Обобщение одной конструкции Уитни Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 515.164.6

ОБОБЩЕНИЕ ОДНОЙ КОНСТРУКЦИИ УИТНИ А.В. ЖУБР

Отдел математики, Коми научный центр УрО РАН, г.Сыктывкар [email protected]

Предлагается некоторый аналог известного «трюка Уитни» для случая, когда размерность объемлющего многообразия меньше суммарной размерности двух подмногообразий и, следовательно, размерность их трансверсального пересечения положительна.

Ключевые слова: пересечение подмногообразий, трюк Уитни, связная сумма

A.V. ZHUBR. A GENERALIZATION OF A CONSTRUCTION OF H. WHITNEY

The well-known construction of H. Whitney (also called "Whitney trick") appeared in the paper [1], where it was used for eliminating self-intersections of a closed smooth manifold immersed in n ^ 3. The same construction played an im-

portant role in Smale's proof of the ^-cobordism theorem [2, 3]. We remind that Whitney construction allows, in short, to eliminate a pair of transversal intersection points of two oriented submanifolds embedded in a manifold of the summary dimension by an appropriate isotopy of one of the submanifolds, on the condition that the signs of intersection points are opposite (and assuming some other conditions that are discussed in this paper). The significance of this construction for differential topology is that, consecutively removing pairs of intersection points with opposite signs, we finally obtain a pair of embeddings with minimal possible number of intersections, equal up to sign to the intersection index of the corresponding homology classes; in particular, in the case where the intersection index is zero, we get a disjoin pair of embeddings.

The goal of this paper is to prove a generalization of Whitney construction to the case where the intersection of two submanifolds is positive dimensional, in other words the dimension of ambient manifold is less than the summary dimension of submanifolds. As it turns out, in this case (assuming the same extra conditions as in Whitney case) one can use appropriate isotopy of one of the embeddings to replace some two components of the intersection by their connected sum, so that in the end the intersection becomes connected (or empty). Regretfully, this is maximum of what one can expect: in this case we cannot define an invariant for the pair of embeddings, similar to intersection index for the case of Whitney, that could be used to control the topological type of "minimal" intersection. The above generalization turned out necessary to the author while studying the isotopy classes of embedings

S3 ^ S3 x S3 which, in turn, required considering intersections of some embeddings I X S3 ^ I X S3 X S3 (i.e. isotopies). This generalization seems rather straightforward; however, the author needed precise statement, which he was not able to find in literature.

Keywords: Intersections of submanifolds, Whitney trick, connected sum

Введение

Известная конструкция Уитни (называемая еще «трюком Уитни») появилась в работе [1], где была использована для устранения самопересечений п-мерного замкнутого гладкого многообразия, погруженного в пространство Ж2га, п > 3. Эта же конструкция сыграла важную роль в доказательстве теоремы Смейла об Л,-кобордизме [2, 3]. Напомним, что конструкция Уитни позволяет, коротко говоря, устранить пару точек (трансверсального) пересечения двух ориентируемых многообразий, вложенных в

ориентируемое многообразие суммарной размерности, посредством изотопической деформации одного из вложений при условии, что точки пересечения имеют противоположные индексы (а также при выполнении некоторых других условий, о которых речь ниже). Значение этой конструкции для дифференциальной топологии в том, что, последовательно устраняя таким образом пары точек пересечения с противоположными индексами, мы в конце концов получаем пару вложений с минимальным возможным числом пересечений, совпадающим по абсолютной

величине с алгебраическим индексом пересечения соответствующих классов гомологий; в частности, в случае нулевого индекса пересечения получатся непересекающиеся вложения.

Целью настоящей заметки является обобщение конструкции Уитни на тот случай, когда пересечение имеет положительную размерность (другими словами размерность объемлющего многообразия меньше суммарной размерности подмногообразий). Оказывается, что и здесь (при выполнении тех же дополнительных условий, как и в случае Уитни) мы можем подвергнуть одно из вложений такой изотопии, в результате которой две из компонент пересечения заменятся на их связную сумму, так что в конце концов пересечение будет иметь не более одной компоненты. К сожалению, это максимум того, на что можно рассчитывать — ввести инвариант пары вложений, аналогичный индексу пересечения для случая Уитни и позволяющий контролировать топологический тип «минимального» пересечения, здесь не удается.

Обобщение, о котором идет речь, понадобилось автору при изучении изотопических классов вложений Б3 — Б3 х Б3 (что связано с рассмотрением пересечений некоторых вложений цилиндра над Б3 в цилиндр над Б3 х Б3, т. е. изотопий). Это обобщение представляется достаточно очевидным; автору, однако, требовалась точная формулировка, обнаружить которую в литературе не удалось.

