CC BY
25
УДК 517.929
В.В.МАЛЫГИНА, К.М. ЧУДИНОВ Пермский государственный технический университет
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ
Найдены достаточные условия, формулируемые в терминах параметров исходной задачи, при которых функция Коши дифференциального уравнения с несколькими переменными запаздываниями сохраняет знак и имеет экспоненциальную оценку. Для случаев, когда число ненулевых коэффициентов уравнения не превосходит трех, приведена геометрическая интерпретация полученных признаков в виде областей устойчивости на прямой, на плоскости и в трехмерном пространстве.
Постановка задачи
Рассмотрим уравнение
П
х(0 = ао*(0 - ^ акх(* - Гк (ОХ *е □ + =[0, +¥Х (1)
к=1
считая функцию х : □ + ® □ доопределенной при отрицательных значениях аргумента некоторой локально суммируемой начальной функцией. Здесь ао - любое вещественное число, при всех к = 1,..., п коэффициенты ак неотрицательны, запаздывания Гк : □ + ® □ + измеримы по Лебегу на □ + и имеется такой набор положительных констант ак, что 0 < гк (*) < ак.
Решением уравнения (1) назовем локально абсолютно непрерывную функцию х: □ + ® □ , удовлетворяющую равенству (1) почти всюду на □ +. Как известно [1, с.35], уравнение (1) с заданными начальной функцией и начальным условием х(0) = х0 однозначно разрешимо.
Цель данной работы - получение признаков устойчивости уравнения (1). Все определения устойчивости мы понимаем в классическом смысле: либо как
непрерывную зависимость от начальных данных [2, с.59], [3, с.130], либо как соответствующие свойства (оценки) функции Коши [1, с.90].
Уточним постановку задачи. Мы будем искать условия устойчивости, формулируемые в терминах параметров а0,аь...,аП и а^,...,аП, которые считаем фиксированными, то есть признаки устойчивости решений всех уравнений вида (1) с заданным набором этих параметров при всевозможных функциях гь..., гП,
удовлетворяющих указанным выше условиям. В связи с этим оказывается удобным расширить используемую терминологию. Именно: когда ниже мы будем иметь в виду некоторый определенный набор чисел ак и щ и функций Гк, то будем говорить о соответствующем уравнении (1), когда же будем говорить о семействе уравнений (1),
© Малыгина В.В., Чудинов К.М., 2009.
будем иметь в виду множество уравнений с фиксированным набором параметров ак и о>£ и всевозможными функциями тк .
Определение. Семейство уравнений (1) будем называть устойчивым (по начальным данным, равномерно, асимптотически, экспоненциально), если все входящие в него уравнения устойчивы (в соответствующем смысле).
В работе [5] предложен метод исследования асимптотических свойств решений уравнения (1), сводящий вопрос о его устойчивости к исследованию свойств вспомогательного автономного уравнения. Данная статья углубляет разработку этого метода.
Предварительные результаты
Если для данных параметров а0,аь...,ап и а^,...,ап найдется такой набор запаздываний гк, что уравнение (1) неустойчиво, то неустойчиво и семейство, в которое входит уравнение. Таким образом, при изучении условий устойчивости семейства (1) можно отбрасывать такие наборы ак и Ок.
п
Теорема 1. Если а0 - X ак > 0, то семейство (1) не является устойчивым по
к=1
п
начальным данным, а если а0 - X ак > 0, то семейство (1) не является
к=1
асимптотически устойчивым.
Доказательство. Положим все запаздывания Гк нулевыми. Получим обыкновенное дифференциальное уравнение, решение которого неограниченно в случае строгого неравенства и не имеет нулевого предела в случае нестрогого неравенства. ▲
В связи с только что доказанным фактом наибольшего внимания при исследовании устойчивости требует случай, когда справедливо неравенство
п
а0 - X ак < °.
к=1
Дополним уравнение
п
у(*) = а0У(*) - X акУ(* -ак X *е П +, (2)
к=1
начальной функцией у(Х) ° 1, X £ П +, и начальным условием у(0) = 1. Заметим, что в силу автономности задачи (2) ее решение является непрерывно дифференцируемой на П + функцией.
Уравнение (2) будем называть 1в81-уравнением семейства уравнений (1).
В предположении справедливости неравенства а0 - X ак < 0 поставим
к=1
в соответствие семейству (1) величину / по следующему принципу. Очевидно, что для некоторого х > 0 решение у : □ + ® □ задачи (2) с данным набором параметров ак и Юк убывает на отрезке [0, х]. Если оно убывает на полуоси □ + , то положим / = +¥ . В противном случае положим / = т1{ е □ + : "е > 0$хе (^, ^ + е) (у(х) > у(^))} и обозначим к = -у(/) . В работе [5] наибольшее внимание уделено случаю / < +¥ . В данной статье подробно рассматривается случай / = +¥ .
П
Лемма 1. Пусть а0 - X ак < 0 и / < +¥. Тогда
к=1
a) / = Бир{е □ + :0<х<^^у(х)<0};
b) у (/) = 0 ;
c) к > 0.
