CC BY
29
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 515.164.2
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ «ЭКЗОТИЧЕСКОГО» ИНВАРИАНТА ДЛЯ ОДНОСВЯЗНЫХ ЗАМКНУТЫХ ШЕСТИМЕРНЫХ СПИНОРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ
А.В. ЖУБР
Отдел математики, Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар [email protected]
Предложена прямая конструкция одного из инвариантов односвязных замкнутых шестимерных спинорных многообразий, ранее определенного автором (в работе 1976 г.) непрямым способом.
Ключевые слова: многообразие, инвариант, препятствие, хирургия
A.V. ZHUBR. ON THE DEFINITION OF “EXOTIC” INVARIANT FOR SIMPLY CONNECTED CLOSED 6-DIMENSIONAL SPIN MANIFOLDS
A direct construction is presented for one of invariants of simply connected closed 6-dimensional spin manifolds, which has been defined earlier by the author (in a 1976 year paper), in an indirect way.
Key words: manifold, invariant, obstruction, surgery
1. Введение
Все многообразия, и их отображения друг в друга, предполагаются в этой работе гладкими (класса С^). Класс всех односвязных замкнутых ориентированных шестимерных многообразий М, удовлетворяющих дополнительно условию спинорности у)2(М) = 0, в дальнейшем обозначается через М.
В работе [1] для всякого ориентированного многообразия М е М был определен инвариант р(М) е Н2(М), связанный с классом Понтрягина р\(М) е Н4(М) соотношением
4р(М ) = Бр1(М), (1)
(где Б — изоморфизм Пуанкаре) и названный «экзотическим» ввиду того, что он не может быть выражен через «обычные» инварианты (характеристические классы и когомологические операции), если гомологии многообразия М содержат 2-кручения (при отсутствии 2-кручений новый инвариант перестает быть «экзотическим», поскольку соотношение (1) в этом случае записывается какр(М) = 4Бр\(М)). Определение класса р(М) в работе [1] было существенно непрямым — оно основывалось на замене первоначального М, посредством хирургии, новым многообразием М, не имеющим 2-кручений в гомологиях, и на довольно нетривиальной проверке того, что канонический образ класса 1 Бр\(М) в группе Н2(М) не
зависит от выбора конкретного М (иначе говоря, конкретной последовательности перестроек). В данной
* Работа поддержана грантом РФФИ #12-01-00748-а
работе предлагается явная конструкция этого инварианта, не требующая «выхода за пределы многообразия М».
Обозначение р(М), использованное в работе [1], в последующих работах по разным соображениям менялось — сначала на е(М) [2, 3], затем на 7(М) [4]. Это последнее обозначение мы и будем далее использовать. Следует отметить, что в действительности в работах [2-4] рассматривается намного более сложный случай всех (не только спинорных) замкнутых односвязных шестимерных многообразий. В этом более общем случае роль «экзотического» инварианта играет, вместо класса гомологий ^(М), совсем другой объект — семейство частичных функций вида
Н2(М; Ъ/2т) ^ Ъ/2т-1
с т = 2, 3,..., ж, область определения которых состоит из всех классов ш е Н2(М; Ъ/2т), «накрывающих» класс W2(M); соответствующие значения обозначаются через Гш(М), а все семейство — через Г(М). В спинорном случае область определения функции
Г(М) : Н2(М; Ъ/2т) ^ Ъ/2т-1 совпадает с образом стандартного вложения
I : Н2(М; Ъ/2т-1) ^ Н2(М; Ъ/2т)
(иначе говоря, с множеством всех четных классов), а соотношение между Г(М) и 7(М) представляет собой простейший специальный случай формулы (184)
на стр. 202 работы [4]:
(хП(М)) = Г,Х(М) + (х3, [М]) (2)
для х е Н2(М; Ъ/2т-1), т = 2,3,..., ж. Из этого соотношения следует, что функция Г в спинорном случае определяется классом 7; обратно, из (2) и (1) следует, что класс 7 однозначно восстанавливается по функции Г (соотношение (1) дает класс 7 с точностью до элементов порядка 4; далее нужно применить формулу (2), поочередно взяв в качестве х все классы когомологий, дуальные к элементам какого-либо базиса группы Тогъ2Н2(М)). Таким образом, в спинорном случае инварианты 7 и Г эквивалентны друг другу («по модулю» других инвариантов).