В работе [4]описана более существенная перестройка пересечения (точнее, там рассматриваются самопересечения «общего вида» для отображений одного многообразия в другое, так что ее можно рассматривать как непосредственное обобщение работы Уитни), позволяющая, при определенных гомотопических условиях, полностью устранить самопересечение, т.е. получить вложение. Однако, эта работа Хефлигера относится к «метастабильному» диапазону размерностей, чего в интересующем нас случае нет То же можно сказать и по поводу очень интересной работы Хэтчера и Квинна [5], которую также можно считать некоторым далеким обобщением работы Уитни. Здесь строится гомотопический инвариант пары отображений (или одного отображения) со значениями в некоторой группе бордизмов, обобщающий индекс пересечения (соответственно, самопересечения) для случая Уитни, и позволяющий в некоторых случаях контролировать возможный топологический тип трансверсального пересечения. Однако и в этой работе требуется условие, близкое к метастабильности и не выполняющееся в нашем случае.

1. Терминология, обозначения и вспомогательные утверждения

1.1. Линейные пространства, реперы и ориентации

Для любого набора векторов £ = (£1,..., £к) в линейном пространстве Ь мы обозначаем через Ж£, порожденное этим набором линейное подпространство Ж£1 + ... + Ж£к С Ь. к-репером называется, как обычно, линейно независимый набор из к векторов. Множество реперов £ с Ж£ = Ь (т.е.

базисов в Ь) обозначается В(Ь). Если Ь — евклидово пространство (линейное пространство со скалярным произведением), то множество его к-репе-ров содержит, в качестве деформационного ретрак-та, множество ортонормированных к-реперов, являющееся не чем иным как многообразием Штифеля Ук(Ь) ~ Уп,к. Следующее утверждение хорошо известно:

Лемма. Многообразие Уп,к является (п — к — 1)-связным.

Ориентацию (конечномерного и ненулевого) линейного пространства Ь можно понимать как сю-рьективную непрерывную функцию

шь : В(Ь) — {±1}.

Если Р С Ь — собственное подпространство и Ь/Р — соответствующее факторпространство, то любые две из ориентаций шь, шр, шь/р определяют третью согласно формуле

Шь (£,п) = шр (£)шь/р (п), (1)

где £ € В(Р) и (£, п) € В(Ь) (здесь и в дальнейшем, в целях упрощения формул, мы не различаем в обозначениях репер и его образы в большем пространстве и в факторпространстве). Заметим, что если пространство Ь снабжено евклидовой структурой (т.е. скалярным произведением), то факторпро-странство Ь/Р естественным образом отождествляется с подпространством Р± = Ь 0 Р — ортогональным дополнением к Р в Ь,— так что формулу(1) можно в этом случае записать в виде

шь(£,п)= шр(£)шр± (п). (2)

Наконец, еще один вариант этой же формулы —

шрфя(£, П) = шр(£)шЯ(П), (3)

где (Р, О) — упорядоченная пара линейных пространств.

Пусть теперь имеется упорядоченная пара Р,О С Ь с Р + О = Ь. Мы имеем канонический изоморфизм

А/(Р П О) — А/Р Ф А/О, действующий по правилу

(х + Р П О) — (х + Р,х + О).

Если пространства Ь, Р, О все ориентированы, то по правилу (1) возникают индуцированные ориентации на Ь/Р и Ь/О, затем по правилу (3) на

Ь/(Р П О) = Ь/Р Ф Ь/О,

и наконец, опять по правилу (1) — на РПО. Как легко проверить, для любого в € В(Р П О), и для любых реперов £,п в Ь, дополняющих в до базисов в Р и О соответственно, имеет место формула

Шь(в, £, п) = Шрпд(в)шь/я(£,)шь/р(п). (4)

Опять применив (дважды) формулу (1), мы можем переписать (4) в виде

шр пд(в) = шр (в, £)шд(в, п)шь(в, £, п). (5)

Замечание. Нетрудно проверить, что, применив к формуле (4) соотношение (1) лишь один раз (к последнему сомножителю правой части), и воспользовавшись соотношением Шдпр = (—1)рдШрпд, где р = еоёт Р и q = еоёт Q, ее можно записать и в таком виде:

^Пр (в) = Шр (/3,£)шЬ/д(£). (6)

Если р + q = ёт Ь и подпространства Р, Q ортогональны друг другу, то ориентация шрпд превращается в индекс пересечения Р^ двух ориентированных подпространств ориентированного пространства Ь, а формула (6) принимает вид

Q ■ Р = шр(С)ш^(С),

что соответствует определению 6.1 [3, с. 65].

1.2. Многообразия, расслоения и ориентации

Многообразия и их отображения понимаются здесь в смысле дифференциальной топологии, т.е. считаются «по умолчанию» гладкими (бесконечно дифференцируемыми). Многообразия могут быть, вообще говоря, некомпактными и иметь край. Подмногообразие М многообразия V будет (если не указано другое) пониматься как собственное подмногообразие в следующем точном смысле: (1) М — замкнутое подмножество топологического пространства V; (2) дМ = М П дV, и М трансверсально к дV.