Доказательство. Пункты а) и Ь) следуют из определения точки /, отмеченной выше непрерывной дифференцируемости функции у и необходимого условия локального минимума. Докажем с). Пусть к < 0, то есть у(/) > 0. Так как на отрезке (0, /) функция у убывает, то у(/ -Юк ) > у(/). Среди коэффициентов ак, к = 1,..., п, есть хотя бы один ненулевой, следовательно, с учетом Ь) из уравнения (2) получаем
п п ( п \
0 = у(/) = аоу{1) - X акУ(1 -юк) < а0у(/) - X акУ(1) = у (/) а0 - X а
к=1 к=1
что невозможно. ▲
< 0.
к=1 )
Для каждого э є □ определим функцию уэ: □ ® □ , положив ys (ї) = у(ї - э), где у - решение задачи (2). Функции семейства {уэ} назовем їе$ї-функциями. Таким образом, каждая 1ЄБІ;-функция уэ тождественно равна 1 при ї < э, строго убывает на промежутке (э, э + /) до значения у(/) = -И < 0 и для некоторого 8> 0 возрастает на промежутке (э + /, э + / + 8). Отметим используемый ниже факт, что для каждой пары чисел ї є □ и Хє [-к, 1) существует единственное число э є [ї - /, ї) такое, что уэ (ї) = X .
Обозначим ю = тах юк .
к
11
Лемма 2 [5]. Пусть а0 -Xак < 0, / <+¥, х : □ + ® □ - решение уравнения (1),
П
а0 - X ак
к=1
уэ - їesї-функция, уэ (ї0) = х(ї0), э є [ї0 - /, ї0], и для любого ї є [ї0 -ю, ї0] справедливо неравенство х(ї) < уэ (ї). Тогда найдётся такое число 8> 0, что для любого ї є [ї0, ї0 + 8] справедливо неравенство х(ї) > уэ (ї).
Очевидно, что лемма 2 остается справедливой, если вместо решения х уравнения (1) рассматривать функцию с :[х, +¥ ® □ , определенную равенством с(^) = С^, х) , ^ е [х, +¥), где С - функция Коши [7, стр.47] уравнения (1). Пользуясь этим, докажем следующий используемый в дальнейшем изложении факт.
п
Теорема 2. Пусть а0 - ^ ак < 0, / < +¥ и найдутся такие числа 8, ^ е □ , что
к=1
8 + / + Ю< ^ ^ и 0 < С(^,8) < С(^2,8), где С - функция Коши уравнения (1). Тогда
найдется такое число ^ е (8, ^ ), что (-к)С(^, 8) = С(^, 8).
Доказательство.
1. Обозначим для краткости с( ) = С(•,8). Пусть х = Бир{е [^1,12\ : с(1) < с(^)}). Имеем: хе [^, ¿2), с(х) = с(^) и для любого е > 0 найдется такая точка х1 е (х, х + е) , что с(х) < с(х1).
с(х)
2. Обозначим " =-у,?, 5 е □ . В силу определения 1еБ1;-функций имеем
к
ух-/ (х) = -к, откуда "х-/ (х) = с(х). Так как для некоторого 8> 0 функция "х-/ убывает на интервале (х, х + 8), с учетом п. 1 получаем: для любого е> 0 найдется такая точка х1 е (х, х + е) , что "х-/ (х0 < с(х1).
3. Допустим, что теорема неверна. Тогда для всех ^ е [х- / -ю, х] имеем с(^) >-с(х)/к. Для каждого такого I е[х-/, х], что с(^) < с(х), найдется единственное число ) такое, что "^^) = с(^); для остальных Iе [х-/,х] положим ) = х-/ . Обозначим а = Бир{8(^): I е [х- /, х]}. Имеем ае[х- /, х). Далее, для всех I е [а-ю, х] имеем "а (I) < с(^), поскольку для I е [а - ю, а] в силу сделанного допущения имеем
с(х)
(^) =-----< ф), а для ^ е [а, х] из (I) > ф) следует "а (^) >"М), а значит,
к
8(^) > а, что противоречит определению точки а.
4. В случае а = х-/ согласно п. 3 и лемме 2 найдется такое число 8> 0, что с(^) < "а (^) для любого ^ е [х, х + 8], что противоречит п. 2.
5. Рассмотрим случай а>х-/. Тогда для любого е> 0 найдется число 8ее[а-е, а] такое, что (^) = с(1) для некоторого I е [х - /, х]. В силу равномерной
непрерывности 1еБ1;-функций на компакте [х-/, х], Бир{ е[х-/, х]:| "а (¿)-" (¿)|} ® 0
при е® 0, а значит, найдется точка е [а, х] такая, что с(^а) = "а (¿а). Это противоречит п. 3, поскольку согласно лемме 2 найдется такое число 8 > 0, что с(1) < (I) для всех I е [¿с, 1а + 8]. ▲
Рассмотрим задачу (2) в предположении / = +¥ , то есть (строгого) убывания ее решения на полуоси □ + . Приведем полезную переформулировку этого условия. Для этого рассмотрим еще одну задачу: уравнение
п
и(0 + Xаке~ай0Юки{1 -Юк) = 0, ^е □ +, (3)
к=1
дополненное начальной функцией и(Х) ° 0, □ + и начальным условием и(0) = 1.