Оказывается, что и в общем (неспинорном) случае можно определить инвариант ^(М) как семейство классов (М) е Н2(М; Ъ/2т-1). Здесь
также имеет место соотношение, обобщающее формулу (2), а именно упомянутая выше формула (184) работы [4] и, как и в спинорном случае, можно однозначно восстановить инвариант ^(М) по известному Г(М). В обратную сторону это перестает быть верным и, таким образом, в общем случае именно инвариант Г оказывается «основным» (подробности см. в [4]).
Определение инварианта Г в работе [4] (и, с другими обозначениями, в работах [2,3]), являлось непрямым в таком же смысле, как об этом говорилось выше в связи с инвариантом 7 в спинорном случае (с той разницей, что технические трудности в общем случае намного больше). В работе [5] была предложена явная конструкция инварианта Г; формально из этой конструкции вытекает, в соответствии со сказанным выше, и явная конструкция для 7, в том числе и в спинорном случае. Получающаяся таким способом конструкция инварианта 7 сложна и «неестественна». В настоящей работе предлагается более простой и естественный вариант
Примем, наконец, последнее изменение обозначений: вместо класса гомологий 7(М) е Н2(М) мы будем рассматривать равносильный и более здесь удобный инвариант — дуальный класс когомологий ^(М) е Н4(М), во-первых, не зависящий от ориентации многообразия М, и во-вторых, связанный с классом Понтрягина более прямым образом:
4^(М )= р\(М). (3)
2. Препятствие к тривиализации касательного расслоения
Для ориентированного га-мерного многообразия М мы рассматриваем его касательное расслоение
тМ : ТМ ^ М
как снабженное метрикой и, следовательно, имеющее своей структурной группой группу БОп. Для каждого к = 1,2,... ,п имеется ассоциированное «расслоение Штифеля»
ткМ : Ук (ТМ) ^ М,
слоем которого является многообразие Штифеля Уп,к ортонормированных к-реперов в пространстве Мп.
Нам понадобятся несколько хорошо известных и/или легко проверяемых и/или тривиальных утверждений о нескольких первых гомотопических группах некоторых из пространств SOn и Vn,k.
Лемма 1.
(Z2, i = 1,
(а) niSO3 * niSOs * <0, i = 2,
<Z, i = 3.
(б) V {0, i = 1,2,4,
(б) KiVl-3 * \Z2, i = 3.
(в) Группы niSO5 и niV63 в указанных размерностях стабильны: естественные вложения SO5 с SOn с n > 6 и Ve,3 С Vn,n-3 c n > 7, индуцируют изоморфизмы данных гомотопических групп.
(г) Естественное вложение SO3 с SO5 индуцирует мономорфизм SO3 ^ n3SO5, образ которого — подгруппа индекса 2.
Пусть M — конечное клеточное пространство и
£ : E ^ M
— ориентированное векторное расслоение размерности n > 5. Пусть выполнено условие W2(£) = 0 (другими словами, расслоение £ — спинорное). Как известно, класс w2(£) — не что иное как первое препятствие к построению тривиализации расслоения £ на 2-мерном остове пространства M. При этом гомотопический класс этой тривиализации (иначе говоря, спинорная структура) однозначно определяется своим сужением на 1-мерный остов. Обозначив какую-либо спинорную структуру на расслоении £ через s, мы можем рассмотреть следующее препятствие к его тривиализации. В силу утверждения (а) леммы 1 это препятствие появляется в размерности 4 и представляет собой целочисленный класс когомологий
04(£,s) е H4(M; n3SOn * Z).