Через ТМ обозначается касательное расслоение многообразия М. Как правило, мы будем считать многообразия снабженными какой-либо подходящей римановой метрикой, так что ТМ будет евклидовым расслоением; в этом случае через Vk(ТМ) обозначаем ассоциированное расслоение ортонормированных й-реперов, слоем которого является соответствующее пространство Штифе-ля Уп^, где п = ё1ш М. Аналогичное обозначение Vk(ф) мы используем и для произвольного евклидова расслоения ф. Через иМ обозначается нормальное расслоение подмногообразия М риманова многообразия V (явно указанного или подразумеваемого).

Ориентация многообразия М, т.е. «поле ори-ентаций»

штры : В(ТрМ) ^ {±1}, р € М,

обозначается через шм. В дальнейшем все многообразия считаются ориентированными. Для подмногообразия М риманового многообразия V каноническая ориентация расслоения иМ = TV 0 ТМ задается формулой (2); эту «нормальную ориентацию» мы обозначаем шим.

Пусть М,Й С V — подмногообразия многообразия V в общем положении. Для всякой точки р € М П N имеет место соотношение

ТРМ + Т^ = Т'V

следовательно, мы можем определить ориентацию многообразия М П N в духе формулы (5), т. е. написать:

Шм пм (в) = шм (в, С )шм (в, п)шу (в, С, п), (7)

где ß, £ и п обозначают некоторые реперы в произвольной точке многообразия MПN, расположенные подходящим образом. Если при этом многообразие V — риманово, а M и N пересекаются ортогонально, то мы можем, выбрав поля ß и £ ортогональными друг другу, переписать формулу (7) в виде

импм (ß )= Шм (ß,£)UvM (£) (8)

— аналога формулы (6)

Замечание. Можно убедиться, что такое соглашение об ориентации пересечения соответствует обычному определению индекса пересечения в том случае, когда dim(M П N) = 0, в общем же случае — определению когомологического умножения (через двойственность Пуанкаре).

1.3. Изотопии

Мы будем понимать изотопии исключительно в «объемлющем» смысле, т.е. как деформации тождественного диффеоморфизма к какому-то другому. Точнее, изотопией многообразия V называется гладкое отображение

h = {ht} : I х V — V,

где ho = id(V) и все ht : V — V — диффеоморфизмы. Носителем изотопии h называем, как обычно, замыкание дополнения к множеству «неподвижных точек» данной изотопии:

supp(h) = C1{x € V | ht(x) = const}.

1.4. Вложенные ручки и вложенные перестройки индекса 1.

Пусть имеется подмногообразие Mr многообразия V. Мы будем иметь дело с «вложенными ручками индекса 1» (или «1-ручками)»), т.е. вложениями

Ф : I х Dr — Int V с

Ф(1 х Dr) П M = ф(д1 х Dr), при этом требуется, чтобы сокращение

Ф : dl х Dr — M

обращало стандартную ориентацию (иначе говоря, чтобы шар 0 х Dr вкладывался в M с сохранением ориентации, а шар 1 х Dr — с ее обращением). Точки ф(0, 0) и ф(1, 0) будем называть концами ручки (или, если угодно, ее началом и концом), а множество ф(1 х Dr) — телом ручки. Вложенная перестройка подмногообразия M, соответствующая ручке Ф, — это операция

M ^ (M U ф(1 х Dr)) \ ф(1 х Int Dr) (плюс сглаживание углов).

Замечание. Необходимость в сглаживании углов делает описанную операцию не совсем однозначно определенной (отображением ф), а только лишь с точностью до изотопии с носителем в сколь угодно малой окрестности множества ф(д1 х dDr) и сколь угодно C0-близкой к тождественному отображению.

2. Формулировки результатов

В последующем изложении мы будем по возможности придерживаться стиля и обозначений §6 книги Милнора [3], где подробно излагается стандартная конструкция Уитни.

2.1. Пересечение подмногообразий и «соединяющий диск»

В дальнейшем рассматривается следующий набор данных:

1. три числа r,s > 1 и d > 0;

2. многообразие V размерности r + s + d;

3. подмногообразия M, M' С V размерностей r + d,s + d в общем положении.

В этом случае пересечение M П M' — подмногообразие размерности d, которое мы считаем ориентированным в соответствии с формулами (7), (8). Заметим, что многообразие M П M' может иметь край, в этом случае д(M П M') = dM П dM' С dV.

Пусть p и q — две различные внутренние точки многообразия M П M', и пусть C и C — гладкие кривые на Int M и Int M' соответственно, соединяющие точки p и q, и не пересекающие M П M' в других точках. Пусть существует гладко вложенный замкнутый диск D С V с кусочно-гладкой границей C U C (с углами в точках p, q), трансверсально пересекающийся с M и M по отрезкам своей границы C и C соответственно (и не имеющий других пересечений с M U M'). Мы будем называть такой диск (при заданных V, M, M') соединяющим диском для точек p,q € M П M' (см. рис. 1).

Рис. 1. Соединяющий диск.