п
Лемма 3. Пусть а0 - X ак < 0. Тогда решение задачи (2) убывает на □
п
а0 - X ак < 0. Югда решение задачи (2) убывает на □ + если к=1
и только если решение задачи (3) положительно на □ +.
Доказательство. Сделаем в уравнении (2) замену переменных:
n t
y(t) =1 + (ао - X ak)J e“oSu (s)ds.
k=1 0
n
Легко видеть, что у^) = еа0 (а0 - X ак) и(^), откуда сразу следует, что для всех
к=1
^ е □ если у(^) < 0, то и(^) > 0 . Подставляя выражения для у(^) и у(^) в уравнение (2), получаем
п ( п ^ Л п ( п ¿~юк ^
(а0 - X ак )и^) = а0 1 + (а0 - X ак )|еЩ°и- X ак 1 + (а0 - X ак ) | е°^и(8№
V к=1 0 ) к= V к= 0
к=1
или
П к
eaotu(t) = 1 + а0 JeaoSu(s)ds - X ак J eaoSu(s)ds .
о к=1 0
Дифференцируя и деля на экспоненту, получаем
u(t) =-Xjake~a<0(°ku (t -wk ),
к=1
то есть u удовлетворяет уравнению (3), что и требовалось доказать. ▲
Введем функцию P : □ ® □ равенством P(Z) = -Z - a0 + X akez“k
k=1
Имеем: Pr(Z) = -1 + X akwke , P*(Z) = X akWe . Очевидно, что P" (Z) > 0 при
k=1 k=1
всех □ . Таким образом, функция P' возрастает на всей вещественной оси, причем
lim P'(Z) = -1, а lim P'(Z) = +¥ . Следовательно, P' обращается в нуль в единственной
—¥
точке z , являющейся единственной точкой минимума функции Р . Если Р^ ) > 0 , то функция Р не имеет нулей; если Р^*) = 0, то Z*- единственный нуль функции Р; если Р^*) < 0, то функция Р имеет ровно два нуля - справа и слева от Z*.
Лемма 4. Решение задачи (3) положительно на □ + тогда и только тогда, когда функция Р имеет хотя бы один нуль.
Необходимость установлена в работе [6].
Достаточность. Пусть существует число Сое □ такое, что ^(Со) = 0. Тогда, положив и(^) = в~^Со +“о)/ > 0, I е □ +, и подставив в левую часть уравнения (3), получаем
£-(^0 +a0)t
-Со -" + ^ '"-'Р(Со) ° 0.
V k=1 У
Отсюда по теореме о дифференциальном неравенстве [4, с. 65] следует, что решение задачи (3) положительно на □ + . ▲
П
Отметим, что Р(0) = X ak — Ü0 . Таким образом, предыдущие рассуждения
к=1
данного раздела проводились в предположении, что Р(0) > 0 . Объединяя леммы 3 и 4, получаем следующий результат.
Теорема 3. Пусть Р(0) > 0. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
a) l = +¥ ;
b) решение задачи (2) убывает на полуоси □ + ;
c) решение задачи (3) положительно на полуоси □ + ;
d) функция Р имеет нули на оси □ .
Заметим, что справедливость утверждений a)-d) теоремы 3 не гарантирует устойчивость test-уравнения (и тем более семейства (1)): среди монотонных решений могут оказаться и неустойчивые. Для того чтобы выяснить, устойчиво ли семейство (1), требуется более подробная информация о нулях функции Р.
Лемма 5. Пусть функция Р имеет нуль на множестве (
—°°, 0]. Тогда семейство
уравнений (1) не является асимптотически устойчивым.
Доказательство. Пусть существует такое С0 £ 0, что Р(С0) = 0. Положим в уравнении (1) Гк(t) = W при всех к = 1,2,к,n и доопределим его условием
х(Х) = e C°x, Xе (—¥, 0]. Тогда функция x(t) = e C()t, t e □ +, будет решением такого уравнения. Так как —С0 ^ 0, функция x(t) не стремится к нулю при t , следовательно, семейство уравнений (1) не является асимптотически устойчивым. ▲
Лемма 6. Пусть функция Р имеет нули. Для того чтобы все они лежали на полуоси (0, +°), необходимо и достаточно, чтобы были справедливы неравенства Р(0) > 0 и Р(0) < 0.
Необходимость. Случай обыкновенного дифференциального уравнения тривиален, поэтому далее будем считать, что среди коэффициентов ak при к = 1,2,к,n есть ненулевые. Рассмотрим случаи, когда не выполняется хотя бы одно из неравенств Р(0) > 0 и Р(0) < 0.
Если Р(0) £ 0 , то, поскольку lim Р(С) = +°, функция Р обращается в 0 на (—°, 0].
