Устойчивость линейного разностного уравнения и оценки его фундаментального решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

А.Ю. КУЛИКОВ Пермский государственный технический университет

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНОГО РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ И ОЦЕНКИ ЕГО ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

При наличии естественного ограничения на параметры линейного неавтономного уравнения с несколькими запаздываниями установлена связь устойчивости этого уравнения по правой части и по начальной функции с оценками его фундаментального решения.

Пусть

□ 0 = {0}ип , □ + = {е □ : ^> 0}, АN = {(п,т)е □ 2 :п >т}, АЯ ={(/,5)еП + :^>^}.

Через 1р, 1 < р <¥ , обозначим пространство функций / : □ о ® □ , удовлетворяющих

/ \1/р

¥ / ¥ N Г

условию ^ | /(п)|р <¥ с нормой || / ||р = ^ | /(п)|р , через 1¥ - пространство

n=0

V n=0 J

ограниченных функций f : □ 0 ® □ с нормой || f ||¥ = sup | fn |. Аналогично, через Lp,

neD 0

1 < p < ¥ , обозначим пространство функций g : □ + ® □ , суммируемых со степенью р,

Л1/Р

с нормой || g |

/1 g(t)!'

|Р

V 0

g: □ + ® □ с нормой || g |Ц= sup| g(t) |.

teD +

; через L¥ - пространство ограниченных функций

Объект исследования и постановка задачи

Рассмотрим разностное уравнение

N

х(п +1) - х(п) + ^ ак (п)х(п - Ик (п)) = /(п), п > т, (1)

к=0

где п, т е □ 0, ак, / : □ 0 ® Я; Ьк : □ 0 ® □ 0. Функцию х считаем доопределенной при значениях аргумента, меньших т , некоторой вещественной начальной функцией.

Решением уравнения (1) будем называть функцию хт = хт (п) целочисленного аргумента п > т, удовлетворяющую равенству (1). Очевидно, что уравнение (1) с заданными начальной функцией и начальным условием хт (т) = Хт (т) однозначно разрешимо.

Если при каждом т е □ 0 задать начальную функцию Хт, то таким образом будет определено однопараметрическое семейство {хт} решений уравнения (1).

Положим в уравнении (1) /(п) ° 0 и зададим для каждого значения т начальные функции следующим образом: Хт (0 = 0, г < т ; Хт (т) = 1. Семейство решений

© Куликов А.Ю., 2009.

уравнения (1) с такими начальными условиями можно рассматривать и как функцию двух переменных n и m, заданную в области An . Обозначим ее X(n, m) и назовем фундаментальным решением уравнения (1).

С помощью фундаментального решения любое решение уравнения (1) можно представить в виде [ 1]□

n—1 f N Л

xm (n) = X(n m)Xm (m) + Z X(n, i + 1) f (i) — Z ak (i)C (i — hk (i)) , (2)

i=m V k=0 J

где x*m (j) = Xm (j) при j < m и x*m (j) = 0 при j ^ m .

При изучении уравнения (1) на неограниченном множестве важную роль играют понятия устойчивости решений. Эти понятия в большинстве работ, посвященных разностным уравнениям, вводятся по образцам аналогичных определений для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. определения 2-6 данной статьи).

С другой стороны, формула (2) выявляет особую роль фундаментального решения, которое удобно сделать основным объектом изучения: оно не зависит ни от начальных условий, ни от правой части, но при этом определяет свойства любого решения. Поэтому и для понятий устойчивости желательно найти переформулировки в терминах свойств фундаментального решения.

Решению этих вопросов и посвящена данная работа.

N

Обозначим a(n) = Z | ak (n) |, h(n) = max hk (n) и определим следующее важное k=0 °<k<N

свойство исследуемого уравнения.

Определение 1. Будем говорить, что для уравнения (1) выполнено i-условие, если

n

sup Z a(i) < ¥ .

ne 0 i=n—h(n)

Заметим, что аналоги этого определения в разных вариантах возникали и раньше. Для обыкновенных дифференциальных уравнений - условие интегральной ограниченности коэффициента [2], для функционально-дифференциальных уравнений - так называемое « 5 -условие» и ограниченность вариации [3]. В работе [4], посвященной устойчивости разностных уравнений, предполагается ограниченность коэффициентов и запаздываний. Очевидно, что i-условие является менее ограничительным, так как включает, например, классы уравнений с неограниченным запаздыванием.

n m(m)

Пусть V = sup Z a(i), m(m) = sup i. Заметим, что Z a(i) < V для всех

ne 0 i=n—h(n) i—h(i)<m i=m

m e □ 0, а sup h(n) = sup( m(m)—m).

wgD 0 meU 0

Лемма 1. Пусть выполнено i-условие и одно из следующих двух условий: 1) lim X(n, m) = 0 при любом m e □ 0; 2) sup | X(n, m)|=¥. Тогда m(m) <¥ для

n®¥ (n,m)eAN

любого m e □ 0 .

