CC BY
29
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 515.164.6
НЕКОТОРЫЕ НОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ О ТРЕХМЕРНЫХ УЗЛАХ В ЗАМКНУТЫХ 2-СВЯЗНЫХ 6-МЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ. ЧАСТЬ 2 (ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ)
А.В. ЖУБР
Отдел математики, Коми научный центр УрО РАН, г.Сыктывкар [email protected]
В первой части работы были приведены формулировки ряда теорем, описывающих действие группы Хефлигера 3-мерных узлов в 6-мерной сфере на множестве 3-мерных узлов в 2-связном 6-мерном многообразии. Здесь даются подробные доказательства этих теорем.
Ключевые слова: многомерные узлы, классификация, изотопия, диффеоморфизм
A.V. ZHUBR. SOME NEW RESULTS ON THREE-DIMENSIONAL KNOTS IN CLOSED TWO-CONNECTED 6-MANIFOLDS. PART 2 (PROOFS OF MAIN THEOREMS)
In the first part of this paper some statements were given, describing the action of the Haefliger group of 3-knots in the 6-sphere on the set of 3-knots in a 2-connected 6-manifold. Here we provide detailed proofs of these statements.
Key words: high-dimensional knots, classification, isotopy, diffeomorphism
Настоящая статья представляет собой завершение работы [1]. Здесь приводятся подробные доказательства основных утверждений, сформулированных в конце первой части (теоремы 1-3 разд. 14). Мы используем единую (сквозную) нумерацию всех элементов текста, так что, например, “рис. 8” означает ссылку на часть 1, а “рис. 9” — на настоящий текст Сказанное не относится к списку литературы: каждая из частей имеет собственный список.
15. Несколько вспомогательных утверждений
Нам понадобится некоторое расширение “области определения” инвариантов л и 7. Мы теперь будем считать, что набор (л, у) е %,ф(3,й) © ^ определен (для каждого й = 0,1,2,...) на множестве пар вида (М,ш), где М — замкнутое односвязное 6-мерное спинорное многообразие и ш е Н2(М; Zd) — произвольный класс когомологий (таким образом, теперь мы не требуем, чтобы группа Н2 (М) была изоморфна группе Zd, или чтобы класс ш являлся образующей группы Н2(М; Zd)). Возможность такого расширения, как и то, что равенства (12)-(14) продолжают при этом выполняться, следует из результатов работы [2] (см. ниже замечания к лемме 5, являющейся, по существу, следствием определений).
Лемма 5. Пусть (М, ш) и (М1 ,ш\) — две такие пары как выше. Пусть Ш — спинорное 7-мерное многообразие с краем дШ = М и М1 (т. е. спинорный кобор-дизм между М и М1), и пусть класс а е Н2(Ш; Ъй)
удовлетворяет условиям а М = ш, а М = ш1. Тогда л(М, ш) = ц(М1,ш{) и 7(М, ш) = 7(М1 ,Ш1).
Несколько замечаний вместо доказательства. Пара (М,ш) определяет гомотопический класс отображений М ^ К(Ъй, 2), и тем самым некоторый элемент [М,ш] (класс спинорных бордизмов) группы 0,36ргп(Хй, 2). Таким образом, смысл леммы 5 в том, что “правильная” область определения инвариантов л и 7 — это группа спинорных бордизмов
0,^ргп(Ъй, 2). Но это именно тот самый способ, которым инварианты л,1 и определяются в работе [2] (напомним, что инвариант 7 обозначается там через р). Более того, как утверждает теорема 5 цитируемой работы, отображение
(Л,1‘) : Ыв6ргп(%й> 2) ^ %Нз,а) ©
— мономорфизм, а образ этого мономорфизма — подгруппа группы Zd.(3Jd) © Zd, заданная соотношением (14) (в действительности гомоморфизм (л, у) рассматривается в работе [2] в гораздо более общей ситуации).
Следствие 5. Пусть X, Y
замкнутые 2-связные X — осна-
6-мерные многообразия и f : Я3 х Б3 щенный узел в X. Пусть узел f' : Я3 х Б3 ^ X#У получен как композиция отображения f с естественным вложением X \ и0 ^ X#У, где и0 с X — вложенный шар, отождествление границы которого с границей вложенного шара У0 с У дает связную
сумму X #У; иначе говоря, f' — это связная сумма узлов f #о (см. раздел 4 части 1), где о : Я3 х Б3 ^ У
— тривиальный узел. Тогда имеют место равенства ли) = ли') и 7и) = 7^').
Доказательство. Пусть (М,Н) — пара (многообразие, класс гомологий), построенная по узлу f таким образом, как это описано на стр. 10 части 1, и пусть ш е Н2(М; Ъй) — соответствующий 2-мерный класс когомологий, описанный там же (через й обозначается, как и в 1-й части, индекс узла f). Тогда, в соответствии со сказанным в начале этого раздела, мы можем написать: л^) = л(М,ш), ) = у(М,ш).
Проделаем все то же самое для узла f', и обозначим соответствующие объекты через М', Н' и ш'. Теперь заметим, что мы можем отождествить многообразие М' (результат перестройки многообразия X#У вдоль узла f') со связной суммой М#У, при этом группа Н2(М') естественным образом отождествляется с Н2(М), а классы Н' и ш' — соответственно, с Н и ш.
Пусть Q — параллелизуемое многообразие с краем У (например, связная сумма по краю нужного числа экземпляров произведения Я3 х Б4). Приклеив многообразие Q к одному из оснований цилиндра
I х (М#У) по отождествлению
Q
и
У \ Уо-
I х (М#У) и
>0 х (У \ У0)
мы получим кобордизм Ш между М и М'. При этом включения М ^ Ш, М' ^ Ш, как нетрудно видеть, индуцируют изоморфизмы Н2(Ш; Zd) ^ Н2(М; Zd) и Н2(Ш; Zd) ^ Н2(М' ; Zd), что позволяет продолжить классы ш и ш' на многообразие Ш. Теперь осталось сослаться на лемму 5. □
Замечание 2. Это следствие можно рассматривать как очень специальный случай теоремы 3, которая в полном виде будет доказана ниже.
