2,0'
(ра 2 , РЧ )
(( ^ ^ Ч
ктГ
, Ч = [1, Ы], а = а1а2,
где а1
0,
а2
0,
. Здесь использованы обозначения, приведенные в формулах (2.9).
Решение системы уравнений (2.11) имеет следующий вид:
5г(1) = А V- -V + В
^ Ча1а2 Ча]а2 ±уЧа1аг
(2.12)
Используя решение (2.12) в последней формуле (2.7), найдем неравновесную поправку в выражении для энергии газа:
5£(;)=Г^-V + г2, Г1 = - X Аа ра, Г 2 =1X Вча ЕЧа .
п Га
п Га
(2.13)
Переопределим температуру. Запишем:
т = Т+а, с= Т-Т, |а|« Т.
(2.14)
«Полную» температуру Т определим из требования, чтобы формула для £ не содержала неравновесной поправки 5£(1) и вместо (2.6), (2.7) имела бы следующий вид:
£ = 2кТ + £I(Т) + £11 + £ч1, £I(Т) = X^(Тр .
(2.15)
Подставим в формулу (2.6) выражение (2.14) вместо Т и осуществим линеаризацию по а. В формулу для £ кроме слагаемых (2.15) войдут также следующие члены:
—5 + ГУ-V + Г2.
Ф 1 2
Приравнивая эти члены нулю, найдем
а = Т-Т = -Ф(Г1У-V + Г2).
После этого окончательно получим:
Р = пкТ = пкТ+пка = пкТ+ рге1. (2.16)
Таким образом, неравновесные поправки перешли в выражение для дивергенции тензора давлений [12]. С учетом соотношений (2.12), (2.13) коэффициент объемной вязкости и релаксационное давление даются, соответственно, формулами:
< = пкФГ1, Рге1 =-пкФГ2, Ф = к + 4 ^ , (2.17)
где с^ (Т) — удельная теплоемкость при постоянном объеме, обусловленная внутренней энергией а -уровней. В общем случае выкладки упрощаются при использовании разложения искомых
функций б-^а в ряды по полиномам Вальдмана — Трубенбахера [13, 14] (за исключением, например, простых случаев, рассмотренных ранее [12]).
3. О ТОЧНОСТИ ДАННОГО МЕТОДА
Для расчета течений высокотемпературных релаксирующих газов правые части уравнений баланса (1.1), (1.6) и т. п. обычно представляются в виде полиномов с коэффициентами — константами скоростей физико-химических процессов (например, (1.16)), которые определяются при помощи соответствующих опытных и расчетных данных [15, 16]. В кинетической теории такая форма источниковых членов уравнений баланса получается, если их вычислять по локально-максвелловским функциям распределения частиц смеси газов по скоростям и пренебрегать возмущениями этих функций, обусловленными поступательной неравновесностью течения. Однако при наличии быстрых неупругих процессов эти возмущения нужно учитывать [7, 9]. При разложении заселенностей в ряд по малому параметру п1а = п||0) + бп^ +... это необходимо делать при вычислении второго члена разложения [12]. Проблемы, связанные с необходимостью учета возмущений, разработаны слабо.
В этом разделе дается анализ математического вопроса о точности изложенной в предыдущем разделе методики, в которой при определении величин бп^ (и, следовательно, коэффициента объемной вязкости и релаксационного давления prel) игнорируются указанные возмущения. При этом будем предполагать, что операторы Kiа в правых частях уравнений (1.1) являются строгим следствием соотношений кинетической теории, а не даются полуэмпирическими выражениями, так что полученные выводы будут характеризовать точность именно методики, а не феноменологической теории.