Доказательство. Допустим, что лемма неверна, тогда существует m* е □ о, такое, что m(m*) = sup i = ¥. Отсюда с учетом i-условия имеем

i-hk (i)£m*

¥ m(m*) n

Z a(i) = Z a(i) < sup Z a(i) < ¥,

i=m* i=m* n i=n—h(n)

¥

то есть ряд Z a(n) сходится. По теореме 4 из работы [5] сходимость этого ряда

n=0

обеспечивает следующее свойство фундаментального решения: для любого e > 0 существует l > 0 такое, что при всех m и n, удовлетворяющих неравенству n > m > l,

справедлива оценка | X(n, m) — 1|<e . Эта оценка не совместима ни с условием 1), ни

с условием 2). ▲

Лемма 2. Пусть выполнено i-условие и найдутся такие M, g > 0, что при всех (n, m) е AN фундаментальное решение уравнения (1) будет подчинено оценке

| X(n, m) |< M exp(—g(n — m)) . (3 )

Тогда функции а и h ограничены на множестве □ 0.

Доказательство. Ограниченность функции а следует из i-условия. Докажем ограниченность функции h.

ln 2M

Выберем l е □ такое, что l >----------. В силу неравенства (3) при любом m е □ 0

g

имеем | X(m +1, m) |< 1, следовательно, | X(m, m) — X(m +1, m) |> 1.

С другой стороны, из определения фундаментального решения имеем

m+l N m+l

| x (m, m)—x (m+l, m)|< z Z| ak(i) || X (i—hk(i), m)| < M Z a(i),

i=m k=1 i=m

m+l 1 m+[2MlV ]+1

следовательно, Z a(i) >-----. Таким образом, Z a(i) > V, а значит,

i=m 2M i=m

sup h(n) = sup( m(m) — m) < ¥ . ▲

ne^ n m

Устойчивость по начальной функции

В этом разделе мы приведем некоторые известные определения устойчивости уравнения (1) по начальной функции и докажем теоремы о связи устойчивости по начальной функции с оценками фундаментального решения. Во всех этих теоремах ^-условие оказывается существенным.

В силу линейности уравнения (1) во всех определениях этого раздела, не нарушая общности, можно считать, что f (n) ° 0 . При f (n) ° 0 из представления (2) имеем

|m(m) N

\ xm (n) \<\ X (n, m)\\ Xm (m)\ + Z I X (n, i + 1)l Z I ak (i) 11 С (i - hk (i)) \<

i=m k=0

f m(m) ^

< sup \ ^m (i) \ \ X(n, m) \ + Z a(i) \ X(n, i + 1) \

i<m

следовательно,

V i=m J

\ xm (n) \< SUP \ Xm (i) \

i<m

f I

\ X(n, m) \ +F sup \ X(n, i +1) \ . (4)

m<i<m(m) j

Определение 2. Уравнение (1) называется устойчивым по Ляпунову, если при каждом фиксированном m е □ 0 для любого e > 0 существует dm > 0 такое, что из неравенства sup \ Xm (i) \< dm следует неравенство sup \ xm (n) \< e.

i<m n>m

Теорема 1. Пусть выполнено i-условие. Тогда уравнение (1) устойчиво по Ляпунову, если и только если sup \ X(n, m) \< ¥ при всех m е □ 0.

n>m

Доказательство. Необходимость очевидна, докажем достаточность.

Итак, при каждом фиксированном m е □ 0 имеем sup \ X(n, m) \= Mm <¥.

n>m

Рассмотрим две возможности.