Лемма 6. Пусть многообразие М имеет вид связной суммы
Я4 х Я2#Я4 х Я2# ... #Я4 х Я2.
(20)
Для любого й = 0,1,2,... и любого ш е Н (М ; Ъо) имеют место равенства
л(М, ш) = 0, у(М, ш) = 0.
(21)
(22)
Доказательство. Прежде всего заметим, что при й = 0 утверждение леммы вытекает из соотношений (12), (13) и того очевидного факта, что для многообразия М указанного вида тривиальны кубы любых классов когомологий, а также тривиален класс Понт-рягина р1(М). Далее, любой класс ш е Н2(М ; Ъо) может быть представлен как результат приведения по модулю й некоторого класса ш е Н2(М), так что мы имеем Р3(ш) = рл.(3,0)(ш3) = 0, и соотношение (12) опять дает л(М,ш)’= 0. К сожалению, мы не можем применить это же рассуждение к доказательству равенства (22) в общем случае ввиду множителя 4 в левой части соотношения (13), из-за которого нужное нам равенство получится лишь по мо-
дулю элементов порядка 4. Вместо этого для доказательства равенства (22) мы применим соотношение у(М, рйш) = рй7(М, ш), справедливое для любого замкнутого односвязного 6-мерного спинорного многообразия М и любого класса ш е Н2(М); это соотношение можно представить в виде коммутативной диаграммы
0вр1п(Ъ, 2)
(23)
^Тп(Ъо, 2) —-—т- Ъо ,
представляющей собой специальный случай диаграммы на странице 842 работы [2]. Принимая во внимание, что класс бордизмов [М, ш] е 01ргп(Ъ, 2) переводится левой стрелкой рй этой диаграммы в класс [М,ш], а верхней стрелкой 7 в нуль (согласно сказанному выше о случае й = 0), мы и получаем требуемое равенство (22). □
Лемма 7. Пусть М — замкнутое односвязное 6мерное спинорное многообразие, ш е Н2(М ; Ъо) — класс когомологий, в — делитель числа й. Имеют место следующие равенства:
л(М,рв ш) = р8(3,в) л(м, ш), у(М, ш) = р8у(М, ш).
Доказательство. Первое из равенств получается непосредственно как следствие соотношения (12) (часть 1) и соответствующего свойства когомологической операции Р3:
р3 ◦ Рв = р8(3,е) ◦ р3
(24)
(см. [4]). Что же касается второго равенства, то оно прямо вытекает из коммутативности диаграммы
ПГп(Ъо, 2)
■ Ъй
(25)
Я1рЫ(Ъв, 2) —-—т- Ъ ,
обобщающей диаграмму (23), и из интерпретации инварианта 7 как гомоморфизма О1рт(Ъй, 2) ^ Ъй. С другой стороны, коммутативность диаграммы (25) легко следует из ее коммутативности в специальном случае (23) и из “подготовительной леммы” работы [2], утверждающей, в частности, что все гомоморфизмы
01рп(Ъ, 2) 01р1п(Ъй, 2)
являются эпиморфизмами (соответствующее несложное рассуждение мы опускаем). □
16. Многообразия с краем и “несферические” перестройки
Пусть У — компактное многообразие с краем; предположим, что многообразие дУ, в свою очередь, представлено как объединение многообразий У1,У2
р
с общим краем Y0. Это так называемая “триада многообразий” (см. [3, с.3-7] относительно общего определения “п-ады” в произвольной категории). В систематических обозначениях, изложенных в цитированной книге Уолла, то, что мы здесь обозначаем как Y, Yi, Y2 и Y0, следует записывать, соответственно, как Y{1,2}, Y{1}, Y{2} и Y{0}, или, в другом варианте, как \Y|, \д2Y|, \d1Y\ и \д12У\ (а Y следует понимать как функтор на категории подмножеств множества {1,2} или, в общем случае, множества {1,2,... ,п}), однако мы будем пользоваться более краткой “несистематической” нотацией. Впрочем, нам будет удобно в некоторых случаях обозначать подмногообразия Y1 и Y2 как, соответственно, д2У и d1Y.
Пусть М — многообразие с краем, и пусть имеется вложение коразмерности нуль
Ф : (Y1,Y0) х Dk ^ (М, дМ),
трансверсальное к краю дМ (откуда, в частности, следует, что ф-1(дМ) = Y0 х Dk). В этом случае мы можем образовать новое многообразие с краем
М= (му(Y х Dk)) \ (Y х intDk), (26)
ф
которое будем называть результатом перестройки многообразия М по вложению ф и обозначать х(М, Y, ф) (как всегда подразумевается, что образовавшиеся при склеивании “углы” сглажены). Как нетрудно видеть, при этом край дМ нового многообразия — это результат аналогичной перестройки:
дМ= (d^[j(Y2 х Dk)) \ (Y2 х int Dk), (27)
ф2
где ф2 : Y0 ^ дМ — сужение отображения ф. С помощью введенного выше обозначения х(М^,ф) формула (27) может быть также записана в виде
дх(М, Y, ф) = х(дМ,д^,д1ф), (28)
где отображение ф2 = ф^ y обозначено через д1ф.