Обратимся к результатам первого приближения обобщенного метода Чепмена — Энскога [7]. Здесь необходимо отметить, что методика перехода от общих формул метода для соотношений переноса (вязкость, теплопроводность, диффузия) к формулам для частных случаев с принципиальной точки зрения сравнительно проста, особенно в неравновесном приближении Гиршфель-дера — Эйкена, когда в формулах достаточно заменить заселенности на их квазистационарные значения [1]. Однако для той части возмущения функции распределения, которая является скалярной функцией собственных скоростей частиц, методика перехода не столь проста, и дополни-
тельная цель данного раздела — его демонстрация. В указанном приближении функция распределения /а (С;, Е1а,г, = /а частиц газовой смеси по собственным скоростям С; и внутренним энергиям Е1а представляется в виде:
/ао] + /£] = +Ф*), (3.1)
где функция распределения нулевого приближения
Д0] = П ем гЫ = 11 а 111 а 11 > 11
' - ^3/2 ■ - тС
т;
2ккТ( у
ехр (|), |2 = . (3.2)
Функция первого приближения /а порядка числа Кнудсена Кп 1. Под ф1а понимается только та часть возмущения функции распределения, которая дает вклад в правую часть уравнения баланса заселенностей (она зависит от С2, Е1а; здесь и в дальнейшем зависимость функций распределения и газодинамических переменных от радиус-вектора г и времени t не указывается). Вместо формулы (1.15) справедливо выражение:
К;а = Ка] + Ка(ф). (3.3)
Первое слагаемое правой части (3.3) рассчитывается, полагая /а = , а второй член получается линеаризацией общего выражения для оператора К1а по возмущению ф1а относительно нулевого приближения /0°. Анализ необходимости учета второго члена проведен уже в исходной работе [7]. В безразмерном виде вместо (2.2) имеем:
+ ЩаУ-V = 1К4 + К£ + КПКа(ф), 1 = [1,Л], а = [о, .
Если 5» Кп 1, то в таком релаксационном случае последнее слагаемое правой части пренебрежимо мало. Однако в состояниях, близких к локально-равновесным по внутренней энергии частиц, 5 ^ 1 и при 5 ~ Кп это слагаемое становится равным по порядку величины левой части. Следовательно, его нужно учитывать при вычислении коэффициента объемной вязкости и релаксационного давления. Поэтому поставленный выше вопрос следует переформулировать так: какова характеристика погрешности определения коэффициента объемной вязкости и релаксационного давления без учета второго слагаемого правой части формулы (3.3), т. е. оставаясь в рамках феноменологического подхода и не привлекая сложную, во многом формальную процедуру кинетической теории.
Согласно обобщенному методу Чепмена — Энскога рассматриваемое возмущение определяется системой интегральных уравнений [7]:
4* = Оа- №, 1 = [1, а =
0, №
(3.4)
где слева — линеаризованный по ф1а и симметризованный оператор упругих и неупругих столкновений, У[а] — оператор неупругих столкновений нулевого приближения (рассчитываемый при
/. = /-[0]) 11а 11а ) >
" Па+у-v+—5(1)1)уЕ боПа!
+ У V + 31ТЬ12 (| )1аЕ;а л „ Г
1а 1а I ^ 3кт61 П
(3.5)
бП^-ПаУ- V +К1а]+Ка(ф), 2 )= |-|2,
где использованы формулы (3.1), (3.2). Используем тот вариант данного метода [8 — 10], когда заселенности и поступательная температура определяются нулевым приближением, т. е. справедливы определения
п1а= | ^СС,, Т( = XтI , (3.6)
1, а 3Пк
откуда имеем следующие условия нормировки:
I Г-ОЧаСС, = 0, XI АаЩ2СЮ, = ^$ (Щ2) сЮ, = 0. (3.7)
1,а
Следовательно, если представлять возмущение ф1а рядом по полиномам Сонина Б^ (Щ2),
п = 0,1,..., то в силу первого равенства (3.7) разложение не должно содержать слагаемое с индексом п = 0.