с®—°
Пусть Р(0) > 0 и Р'(0) > 0. Рассмотрим точку минимума С* функции Р. Функция Р' возрастает на □ , поэтому С* £ 0 . Если Р(С*) £ 0, то функция Р имеет нули на множестве (-¥,0], а если Р(С*) > 0, то вообще не имеет нулей, что противоречит условиям леммы.
Достаточность. Поскольку функция Р' на множестве (-¥, 0] возрастает, из неравенства Рг(0) < 0 следует, что Р' отрицательна на (-¥, 0], то есть функция Р убывает. А тогда из неравенства Р(0) > 0 следует, что функция Р положительна на (-¥, 0], то есть все ее нули лежат на □ + . ▲
Теперь рассмотрим параметры уравнения (1) как задающие некоторые множества точек пространства □ ”+1.
Обозначим через Р множество точек (и0,иг,...,ип)е □ ”+1, определяемое уравнениями в параметрической форме:
-С-и0 + Xике^ = 0, -1 + ¿иЛе^ = 0, Се □ . (4)
к=1 к=1
Далее, обозначим через О начало координат (0,. ,0) е □ п+1 и через М - точку (а0, а1,..., ап) е □ п+1. Зададим луч ОМ параметрическими уравнениями
ик = ак5, к = 0,1,2,., п, ^ е □ +. (5)
Подставляя (5) в (4), получаем уравнение
пп
Сюк , V„Сюк
акще к + Е аке = ао.
к=1 к=1
Нетрудно убедиться, что при условии Р(0) > 0 оно в случае а0 £ 0 имеет единственный корень, который положителен, а в случае а0 > 0 - два корня,
положительный и отрицательный. Обозначим положительный корень через С0. Таким образом, если Р(0) > 0, то луч ОМ имеет с множеством Р общую точку М0,
соответствующую значениям С = С0 и 5 = 50 =-------1---- параметров уравнений (4)
Е ак щке
к=1
Сощк
и (5). Если а0 < 0, то Мо - единственная точка пересечения луча ОМ с множеством Р, а если а0 > 0 - одна из двух, ближайшая к началу координат. Если 50 = 1, то точки М и М0 совпадают.
В связи со сказанным множество Р в дальнейшем будем называть поверхностью и говорить, что точка М лежит ниже поверхности Р, если 50 > 1; на поверхности Р, если
50 = 1; и выше поверхности Р, если 50 < 1.
Теорема 4. Пусть Р(0) > 0 и Р'(0) < 0. Тогда, для того чтобы функция Р имела нули, необходимо и достаточно, чтобы точка Млежала не выше поверхности Р.
Необходимость. Пусть 1) Р(0) > 0, 2) Р'(0) < 0 и 3) точка М(а0,а1,...,ап) лежит выше поверхности Р. Из условия 1) получаем, что существуют параметры С0 и 50
такие, что -Со -а0$0 + ^XакеС°°к = 0, -1 + 50XакюкеС°Ок = 0. Условие 3) означает, что
к=1 к=1
п п
s0) < 1, а тогда Р(С0) = -1 + X ак“кеСоОк >-1 + ^0 X акюкеСо°к = 0, то есть Р(С0) > 0.
к=1 к=1
Следовательно, С* <С0, где С* - точка минимума функции Р. Учитывая условие 2), получаем С* ^ (0, С0).
Рассмотрим вспомогательную функцию Q : □ ® □ и ее производные:
6(0 = Ч - a0s0 + S0 Ё 0^^ , 6(С) = -1 + s0 Ё ^ , 6(С) = s0 Ё akw2^ .
s0 Ё акух’ке , 6 (Ъ) “ s0 Ё a^*eC k
к=1 к=1 к=1
Так как Q','(С) > 0 при всех □ , функция Q возрастает, а так как Q'(С0) = 0, при всех С£[С*, С0) имеем Q/(С) < 0. Значит, Q(Z) убывает на [С*, С0), то есть Q(С*) > Q(С0) = 0, но тогда в силу неотрицательности С* Р(С*) > Q(С*) > 0. Таким образом, функция Р положительна в точке, где она принимает наименьшее значение, следовательно, не имеет нулей.
Достаточность. Пусть точка М лежит не выше поверхности Р. Значит, существуют
С0 > 0 и s0 > 1 такие, что -£0 - a0s0 + s0 Ё акеС°Юк = 0 . Тогда
к=1
n Ґ n \ n
P(Ü = -С0 -а0 + ЁакеС“к £-С0 + S0 I ЁакеС“к -а0 = -С0 -a0s0 + S0= 0 5
к=1 V к=1 у к=1
то есть Р(С0) £ 0 . Но lim P(0 = +¥ , значит, функция P имеет нули. ▲
С®¥
Лемма 6 и теорема 4 дают следующую теорему.
Теорема 5. Пусть функция P имеет нули. Для того чтобы все они лежали на полуоси (0, +¥), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства P(0) > 0 и P'(0) < 0, а точка M лежала не выше поверхности F.
Асимптотическая устойчивость
Обозначим D = {(t, s)є □ + : t > s}. Множество А есть область определения функции Коши рассматриваемых уравнений.
Лемма 7. Пусть функция P имеет нули на полуоси (0, +¥). Тогда функция Коши любого уравнения семейства (1) положительна на множестве А.