Как показано в [7, лемма 1.1], это не что иное как половина класса Понтрягина ^(£). Точнее, имеет место равенство
pi(£) = ±2о4(£, s) (4)
(Кервер не уточняет знак в правой части соотношения, замечая только, что он зависит от выбора образующей группы n3SOn).
Предположим теперь, что M и £ — то же что выше, стой разницей, что dim £ = 3. Мы можем дословно повторить все сказанное выше относительно тривиализации расслоения £, и снова рассмотреть препятствие о4(£, s) е H4(M; n3SO3). Теперь, однако, мы не можем написать соотношение(4), поскольку лемма 1.1 работы Кервера предполагает выполненным «условие стабильности», что в нашем случае означает dim £ > 5. Чтобы выполнить это условие, возьмем сумму £ ® [2], где через [2] обозначается тривиальное двумерное расслоение. В силу утверждения (г) леммы 1 выполнено соотношение о4(£® [2], s) = 2о4(£, s), так что имеем окончательно
Pi(£) = ±4о4(£, s). (5)
Можно убедиться, что при «естественном» выборе ориентации группы БО3 знак в правой части соотношения (5) оказывается в действительности положительным — см. раздел 4 этой работы. В дальнейшем мы считаем, что ориентация (и, соответственно, образующая группы п3БО3) выбраны именно этим способом, так что в формуле (5) стоит знак «плюс».
Применим все здесь сказанное к случаю, когда М е ОТ, и £ = тМ — касательное расслоение. Мы хотели бы сузить структурную группу расслоения тМ до группы Б03, чтобы воспользоваться соотношением (5). Для этого заметим, что ввиду утверждения (б) леммы 1 первое препятствие к построению сечения расслоения Штифеля т3М принадлежит группе Н4(М; Ъ2); как известно, это не что иное как класс Штифеля-Уитни ь)4(М). Можно убедиться, все классы Штифеля-Уитни многообразия М тривиальны (это легко проверяется с помощью известных формул Ву, см. [8]). Таким образом (ввиду w4(M) = 0 и п4У6, 3 = 0), мы можем построить сечение V : М ^ У3(ТМ) на 5-мерном остове многообразия М и даже, если угодно, продолжить его на все М за исключением одной точки (продолжить сечение на М полностью, вообще говоря, не удастся из-за ненулевой эйлеровой характеристики). Мы будем обозначать ортогональное дополнение к V в тМ через ч)^. В силу построения, расслоение стабильно изоморфно (суженному на М \ р1) расслоению тМ, так что, в частности, на расслоении имеется спинорная структура. Эта структура единственна ввиду односвязности многообразия М, и мы обозначим препятствие ктривиализации расслоения через о4(М,)). Формула (5), с учетом сделанного выше замечания о знаках, может быть в данном случае записана как
р\(М) = 4о4(М,)). (6)
3. Формулировка основного результата
Сравнение соотношений (3) и (6) наводит на мысль о связи между инвариантом ^(М) и препятствием о4(М,)). Здесь, однако, мы сразу видим трудность, состоящую в том, что препятствие о4(М,)) содержит дополнительный аргумент — реперное поле V (или, лучше сказать, гомотопический класс таких полей). Заметим, что, в силу информации о гомотопиях пространства У6, 3 (лемма 1) и
о гомологиях многообразия М, единственное препятствие к гомотопии двух полей
: М \ р1 ^ У3(ТМ)
— их различающий класс 6(V,)) е Н3(М; Ъ2), и естественно возникает вопрос — каким образом разность о4(М,)) — о4(М,)) зависит от 6(V,)'). Рассмотрим диаграмму
Н3(М; Z2)----->Яат(Н3(М), Ж2)
Hom(Tors2H3(M), Z2),
в которой горизонтальная стрелка — индекс Кроне-кера, а вертикальная индуцирована вложением
T0TS2H3(M) С H3(M).