Перейдем теперь от общего случая к случаю, рассмотренному в разделе 2, когда 5 ~ Кп ■ 1 (для сокращения письма полагаем 5 = Кп ■ 1). Первое слагаемое правой части (3.4) порядка единицы, второе слагаемое (аналогично (2.2)) содержит члены разного порядка величины
т[0] = 1 т![0] + та[0] (3 8)
л 1а =5 ¿¡а + ¿¡а . (3.8)
(Для безразмерных величин применяются обозначения раздела 2). Снова используем разложение заселенностей в ряд (2.3) по 5. В нулевом приближении по 5 имеем:
40]= 0, 1 =[1, Щ], а = |~0,
Решением этой системы уравнений являются, естественно, формулы (2.4), (2.5). Поэтому теперь вместо выражения (3.1) имеем:
4 = пщ 4ЧГМ(1 + у*), ГО - ГО?а2 (Г,), а = О1О2 (3.9)
с погрешностью порядка 52. В равенстве (3.9) величина ща определена второй формулой (1.14),
функция Гщог — выражениями (2.5), величина //М — второй формулой (3.2), новая зависимая
2 I
переменная — функция независимых переменных С,- , Е1а.
Далее линеаризуем по 5 первое слагаемое правой части (3.8). В итоге оператор (3.8) преобразуется так:
ль 71ОИ+¿¡а101. (3.10)
В обозначениях предыдущего раздела имеем:
5^=гач, ка(5^)=Iла(¥(1))сю, <0=I^СЮ. (3.11)
В силу принятого предположения о соотношении времен релаксации пренебрегаем операторами столкновений с а2 -обменами в левой части (3.4) и в последнем члене второй формулы (3.5).
В оставшихся членах соотношений (3.4), (3.5) производим замену п1а ^ п1а /а4 . Первое слагае-
мое правой части (3.10) объединяется с левой частью уравнения (3.4). В итоге из системы уравнений (3.4) получим систему:
та [о]
'1а >
Ц (ш) = п /еч /.мО* - I1
Ча\Т) пю,2 1а 11 °1а ик
1 = [1, N], а = а1а2, а1 = 0, ^
(1) , (2)
(3.12)
а2 =
0, N2J')
Л ( Пи
оа = ^(Па 2 /а )+у- V+^да2 )Х Еа ^
;а2
П
£еч
■ча
Левая часть уравнения (3.12) /,1а(^) содержит линеаризованные операторы столкновений обычного для метода Чепмена — Энскога вида [13] , описывающие упругие взаимодействия частиц и неупругие с а -обменами. Газодинамическими переменными теперь являются П1а2 и Т
(см. формулы (1.14) и (3.6)). Они вычисляются при помощи функции распределения нулевого приближения, поэтому вместо условий нормировки (3.7) должны выполняться следующие требования:
П П;а 2 С /м¥;а 6С; = 0, X I Па2 ^ 4Ы$(|2 )а С 0. (3.13)
а1
1,а1,а2
При этом учтены равенства
X С = 1, I /Ы6С; = 1.
(3.14)
а1
После необходимых преобразований выражения для О*а из системы (3.12) следует система неоднородных линейных интегральных уравнений, решение которой при условии выполнения требований (3.13) существует и единственно. Естественно, что такая же система получается при использовании метода Чепмена — Энскога, модифицированного для случая смеси газов с быстрыми и медленными физико-химическими процессами [13].
Представим возмущение у1а в виде ряда по полиномам Сонина:
^Й+У^ X ^К)?!2 ), Й = Ьа0), ^ = Хь(аП)5(2)(|2).(3.15)
п>0
п>1
Здесь использованы обозначения из выражений (2.9), (3.2), а также учтено равенство ^1/2 () = 1. Умножая последовательно уравнения (3.12) на 5(П)(И/2)бС1, П = 0,1,2,..., и интегрируя затем по С;, получаем систему уравнений для коэффициентов разложения. Для поставленной цели ограничимся простейшим приближением: опустим слагаемое , т. е. учтем только один член разложения. Иными словами, ищем приближенное решение рассматриваемой системы уравнений в виде:
у(1)= Ь0^1)/ /7 еч
т;а и 1а I 11а
(3.16)
Первое требование (3.13) удовлетворяется последним равенством (2.3), выполнение второго обусловлено ортогональностью (при интегрировании по С1 с весом /1м) полиномов Сонина
¿>1/п) (|2), п > 1, к единице. С учетом (3.16) получим:
Подставим эту замену в уравнение (3.12), умножим его на сЮ1 и проинтегрируем по С 1.