2.2. Основная теорема

Пусть г, в > 2 и й > 1, и пусть для точек р,д € 1п1(М П М') существует «соединяющий диск» Б. Тогда для любой окрестности и диска Б и любой окрестности и' кривой С' существует изотопия Нг : V — V с носителем в и, для которой пересечение Н1(М) П М' представляет собой результат перестройки многообразия М П М по вложенной 1-ручке с концами р, д, тело которой содержится в и'.

2.3. Случай й = 0

При ё1ш(МП М') = 0 «вложенных перестроек индекса 1», очевидно, не существует, поэтому приведенная формулировка не годится. Тем не менее, имеет место аналогичное утверждение, представляющее собой не что иное как теорему 6.6 книги Мил-нора (т.е., как пишет сам автор, по существу теорему Уитни), несколько по-другому сформулированную:

Пусть г, в > 2 и й = 0, и пусть для точек р,д € 1п1(М П М') существует «(соединяющий диск» Б. Пусть, кроме того, знаки точек р и д (как компонент ориентированного нульмерного многообразия М П М') противоположны. Тогда для любой окрестности и диска Б существует изото-

пия ht : V — V с носителем в U, для которой

hi(M) П M' = M П M' \ {p, q}.

Замечание. Понятия «соединяющего диска» у Мил-нора, как такового, нет Вместо этого в формулировке теоремы 6.6 в [3] присутствует условие существования контура L = C U C' (см. выше п. 2.1), вместе с некоторыми дополнительными условиями, позволяющими натянуть на этот контур требуемый диск. Как нам кажется, удобнее рассматривать построение «соединяющего диска» как самостоятельную задачу, что позволяет упростить как формулировку, так и доказательство основной теоремы (в изложении Милнора часть доказательства теоремы 6.6 (с.75-77) представляет собой как раз, в нашей терминологии, доказательство существования «соединяющего диска»).

2.4. О достаточных условиях существования «соединяющего диска»

Эти условия фактически даны Милнором в формулировке теоремы 6.6 и в замечании после этой формулировки. В применении к нашей ситуации их можно сформулировать в виде следующего утверждения.

Пусть, как и выше, r,s > 2. Пусть, далее, r + s + d > 5, многообразия M, M' связны и n1(V \ (M U M')) = 0. В этом случае для любых p,q € lnt(M П M') существует «соединяющий диск». При этом если обе коразмерности r, s не меньше трех, то условие n1(V \ (M U M')) = 0 можно упростить до n1(V) = 0.

Замечание. Как уже было сказано, в работе [3] содержится подробное доказательство данного утверждения. Впрочем, оно достаточно очевидным образом следует из стандартных дифференциально-топологических фактов, и мы не будем на этом останавливаться.

3. Доказательство основной теоремы

При доказательстве основной теоремы мы следуем схеме §6 книги [3]: вначале строится так называемая «стандартная модель» — открытое многообразие V0 С и его открытые подмногообразия Mo, M0 размерностей r+d, s+d с пересечением из двух (d-мерных) компонент (с противоположными знаками при d = 0). В этой ситуации нетрудно привести требуемую основной теоремой изотопию в виде некоторой более или менее явной формулы. Последний этап доказательства — построение диффеоморфизма между окрестностями двух дисков D0 и D, переводящего одну конфигурацию (V, M, M', D) в другую.

3.1. Стандартная модель

Мы рассматриваем диск D0 С R2, ограниченный кривыми C0 и C0, каждая из которых начинается в точке p0 = (—1, 0) и заканчивается в точке q0 = (1, 0), образуя между собой углы п/2. Также будем рассматривать некоторую открытую окрестность диска D0, вместе с продолжениями кривых C0,C0 (см. рис. 2), которые будем обозначать, соответственно, D0, C0 и C0.

что можно записать как

Рис. 2. Диск 1о и его окрестность 1о (стандартная модель).

Мы считаем диск ¿0 ориентированным в соответствии со стандартной ориентацией плоскости, а кривые Со, С'о — в направлении от точки р0 к точке д0. Через т и V (соответственно, т' и V) на рис. 2 обозначены поля касательных и нормалей вдоль кривой С0 (соответственно, Со); имеются очевидные соотношения

г ^ К^У)

(т, V) = ^; , Л

К-V, —т')

в точке ро, в точке д0.

(9)

Положим

Vо = ¿о х Жг" х Ж5"1 х Жв, М0 = С0 х Жг" х О5"1 х Жв, МО = (70 х 0Г"1 х Ж5"1 х Жв

и будем считать многообразия V0, М0, М0 ориентированными как произведения многообразий ¿0, Со и (70 с указанными выше ориентациями, и соответствующих евклидовых пространств с их стандартными ориентациями. Таким образом, если записать стандартный базис пространства

Жг"1 х Ж5"1 х Жв = Жг+5+в"2

в виде

(С,п,в) = (С1 ■■■Ст"1,п1 ...п5"1,в1 ■ ■■вв),

то будут иметь место равенства

ШУо (т,^С,П,в) = = ШМо (т,С,в)= (10)

= Шмо (т',п,в) = 1.

