Многотемпературные процессы в химически реагирующих газовых смесях Текст научной статьи по специальности «Физика»

. ' ■: ' '.

^ : V ' - . - ■ - ' -

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XII 19 8 1 №4

УДК 533.6.011

МНОГОТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ХИМИЧЕСКИ РЕАГИРУЮЩИХ ГАЗОВЫХ СМЕСЯХ

О. Г. Бузыкин, Н. К. Макашев

1 " Ф ’ - ‘г - - ' : Л Г. :'

- : * ' .

Рассматриваются уравнения многотемпературной газодинамики, которые описывают течения смесей химически реагирующих газов с существенно различными массами молекул реагентов. Эффект возникновения разницы в температурах поступательных степеней свободы демонстрируется на примере пространственно-однородной реакции. Для этого же случая рассмотрено решение на кинетической стадии процесса, не описываемой макроскопическими уравнениями. В результате получены оценки величин скачков концентраций и поступательных температур компонентов в начальном слое.

■ I

1. Уравнения для течений химически реагирующих газовых смесей с различными поступательными температурами компонентов были получены в [1, 2], исходя из предположения о том, что каждый из компонентов характеризуется своей собственной поступательной температурой. Однако такое описание в некоторых случаях приводит к тому, что получаемое решение обладает свойствами, несовместимыми с условиями применимости гидродинамического описания (см., например, задачу, решаемую в [2]).

Между тем, из этих же условий следует, что на гидродинамической стадии процесса поступательные температуры компонентов, молекулы которых обладают сравнимыми массами, должны быть близки настолько, что в главном приближении их можно считать совпадающими друг с другом. В связи с этим газодинамические уравнения целесообразно строить, приписывая одну поступательную температуру компонентам, массы молекул которых соизмеримы между собой.

Далее для простоты рассматривается смесь, компоненты которой могут быть разделены только на две группы „легких11 и „тя-желых“ молекул. Поэтому в газодинамические уравнения входят две поступательные температуры Тт и Т м, первая из которых соответствует легким компонентам смеси, а вторая — тяжелым.

Для получения необходимых газодинамических уравнений был использован метод, аналогичный в основном примененному в [3].

.IV-

3

Поэтому ниже приведем лишь результат, ограничившись при этом решаемыми в дальнейшем уравнениями основного приближения, точность которых обсуждается в п. 3 данной работы.

Везде далее введем нижние индексы из греческих букв для обозначения величин, относящихся к легким компонентам смеси, •а из латинских букв — для величин, соответствующих тяжелым компонентам. Уравнения многотемпературной газодинамики в основном приближении запишем в виде

■0/2— /т ОЩ /Лу I) 0 ^

-ж- += щ сііу и = R\\, -^г- = —-)-иу,

+ + \У(Х

Р/

кпм + пм k Тм div и = - 4 Ым Я $ + 2 W?j+ wmr,

ір

р =—vP’ р=X + 2 ті пі’

'V

Dt

Р /

/>'=6(VmX«p + Гж2

V р і /

««=£% ллг-Е-лу, /^=2^0\ =.£/?$

(і.і)

В уравнениях (1.1) использованы обозначения: ^ — числовая плотность молекул 1-го сорта; mi — масса молекулы этого сорта; я — среднемассовая скорость газа; k — постоянная Больцмана,-

R? = X ^Р(0) + 2 R°i[0) + £ Я«/(0>, ^?2(0)= Г 4- (/о, /о)

Pf5 /Р* jlk J Z

Rf' - 2 R',r + Z ЯГ + S «Г + V ЙР, c, = 1, -11,

Рл P/* /w /ftp

1^2

(0)

^(0)+ S r°/<0)+ S ^/(0),

а(3^8 a/pfe a/7&

=X Ирї(0)+ E wf(0)+ 2 ^(0)+ 2 w‘f{0)>

і Pn <P/ft iikl ijkft

J*~~ Ji2 (fo> fo)dcv

(1.2)