В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что многообразия М и Y (а следовательно и Y1) ориентированы, и что вложение ф : Y1 х Dk ^ М согласовано с ориентациями. В этом случае многообразие М оказывается, очевидно, также ориентируемым; будем считать, что М снабжается ориентацией, согласованной с ориентацией многообразия М; как показывает довольно рутинное вычисление ориентаций, стандартная “ориентация произведения” на многообразии Y х Sk-1 отличается от ориентации многообразия М множителем (-1)dlmF-1.
Наконец, в случае, когда триада (Y,Y1,Y2) имеет вид (Dp,Sp-1,0), описанная конструкция
— это классическая сферическая перестройка индекса p.
Пусть dim М = п, тогда dim Y1 = п - к. Относительный фундаментальный класс
[фШ е Нп-к:(М,дМ) обозначается далее через у.
Лемма 8. Пусть выполнены следующие условия:
1. Многообразия Y,Y1 связны;
2. Hk-2(Y1) = 0;
3. Нк-1(М) = Нк-1(У) = Нк-1(У1) = 0;
4. Нк(У) = 0.
Тогда имеет место изоморфизм
Н—(М) и Ъ/Нк(М) ■ у,
где Нк(М) ■ у — подгруппа группы Ъ, составленная из всех коэффициентов пересечений х ■ у с х е Нк (М), причем в качестве образующей группы Нк-1(М) может быть взят класс гомологий вида
[и х Як-1], и е У.
Доказательство. Для сокращения формул мы обозначим топологическое пространство М{]ф(У х Бк) через К. Рассмотрим отрезок точной последовательности пары (К, М):
Нк (К) -Ч Нк (К, ММ) -Ч Нк-1 (М) -Ч Нк-1(К).
Мы воспользуемся соотношениями К/М =(У х Бк)/(У х Як-1)(вырезание) = £кУ+, дающими изоморфизм
а : Но (У) = Ъ -Ч Нк (К,М)
(изоморфизм надстройки или, если угодно, изоморфизм Тома), что позволяет переписать рассматриваемую точную последовательность в виде
Нк (К) Ъ Нк-1(М) -Ч Нк-1(К). (29)
Гомоморфизм а-1 о з* этой последовательности может быть более детально представлен как композиция
Нк (К) Нк (К, ММ) -*
Нк(У х Бк,У х Як-1) Н0(У) = Ъ,
откуда непосредственно очевидно, что образ класса х е Нк(К) при этом гомоморфизме — не что иное как индекс пересечения х ■ У (многообразие У имеет в пространстве К окрестность со структурой ориентированного к-мерного расслоения, поэтому индекс пересечения определен даже в том случае, если У не является ориентируемым; строго говоря, в этой ситуации индекс пересечения определен для любого связного множества У, даже не являющегося многообразием).
С другой стороны, гомоморфизм д о а, опять-таки в более детальном виде, можно записать как
Ъ = Н0(У) Нк(У х Бк,У х Як-1)
Нк-1(У х Як-1) -Ч Нк-1(М),
так что мы имеем
1 -** [и х Бк] [и х Як ^,
где и е У — произвольная точка.
Выписав часть точной последовательности Майера-Виеториса триады (К, М, У х Бк)
Щ(М) © Щ(У) * Щ(К) * Н-1 (У1) (30)
и взяв г = к, к - 1, мы получим в первом случае, что гомоморфизм включения Щ(М) * Нк(К) является эпиморфизмом (см. предположения леммы), а
во втором — что Нк-1(К) = 0. Таким образом, точная последовательность (29) принимает вид
Нк (М) Ъ Щ-1(М) 0. (31)
Здесь по-прежнему первый гомоморфизм можно трактовать как пересечение с множеством У; однако, поскольку теперь мы пересекаем с У лишь классы, принадлежащие многообразию М с К, то, следовательно, можем взять вместо У меньшее множество У1 = М п У , никак при этом не повлияв на последовательность (31). В то же время выражение х ■ У1 является уже “настоящим” индексом пересечения ориентированных подмногообразий и, значит, может интерпретироваться в терминах спаривания
Нк(М) ® Нп-к(М,дМ) —* Ъ. (32)
Лемма, таким образом, полностью доказана. □
Лемма 9. Пусть выполнены следующие условия:
1. Многообразие У1 связно;
2. Н1(М) = Н1(У) = 0;
3. к > 2.
Тогда Н1(ММ) = 0.
Доказательство. Точная последовательность (30) с г = 1, вместе с предположениями леммы, показывает, что Н1(К) = 0. Выписав теперь последовательность (29) для интересующих нас размерностей, получим
Н2 (Т,кУ+) Н1 (М) Н1 (К).
00
□
17. Доказательство теоремы 1
Мы будем доказывать утверждение теоремы для стандартного узла в многообразии X = Я3 х Я3; общий случай X = г(Я3 х Я3) мгновенно сводится к этому в силу следствия 5. Пусть f : Я3 х Б3 * X — представитель узла вй, описанный в разделе 13. Согласно сказанному в разделе 10, инварианты л и 7 для узла вй получаются как инварианты пары (М, ш), где многообразие
М = М= X \ f (Я3 х Ш Б3) и{ Б4 х Я2 (33)
— результат перестройки многообразия X по вложению f, а класс ш е Н2(М; Ъй) определяется тем условием, что принимает значение 1 на циклах вида f (ххЯ2), представляющих стандартную образующую Н группы Н2(М) и Ъй. Чтобы доказать требуемые равенства л(М, ш) = у(М, ш) = 0, мы построим кобор-дизм такого типа, как в лемме 5, соединяющий пару (М, ) с другой парой (М1, 1), где многообразие М1 будет иметь вид (20), после чего останется сослаться на лемму 6.