Пересечение М0ПМ0 представляет собой две копии пространства Жв:

М0ПМ0 = (СоПС'0)х0г+5"2 хЖв и {р0,Я0}хЖв.

Ориентации этих двух копий (их значение на стандартном базисе в) нетрудно подсчитать, применив формулу (7) с учетом соотношений (9,10). Получим:

М0 П М0 = (—1)г(д0 — р0) х 0Г+5"2 х Жв

(понимая, как обычно, знак минус перед символом ориентированного многообразия как указатель замены ориентации на противоположную).

В дальнейшем мы будем обозначать произвольную точку многообразия V0 как (ш,х,у, г), где

ш € ¿0, х € Жг"1, у € Ж5"1, г € Жв. Кроме того, выберем стандартную абсциссу и на плоскости в качестве параметра на кривых Со и ¿0 и будем обозначать соответствующие точки этих кривых как

С (и) и С' (и). Пусть

дг : ¿0 — ¿0

— изотопия диска ¿0 с носителем в некоторой е-окрестности диска ¿0 и удовлетворяющая условию д1С0 П С0 = 0 (см. рис. 3).

ш (в) = /(—1)г вточке ^ Шмопм0 (в) = \(—1)" вточке ро,

(11)

в = 0

в> 0

Рис. 3. Изотопия д и функция в.

Нам будет удобно считать, что траектории точек под действием этой изотопии вертикальны, и что, дополнительно к этому, скорости движения на траекториях, начинающихся на Со, постоянны. Для произвольного и с —1 < и < 1 обозначаем через в (и) то единственное значение при котором дгС(и) оказывается на С'. Если обозначить точки С (и), С' (и) и д1С(и) соответственно через а, Ь и с (см. рис. 3),

то можно выразить в (и) в виде аЬ/аСс. Используя это представление функции в, мы можем формально продолжить ее на интервал (—1 — е', 1 + е') для некоторого достаточно малого е . Как нетрудно видеть, определенная таким образом функция в дифференцируема на всем интервале (—1 — е', 1 + е'), положительна при —1 < и < 1 и отрицательна при и < —1 или и > 1, а производные в'(±1) отличны от нуля (точнее, в'(—1) > 0 и в'(1) < 0).

Пусть а : [0, то) — [0,1] — гладкая функция, удовлетворяющая условиям:

1. а(£) = 1 при £ < 2,

2. а(г) = 0 при £ > 1,

3. а' (£) < 0 при 2 <Ь < 1.

Для произвольного е'' > 0 и произвольного п определим гладкую функцию р : Жга — [0,1] формулой р(х) = а(\х\/е''). Заметим, что в силу свойства 3 функции а имеет место утверждение:

йр(х) = 0 при р(х) € (0,1).

(12)

Определим теперь изотопию Н : V® — V® формулой

Нь('ш,х,у,г) = (дгр(х , у , ^,х,у,г)

(ср. [3], с. 72). Ясно, что при достаточно малых е,е'' носитель этой изотопии содержится в сколь угодно малой окрестности диска Б®.

Пересечение подмногообразий

Н1М0 = {(др(х,г)С(и),х, 0,г)}

М' = {(С'(и), 0,у,г)}

очевидным образом представляется в виде

{(С'(и), 0, 0,г) \ С'(и)= др(г)С(и)},

что равносильно также

{(С'(и), 0,0,г) \ р(х) = в(ь)}.

Нетрудно видеть, что уравнение

р(г) = в (и) (13)

невырождено: при —1 < и < 1 мы имеем 0 < в < 1 и, значит, йр = 0 ввиду (12); если же и = ±1, то в' = 0 в силу свойств функции в. Следовательно, Н1М®ПМ® — трансверсальное пересечение гладких многообразий. Та часть этого пересечения, которая соответствует значениям и € (—1,1), представляет собой семейство (й — 1)-мерных сфер с центрами в точках кривой С'(и), радиусы Я(и) которых определяются уравнением (13), а именно

Е(и) = а-1(в(и))е''.

Из этой формулы следует, что < Щи) < е'', причем Я(и) — е'' при и — ±1. Таким образом, замыкание данной части пересечения топологически представляет собой цилиндр I хБа-1, основания которого (сферы радиуса е'') расположены над точками р® и д® кривой С®. Если вместо уравнения (13) мы напишем неравенство

р(г) > в(и)

и также перейдем к замыканию, то получим 1-ручку, расположенную в е''-окрестности кривой С®, перестройка по которой превращает первоначальное пересечение М®ПМ® в новое пересечение Н1М®ПМ® (чтобы формально удовлетворить условию на ориентации п. 1.4, следует взять эту ручку с ориентацией, отличающейся на (—1)г-1 от стандартной ориентации произведения). Таким образом, мы «доказали» основную теорему (теорему 2.2) для стандартной модели.