Величины (1/2) J\2(f, f) и (1/2) /i2(/, /) представляют собой интегралы упругих и неупругих столкновений в уравнении для ft — Функции распределения по скоростям молекул 1-го сорта, соответствующие процессам при столкновениях молекул 1-го и 2-го сортов. Определяемые выражениями (1.2) реакционные и обменные слагаемые в уравнениях (1.1) вычисляются по максвелловским функциям fa0 = na (Aa/TC)3/2 ехр-(— А* с\), /,■ 0 = п, exp (— hi cf),

K = ma/2kTm, ht — m^IkT м. Выражения для Rn0), и W?2(0) при ведены в [2, 3]. В соответствии с основным предположением данной работы в этих выражениях необходимо перейти к двум температурам Тт и Тм-

2. Система уравнений (1.1), (1.2) существенно упрощается в случае пятикомпонентной газовой смеси, аналогичной рассмотренной в [2], где предполагалось, что в присутствии нейтрального разбавителя А1 (далее для определенности считаем, что т1—М) в газе протекает одна реакция

А* + ЛггЛр + Aj, та, р~/я </И, /яг>/~Л1

(2.1)

В этом случае в уравнениях (1.1), (1.2) отсутствуют слагаемые,, относящиеся к неупругим процессам вида Аа + А1 + А%, Аа + - А А]Ак, А1 + А] 5=^ Ак Аи в том числе и R<'nl'=— 1^м =

- V «з®.

а \1к

Воспользовавшись результатами работ [2, 3], можно показать,.

что

По П!

S Wti = Ш - Тт) 2 -J^PL (4) = -Е

р j р/ Р/ /р

(0) /Р *

(2.2)

Р/

Р*(0)______ ТКгР/<0)

«/

НЯГ + = apj га Яр tij

a/p*

Г, Г;

^аг (7*ai) Яа Я j

3 , Т* Ті

-о" к -------------*—

2 т*

at

грі

ЬТу Up 4- — И» — V-iPj^k

/

kTai I (*a

yp / Г?

+ ^р/ (71 p/) ftp tij

•f" ai)

_ c«<" DP/(0)

— CpI Aaf эР/(0)__ D/P(0) =_____________пЭД _____________ ____

2 т*

УР/

— Ы + Iі; ^Р/ (V

({*« — Нр) +

Р/

+

Ту)2

г

ур/

( N г*2

\ а/

УР - V-iV-jV-vk

(7. - Г,)2

X 1^/р<0> == £■ I/ /?^;(0) - ^fa(0) •

«Р.л

(2.3)

^ ЯрГ; = ар/ (ЩЩ tij - ай (Гч) «а п, (2.4)

В выражениях (2.2) — (2.4) использованы обозначения Т*а1 = = t*a 7/ + h T’a, Р* = trialrtlai, ttlai = ttla +. = £« + E t~E9 — E>, Где

Ea — внутренняя энергия молекулы сорта а. Кроме этого в (2.2)— (2.4) следует считать, что Та = Тр = Tm, Тг = 7} = Тг — Тм. Остальные обозначения совпадают с принятыми в [2].

Выражения X Wik/0) и X >^1||<0) описывают влияние выделения

S/Р* /Р/7

или поглощения энергии в реакциях на величину энергии поступательных степеней свободы легких и тяжелых компонентов смеси. В том, что это влияние проявляется совершенно неодинаково, можно убедиться, совершив в (2.3) предельный переход (m/М) -* 0. В результате с погрешностью O(mjM) имеем

Wm°] + wfi(0) = еЦ Rl\m [1+0 (тШ)\, =0[(m/M)E;lRUw].

w${0) + W‘a?

МО)

Отсюда видно, что основное влияние энергообмен в неупругих столкновениях оказывает на легкие компоненты смеси. Это обстоятельство, а также замедленный обмен поступательной энергией

при упругих столкновениях легких и тяжелых молекул, могут привести к возникновению многотемпературности по поступательным степеням свободы, если характерное время течения или процесса не превышает времени выравнивания температур Тт и Тм.