Мы начнем с построения многообразия М1 и класса ш1. Зафиксируем набор попарно непере-секающихся открытых шаровых окрестностей точек а1,а2,... ,ай е Я3 (см. опять описание узла вй в разделе 13) и будем обозначать эти окрестности, соответственно, и1,и2,... ,ий. Многообразие М1 — это результат применения к многообразию X = Я3 х Я3
“полисферической перестройки” — перестройки по набору оснащенных сфер Я3 х иг:
М1 = (X \ (Я3 хиЩ)) и (Б4 хиЩ). (34)
Очевидно, ни умножение на Я3, ни приклеивание ручек Б4 х не изменят группы 2-мерных гомологий,
так что мы имеем
Н2(М1) = Н2(Я3 \ иЩ) И Ъй-1,
с порождающим множеством {Нг = [Щг]}, г = 1,2... ,й, и соотношением г Нг = 0. В действительности легко убедиться в том, что многообразие М1 — это связная сумма й - 1 экземпляров многообразия Я4 х Я2. В самом деле, после перестройки вдоль одной из сфер Я3 х иг мы получаем, очевидно, просто сферу Я6. Оставшиеся сферы Я3 х иг можно теперь считать вложенными в Я6; они образуют там тривиальное зацепление, так что можно указать набор из й - 1 попарно непересекающихся вложенных в Я6 шестимерных шаров, каждый из которых содержит образ одной из наших оснащенных сфер. Ясно, что результат перестройки шара Б6 вдоль стандартно вложенной 3-мерной сферы со стандартным же оснащением
— это многообразие Я4 х Я2 “с дыркой”, и мы получаем вышеуказанную связную сумму Очевидно, мы имеем Н2(М1; Ъй) = Нот(Н2(М1),Ъй), поэтому можем определить класс ш1 условиями (ш 1,Нг) = 1 для всех г = 1,2,...,й.
Нам осталось построить кобордизм Ш и класс а е Н2(Ш; Ъй). Напомним, что отображение f : Я3 х Б3 * X, представляющее оснащенный узел вй, получается посредством соединения “горизонтальных” сфер Яг3 = Я3 х аг трубками дг(1 х Б3), з = 1,2,... ,й - 1 попарно: 1-я сфера со 2-й, 2-я с 3-й и т.д., и удаления после этого “внутренностей” трубок дг(I х Ш Б3) (часть 1, стр. 8 и 11), после чего мы получаем единственную вложенную сферу, на которую и продолжаем стандартное (постоянное) оснащение сфер я3. Введя сокращения Тг = дг(I х Б3), Т0 = дгЦ х ШБ3), мы можем написать
f (Я3) = (игЯ3) и (игТ) \ (игТ0).
В общих чертах, построение многообразия Ш будет состоять в следующем: мы подвергнем сферу f (я3), вместе с ее стандартным оснащением, некоторой деформации “с особенностями”; в итоге деформации мы вернемся к набору сфер Я3. Вышеупомянутые особенности — это “точки разрыва” трубок Тг; от каждой из трубок, в результате “разрыва”, останется пара, если можно так сказать, “щупалец”, которые после этого, уже без всяких особенностей, втягиваются каждое в “свою” сферу и исчезают. Образ данной деформации в цилиндре I х X окажется гладким 4-мерным оснащенным подмногообразием, перестройка по которому и даст требуемый кобордизм.
Приступим теперь к реализации данной программы. Пусть рг = дг( 1,0) — “центральная точка” трубки Тг (будущая точка разрыва). Выберем окрестность Уг точки рг в многообразии X и систему координат
(х,У1,У2,У3^1,г2) = (х, у, г)
в этой окрестности таким образом, что пересечение Т п Vi задается условиями:
2 2 ^
X — у ^ —є,
г = 0,
(35)
(36)
где у2 = у2 + у2 + у32, и где є — некоторое достаточно малое положительное число. На рис. 9 показано сечение множества Ті п Уі плоскостью (х,у1), стрелки здесь изображают векторное поле — первое поле нормального оснащения трубки (см. описание на стр. 8 части 1). Все множество Ті п Уі, вместе с полем V1, получается из этого двумерного сечения действием ортогональной группы 80(3) в координатной плоскости (у1,у2 ,у3), а оставшиеся два вектора нормального оснащения - это стандартные базисные векторы д, дд-. Заметим, что поле v1 в описанной выше системе координат может быть задано, с точностью до нормировки, как $с&<1(у2 — X2).
Рис. 9. Трубка до разрыва.
Если мы теперь заставим правую часть неравенства (35) “перепрыгнуть через нуль”, те., попросту говоря, заменим это неравенство на X2 — у2 ^ є, то получим требуемый результат — “разорванную” трубку (точнее, ее часть Ті П Уі):
Рис. 10. Трубка после разрыва.
Учитывая то обстоятельство, что вдали от точки рі (при х2 + у2 » є) рис. 9 и 10 становятся близкими (С™-близкими) между собой, мы можем посредством дополнительной малой изотопии сделать ихтам (т. е. вблизи границы окрестности Уі) совпадающими, и таким образом объединить рис. 10 с оставшейся частью трубки, а именно Ті\Уі. Результат этого объединения мы обозначаем через Ті, а соответствующую “внутренность” — через Т. Отметим еще раз, что множества Ті и Т (соответственно, Ті и Т) различаются только в пределах координатной окрестности Уі (рис. 9 и 10).
Проделаем эту операцию над всеми трубками Т1,Т2,. ..Тл_ 1 и введем следующие обозначения (их
смысл станет скоро понятен):
Я (—є) = (\JiSi) и (и Ті) \ (иі Ті0 ) = / (£3); (37)
2(є) = (иіБ3) и (иТі) \ (иТ). (38)
Мы, таким образом, определили некоторое дискретное семейство 3-мерных подмногообразий многообразия X, принимающее всего два значения: сфера 2(—є) (наш исходный стандартный узел вл) и набор сфер 2(є) (результат разрыва трубок). Теперь мы собираемся превратить этот “процесс разрыва” в непрерывный, а именно продолжить наше семейство
2(г) с X, г = ±є, на отрезок [—1,1] (который в оставшейся части этого раздела будет обозначаться через I). Это продолжение будет строиться по-разному в следующих трех областях: —1 ^ г ^ —є, —є ^ г ^ є и є ^ г ^ 1.