Доказательство. Обозначим функцию Коши уравнения (1) через С. Заменой
переменных х(V) = еа,°1г^) преобразуем уравнение (1) к виду
(Ьг)^) = ^) + Ё аке~ал(t)г(г - гк (t)) = 0, t е □ + . (а)
к=1
Легко видеть, что функция Коши С\ уравнения (а) определяется уравнением
С (V, ^) = С(V, ^) е“а°-5), (V, ^) е А, и значения функций С и С имеют одинаковый знак во всех точках множества А. По условиям леммы функция Р имеет нуль ^о е (0, +¥ .
Положив v(t) = е_(Со +а0)/ > 0, V е □ +, получаем
= £_(Со +аоК
^ Ти0)Є~^о +ао)1 + ^акг~аогк(')е-(^о +ао)('-гк(*)) = к=1
С П \ С п \
(^)(і) = -(Со + ао)е (Со +ао)/ + Ёаке~
к=1
Со -ао + ЁакЄСо"к(0 £е (Со +а°}/ -Со -ао + £акЄСо“к = е (С°+ао)/Р(Со) = о.
к=1
Отсюда по теореме о дифференциальном неравенстве [4, с.65] получаем, что функция Коши уравнения (а) положительна на множестве А, а значит, положительна и функция Коши любого уравнения семейства (1). ▲
Лемма 8. Пусть функция Р имеет нули и все они лежат на полуоси (0, +¥). Тогда найдется такое число Т > 0, что для всех s е □ + функция С(•, ¿), где С -функция Коши произвольного уравнения семейства (1), убывает на полуоси (Т + 5, +¥).
Доказательство. Пусть функция Р имеет нули, и все они лежат на полуоси (0, +¥). Тогда согласно теореме 5 точка М (а0, а1,..., ап) лежит не выше поверхности Р,
то есть существуют С0 > 0 и 50 > 1 такие, что ¿0 =-----------------------1-. Значит, можно
Со%
ак “ке к=1
зафиксировать число х, удовлетворяющее условиям ¿0 < х < ——1-------, при этом точка
Ё ак “к
к=1
Мх(а0х,а1х,...,апх) оказывается лежащей выше поверхности Р. Рассмотрим функцию
п
Рх (О = Ч- а„х+
хЁ аке^Юк , С е □ . Легко видеть, что в силу выбора X и справедливости
к=1
неравенств Р(0) > 0 и Р'(0) < 0 справедливы неравенства Рх (0) > 0 и Рх’(0) < 0. Определения точки Мх и функции Рх получаются из определений точки М и функции Р путем замены набора параметров ак набором акх, к = 1,...,п. Из этого с учетом отмеченных выше свойств точки Мх и функции Рх согласно теореме 4 получаем, что
функция Рх не имеет нулей. Значит, функция р, задаваемая уравнением
п
Р(С) = _С_ а0 + Ё акеСЮкХ=хР (С/х), £е □ , тоже не имеет нулей.
к=1
Рассмотрим произвольное уравнение семейства (1). Так как х> 1, имеем 0< тк^) < %(£>к, к = 1,...,п, ^е □ + . Значит, заменив в 1еБ1:-уравнении (2)
рассматриваемого семейства уравнений (1) параметры % параметрами хю, к = 1,...,п, получаем другое 1еБ1:-уравнение этого семейства. Определим число 11 и функцию р, заменив параметры % параметрами хю в определениях числа 1 и функции Р. По теореме 3 получаем, что /1 < ¥, следовательно, в силу леммы 1
\ = -^(/1) > 0 . Обозначим ю = тах ю и Т = /1 + хю и предположим, что найдутся точки
к
^ и ^2 такие, что для некоторого эе □ + имеем ^ + Т < ^ < ^, но С(^, э) < С(^, э). Тогда по теореме 2 найдется такая точка to е (э, ^), что -И0С^0, э) = С(^, э). Но по лемме 7 функция Коши положительна при всех (;, э) е А. Приходим к противоречию, следовательно, функция С(•, э) строго убывает на полуоси (Т + э, +¥). ▲
Лемма 9. Пусть функция Р имеет нули, и все они лежат на полуоси (0, +¥). Тогда существует такое число N > 0, что для функции Коши С любого уравнения (1) при всех (^ э) е А справедлива оценка
0 < С (^ э) < (Ь)
где a = -a0 + X ak > 0.
n
a0 X ak k=1
Доказательство. Как известно [7, с. 56], функция Коши C как функция первого аргумента является решением уравнения
Э n
—C(t, s) - a0C(t, s) = -X akC(t - rk (t), s\ t > s (c)
Э k=1
дополненного начальными условиями C(X, s) = 0, X < s, и C(s, s) = 1.