В качестве примера рассмотрим пространственно-однородную реакцию (2.1), начинающуюся в смеси в момент времени £ = 0. Будем считать, что до начала реакции смесь содержала лишь разбавитель Лг и компоненты А* и Л,-. В этом случае уравнения системы (1.1) приобретают вид

апа йщ а’Ъ й'Ч П?П0) Лп1 а

/\« . ’ Лл. ^5

dt dt dt dt Va< > dt

4- knm = w%{0)+

aJ

3 kriM = 16k (Tm - ТЛ()Е -~-(V (T*aj) + WT\

*]

(2.5)

Начальные условия к системе уравнений имеют следующий

вид:

fta = «ao, «< —% о, «г = /гг0. Яр = Я; = 0, Тт = Тм=Т0. (2.6)

Следствием уравнений (2.5) и условий (2.6) являются соотношения nm == «ao = const, = п10 + гег о = const. В результате можно получить оценку производных dTmjdt и dTMjdt в момент времени * = 0. , '

_3_

2

4- knm (- ~)й = - £$ ОЙ (Т0) пм ni0> (т).'= 0 [“Ж" ^ (7о) л»

(2.7)

Из (£.7) следует, что в случае экзотермической реакции компонентов Ла и Лг температура легких компонентов смеси будет превышать температуру тяжелых [2]. Если же реакции между Ла и А1 является эндотермической, т. е. если Е1) > 0, то между Тт и Тм будет иметь место обратное соотношение [4].

На рис. 1—3 приведены примеры расчета пространственнооднородной реакции, происходящей в модельной смеси газов, которая по своим свойствам аналогична смеси, рассмотренной в [2].

На рис. 1 показаны результаты расчета изменения со временем температур Тт и Тм ^ объемной концентрации одного из компонентов — продуктов реакции. При этом предполагалось, что реакция начинается в смеси с концентрациями [Ла]0о: И ;1оо • [-''Чоо — = 0,3:0,3:0,4 при температуре Т0 = 300 К. По оси абсцисс отложено безразмерное время t = t%|x0; временной масштаб определяется из равенства рй10— 1 ат. мкс, ра — начальное давление смеси.

На рис. 2 пунктирными кривыми представлена зависимость Тт и Тм от объемной концентрации одного из продуктов реакции.

Для сравнения сплошной кривой показан аналогичный расчет температуры смеси „в целом14 Т{, проведенный в предположении, что Тт = Тм — Т(. .

Исходя из представленных на рис. 1 и 2 данных, можно сделать вывод, что в данном случае реакции в газе протекают в существенно двухтемпературных условиях.

Поскольку в рассматриваемом случае Тт— Тм, то при (т/М)<^ 1 определяющие температурную зависимость констант скоростей реакций аЦ и а$) комбинации и Ту: с погрешностью О (т/М)

№

НА

Рис. 2

0,1

Рис. 3

совпадают с Тт. По этой причине учет многотемпературности может существенно повлиять на вычисляемую скорость химических реакций.

На рис. 3 показано сравнение результатов расчета зависимости от [Л,-] температур легких компонентов смеси Та (пунктир) и Тр (сплошная линия), проведенного в рамках подхода работы |2] при тех же, что и в [2], начальных степенях выгорания реагентов {Лу-]0/[Лу]оо = 0,1; 0,01; 0,001; 0 на кривых 1, 2, 3, 4 соответственно, и температуры Тт (кривая 5). Видно, что после сдвига, учитывающего начальное значение [Лу], кривые практически совпадают между собой за исключением небольшого переходного участка, на котором сказываются начальные условия для температур Та

и Гр. Представленные результаты подтверждают рекомендации работы [2] по выбору „эффективных11 граничных _условий для решений рассматриваемой здесь задачи в рамках подхода этой работы.

3. Для оценки точности полученного решения задачи о пространственно-однородной реакции рассмотрим влияние на него отклонения fai от максвелловских распределений и кинетического этапа эволюции газа, т. е. начального слоя.