В силу ортогональности обращается в ноль интеграл от второго слагаемого выражения для 0*а . Учтем соотношения (3.11, (3.14). В результате сначала получим систему уравнений (2.8), которая затем, после применения операторов С0/ &, приводится к окончательному виду (2.11).
Таким образом, решение (2.12), получаемое при феноменологическом подходе, соответствует учету только одного (п = 0) члена разложения решения соответствующей системы интегральных уравнений модифицированного метода Чепмена — Энскога в ряд по полиномам Сони-на, при условии, что температура определяется по кинетической энергии частиц, когда справедливо второе требование (3.13). Попутно продемонстрирован переход от общего к частному в рамках обобщенного метода Чепмена — Энскога для скалярного возмущения функции распределения и доказана разрешимость задачи.
Полученный результат справедлив и для более сложного случая, когда к быстрым относятся все рассматриваемые физико-химические процессы, т. е. вращательные (а^ и колебательные (а2) обмены и бимолекулярные химические реакции (электронные обмены заморожены). При этом функции распределения частиц близки к локально-равновесным [14]:
4 = 40](1+уа), ¿0]= п(пс,т()4ЧГ.
Для реагирующих компонентов плотности щ — термодинамические функции от числовых плотностей химических элементов (в простейшем случае — атомов) пс [1] и поступательной температуры Т; — локальная больцмановская функция от вращательной и колебательной энергий частиц; /М — локальная максвелловская функция (см. формулы (3.2)). Для определения рассматриваемых здесь скалярных возмущений у 1а имеем систему линейных интегральных неоднородных уравнений [14]:
д Д0] дД0]
д0 /*.+ %1 = 4а(¥), у = [1, Л], а =
0,
(3.17)
дt ™ Эг
где ^ — скорость частицы, внешние силы не учитываем, ]1а (у) — линеаризованный оператор
упругих и неупругих столкновений реагирующих частиц. По функции распределения рассчитываются газодинамические переменные п, Пс, Т. В результате изменяется первое требование (3.13), однако структура решения снова дается формулами (3.15), где независимые переменные е^ дополняются переменными, обусловленными химическими реакциями [14]. Новая величина у^ ортогональна полиномам Сонина с индексом п > 1. Выполнимость второго требования (3.13) обеспечивается возможностью вычисления числовой плотности п при помощи функции распределения нулевого приближения. В случае диссоциации-рекомбинации такая возможность отсутствует [14], так как в величину п дает вклад первое приближение, и необходим более детальный анализ поставленной здесь задачи.
Учитывая снова только у(а, заменяя правую часть (3.17) на £/а(у(1)), интегрируя это уравнение по С1, найдем, как и выше, систему уравнений, аналогичную (2.8):
Со ((пс, Т) 4Ч)+п (пс, Т) • V = ка (6^
Аналога последнего члена выражения (2.8) здесь нет, так как медленные процессы отсутствуют. Последующие выкладки носят более сложный характер. В итоге находим формулу для объемной вязкости; релаксационное давление в данном случае быстрых физико-химических процессов равно нулю [14].