По лемме 8 найдется такое T > 0, что функция C(•, s) монотонно убывает на полуоси (T + s, +¥). Заметим, что sup |C(s + T, s)| <¥. Прибавляя к обеим частям
seD + n
равенства (c) одно и то же слагаемое X akC (t, s) и пользуясь формулой Коши [7, с. 67],
k=1
запишем уравнение (с) в эквивалентном интегральном виде:
t n
C(t, s) = e~a(t-s-T C(s + T, s) + J e“a(t-t) X ak (C(t, s) - C(t- rk (t), s)) dt, t > s + T.
s+T k=1
В силу выбора T имеем C(t, s) < C(t - rk (t), s), то есть
C(t, s) < e~a(t-s)eaT sup |C(s + T, s)| = Ne“a(t-s).
s
Положительность функции Коши обеспечивается леммой 7. ▲
Из теоремы 5 и лемм 5 и 9 получаем следующий результат.
Теорема 6. Пусть выполнено любое из условий a)-d) теоремы 3. Тогда эквивалентны следующие утверждения:
a) семейство уравнений (1) асимптотически устойчиво;
b) функция P имеет нули, и все они лежат на полуоси (0, +¥) ;
c) точка M(а0,а1,а2,...,ап) лежит не выше поверхности F, задаваемой уравнениями (4), и справедливы неравенства P(0) > 0 и P(0) < 0.
Нетрудно заметить, что леммы 7-9 говорят о большем, чем асимптотическая устойчивость семейства (1). Учитывая теорему 6, сконцентрируем их результаты в одном утверждении.
Теорема 7. Пусть семейство уравнений (1) асимптотически устойчиво. Тогда
a) функция Коши C (t, s) любого уравнения семейства (1) положительна при всех (t, s) е А ;
b) найдется такое T > 0, что для любого s е □ + функция C (•, s) убывает на полуоси (T + s, +¥) ;
c) для функции Коши любого уравнения семейства (1) справедлива оценка (b).
Заметим, что пункт с) теоремы 7 означает, что асимптотическая устойчивость семейства уравнений (1) эквивалентна равномерной экспоненциальной.
Устойчивость по начальным данным
Найдем условия, при которых в случае l = +¥ семейство (1) будет устойчивым по начальным данным (далее - просто устойчивым). Напомним, что в теореме 1 уже было
п
устновлено, что при а0 > ^ ак семейство (1) не является устойчивым. Далее, из
к=1
доказательства леммы 5 следует, что если функция P имеет корень на множестве (-¥,0), то семейство (1) также не является устойчивым. Если корни функции P лежат на полуоси (0, +¥), то по теореме 4 семейство асимптотически устойчиво (1), а значит, устойчиво. Таким образом, в дополнительном исследовании нуждается единственный случай, когда функция P имеет корень в точке Z = 0 .
Итак, пусть P(0) = 0, то есть рассмотрим семейства (1), для коэффициентов
п
которых выполнено равенство а0 = ^ ак . Разобьем исследование на три случая.
к=1
Лемма 10. Если P(0) = 0, а P'(0) > 0, то семейство (1) неустойчиво.
Доказательство. Рассмотрим функцию P на множестве (-¥,0]. Так как в точке Z = 0 функция обращается в нуль, а ее производная положительна, то в некоторой (левой) окрестности этой точки P возрастает, то есть принимает отрицательные значения. С другой стороны, lim P(Z) = +¥, следовательно, существует точка
z®-¥
Z0 е (-¥,0), в которой P(Z0) = 0. Положим в уравнении (1) rk(t) = wk при всех к = 1,2,...,n и доопределим решение при отрицательных значениях аргумента функцией
e~Zt. Подставляя x(t) = e~Zt|t в уравнение (1), получаем
-а0е~^°г + X) = е_^°гР(С0) = 0, к=1
то есть функция х: □ + ® □ есть решение уравнения (1). Так как ^о < 0, то х(г)
неограниченно возрастает. Следовательно, семейство уравнений (1) не является устойчивым. ▲
Лемма 11. Если Р(0) = 0, а Р'(0) < 0, то семейство (1) равномерно устойчиво.
Доказательство. Рассмотрим соответствующее уравнению (1) неоднородное уравнение с правой частью / из пространства Ь1:
х(0 = аоx(t) - X akx{t - rk (t)) + f (t), t є □ +. (d)
к=1
Так как а0 = X ак , то уравнение (ё) можно переписать в виде (изменив, если это
к=1
необходимо, функцию / на отрезке [0, ю])
П t
'а
x(t)=X ак j X(s)ds + f (t).
к=1 t-Гк (t)
n t
Оценим норму интегрального оператора (Ky)(t) = X ак j y(s)ds,
к=1 t-Гк (t)
действующего в пространстве L1: ||к|| < X акwk . В силу условий
леммы
к=1
P (0) = X акwk -1 < 0, значит, ||к|| < 1, а оператор I -K обратим в пространстве L1.
к=1
Отсюда следует, что при любой функции / е ^ решение х уравнения (ё) обладает свойством X е р .
г
Так как х(г) = х(0) +1 Х(^)^, то функция х ограничена на □ + . По теореме
0
о допустимости пар пространств (Ь1, ) [4, с. 106] следует, что функция Коши любого
уравнения семейства (1) ограничена в А, то есть семейство уравнений (1) является равномерно устойчивым. ▲
n
Лемма 12. Если Р(0) = 0, а Р(0) = 0, то семейство (1) неустойчиво.