1. Область —1 ^ г ^ —є. Это самый простой случай: мы определяем 2(г) как константу — формулой 2 (г) = 2 (—є).
2. Область —є ^ г ^ є. Здесь 2(г) определяется по-разному в окрестностях Уі ив дополнении к ним. Дополнения 2(г) \ (^Уі), как и в первом случае, не зависят от г; что же касается пересечений 2(г)пУі, то они определяются в выбранных выше координатах уравнениями
х2 — у2 = г, г = 0.
(39)
При этом, чтобы "склеить” между собой эти два разных определения — внутри координатных окрестностей и в дополнении к ним,— нужно, как и выше, воспользоваться тем, что вблизи границы координатной окрестности решения уравнений (39) являются С^-близкими между собой и, следовательно, посредством подходящей малой изотопии (содержащей параметр г) могут быть сделаны постоянными (те. совпадающими с 2(-е)). Заметим, что при г = 0 мы получаем в качестве 2(г) многообразие с особенностями (коническими точками рх,.. .,ра-1).
3. Область е ^ г ^ 1. Как уже отмечалось, каждая из двух компонент “разорванной” трубки Т может быть посредством надлежащей изотопии “втянута” в соответствующую сферу Б? или Б?+1. Считая, что параметр этой изотопии пробегает отрезок [е, 1], и что аналогичной изотопии подвергаются одновременно все компоненты, мы определяем 2(г) как образ подмногообразия 2(е) в момент г этой изотопии; в частности 2(1) = Б? (конечный момент изотопии). Заметим, что вышеупомянутая изотопия устроена довольно просто — каждая из компонент движется в процессе изотопии по себе самой, и нетрудно было бы задать эту изотопию явными формулами (мы этого делать не будем).
Наконец, вложим наше семейство 2(г) в цилиндр I х X: положим
2 = у г х 2(г).
*е[-1,1]
Вообще, для любых а,Ь е [—1,1], а < Ь, положим
2[а, Ь] = У г х 2(г)
ЬЄ[а,Ь]
(так что 2 — это то же, что 2[— 1,1] или 2(I)).
Как нетрудно видеть, 4-мерное гладкое подмногообразие 2 с I х X не имеет особых точек: в окрестности (—є, є) х у точки (0,рі) с локальными координатами (г,х,у,г) множество 2 задается невырожденной системой уравнений (39). Краем этого многообразия является набор 3-мерных сфер
д2 = (1 хиЯ3) и ((—1) х /(Я3)).
Замечание 3. Строго говоря, утверждение о гладкости подмногообразия 2 не вполне корректно: мы не позаботились о точках г = ±є, где наши три области граничат между собой и где, вообще говоря, нет дифференцируемости по параметру г. Это не представляет никакой проблемы: например, можно было бы, посредством подходящей перепараметризации, сделать в этих точках скорость деформации нулевой (с сохранением Сто-дифференцируемости). Мы будем считать, что такое сглаживание уже тем или другим способом проделано.
Установим, что представляет собой 4-мерное многообразие 2. Легче всего это увидеть, рассмотрев семейство 2[г, 1] и заставив параметр г пробежать отрезок [—1, 1] в обратном направлении. Согласно конструкции, изложенной выше, при в > 0 все 2(в) — это один и тот же набор из й дизъюнктных трехмерных сфер, подвергающийся гладкой изотопии в многообразии X; таким образом, при любом г > 0 многообразие 2[г, 1] — цилиндр над вышеуказанным набором сфер или, если угодно, набор из й дизъюнктных четырехмерных шаровых слоев. При переходе через “критическое” значение г = 0 к нашим шаровым слоям окажутся приклеенными й — 1 ручек индекса 1 (тех самых “трубок”; индекс ручки — это “положительная сигнатура” квадратичной формы в левой части неравенства (35)), в результате чего й граничных сфер окажутся склеены в одну сферу (эта сфера — наш узел /(Я3)), иначе говоря, мы получим многообразие, диффеоморфное 4-мерной сфере с й + 1 “дыркой” (или, если угодно, шару Б4 с й “дырками”, см. рис. 11).
1 2 ... й
Рис. 11. Многообразие 2 (двумерное сечение).
Мы снабдим подмногообразие 2 нормальным оснащением, продолжающим стандартное оснащение на его крае. Для этого разобьем 2 на три части 2[—1, —є], 2[є, 1], 2[—є, є], и опишем нормальное оснащение для каждой из этих частей отдельно.
1. Подмногообразие 2[—1, —є] представляет собой цилиндр, и мы просто продолжаем на него оснащение основания (—1) х /(Я3) как постоянное по отношению к параметру г.
2. Подмногообразие 2[є, 1] получается посредством изотопии набора сфер 2(є) к стандартному набору “горизонтальных” сфер и3Я3; мы можем продолжить эту изотопию на окрестность многообразия 2(є) и, тем самым, на векторные поля, задающие оснащение (описанные на стр. 8, см. также рис. 10). Заметим, что при “втягивании” каждой из компонент “разорванной” трубки (при котором компонента в конечном счете превращается в маленький “диск” на одной из сфер Яі3) вышеупомянутые нормальные поля становятся “почти постоянными” (это достаточно очевидно), откуда следует, что мы действительно вернемся к стандартному оснащению многообразия иіЯ3 (те. не произойдет “подкручивания” его на ненулевой элемент группы ^3Я0(3) = Z).