4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Таким образом, степень точности рассмотренного метода соответствует степени точности вычисления скалярной поправки к функции распределения нулевого приближения путем учета
только главного (п = 0) члена разложения решения по полиномам Сонина Б^^Ш2), п = 0,1,...,
при определении температуры как поступательной. Этот вывод справедлив для условий, когда являются медленными процессы возбуждения химических реакций, более сложных по сравнению с бимолекулярными (например, диссоциация-рекомбинация). Важно подчеркнуть, что разложение по полиномам Сонина обычно дополняется разложениями по полиномам, зависящим от тех переменных функций распределения нулевого приближения, которые обусловлены быстрыми физико-химическими процессами, причем вычисление коэффициентов переноса проводится в главном приближении по полиномам [13, 14] (исключение — существенно ионизованные газы). Анализ точности получаемых таким способом формальных выражений для релаксационного давления практически отсутствует, не указаны убедительные примеры существенности его учета для газодинамических приложений.
Для объемной вязкости сравнительно полный анализ проведен только для простого газа с возбужденными вращательными степенями свободы. При определении температуры Т как поступательно-вращательной скалярное возмущение функции распределения ищется в главном приближении —
в виде суммы полинома Сонина Б^1 (IV2) и полинома Вальдмана — Трубенбахера Р(1) (еа)
с искомыми постоянными коэффициентами [4] (для простого газа индекс 1 опускается, а = ак). При использовании понятия поступательной температуры Т учитывается только полином
Р(1) (еа) [12]. После вычисления скалярного возмущения и переопределения температуры (Т ^ Т) находится [12] выражение для коэффициента объемной вязкости с , совпадающее с полученным указанным способом [4]. Тот же результат получается, естественно, методом, изложенным в разделе 2, если представить искомую функцию б^ рядом по полиномам и учесть
только первый член ряда, пропорциональный полиному Р(1) (еа).
Оценки точности такого главного приближения проведены в ряде работ (например [17]), в которых дано сравнение различных расчетных и экспериментальных данных по коэффициенту объемной вязкости с газа (N2, СО и т. п.). Указано, что погрешности могут быть значительно больше (< 10%) соответствующих погрешностей для остальных коэффициентов переноса. Однако такая ошибка, по-видимому, несущественна на решениях газодинамических задач при помощи уравнений Навье — Стокса в силу относительной слабости влияния объемной вязкости. Для проявления этого влияния нужно выполнение ряда условий: температура достаточно высока для возбуждения внутренних степеней свободы молекул и, тем более, химических реакций (если эти процессы заморожены, то с = 0); дивергенция скорости — основного порядка величины; значительно влияние нормальных компонент тензора вязких напряжений на поле течения (в сдвиговых течениях дивергенция скорости равна нулю). Благоприятным примером значимости объемной вязкости является линейная одномерная задача о распространении звука. Коэффициент поглощения звука пропорционален следующей величине:
(4 с у-1 ^ 4п (лл 3с ^ 1 ъ 1 ' 4 1.4 + - ъ
П
- + —+ -
3 п Рг ) 3 I 4п
Здесь первое слагаемое слева обусловлено вязкостью, второе — объемной вязкостью, третье — теплопроводностью. Для азота число Прандля Рг = 3/4, отношение удельных теплоем-костей у = 7/5, поэтому получаем правую часть представленного выражения. При Т ~ 1000 К коэффициент объемной вязкости с равен примерно коэффициенту вязкости п [12] и отношение второго слагаемого правой части выражения к первому, которое характеризует значимость влияния объемной вязкости, составляет ~ 0.54. Более сильное влияние оказывается на дисперсию звука, однако оно имеет место при учете барнеттовских слагаемых соотношений переноса [12]. Показана также существенность влияния объемной вязкости на критическое число Рейнольдса
в сжимаемом течении Куэтта [18]. Однако одновременное выполнение всех описанных условий встречается сравнительно редко, и указанные погрешности определения коэффициента объемной вязкости на решениях большинства задач представляются в настоящее время незначительными, хотя необходимы, конечно, систематические исследования влияния объемной вязкости на сильно нелинейные нестационарные диссипативные течения. Следовательно, на базе имеющихся данных можно сделать вывод, что рассмотренный приближенный метод имеет приемлемую точность при исследовании течений простых газов.