Замечание. Наше описание стандартной модели соответствует тому что написано в работе [3, с. 72], но заметно сложнее (у Милнора это описание занимает около половины страницы); это, конечно, связано с необходимостью следить за пересечением Н1М® П М®, что в случае й = 0 вполне тривиально.

3.2. Специальная метрика на многообразии V

Нам понадобится несколько модифицированная лемма 6.8 книги [3], утверждающая существование некоторой специальной римановой метрики в окрестности «соединяющего диска».

Лемма. Пусть, как и выше, V, М, М' — многообразие и два его подмногообразия в общем положении, р,д — какие-либо две точки в 1п1(М П М'), и Б — соединяющий диск для р, д. В некоторой окрестности и диска Б можно ввести риманову метрику, удовлетворяющую следующим условиям:

1) М П и и М' П и — вполне геодезические подмногообразия в и;

2) М П и и М П и ортогональны друг другу и диску Б в каждой точке их пересечения.

Доказательство. Оно вполне аналогично приведенному в [3] и проводится в несколько шагов.

Сначала мы выберем некоторые окрестности точек р и д, допустим Ы1 и N2, и такие локальные координаты в этих окрестностях, относительно которых соответствующие фрагменты подмногообразий М, М' и Б представляют собой части координатных плоскостей нужных размерностей. Введя с помощью этих координат стандартную евклидову метрику в N очевидно, получим взаимно ортогональные подмногообразия М П Ni, М' П Ni и Б П Ni.

В качестве второго шага мы покроем координатными окрестностями — допустим, Ш1, Ш2,..., Шп,— оставшуюся часть границы диска Б, позаботившись о том, чтобы, во-первых, некоторые меньшие окрестности N° С Ni точек р и д не пересекались ни с одной из , во-вторых, чтобы каждая окрестность пересекалась только с одной из кривых С, С', и в-третьих, чтобы в каждой окрестности нашлась локальная система координат с тем же условием, что и выше — чтобы соответствующие фрагменты подмногообразий М, М' и Б оказались частями координатных плоскостей в этих координатах. После этого мы, как и выше, вводим в каждой из окрестностей евклидову метрику и, наконец, «сшиваем» все эти локальные метрики в единую риманову метрику д на открытом множестве

Ш = N1 и N2 и Ш1 и ... и Шп

с помощью подходящего разбиения единицы. Заметим, что процесс «сшивания» метрик сохраняет свойство ортогональности векторов, так что подмногообразия М П Ш, М' П Ш и БП Ш будут взаимно ортогональными относительно метрики д. Заметим также, что в окрестностях № и N° метрика д совпадает с первоначальной евклидовой.

Выберем теперь некоторую окрестность А кривой С в многообразии М, содержащуюся в Ш,

и

и построим, используя экспоненциальное отображение, трубчатую окрестность Т многообразияА, также содержащуюся в Ш. Сделаем то же самое и для кривой С', обозначив соответствующие окрестности через А',Т'. Выбрав надлежащим образом «толщину» окрестностей А, А' и Т,Т' и размеры «евклидовых» окрестностей N°,N2®, мы можем считать, что

Т П Т' = № и №.

Теперь воспользуемся (в точности так, как это делается в [3] на с. 73-74) наличием инволюции а на любой трубчатой окрестности, а именно послойной центральной симметрии. Положим дт = (д + а*д)/2; в этой новой метрике инволюция а — изометрия, откуда с легкостью следует, что «база» окрестности Т, т.е. многообразие А = М П Т, является вполне геодезическим подмногообразием (см. [3]). Важно здесь отметить два момента: (1) инволюция а является инфинитезимальной изометрией в точках из М, поэтому М П Т и Б П Т ортогональны друг другу не только относительно метрики д, но и относительно дт; (2) инволюция а является изометрией на № и №, так что здесь дт = д. Проделав точно такую же симметризацию для второй трубчатой окрестности, мы получим метрику дт', совпадающую с дт (и с д) на Т П Т'. Объединение этих двух метрик дает требуемую метрику на ТиТ', т. е. в окрестности границы диска Б.

Чтобы получить нужную метрику в окрестности всего диска Б, теперь достаточно следующего совершенно элементарного шага: выберем открытое множество Ш', удовлетворяющее условиям

Б С Т и Т' и Ш'

и

ш' п (С и С') = 0,

возьмем на этом множестве какую угодно риманову метрику и склеим метрики на Ш' и на Т и Т' с помощью разбиения единицы. □

Замечание. В лемме 6.8 книги [3] утверждается существование нужной метрики на всем многообразии V, а не только в достаточно малой окрестности «соединяющего диска». В нашем случае неясно, можно ли доказать соответствующее утверждение для всего V. Это связано в первую очередь с «недискретным» пересечением многообразий М и М . Впрочем, приведенной здесь формулировки вполне достаточно.