3. Подмногообразие 2[—є, є] вне окрестностей (—є, є) х Уі является, опять-таки, цилиндром, и мы действуем как в п. 1. Что же касается окрестностей “особых точек”, то здесь мы определяем поле v1 формулой
V1 =£т&(1(у2 — х2) + а(г, х, у, г)д-, (40)
где а — любая неотрицательная Сто-функция в (—є,є) х У3, удовлетворяющая условию а(0) > 0 и обращающаяся в нуль вне некоторой (меньшей) окрестности начала координат. Наконец, поля V2 и v3 определяются так же, как на стр. 8. Положим Ф(г, х,у) = г + у2 — х2 (таким образом, Ф(г, х,у) = 0 — это одно из уравнений 39). Непосредственно проверяется, что производная v1(Ф) = 2х2+2у2+а(г,х,у,г) положительна, так что поле v1 нигде не обращается в нуль; в то же время производные V2(Ф) и v3(Ф), очевидно, нулевые, откуда вытекает линейная независимость набора векторов ^1^2^3) и его “трансверсальность” по отношению к подмногообразию 2. Конечно, для согласования формулы (40) с полем v1 вне окрестностей (—є, є) х У3 нужна некоторая подходящая нормализация поля v1, а чтобы получить именно нормальное оснащение, требуется эти три поля еще и ортогонализовать по отношению к 2 и друг к другу (собственно, последнее относится ко всему подмногообразию 2, а не только к 2[—є, є]). Все эти тривиальные моменты мы опускаем.
Выберем в сфере Я4 набор непересекаю-щихся подмногообразий Б4,Б4,..., б\, каждое из которых диффеоморфно шару Б4; обозначим их объединение и3Б4 через Б, а дополнение Я4 \ Б —
через 2. Согласно сказанному выше, существует сохраняющий ориентацию диффеоморфизм .2 ^ 2; мы обозначаем через ф как этот диффеоморфизм, так и соответствующее вложение .2 ^ I х X. Будем при этом считать, что ф(Б4) = (—1) х /(Я3) и ф(Б4) = 1хЯ3, 1 < і < й. Построенному нами оснащению подмногообразия 2 отвечает продолжение вложения ф на произведение 2 х Б3, которое мы также обозначаем через ф.
Положим теперь W = х(I х X, Б5,ф). Согласно формуле (28), мы имеем, без учета ориентаций,
дW = х(—1 х X, Б4, ф-1) и х(1 х X, б1 и... Б4, Ф1)
= м и м1,
где ф-х и — соответствующие сужения. Если при-
нять во внимание ориентации, то формула должна быть записана как дЖ = М и Мх; таким образом, Ж
— это кобордизм между многообразиями М и Мх, что и требовалось.
Применим к нашей ситуации лемму 8. Класс у, фигурирующий в формулировке упомянутой леммы
— это, в данном случае, относительный фундаментальный класс [2] е Н4(1 х X, {±1} х X). Образующие группы Н3(1 х X) = Ъ2 представлены, например, “горизонтальной” и “вертикальной” сферами Б^ = 1 х Б3 х а и бУ = 1 х а х Б3 в верхнем основании цилиндра I хX .Их индексы пересечения с подмногообразием 2 в цилиндре — тоже, что индексы пересечения с краем этого подмногообразия в верхнем основании цилиндра, те. с набором “горизонтальных” сфер 1 х Б3. Таким образом, Б^ ■ 2 = 0 и Б? ■ 2 = й, откуда Н3(1 х X) ■ [2]= й ■ Ъ и следовательно, в силу леммы 8, Н2(Ж) « Ъл. В качестве представителя образующей в группы Н2(Ж) мы можем, в силу той же леммы 8, взять любой из циклов -1 х /(Б2), 1 х их, ..., 1 х иа, откуда следует, что гомоморфизмы включения
г* :Н2(М) ^ Н2(Ж), (41)
(гО* :Н2(Мх) ^ Н2(Ж) (42)
переводят все классы к е Н2(М), Ь^ е Н2(Мх)
в класс в. Группа Нх(Ж) согласно лемме 9 триви-
альна, поэтому мы можем отождествить Н2 (Ж; Ъл) с Нот(Н2(Ж),Ъл) и определить класс а е Н2(Ж; Ъл) формулой (а, в) = 1. В силу сказанного выше о гомоморфизмах (41) и (42), и в силу определения классов и и шх, мы имеем соотношения г*(а) = ш и г*(а) = ш\, таким образом, выполнены условия леммы 5. Согласно этой лемме, инварианты ц и 7 пары (М, ш) совпадают с инвариантами пары (Мх, шх); последние же, по лемме 6, равны нулю. Теорема 1, таким образом, полностью доказана.
18. Доказательство теоремы 2
Мы будем доказывать теорему 2 для случая неоснащенных узлов; из доказательства будет видно, что вариант с оснащенными узлами получается точно таким же образом.
Пусть х е Н3(Б3 х Б3) — класс гомологий индекса й (напомним, что индексом мы здесь называем наибольший натуральный делитель класса х при ненулевом х, и нуль при х = 0). Теорема 2 равносильна утверждению, что все элементы множества £3(Б3 х Б3;х) можно получить посредством связного суммирования некоторого “начального” элемента этого множества с узлами Хефлигера (элементами группы Е3,6).