Для течений смесей многоатомных газов, особенно реагирующих газов с быстрыми процессами диссоциации-рекомбинации, необходим дальнейший анализ значимости объемной вязкости и релаксационного давления и точности рассмотренного выше метода. При этом следует иметь в виду, что в сложном поле обтекания тела многокомпонентной смесью высокотемпературных реагирующих газов быстрым процессом, как правило, является возбуждение вращений молекул, остальные физико-химические процессы релаксируют, причем их скорости релаксации сильно изменяются в поле течения и могут резко отличаться друг от друга. Объемная же вязкость определяется быстрыми процессами. Поэтому результаты указанного анализа значимости будут различны для различных ситуаций.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 10-01-00745-а, № 11-08-00832).
ЛИТЕРАТУРА
1. Галкин В. С., Лосев С. А. Систематизация уравнений релаксационной газовой динамики // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 4, с. 3 — 25.
2. Галкин В. С., Лосев С. А. Уравнения релаксационной газодинамики // Электронный журнал «Физико-химическая кинетика в газовой динамике». http:/www.chemphys.edu.ru/ pdf/2008-02-01-001.
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. X / Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Физическая кинетика. — М.: Физматлит, 2001, 536 с.
4. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. — М.: Мир, 1976, 554 с.
5. E r n A., G i o v a n g i g l i V. Multicomponent transport algorithms. — N. Y.: Springer,
1994, 427 p.
6. Bottin B., Vanden Abeele D., Magin Th., Rini P. Transport properties of collision-dominated dilute perfect gas mixtures at low pressures and high temperatures // Prog. Aerospace Sci. 2006. V. 42, p. 38 — 83.
7. Kogan M. N., Galkin V. S., Makashev N. K. Generalized Chapman — Enskog method: derivation of the nonequilibrium gasdynamic equations // Rarefied Gas Dynamics. Paper 11th Int. Symp. Cannes, 1978. — Paris, 1979. V. 2, p. 693 — 734.
8. Мацук В. А., Рыков В. А. О методе Чепмена — Энскога для смеси газов // Докл. АН СССР. 1977. Т. 233, № 1, с. 49 — 51.
9. Галкин В. С., Коган М. Н., Макашев Н. К. Область применимости и основные особенности обобщенного метода Чепмена — Энскога // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 3, с. 126 — 136.
10. Kogan M. N. Kinetic theory in aerothermodynamics // Prog. Aerospace Sci. 1992. V. 29, № 4, p. 271 — 354.
11. Галкин В. С. О переносных свойствах неравновесных смесей многоатомных газов // Изв. РАН. МЖГ. 1995. № 2, с. 183 — 189.
12. Галкин В. С., Русаков С. В. К теории объемной вязкости и релаксационного давления // ПММ. 2005. Т. 69, вып. 6, с. 1062 — 1075.
13. Нагнибеда Е. А., Кустова Е. В. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. — СПб: Изд. СПбГУ, 2004, 270 с.
14. Рыдалевская М. А. Статистические и кинетические модели в физико-химической газодинамике. — СПб: Изд. СпбГУ, 2003, 248 с.
15. Физико-химические процессы в газовой динамике / Под ред. Г. Г. Черного, С. А. Лосева. Т. I (второе изд.). — М.: Научный мир, 2007, 399 с.
16. Физико-химические процессы в газовой динамике / Под ред. Г. Г. Черного, С. А. Лосева. Т. II. — М.: Изд. МГУ, 2002, 367 с.
17. Heck E. L., Dickinson F. S. Traditional transport properties of CO // Physica A.
1995. V. 217, p. 107 — 123.
18. Григорьев Ю. Н., Ершов И. В. Энергетическая оценка критических чисел Рейнольдса в сжимаемом течении Куэтта. Влияние объемной вязкости // ПМТФ. 2010. Т. 51, № 5, с. 59 — 67.
Рукопись поступила 24/I2011 г.