Доказательство. Положим в уравнении (1) гк(*) = « при всех к = 1,2,...,п и доопределим решение при отрицательных значениях аргумента функцией *. Подставляя функцию х(*) = * в уравнение (1), получаем
п ( \ ( 1г ^
1-а0* + Xак(-«к) = * а0 -Xак + 1-Xакюк = Р(0) + Р(0) = 0
к=1
!кшк V к=1 У
V к=1 У
то есть неограниченная функция х(*) = * есть решение уравнения (1). Следовательно, семейство уравнений (1) не является устойчивым. ▲
Из теоремы 6 и лемм 10-12 получаем следующий критерий устойчивости.
Теорема 8. Пусть выполнено любое из условий а)-ф теоремы 3. Тогда семейство уравнений (1) устойчиво если и только если точка М(а0,а1,а2,...,ап) лежит не выше поверхности Р, задаваемой уравнениями (4), и справедливы неравенства
Р(0) > 0, Р(0) < 0.
Заметим, что леммы 10-12 устанавливают также эквивалентность устойчивости и равномерной устойчивости семейства (1).
Геометрическое описание и построение области устойчивости
В этом разделе, используя теоремы 6 и 8, дадим описание устойчивости семейства (1) в терминах области в пространстве □ п+1, определяемой значениями аьal,к,ап и «ь-.«.
Обозначим через Д множество точек М(а0,а^...,ап)е □ п+1, удовлетворяющих условиям теоремы 6, п. с). Область Д - это область асимптотической устойчивости семейства (1) в следующем смысле: семейство (1) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда область Д0 (определяемая параметрами а0,аь...,ап и а^,...,а>п) такова, что М(а0, а1,., ап ) е Д0 .
Теорема 9. Область Д0 состоит из точек М(а0,аь...,ап)е □ п+1, обладающих следующими свойствами:
1) ак > 0 при всех к = 1,2,., п;
2) М лежит не выше поверхности Р, опредляемой уравнениями (4);
п
3) а0 < X ак;
к=1
п
4) X ак «к < 1
к=1
пп
Для доказательства напомним, что Р(0) = -а0 + X ак , а Р (0) = -1 + X ак« . ▲
к=1 к=1
В случае а0 = 0 вид области Ц0 упрощается.
Теорема 10. Пусть а0 = 0. Тогда область Ц0 состоит из точек М(а,,...,ап)еПп, обладающих следующими свойствами:
п
1) ак > 0 при всех к = 1,2,.,п, но I ак > 0 >'
к=1
2) М лежит не выше поверхности, задаваемой параметрическими уравнениями (4) при условии и0 = 0, то есть
-с + 1и„еСщ = 0, -1 + 1»А-еС»‘ = 0, Се □ +. (е)
к=1 к=1
Доказательство. Свойство 3) в теореме 9 следует из свойства 1). Предположим,
п
что свойство 4) не выполнено. Тогда Р'(0) = I акЩ -1 > 0 и точка М должна лежать
к=1
выше поверхности, задаваемой уравнениями (е). ▲
Обозначим через Ц множество точек, удовлетворяющих условиям теоремы 8. Область Ц - это область устойчивости семейства (1). Очевидно, Ц = Ц и Ц', где Ц' -множество точек, для которых семейство (1) является устойчивым, но не асимптотически. Из лемм 10-12 следует, что Ц' состоит из точек (а0,аь...,ап), для
пп
которых а0 = I ак и I акЩ < 1. Особенно прост вид множества Ц для случая а0 = 0 :
к=1 к=1
оно состоит из единственной точки (0,0,... ,0) .
Для случаев, когда количество слагаемых в уравнении (1) не превосходит трех, можно дать геометрическую иллюстрацию областей Ц0, Ц и Ц' как областей на прямой, на плоскости или в трехмерном пространстве.
Случай 1 (одномерный).
1. Пусть п = 0. Тогда Ц0 = {и е □ : и < 0}, Ц = {и е □ : и < 0}, Ц' = {0}.
2. Пусть п = 1 и а0 = 0. Тогда Ц = {(0,и) е □ 2 : 0 < и < 1/ею1}.
Доказательство. Уравнение поверхности (е) имеет вид
-С + и1еС“1 = 0,-1 + и1ю1еС“1 = 0. Исключая параметр С, получаем и1 = 1/ею1 . Множество точек, лежащих не выше поверхности, - отрезок [0,1/ею1]. ▲
Случай 2 (двумерный).
1. Пусть п = 1 . Тогда
Ц0 = {(и0, и1) е □ 2 : и0ю < щщ < еи»^-1, 0 < и1ю1 < 1},
Ц = {(и0,и1)е □ 2 : и0щ < и1ю1 < еи°щ-1, 0 < и1щ < 1},
Ц' = {(и0, и1) е □ 2 : и0щ = и1ю1,0 < и1щ < 1}.