Нетрудно видеть, что ядро гомоморфизма e совпадает с множеством всех «целочисленных» элементов группы H3(M; Z2), иначе говоря с ядром гомоморфизма Бокштейна
в : H3(M; Z2) ^ H4(M),
так что объекты e(6) и в(6) находятся, для любых 6, во взаимно однозначном соответствии. Мы формулируем следующую правдоподобную гипотезу:
Предположение 1. Разность о4(M,v') — o4(M,v) определяется значениями различающего класса 6 на элементах группы Tors2H3(M), иначе говоря гомоморфизмом e(6); точнее, имеет место равенство
04(M,v') — 04(M,v) = в(6).
На данный момент мы не имеем доказательства этого предположения, хотя некоторая (довольно малая) его часть содержится в следующей далее теореме. Чтобы ее сформулировать, сначала введем некоторое условие на реперное поле v. Пусть
S = f (S3) С M — вложенная сфера. Будем говорить, что реперное поле v : M ^ V3(TM) «тривиально по отношению к S», если сужение v\s гомотопно какому-либо касательному полю S ^ V3 (TS), и «нетривиально по отношению к S» — в противном случае.
Теорема 1. Пусть S1, S2,..., Sk с M — вложенные 3-мерные сферы, реализующие некоторый базис группы Tors2H3 (M) (если эта группа тривиальна, то k = 0). Имеют место следующие утверждения:
(а) На многообразии M \ pt существует (по крайней мере одно) реперное поле v, нетривиальное по отношению к каждой из сфер Si;
(б) Для всякого такого v справедливо равенство o4(M, v) = y(m).
4. Отступление: о классе Понтрягина спинорного SO3-расслоения
Цель этого раздела — показать, что при «естественной» ориентации группы SO3 для произвольного ориентированного 3-мерного расслоения £ со спи-норной структурой s имеет место формула
pi(£) = 404(£,s). (7)
Заметим сначала, что достаточно проверить это равенство для какого-нибудь фиксированного SO3^^ слоения £ при условии, что классp1(£) имеет бесконечный порядок. В самом деле, спинорная структура на SO3-расслоении £ : E$ ^ B$ определяет, в частности, гомотопический класс отображений
f : B$ ^ BSpin3,
а в силу сделанных предположений индуцированный гомоморфизм
f * : H4(BSpin3) = Z ^ H4(B$)
является мономорфизмом. Тем самым, соотношение
(7) оказывается выполненным для универсального расслоения, а значит, и для любого другого.
Для построения нужного нам расслоения £ и проверки соотношения (7) применим одну хорошо известную конструкцию, в которой комплексное проективное пространство СР3 представляется как пространство расслоения над сферой Б4 со слоем Б2 и структурной группой БО3.
Мы обозначаем тело кватернионов через И, множество «чисто мнимых» кватернионов
{х1 + у] + гк | х,у,г е Ж}
— через ЭИ. На протяжении этого раздела будем представлять себе сферу Б4 как кватернион-ную проективную прямую ИР1, те. множество левых кватернионных прямых в двумерном кватерни-онном пространстве И2, проективное пространство СР3 — как множество левых комплексных прямых в этом же пространстве И2, сферу Б3 (она же группа Врт3) — как множество кватернионов с нормой 1
и, наконец, сферу Б2 — как пересечение ЭИ П Б3. Мультипликативные группы тела И и поля С обозначаются, соответственно, И* и С*. Следующие утверждения хорошо известны и/или легко проверяются.
Лемма 2. Для любого д е И* отображение И — И, заданное формулой а — дад-1, является ортогональным преобразованием, неподвижным на Ж, иначе говоря элементом Яд группы БО(ЭИ) = БО3. Определенное так отображение Я : И* — БО3 является эпиморфизмом с ядром Ж*, его сужение на подгруппу Б3 — двулистное (универсальное) накрытие группы БО3.
Лемма 3. Для любого д е И* кватернион д-1[д принадлежит сфере Б2 с ЭИ, и любой элемент сферы может быть получен таким образом; кватернионы д-1гд и д-1\д1 совпадают в том и только в том случае, если д1 = гд для некоторого г е С*.