Пусть т иМ — характерные значения масс молекул легких и тяжелых компонентов смеси, причем 'т<^М. Тогда, если тт — время между столкновениями легких молекул друг с другом, то тяжелые молекулы сталкиваются между собой через время порядка — 'с1в(М/иг)Ч2. Будем предполагать, что энергии порога реакций и их тепловые эффекты являются величинами одного порядка с энергией теплового движения молекул. В результате вероятности прямой и обратной реакции сравнимы между собой. Обозначив величину этой вероятности через w, для времени между неупругими столкновениями получим оценку tjj —

В рассматриваемом пространственно-однородном случае эффективное упругое взаимодействие т и М — молекул происходит за время порядка тд — хтМ\т'^>хт, поскольку в разложениях перекрестных интегралов столкновений по степеням (от/М)1/2 [5, 6] главными членами являются (mjM) 1/2 Jeaf} (/, /) и (т/УИ)1/2 У?12) (/, /).

Условие применимости макроскопического описания в данном случае заключается в неравенстве: max (тот, — Отсюда

для параметров молекул и сечения неупругих столкновений следует ограничение

w «С (т/М)112. (3.1)

/. ' I ' '

Химическая реакция протекает в существенно многотемпературных условиях, если В этом случае неравенство (3.1)

должно быть дополнено таким

I (mjM.)^w. (3.2)

Везде в дальнейшем неравенства (3.1) и (3.2) считаются выполненными.

Поправки к максвелловским функциям распределения имеют величину порядка для легких компонентов смеси и iM/-zR для

тяжелых. Последнее отношение, очевидно, больше первого. В результате погрешности, вносимые в решение из-за пренебрежения этими поправками, сравнимы с величинами т^/т^^и^УИ/т)1'2 — максимальным числом Кнудсена процесса, которое в силу (3.1) много меньше единицы.

Погрешность, вносимая неучетом влияния начального слоя, а именно — начальных скачков макропараметров, также оказывается весьма малой. Оценим ее величину, предполагая для простоты изложения величину комплекса wM/m сравнимой с единицей. При этом из условия (3.2) исключается более сильное неравенство (m/М) <С те». Это ограничение не является принципиальным, а проводимое далее решение без труда обобщается на случай, когда zR тЛ.

Решение системы кинетических уравнений для функций распределения представим в виде

Jq = fqH (tft) + A fg (tM), /7 =Ля (in) + Д/т (tm) + §/т (tM),

tR = t(xR, tM = t/^M, tm = t\tm,

где fq.tH—газодинамическая часть решения, соответствующая макроскопическому описанию; Afq(tM) и Д/Т(^т)— кинетические поправки, затухающие при tMсо и tm -> оо, S/7(^) —квазигидро-динамическая часть решения для легких компонентов, обусловленная взаимодействием с тяжелыми компонентами и химическими реакциями на временах tM — 0{\). Функции §/т(^ц) должны затухать вместе с Дfq(tM) при tM -> Начальные условия для функций распределения зададим следующим образом

Л(0)=Лоо. 2 = /,/; /а(0)=/а00; //(0)=/р(0) = 0, (3.3)

где fzо и /ао — максвелловские функции распределения. Дополнительный нижний индекс „0“ относится к величинам в момент времени t = 0.

Кинетические поправки Д/имеют величину порядка w(Mlm)11'2 в случае тяжелых компонентов смеси и порядка w в „случае легких компонентов. Поэтому Д/9, т представим в виде

. • . - ' ' . ' - . -

A/z=/zoo® y^Fz(tM)> АД—/«оо

bfj=ri00™V^F*(tM),

где функции /г=0(1), а/*„(, и определяются выражениями

\ /*оо = л*о (hj оМ312 exp (— hj о с2), п* 0 = (dnjldtk) о,

/р оо = «р о (Лр о/-)3/2 ехр (— /гр о с2), Ар’ о = m$l(2k Т0).