Рис. 1. Области устойчивости для ю1 = 1
Доказательство. Проверим условия теоремы 9. Первое условие означает, что область принадлежит полуплоскости “ > 0. Уравнение поверхности Г
в параметрической форме: -£- и0 + щв^ = 0,-1 + щщв^“1 = 0. Исключая параметр £ ,
получаем явное уравнение “1“ = в“0“1-1. Множество точек, лежащих не выше поверхности Г , очевидно, удовлетворяет неравенству щ1ю1 < в“0“1 -1. Условия 3 и 4 дают, соответственно, “0 < “1 и “1ю1 < 1. На рис. 1 приведены области устойчивости для “ = 1: область Ц заключена между кривой щ = в“0-1 и прямыми “1 = 0, “0 = “1; она лежит слева от точки касания А(1,1). Множество Ц - отрезок, соединяющий начало координат с точкой А (но не включающий точку А ). ▲
2. Пусть п = 2 и а0 = 0. Тогда Ц = {(0,“1,“2)е □ : “1 > 0, “2 > 0, “2 <ф(“1)}, где
£о2 -1 в-С®1
кривая “2 =ф(“1) задается параметрическими уравнениями щ =
о2 - о
о2 -“
“
2
Доказательство. Согласно теореме 9 поверхность (е) определяется уравнениями -£+“в“1 + “2в£Юг = 0, -1 + щщв^“1 + “2о2в£“2 = 0. Выражая из них “1 и “2, получаем искомое параметрическое уравнение кривой. Область Ц есть область, заключенная
между кривой ф и осями координат (рис. 2). Точки пересечения с осями координат имеют координаты (1/ ею1з0) и (0,1 еа2) соответственно. ▲
Рис. 2. Область В для ю1 = 1 и ю2 = 3
Случай 3 (трехмерный).
1. Пусть п = 3. Тогда
В0 = {(и0,и1,и2)е □ 3 : и1 > 0, и2 > 0, и1 + и2 > и0,и2 < у(и0,м1)}, где поверхность и2 = у(и0, и!) задается параметрическими уравнениями:
и
(С + и0)а2 ~1 и _ 1 ~ (С + и0)а1 е-С®2 £
є □
ю2 -а
ю2 -а
Доказательство. Проверим условия теоремы 8. Первое условие означает, что В0 принадлежит области и1 > 0, и2 > 0 . Уравнение (4) поверхности Г в параметрической форме: и0 + и1е^Ю1 + и2е^2 = 0, -1 + и1ю1е^ю‘ + и2ю2е^°2 = 0. Выражая из этих равенств
и1, и2, получаем искомое параметрическое уравнение поверхности. Множество точек, лежащих не выше поверхности, удовлетворяет неравенству и2 < у(и0, и1) . Условия 3 и 4 дают соответственно и0 < и1 + и2 и и1ю1 + и2“2 < 1. Область В0 (рис. 3) заключена между координатными плоскостями и1 = 0, и2 = 0, поверхностью и2 = у(и0, и1) и плоскостью и0 = и1 + и2 (точки плоскости не включаются) в полупространстве и1“1 + и2“2 < 1.
Поверхность и2 = у(и0, и1) и плоскость и0 = и1 + и2 касаются по прямой
ю2х-1 _ ^х-1
: х, и
хє □
“2 “1 “1 “2
от которой координатные плоскости отсекают отрезок, соединяющий точки Л1(1/ а^,1/ ^,0) и Л2(1/ ю2,0,1/ Ю2). Множество В представляет собой пространственный треугольник с вершинами в точках О, Л1 и Л2, причем сторона Л1Л2 не принадлежит В . ▲
и
+ •
Рис. 4. Область D для w = 1, ю2 = 12 и ю3 = 14
2. Пусть п = 4 и а0 = 0. Тогда
В = {(0,и1,и2,и3)е □ 4 : и1 > 0, и2 > 0, и3 > 0,и3 < у(и1,и2)}, где поверхность и3 =у(и1, и2) задается параметрическими уравнениями
и = С°2 -1 + иэеСш3(°3-“2)е-^щ и = 1 -С°1 + иэеСш3(°1 -“3)е-г>2 ^е □
“2 “1 “2 “1
Доказательство. Согласно теореме 9 поверхность (е) определяется уравнениями -£ + и1е^°1 + и2е^“2 + и3е^“3 = 0, -1 + и^е^“1 + и2ю2е^“2 + и3ю3е^“3 = 0. Выражая из них и1 и и2, получаем искомое параметрическое уравнение поверхности. Область В - это область, заключенная между поверхностью у и координатными плоскостями (рис. 4). ▲
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1991. - 277 с.
2. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. - М.: Наука, 1964. - 128 с.
3. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1984. - 424 с.
4. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. - Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2001. - 229 с.
5. Малыгина В.В., Куликов А.Ю., Чудинов К.М. Неулучшаемые достаточные условия устойчивости скалярных уравнений с несколькими запаздываниями // Вычислительная механика. - 2008. - № 7. - С. 106-119.
6. Трамов М.И. Условия колеблемости решений дифференциальных уравнений первого порядка с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Математика. - 1975. -№ 5 - С. 92-96.
7. Максимов В.П. Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений. - Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2003. - 306 с.