Замечание 1. Утверждение леммы 3 можно сформулировать короче: отображение д — д-1[д определяет гомеоморфизм между комплексной проективной прямой И*/С* = Б3/Б1 и сферой Б2. Сужение этого отображения на сферу Б3 — не что иное как расслоение Хопфа.
Примем формальные определения
ИР1 = {И* • (р, д) I р,д е И, (р, д) = (0, 0)}, СР3 = {С* • (р, д) I р,д е И, (р, д) = (0, 0)} и определим отображение п :
СР3
—— ИР1 формулой
п(С* • (р,д))= И* • (р,д).
Чтобы убедиться в том, что это локально тривиальное расслоение со слоем Б2 и структурной группой БО3, и найти препятствие к его тривиализа-ции, фиксируем клеточное разбиение сферы ИР1 на две полусферы Б0 и Б.:
Б0 = {И* • (р,д) е ИР1 Цр1 < д},
Б.. = {И* • (р,д) е ИР1 | 1д1 < 1р1}.
Положим
хо(р,д) = д-1р
при д = 0 и
х. (р,д) = р-1д
при р = 0. Функции х0 и х. инвариантны относительно группы И* и дают, таким образом, отображения Б0 — И и Б. — И (которые мы обозначаем по-прежнему через х0 и хо); эти отображения, как легко убедиться, являются гомеоморфизмами на шар
В4 = {х е И Цх1 < 1},
при этом отображение х0 сохраняет ориентацию, а х. меняет ее (по отношению к стандартным ориентациям на ИР1 и В4).
Рассмотрим теперь прообразы наших клеток в пространстве СР3:
СР3 = п-1Бо = {С* • (р,д) I 1р1 < д}, СР. = п-1Б. = {С* • (р,д) Цд1 < |р|}. Очевидно, мы имеем
СР3 П СР. = {С* • (р, д) | р = |д| = 1}. (8)
Введем еще две функции
во(р,д) = д-1щ
и
в оо (р,д) = р-1гр.
Эти функции инвариантны относительно группы С* (но не относительно И*!) и дают, соответственно, отображения СР3 — Б2 и СР3 — Б2 (лемма 3). Получаем послойные гомеоморфизмы
/о = (хо,во): СР3 — В4 х Б2,
/оо = (хоо,воо): СР3 — В4 х Б2. «Отображение склеивания»
Б3 х Б2^^ СР3 П СР3 Б3 х Б2
представляет собой, на координатном языке, просто выражение х0 и в0 через хо и в о. В силу (8) имеют место равенства х0 = х (далее это общее значение обозначается через х) и в0 = х^во•х = Ях(во). Последнее соотношение и дает искомое «отображение склеивания» — это не что иное как накрывающее отображение Я : Б3 — БО3. Гомотопический класс этого отображения — одна из образующих группы п3БО3 « Ж — представляет собой значение препятствия к тривиализации расслоения
п : СР3 — ИР1
на стандартной образующей группы Н4(Б4). Если мы ориентируем группу БО3 посредством накрытия Я (перенесем на ЯО3 стандартную ориентацию сферы Б3), то это значение будет равно +1. Именно эту ориентацию группы БО3 мы называем «естественной».
Замечание 2. Нетрудно проверить, что дифференциал
<1Я : Т1Б3 — ТеБО3,
отображающий пространство Ж3 = ЭИ на алгебру Ли группы БО3, иначе говоря на множество «инфи-нитезимальных вращений» пространства Ж3, ставит в соответствие вектору V е Ж3 «правовинтовое вращение» в направлении этого вектора (с угловой скоростью, равной 2^|). Таким образом, установленная выше «естественная» ориентация группы БО3 задается упорядоченной тройкой «инфинитезимальных правовинтовых вращений» в направлении векторов
1, ] и к.