Мы воспользуемся тем, что, как известно, группа БМ + (Б3 х Б3) действует транзитивно на множестве классов фиксированного индекса. Следовательно, достаточно доказать утверждение теоремы для какого-нибудь одного “выделенного” класса х для каждого й. В качестве такого выделенного класса мы возьмем класс й ■ [Б3 х а]. Как и выше, мы называем сферы Б^ = Б3 х а и БV = а х Б3, соответственно, “горизонтальной” и “вертикальной”. В качестве же “начального” элемента множества £3(Б3 х Б3;й[Б^]) мы
возьмем, для каждого положительного й, стандартный узел вл. Заметим теперь, что часть теоремы 2, относящаяся к случаю й = 0, по существу тривиальна. В самом деле, если гомологический класс узла / нулевой, то и индексы пересечения сферы /(Б3) с “базисными” сферами Б'3 и БУ (как и любыми другими) равны нулю; применяя “трюк Уитни”, мы можем, посредством подходящей изотопии, представить узел / сферой, не имеющей точек пересечения с “базисным букетом” Б^ V бУ, т. е. лежащей в шаре Б3 х Б3 \ Б^ V Б%. Но это как раз и означает, что / — элемент группы Хефлигера Е3,6 (здесь еще уместно добавить, что естественное отображение Е3,6 ^ ^3(Б3 х Б3) является вложением, что немедленно вытекает из следствия 5).
В свете вышесказанного мы будем далее доказывать следующее утверждение, равносильное теореме 2.
Для любого узла / : Б3 ^ Б3 хБ3 с к(3) = й[Б^], й> 0, найдется такой узел д е Т,3,6, что имеет место равенство (изотопических классов) / = вЛ#д.
Доказательство сводится к более или менее явному построению изотопии, приводящей произвольный узел указанного в вышеприведенной формулировке вида к такому для которого разложение в сумму стандартного и хефлигеровского узлов было бы непосредственно очевидно. Требуемая изотопия, в свою очередь, получается в виде нескольких достаточно простых “деформаций” заданного узла, которые мы последовательно и опишем.
1. Из гомологических условий на узел / вытекает, что индекс пересечения сфер /(Б3) и Б'3 равен нулю, что позволяет избавиться (опять посредством “трюка Уитни”) и от геометрических пересечений. Что касается пересечений сферы /(Б3) с “вертикальной” сферой бУ, то, применяя тот же метод, мы можем получить ровно й геометрических пересечений (все индекса +1). Рассмотрим касательное векторное поле класса Сна Б^, обращающееся в нуль в двух точках — в точке а и противоположной к ней, скажем а', а во всех прочих точках направленное от а к а' вдоль дуг больших окружностей. Рассмотрим порожденную этим полем однопараметрическую группу диффеоморфизмов многообразия Б3 х Б3 и действие ее на сферу /(Б3). Очевидно, что при достаточно большом значении параметра мы получим картину изображенную на рис. 12:
С3
• я
б3
_Н
Рис. 12. Пересечение с Б3 V Б3.
(в окрестности “горизонтальной” сферы нет точек сферы /(Б3), а й пересечений с окрестностью “вер-
тикальной” сферы устроены стандартно — как пересечения с “горизонтальными” сферами). При этом “затененная” область К на рис. 12, т.е. дополнение к окрестности букета Я3 V Я3 в Я3 х Я3 — это 6-мерный шар (точнее, произведение Б3 х Б3). Таким образом, узел / представлен “3-мерной сферой с а дырками”, вложенной в 6-мерный шар К, и края “дырок” заклеены “горизонтальными” 3-мерными дисками, расположенными “с внешней стороны” по отношению к К. Та же самая конфигурация “в другом ракурсе” изображена на рис. 13. Затененная область здесь — это меньший 6-мерный шар, вложенный в область К.
Теперь нам лишь остается, используя (соответствующим образом понимаемые) свойства ассоциативности и коммутативности операции связного суммирования, по-другому расположить наши “слагаемые” (детальное описание см. далее).
\\
К
Рис. 13. Дополнение к 53 V Я3.
2. Дальнейшую деформацию достаточно ясно иллюстрирует рис. 14:
Рис. 15. “Параллельные” трубки.
3. Напомним, что наши трубки — это, по существу одномерные объекты (постольку поскольку их “толщина” не играет для нас роли), и следовательно, изотопический класс каждой трубки (в дополнении к остальным частям конфигурации) определяется только местами приклеивания ее начала и конца. Таким образом, мы можем взять (маленький) 3-мерный диск, по которому, допустим, конец первой трубки приклеен к сфере д(Я3), и начать двигать этот диск по сфере в направлении к месту приклеивания 2-й трубки, а затем по 2-й трубке к “горизонтальной” сфере номер 2. Продолжив эту деформацию на весь наш узел, мы получим, вместо трубки на рис. 15, новую трубку соединяющую между собой 1-ю и 2-ю “горизонтальные” сферы. Теперь проделаем все то же самое с трубками номер 2, 3 и т. д., за исключением последней. То, что мы после этого получим, показано на рис. 16:
В
Sd
Рис. 14. “Концентрические” трубки.
где
Отметим, что вся средняя часть рис. 14 (там, трубки — произведения I х Я2 — идут “вертикально”) представляет собой цилиндр над набором 2-мерных сфер, расположенных в 5-мерном шаре; следовательно, наши трубки не зацеплены друг с другом и могут свободно перегруппировываться. Результат такой перегруппировки показан на следующем далее рис. 15. Как и выше, затененная область здесь
— это 6-мерный шар, содержащий вложенную 3-мерную сферу с а “дырками”, к краям которых каким-то образом приклеены изображенные на рисунке “параллельные” трубки. В действительности мы уже получили нужный нам хефлигеровский узел: в самом деле, если заклеить 3-мерными дисками “основания” трубок, то мы получим вложенную в шар 3-мерную сферу которую обозначим как д(Я3); то, что изображено на рис. 15, можно представить как результат последовательного связного суммирования сферы д(Я3) (другими словами, хефлигеровского узла д) с
д(я3)
Рис. 16. Сумма вафд.