3.3. Вложение стандартной модели

Напомним, что в стандартной модели мы имеем ряд реперных полей на кривых С®, С® и на диске Б®. Это поля (т,и) и (т',и') на кривых, соответственно, С® и С® (см. рис. 2), и поля п и в на диске Б®, составляющие вместе стандартный базис пространства ж^6^4-2. с точки зрения стандартной (евклидовой) геометрии многообразия V®, расположение полей п и в относительно друг друга, диска Б® и многообразий М®, М® можно, очевидно, описать следующим образом:

1. поля п и в являются ортонормированными и ортогональными друг другу и диску Б®;

2. поле в касается многообразий М® и М® вдоль кривых, соответственно, <5® и б® (в частности, в образует касательный базис для М П М' в точках р®,д®);

3. поле £ образует, вместе с полями т и в, касательный базис для М вдоль кривой С®, и вместе с полем и' — нормальный базис для М' вдоль кривой С®;

4. аналогичным образом, п образует вместе с т и в касательный базис для М' вдоль С®, и вместе с V — нормальный базис для М вдоль кривой С®.

Заметим дополнительно, что ориентации реперов в(р®) и в(д®) (как касательных базисов в многообразии М П М') противоположны, см. формулу (11).

Докажем теперь, в предположениях основной теоремы, существование реперных полей с аналогичными свойствами для произвольного «соединяющего диска». Мы будем считать, что в некоторой окрестности диска Б на многообразии V задана ри-манова метрика, гарантируемая леммой 3.2.

Построение поля в. Возьмем в качестве в(р) и в(д) два произвольных ортонормированных касательных базиса, противоположно ориентированных относительно шмпм'. Продолжим эти реперы на кривые С и С' как сечения расслоений Штифе-ля Vd(TM © Жт) и Vd(TM' © Жт'), соответственно. Слои этих расслоений — пространства Штифе-ля Vr+d-14 и Vs+d-1, d, соответственно — связны в силу леммы 1.1 и условия г,в > 2 основной теоремы, так что вышеупомянутое продолжение всегда возможно.

Теперь продолжим построенное й-реперное поле на замкнутой кривой С и С' на весь диск Б как сечение расслоения Штифеля Vd(TV © ТБ). Слой этого расслоения — пространство Штифеля Vr+s+d-2,d — односвязно (опять в силу леммы 1.1 и предположений основной теоремы), следовательно, продолжение существует

Замечание. В случае й = 0, разумеется, никакого поля в нет, а условие

шмпм' (в(р)) = —шмпм' (в(д)) заменяется на

шМПМ' (р) = —шМпм' (д).

Построение поля Предварительно заметим, что, вследствие общего положения и ортогональности, для произвольной точки а € М П М' в достаточно малой окрестности диска Б справедливо равенство

ТаМ © Та(М П М')= уаМ'. (14)

В частности, это верно для точек р и д. Возьмем в качестве £(р) произвольный ортонормированный базис пространства

ТрМ © ТР(М П М') © Жт(р) = ирМ' © Жи'(р)

(см. равенство (14)). Продолжим репер £(р) на кривую С как сечение расслоения УГ-1(ТМ©Жв©Жт)

(заметим, что Мв(р) и Мв(д) совпадают, соответственно, с Тр(М П М') и Тд(М П М')). Продолжим С на С' как сечение расслоения Уг-1(иМ 0 Ми'), и обозначим (временно) это продолжение через С'. Реперы С(д) и (д) являются базисами в одном и том же пространстве

ТдМ 0 Тд(М П М') 0 Мт(д) = идМ' 0 Ми'(д)

(см. равенство (14)). Если эти базисы имеют одинаковую ориентацию, то они могут быть продеформиро-ваны друг в друга, и в этом случае мы можем считать их совпадающими, так как требуемая деформация может быть «погружена» в сечение С'. Наша задача — проверить, что ориентации базисов С(д) и С'(д) пространства идМ' 0 М^' (или, что то же самое, ориентации базисов (С(д), и'(д)) и (С'(д), и'(д)) пространства идМ') совпадают

Мы имеем равенства

шии' (С' (д)У (д)) = шиы' (С' (р)У (р)) = = ' (С(р)У (р)),

первое из которых — следствие непрерывности семейства базисов (С'У) пространства иМ' вдоль кривой С , а второе — просто следствие нашего начального условия С'(р) = С(р).

К сожалению, мы не можем так же легко сравнить Шии'(С(р)У(р)) и Шии'(С(д)У(д)), так как поле являясь непрерывным вдоль кривой С, уже не является там нормальным к М' (а и' вообще не определено на С). Поэтому воспользуемся формулой (8), которую в интересующей нас ситуации можно записать как

Ш„И' (С, т) = ШИ'ПИ(в)ши(в, С, т).

Это дает

ШиИ' (£(р)У (р)) = Ш„И' (С(р),Т(р)) =

= ШИ'ПИ (в(р))ши (в(р),С(р),т (р)).