Пусть теперь £ : У — Б4 — ассоциированное с п векторное расслоение со слоем Ж3. Препятствие к его тривиализации, разумеется, совпадает с таковым для п:
Ы£), [Б4]) = 1. (9)
Рассмотрим естественное вложение г : СР3 — У, соответствующее вложению слоев Б2 с Ж3. Легко видеть, что
г* р1(£)= р1(СР 3)
и
£* [СР2] = [Б4],
откуда
Ы£), [Б4]) = ЫСР3), [СР2]) = 4. (10)
Соотношения (9) и (10) и дают требуемое равенство (7).
5. Доказательство основного результата
Обозначим через Оп,к ориентированное пространство Грассмана (множество ориентированных ^-мерных подпространств пространства Жп). Следующая лемма позволяет прояснить смысл определения «реперного поля, тривиального по отношению к вложенной сфере» (см. раздел 3).
Лемма 4. Естественная проекция
Р : Уб,3 — Св,3
индуцирует изоморфизм 3-мерных гомотопических групп.
Доказательство. Вложение слоя БО3 с Ув,3 этой проекции можно представить в виде композиции БО3 — БО6 — У6,3, откуда немедленно следует, что индуцированный гомоморфизм п3БО3 — п3У6,3 тривиален. Теперь применяем точную гомотопическую последовательность расслоения р. □
В силу этой леммы, для любых реперных полей V : М — У3(ТМ), тривиальных по отношению к некоторой вложенной сфере Б с М, их сужения v|s принадлежат одному и тому же гомотопическому классу (а именно тому, который под действием проекции р переходит в гомотопический класс поля касательных плоскостей ТБ с С3(ТМ)). Заметим дополнительно, что тривиальными по отношению к Б являются не только все касательные реперные поля, но также и любые нормальные, а также любые
фиксированные линейные комбинации тех и других (что легко проверяется прямым построением деформации такого поля в касательное).
Следующая лемма дает способ различить гомотопические классы двух реперных полей на сфере Б с М (и, тем самым, установить нетривиаль-ность одного их них). Мы рассматриваем пространство У4>1 = Б3 как естественно вложенное в У6,3 (слой проекции Ув,3 ^ Уб,2).
Лемма 5. Индуцированный гомоморфизм
П3Б3 ^ пзУб,з
сюрьективен.
Доказательство. Тривиально следует из того, что
П3Уб,2 = 0. □
Теперь мы можем, наконец, приступить к доказательству теоремы 1. Выражение «реперное поле на М» всюду ниже означает «поле на М \ рЬ> (или иногда «поле на 5-мерном остове»), а выражение «поля V и Vі гомотопны» — что они гомотопны на 4-мерном остове.
Доказательство утверждения (а). Это совсем просто следует из леммы 4 и из линейной независимости классов
[Бі], [Б2],..., [Бк ] Є Щ(М; ^2).
Пусть V — произвольное реперное поле, и пусть
I с {1,2,... ,к}
— множество тех номеров г, для которых имеет место утверждение «поле V нетривиально на сфере Бі». Пусть х Є Н3(М; Ъ2) — какой-нибудь класс, удовлетворяющий условию
х^={0 гIі;.
Стандартная теория препятствий позволяет построить поле Vі на М с 6(V, Vі) = х; вследствие леммы 4, поле Vі нетривиально по отношению ко всем Бі. □
Доказательство утверждения (б). В отличие от всего предыдущего, это доказательство потребует определенных усилий. Заменим многообразие М цилиндром Ш0 = М х [0,1], при этом касательное расслоение тМ превратится в тШ0 = тМ ® [1] (мы «закрываем глаза» на некоторую неточность обозначений). Пусть V — стандартный базисный вектор тривиального одномерного расслоения; добавив этот вектор к 3-реперному полю V на М, мы получаем 4-реперное поле V = (и^) на Ш0. Соотношение
(6) теперь запишется в виде
Рі(Шо) = 4в4(Шо,у)
(соотношение этого вида имеет место в действительности для любого односвязного клеточного пространства X, га-мерного спинорного расслоения £ над X с п > 6, и любого (п — 3)-реперного поля на 5-мерном остове пространства X).