Верхнюю оценку величины 8/ в решении для легких компонентов можно получить из сравнения интегралов

-J- Yy^*(/oo. ДЛ I^->*(/00, Д/)

с дифференциальной частью уравнения Больцмана для Л„ — молекул, определенной на временах порядка хм. Здесь второй интеграл-часть интеграла неупругих столкновений, которая описывает убыль Ла —молекул из-за химической реакции Ла 4-Лг -»• Лр + Ау Верхний индекс „ * “ в обоих случаях указывает на то, что порядок расположения функций распределения в скобках соответствует порядку нижних индексов при интеграле столкновений. Указанное сравнение позволяет заключить, что

= — Фа(^и), 8/р=/!00®2 — Фр*М, Фа, Фр*=0(1).

m р и m

6—„Ученые записки* т4 4 81

С помощью уравнений сохранении можно показать, что скачки макропараметров в начальном слое не являются независимыми величинами, а связаны между собой соотношениями

Па (0) = Па. 0 — п* о (0) + -да3 (М/т) (0)] = па о — па і;

Щ (0) = п) (0) = Па Ь 1%1 (0) = п10 — Па і;

Тт (0) -

+ чп

дГв(0) + -Ж- ДГр(0)

а 0

1 2 'Л*

-р *ш- —

т

87а(0) + ^8Г;(0)

а 0

п.

Тт (0) — То

Т0

■ Пм ■

Тм (0) - Г0

= 0; 2 п

3 кТ,

а 1 р[В/

(3.4)

Так как йп4/^ = 0, концентрация разбавителя смеси не испытывает скачка в начальном слое.

Здесь плотности па, I, р,/(0) и температуры Тт-М{0) представляют собой начальные условия для решения макроскопических уравнений с учетом влияния начального слоя. Кроме этого в (3.4) использованы обозначения

^ ^• {«£1” 1Л" {•!

<ЛТа

(ДТе

|ЗГ,я

„2 Г1Р ср

йся.

Для решения поставленной задачи воспользуемся методом,; предложенным А. Б. Васильевой [7] и развитым для применения к решению уравнения Больцмана в работах [8, 9].

Запишем обезразмеренные уравнения, которым удовлетворяет основное приближение к кинетическим поправкам к решению уравнений Больцмана для легких и тяжелых компонентов

д р і /а 00 —ТТ” = Л. (/оо, /оо Я°>) + 4 Л1 (/00, Ґ00 ^),

/;

ді,

і

(3.5)

оо ді

м

==2 4-■/&(/£> /00), 5-І, /,

(?к0)

/гоо-^ = 2^(/оо, /оо^(0)) + 4-^(/оо. /оо^(0)).

(3.6)

Можно показать, что функции /^0) и /^<0), удовлетворяющие уравнениям (3.5) и условиям затухания при -* оо, не дают вклад ни в скачки концентраций компонентов, ни в скачок температуры

Тт. 'Аналогично, решение уравнений (3.6), удовлетворяющее условиям затухания при -*■ оо, обладают свойствами

П2 „ Дг4°) - j%00П0) dcz = О, п% Лг)*(0) = f fj оо F*(0) dcj - О, > A-ktiM T0 дт№ = £ Jh 00 ^0> -=£■ dcz +

(3.7)

„2

+ \ fj оо ^/(0) —р- dCj = 0.

Уравнение основного приближения для Фр, справедливое для вре-

мен порядка 1М, (1/2) Jfa (/ад ф*<0), /оо) = 0, имеет решение Фр(0) =

= 8т)*(°) — произвольную функцию времени Ьм, не зависящую от

скоростей молекул.

Справедливое для масштаба времени тм уравнение

-С(/00, /ооФ(0))=0,

имеет решение

Ф<°> = 8Ч<°> + (ha 0 cl - 3/2) (ЗТ'0) - 8-п£°>),

■■ ■ ' ;■' ' ’v ,

где 8т,10) и 87l0) произвольные неопределенные функции tM, которые также как и 8т]*(0> определяются из условий разрешимости

уравнений для поправок к Ф10) и Фр(0), сравнимых по порядку величины с (т/М)Щ Эти выражения имеют вид

Г 1 /“<(+) If f rl л

—Ji---------= \~2JU (/«00, Ji oo * / )acp,

"P° dtM

аЬг^ _[ 1 {т-)(* * й81)з(0)