Непосредственно видно, что это и есть требуемая связная сумма. Теорема 2, таким образом, доказана.
19. Доказательство теоремы 3
В теореме 3 речь идет о связи между инвариантами узлов f1
Я3 х Б3
Я3 х
“горизонтальными” сферами Я х а
1,
XI, f2
Б ^ Х2 и узла fl#f2 : ^ х Б6 ^ ХфХ2, где Х1,Х2 — замкнутые 2-связные 6-мерные многообразия. Пусть й1,й2 — индексы узлов f1,f2, тогда индекс узла f1#f2 равен й = (й1,й2) (лемма 3). Многообразие х(Хг^г) (результат перестройки многообразия X* вдоль ^) мы обозначаем через М*, стандартную
а
2
1
образующую группы Н2(М*) га Zd. (класс гомологий цикла ^(а х Я2)) — через к*. Аналогично, многообразие х(Х1#Х2,^#^) обозначается через М, стандартная образующая группы Н2(М) га Zd — через к.
Для любых замкнутых односвязных спинор-ных 6-мерных многообразий Уо,У1 и любых 2-мерных классов гомологий х* е Н2(У*) имеется операция “связной суммы вдоль х0,х1", описанная в разделе 5 в более общей ситуации и в других терминах. Мы приведем здесь эквивалентное описание этой операции для нашего случая. Рассмотрим оснащенные узлы
ф* : Я2 х Б4 ^ У*, г = 0,1,
однозначно с точностью до изотопии определенные условиями:
1. к(фг) = х*;
2. Вложение ф0 сохраняет ориентацию;
3. Вложение ф1 обращает ориентацию.
Обозначим произведение I х Я2 х Б4 через Т (где
I = [0,1]), его подмножество IхЯ2 хШ Б4 — через Т0, сферу вида а х Я2 х Ь с Т — через Я2а ь. Определим частичное отображение ф : Т ^ У0 и У1 формулой
ф(х) = Фг(х) для х е г х Я2 х Б4, г = 0,1.
Теперь положим
(У0,х0) V (У1,х1) = (((У0 и У1) иф Т) \ Т0, [Я2 ь]), (43)
где а е I, Ь е Я3 выбраны произвольно. Лемма 2 может быть в рассматриваемой ситуации сформулирована в виде соотношения
(.M,h) = (M1,k1) V (M2,h2).
(44)
Рассмотрим цилиндр I х М (где многообразие М получено по формуле (43), и приклеим к его верхнему основанию трубку Т по тождественному вложению
I х Я2 х Я3 с I х Я2 х Я4 = Т с М
(можно сказать, что на верхнем основании мы “вернули на место” вырезанную в соответствии с формулой (43) внутренность Т0). В результате этой операции верхняя компонента края цилиндра окажется “разрезанной” на два отдельных многообразия, естественным образом отождествляемых с М1 и М2. Мы получили кобордизм W = (I х М) и Т, соединяющий М с М1 и М2 .
Лемма 10. Имеют место утверждения:
1. Группа Н1) тривиальна;
2. Включение М ^ W индуцирует изоморфизм Н2(М) ^ Н2^);
3. Включения М* ^ W индуцируют эпимор-
физмы Н2(М*) ^ Н2), переводящие образующие к* групп Н2(М*) га Zd. в образующую к группы Н2(Ш) = Н2(М) га Ъл.
Доказательство. Многообразие W гомотопически эквивалентно многообразию W1 = (М1 и М2) иф Т (результату стягивания цилиндра I х М с W на его верхнее основание). Точная последовательность пары (Ш1,М), плюс вырезание и изоморфизм надстройки (ср. доказательство леммы 8), дают точные последовательности
Нз(Т/Т0) =0 ^ Н2(М) ^ Н2^^ 0 = Н2(Т/Т0)
Н1(М) = 0 ^ Н1(Ш) ^ 0 = Н1(Т/Т"),
что доказывает утверждения 1 и 2. Утверждение 3 очевидно: сфера ф*(Я2) принаждежит как многообразию М*, так и многообразию W и порождает в первом из них класс гомологий к*, а во втором к. □
Теперь мы возвращаемся к доказательству теоремы 3. Определим когомологические классы
^ е Н2(М*; Zdi), у е Н2(М; Ъа) и а е Н2(^; Ъй) условиями
шг(к{) = ш(к) = а(к) = 1.
В силу этих условий и леммы 10, мы имеем соотношения
а1м = a\Mi =pdui’
i = 1, 2.
(45)
(46)
Сопоставляя парам вида (М,ш) классы спинорных бордизмов [М,ш] е &1ргп^а, 2) и учитывая равенства (45), (46), получаем соотношение
что дает
[M,u] = [Mi ,PdUi] + [M2,PdU2],
fj,(M,w) = fj,(Mi,pdWi) + n(M2,pd^2),
Y(M,u) = y(Mi, pd^i) + Y(M2,Pd^2)-
Ссылка на лемму 7 завершает доказательство теоремы 3.
Литература
1. Жубр А.В. Некоторые новые результаты о трехмерных узлах в замкнутых 2-связных 6-мерных многообразиях. Часть 1// Известия Коми НЦ УрО РАН, 2010. Вып.4. С.4—11.
2. Жубр А.В. Классификация односвязных шестимерных спинорных многообразий// Изв. АН СССР Сер. мат, 1975. С. 839-859.
3. Wall C.T.C. Surgery on Compact Manifolds. 2nd ed.// Math. Essays and Monogr. 69. Providence, RI:AMS, 1999. xv+302pp.
4. Thomas E. A generalization of the Pontrjagin square cohomology operation// Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1956. Vol. 42. P 266-269.
Статья поступила в редакцию 31.05.2011.
и