Пусть S — одна из сфер Sl, S2,..., Sk. Приклеив к цилиндру W0 «ручку» H = D4 x D3 по вложению
g і S3 x D3 ^ M x О
с g(S3 x О) = S, получим новое многообразие Wl. Рассмотрим задачу продолжения реперного поля V на Wl. Заметим сразу, что реперное поле на сфере S, продолжаемое на «ручку», заведомо существует, а его гомотопический класс (или, если угодно, соответствующий элемент группы n3V6,3 & Z2) определен однозначно. В самом деле, в силу гомотопической тривиальности «ручки» на H имеется единственный гомотопический класс 4-реперных полей. Сужение такого поля на S и дает единственный «продолжаемый» класс на сфере. Таким образом, остается определить, какой из двух гомотопических классов
— «тривиальный» или «нетривиальный» — получается таким способом.
Вернемся на некоторое время к «кватернион-ным» обозначениям раздела 4. Мы отождествляем Ж4 с множеством кватернионов
H = {a + xi + yj + zk},
шар D4 — с множеством {jqj < І} с H. На сфере S3 = {jqj = І} рассматриваем левоинвариантное семейство касательных базисов (t1, t2, t3), определенное в каждой точке q формулами
tl = qi, t2 = qj, t3 = qk.
Пусть t0 — постоянный единичный вектор, направленный вдоль вещественной оси. Обозначим через n еще одно левоинвариантное поле на S3, состоящее из «радиальных» единичных векторов (заметим, что при приклеивании ручки вектор n отождествляется с вектором v). Рассматривая координату a = R(q) и радиус r = jqj как функции на H, мы можем написать t0 = grad a и n = grad r. Наконец, через (eb e2, e3) обозначаем стандартный базис пространства Ж3. Возвращаясь к «ручке» H, имеем, таким образом, ортонормированный базис касательного расслоения
(tl, t2, t3, Єї, e2, Єз, n), (11)
определенный на подмножестве Ho = S3 x D3, и реперное поле (t0, e^ e2, e3), определенное всюду на H.
Теперь мы хотим продеформировать наше реперное поле в окрестности Ho так, чтобы последним его вектором оказался n. Нетрудно проверить, что вектор t0(q) = grad R(q) имеет следующее представление в базисе (11):
to (q) = an — xti — y^2 — zt3
для всех q = a + xi + yj + zk є S3 (соответствующие коэффициенты — не что иное как производные функции ffi(q) по базисным векторам). Можно считать, что такое же представление имеется и при a < jqj < І для некоторого a < І (технические тривиальности опускаем). Рассмотрим поворот в плоскости (e3, n), переводящий e3 в n и n в -e3. Представляя себе этот поворот как деформацию, начинающуюся при
|^| = а и заканчивающуюся при |^| = 1, получаем в результате новое реперное поле на Н, имеющее на Но представление
( — аЄ3 — хЛі — уЬ2 — 2&3, Єі, Є2, п).
В «пересечении» с М (те. просто отбрасывая вектор п)получаем:
( — ае3 — х^1 — у^2 — 2^3, еЪ е2)■
Принимая во внимание лемму 5, видим, что данное поле негомотопно нормальному полю (е3, е^ е2) и, значит, нетривиально относительно Б.
Предположим наконец, что поле V нетривиально относительно всех сфер Б1, Б1,... ,Бк. Приклеив, как описано выше, ручки к цилиндру Ш0 по всем этим сферам и продолжив на эти ручки поле V = ), получаем спинорное 7-мерное много-
образие Ш с дШ = М и М (где М — результат перестройки многообразия М, «убивающей» группу Тогб2Н3(М)), и с 4-реперным полем w, продолжающим V. Мы имеем диаграмму
Н4(М)<-^~ Н4(Ш) -^ Н4(М),
индуцированную соответствующими вложениями. Гомотопически многообразие Ш получается из М приклеиванием нескольких 4-мерных клеток, а из М
— приклеиванием нескольких 3-мерных клеток. Из последнего легко следует, что ф в этой диаграмме
— изоморфизм. Кроме того, по построению,
То^Н 4(М) = Тогв2Н3(М) = 0.