ИцО ^ J — •'м ч/оо» /оо^

^-па0кТ0-^- [87<0)- 8^] = (X I’ ^Г~ X^(/оо, /оо /7(0))^«+

2 те; Ля [ г ^

+ /-775Г"/оо/7*(0))^.}+|^-^^М*(/оо, /ооЯ0))^+

+ ■/й/(+> (/“«>» /оо /=10))<%. (3.9)

Используя (3.7), из уравнений (3.8) и (3.9) можно получить, что с погрешностью, величина которой не превосходит О ((от/М)1/2), справедливы следующие равенства

dtM

(3.8)

„ <*чо) * <*ч(0> n

° dtM ~П90 dtM ~ °>

(3.10)

-n.„kT,pj»_» /.«>>(/„ fwFm)dc„.

Согласно условию затухания 8/ap при tM->oo величины 8^°)

и 07]*<°) равны нулю при tM со. В соответствии с (3.10) они равны нулю при произвольных tM, в том числе и при tM — 0. Поэтому в рамках принятой точности решения скачки концентраций компонентов в начальном слое равны нулю. В целом же их величина может быть оценена как o(w2M/m).

Если функция Fi0) обладает таким законом затухания при t.u -> со, что интеграл от правой части второго выражения в (3.10) по времени Ьм от Ьм = 0 до tM -* сходится, то величина 8Га(0) определяется формулой

°° 2

±пткТ0ЪТ?\0)=-^^=-^ J [f00FM)dc,dtM.

о

Поэтому в общем случае скачки поступательных температур Тт и Тм, которые определяются согласно (3.4) по 87t0)(0), имеют величину О (W).

Интересно отметить, что, если концентрация разбавителя реагирующей смеси равна нулю или достаточно мала, или масса молекул At близка к массам молекул тяжелых компонентов, участвующих в реакции, то в рассматриваемом приближении о7'°а)(0)=0, а скачки температур Тт и Тм имеют величину о (w).

Из проведенного выше рассмотрения следует, что погрешности, вносимые в решение из-за влияния начального слоя, значительно меньше погрешностей О (w J/^M/m), обусловленных влиянием возмущения максвелловских функций тяжелых компонентов на временах порядка iR.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мацу к В. А., Рыков В. О. О методе Чепмена — Энс-кога для многоскоростной многотемпературной реагирующей смеси газов. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.“, т. 18. вып. 5, 1978.

2. Бузыкин О. Г., Макашев Н. К. Многотемпературность по поступательным степеням свободы молекул, обусловленная экзотермическими реакциями. Динамика разреженных газов. Ч. I, Труды VI Всесоюзной конф. 1979 г., Новосибирск, 1980,

3. Галкин В. С., Коган М. Н., Макашев Н. К. Обоб-^ щенный метод Чепмена — Энскога. Ч. II. Уравнения многоскоростной

многотемпературной смеси газов. „Ученые записки ЦАГИ“, т. VI,

№ 1, 1975.

4. Осипов А. И., Ступоченко Е. В. Нарушение максвелловского распределения при химических реакциях. Реагирующая однокомпонентная система в термостате тяжелого газа. ТЭХ, т. 6, вып. 6, 1970.

5. Lo Surdo С. Coffision integral between particles of disparate mass. „J. Plasma Physics", vol. 6, part. 1, 1971.

6. Жаров В. А. Функция распределения электронов в переменном внешнем поле в слабоионизованной движущейся молекулярной плазме. Труды ЦАГИ, вып. 1954, 1978.

7. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.г „Наука”, 1973.

8. Нагнибеда Е. А. О модификации метода Энскога-Чеп-мена для смеси реагирующих газов с учетом быстрых и медленных процессов. Вестник ЛГУ, 1973, № 7.

9. Валландер С. В., Нагнибеда Е. А., Рыдалев-ская М. А. Некоторые вопросы кинетической теории химически реагирующей смеси газов. Изд-во ЛГУ, 1977.

Рукопись поступила 25II 1980 г.