Теперь можем опять воспользоваться непрерывностью:

ши'пи (в (р))ши (в(р),С(р),т (р)) =

= -ши' пи (в(д))ши (в (д),С(д),т (д))

(знак «минус» здесь появляется в силу нашего условия на ориентации реперов в(р) и в(д)). Воспользовавшись еще раз формулой (8), наконец, получаем

-ШиИ' (С(д),т (д)) = -ш„и' (С(д),-V (д)) = = ш„и ' (С (д)У (д)),

что и требовалось. Итак, мы можем считать, что реперы С(д) и С'(д) совпадают, и обозначать с этого момента продолжение поля С на кривую С' той же буквой.

Последний шаг в построении поля С — продолжение его с замкнутой кривой С и С' на весь диск Б как сечения расслоения Штифеля УГ-1(ТУ 0 ТБ). Слой этого расслоения — пространство Штифеля Уг+з+а-2,г-1 — в силу леммы 1.1 односвязен, вследствие чего продолжение существует.

Замечание. В случае, когда й = 0, для односвязности слоя расслоения УГ-1(ТУ 0 ТБ) пришлось бы потребовать, чтобы хотя бы одно из чисел г, в было не меньше трех (что и имеет место в формулировке Милнора).

Построение поля п. Здесь, собственно, нет никаких трудностей. Дело в том, что уже построенные поля в и С заняли «все возможные» размерности в расслоении ТУ 0 ТБ. Таким образом, остается просто получить поле п как сечение расслоения В(ТУ 0 ТБ 0 МС 0 Мв) над гомотопически тривиальной базой Б.

Построение диффеоморфизма между окрестностями дисков Б0 и Б. Пусть имеется вложение ф : Б0 — У, образом которого является «соединяющий диск» Б, а образами кривых С0,С'0 и точек р0, до — соответственно, кривые С, С' и точки р, д (существование такого вложения — это, собственно говоря, часть определения «соединяющего диска»). Мы также можем считать, что вложение ф может быть продолжено на окрестность Б0 диска Б0. Образ этого расширенного вложения будем обозначать Б, и в аналогичном смысле будут использоваться обозначения С и С'.

Заметим, что построенные нами реперные поля С, п, в получены как непрерывные сечения гладких расслоений Штифеля на замкнутом диске Б с угловыми точками р, д. Используя стандартную технику продолжений и сглаживаний, мы можем считать, что С, п, в — гладкие поля, определенные на открытом диске Б, и что, кроме того, сужения этих полей на кривые С и С' лежат в касательных пространствах ТМ или, соответственно, ТМ'.

Пусть ('IV,х,у,г) — произвольная точка «стандартной модели» У0, и пусть ф(1,х,у, г) обозначает элемент касательного пространства Тф(ш)У, заданный формулой

г-1

ф(!,х,у,г) = \ Х1С(ф(!)) +

г=1

я-1

+ УзП(Ф(1)) + ^2 гкв(ф(1)) ■ j=1 к=1

Положим, наконец,

Ф(|, х, у, г) = ехр(ф(-ш, х, у, г)),

где ехр — экспоненциальное отображение.

Нетрудно показать (см. [3, лемма 6.9]), что при |х|2 + |у|2 + |г|2 < 52 для достаточного малого 5 отображение Ф является вложением. Следующая ниже лемма прямо вытекает из сказанного. Лемма. Отображение Ф индуцирует диффеоморфизм некоторой достаточно малой окрестности N диска Б0 на окрестность Ф(Ы) диска Б. При этом многообразия М0 П N и М0 П N отображаются, соответственно, на МПФ^) и М'ПФ^).

Основная теорема (теорема 2.2) — очевидное следствие этой леммы и конструкции п. 3.1.

Данная работа частично поддержана грантом РФФИ №15-01-06302.

Литература

1. Whitney H. The self-intersections of a smooth n-manifold in 2n-space // Ann. Math. 1944. Vol. 45. P. 220-246.

2. Smale S. On the structure of manifolds // Amer. J. Math. 1962. Vol. 84. P. 387-399.

3. Милнор Дж. Теорема об Л,-кобордизме. М: Мир, 1969.

4. HaefligerA. Plongements différentiables de variétés dans variétés // Comm. Math. Helv. 1962. Vol. 36. P. 47-82.

5. Hatcher A., Quinn F. Bordism invariants of intersections of manifolds // Trans. AMS. 1974. Vol. 200. P. 327-344.

References

1. Whitney H. The self-intersections of a smooth n-manifold in 2n-space // Ann. Math. 1944. Vol. 45. P. 220-246.

2. Smale S. On the structure of manifolds // Amer. J. Math. 1962. Vol. 84. P. 387-399.

3. Milnor J. Lectures on the ^-cobordism theorem. Princeton: Princeton University Press, 1965.

4. HaefligerA. Plongements différentiables de variétés dans variétés // Comm. Math. Helv. 1962. Vol. 36. P. 47-82.

5. Hatcher A., Quinn F. Bordism invariants of intersections of manifolds // Trans. AMS. 1974. Vol. 200. P. 327-344.

Статья поступила в редакцию 25.02.2016.