Положим Ф = ф о ф-1. В соответствии с результатами работы [1] имеет место равенство
Ч(М) = Ф( 4р1(М)) (12)
(см. «подготовительную лемму» на стр. 842, которая,
собственно, и представляет собой первоначальное
\ *
определение инварианта 7).
С другой стороны, в силу естественности, выполнены равенства
04(М,1Л) = ф(04(Ш,Уі)),
04(М, w) = ф(04(Ш, w)) ,
откуда
о4(М^) = Ф(о4(М ^)) = Ф( 1р1(М)), (13)
(где последнее равенство — это просто эквивалентная запись, ввиду отсутствия 2-кручений, соотношения(б)). Сопоставляя равенства (12) и (13), мы и получаем доказываемое утверждение. □
* Следует заметить, что равенства (12) именно в таком виде в работе [1] нет — там другие обозначения, и вообще речь там идет о классах гомологий, а не когомологий. Хуже того, «экзотический» инвариант в [1] представляет собой гомоморфизм, определенный на группе спинорных бордизмов некоторого пространства Эйленберга-Маклейна. Все эти сложности в работе [1] связаны, конечно, с доказательством существования инварианта.
6. Несколько заключительных замечаний
Как представляется автору, изложенная в этой работе конструкция представляет инвариант 7 в менее, если так можно сказать, «призрачном» свете, чем первоначальное определение в работе [1]. С другой стороны, имеется ряд вопросов, на которые у автора пока нет ответа. Кроме изложенной в разделе 3 гипотезы относительно связи между 3-мерным различающим классом двух реперных полей и разностью соответствующих 4-мерных препятствий к три-виализации, можно сформулировать еще несколько нерешенных проблем.
1. Можно ли условие нетривиальности реперного поля раздела 3 сформулировать в более «гомотопических» терминах? Можно заметить, что 3-ре-перное поле на многообразии М, вместе с гомотопическим классом отображений Б3 — М, определяют класс регулярных гомотопий погружений сферы Б3 в М. Нет ли связи между свойствами соответствующих погружений (числом точек самопересечения) и свойством «нетривиальности» данного реперного поля?
2. Корректность приведенной здесь конструкции «экзотического» инварианта (т. е. независимость от выбора набора вложенных сфер, реализующих базис группы Тогб2И3(М)) следует из ее соответствия первоначальному определению инварианта (теорема 1). Было бы очень интересно получить
независимое доказательство корректности — без ссылки на первоначальное определение.
Литература
1. Жубр А.В. Классификация односвязных шестимерных спинорных многообразий // Изв. АН СССР (сер.мат.). 1975. Т. 39. С. 839-859.
2. Жубр А.В. Классификация односвязных 6-мерных многообразий // Докл. АН СССР. 1980. Т. 255. С. 1312-1315.
3. Zhubr A.V. Classification of simply connected topological 6-manifolds // Lecture Notes in Math. 1988. Vol. 1346. P. 325-339.
4. Жубр А.В. Замкнутые односвязные шестимерные многообразия: доказательства классификационных теорем // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12. С. 126-230.
5. Жубр А.В. Экзотический инвариант для 6-мерных многообразий: прямая конструкция // Алгебра и анализ. 2009. Т. 21. С. 144-163.
6. Wu W.-T. On Pontrjagin classes III // Acta Math. Sinica. 1954. Vol. 4. P. 323-347.
7. Kervaire MA. A note on obstructions and characteristic classes // Amer. J. Math. 1959. Vol. 81. P. 773-784.
8. Wall C.T.C. On certain 6-manifolds // Inv. Math. 1966. Vol. 1. P. 355-374.
Статья поступила в редакцию 15.04.2013.