Пусть sup \ X(n, m) \ = ¥ . В этом случае в силу леммы 1 имеем m(m) < ¥ для

(n,m)eD n

e

всех m е □ 0. Возьмем 8 =-----------------------. С учетом оценки (4) при sup \ Xm (i) \< 8

m

Mm + V max Mi+1 i<m

m<i<m(m)

получаем

sup\ xm(n)\<sup\Xm(i)\(\ X(n,m)\ +V max \X(n,i +1)\ I<81 Mm + V max Mi+1 I = e.

n>m i<m V m<i<m(m) J V m<i<m(m) J

e

Пусть теперь sup \ X(n, m)\= M < ¥. Возьмем 8 =---------------------- и потребуем, чтобы

(n,m)eD n M (1 + V)

sup \ Xm (i) \< 8. Из (4) получаем

i<m

n>m i<m

f

sup\ xm(n)\<sup\ Xm(i)\ \ X(n,m)\ +V sup \X(n,i +1)\ <8M[1 + V] = e.▲

m<i<m(m)

Определение 3. Уравнение (1) называется равномерно устойчивым, если для любого e > 0 существует 8 > 0, такое, что для любого m е □ 0 из неравенства sup \ Xm (i) \< 8 следует неравенство sup \ xm (n) \< e.

mm i<m n>m

Теорема 2. Пусть выполнено i-условие. Тогда уравнение (1) равномерно устойчиво, если и только если его фундаментальное решение подчинено оценке

sup | X(n, m) |< ¥ . (5)

(n,m)eA N

Доказательство. Необходимость очевидна, а достаточность сразу вытекает из того, что в силу оценки (4) имеем sup | xm (n) |< sup | Xm (i) | (V +1) sup | X(n, m) |. ▲

n>m i<m (n,m)eAN

Определение 4. Уравнение (1) называется асимптотически устойчивым, если при каждом фиксированном m е □ 0 выполнено условие lim xm (n) = 0.

n®¥

Теорема 3. Пусть выполнено i-условие. Тогда уравнение (1) асимптотически устойчиво, если и только если lim X(n, m) = 0 при всех m е □ 0.

n®¥

Доказательство. Необходимость очевидна, докажем достаточность.

Если при каждом фиксированном m имеем lim X(n, m) = 0, то в силу леммы 1

n®¥

m(m) < ¥ . Отсюда с учетом оценки (4) получаем

lim | xm (n)|= sup | Xm (i) | lim l| X (n, m) | +V max | X (n, i +1) | I = 0.A

n®¥ i<m n®¥ ^ m<i<m(m) J

Определение 5. Уравнение (1) называется равномерно асимптотически

устойчивым, если для любого e > 0 существует l е □ , такое, что для любых (n, m) е AN из неравенства n - m > l следует неравенство | xm (n) |< e.

Теорема 4. Пусть выполнено i-условие. Тогда уравнение (1) равномерно асимптотически устойчиво если и только если для любого е> 0 существует l > 0, такое, что при любых (n, m) е AN из неравенства n - m > l следует неравенство | X(n, m) |< e.

Определение 6. Уравнение (1) называется равномерно экспоненциально

устойчивым, если найдутся M, g > 0, такие, что при любых (n, m) е An выполнено неравенство

| xm (n) |< M sup | Xm (i) | exp(-g(n - m)) .

i<m

Теорема 5. Пусть выполнено i-условие. Тогда уравнение (1) равномерно экспоненциально устойчиво, если и только если существуют такие M, g > 0, что для фундаментального решения уравнения (1) выполнена оценка (3).

Доказательство. Необходимость очевидна, докажем достаточность.

В силу леммы 2 sup h(n) = sup( m(m) - m) < ¥ . С учетом оценки (4) получаем

ие^ 0 m

I хт (п) < эир I %т (/) I Ш I ехр(-у(п - т)) + тах ехр(-у(п - г -1)) | <

1<т V т<г<т(т)

< Бир | Хт (г) | М (ехр(-у(п - т)) + V тах ехр(-у(п - г -1))) <

г<т \ т<1<т+Ь /

< Бир | Хт (г) | М(V +1) ехр(£ +1) ехр(-у(п - т)). ▲

т

1<т

Вспомогательное функционально-дифференциальное уравнение

На основе функций ак, гк и / введем функции непрерывного аргумента □ + ® □ по правилам:

Чк (*) = ак ([*]), гк (*) = ик ([*])+*- [*], * е □ +, и поставим в соответствие уравнению (1) функционально-дифференциальное

уравнение

N

у(*) + 2 Чк (*)У(*- гк (*)) = 8(*X *е □ +, (6)

к=0

где 8: □ + ® □ - любая локально суммируемая функция. При отрицательных

значениях аргумента доопределим функцию у любой локально суммируемой функцией.

В силу определения функций Чк и Гк уравнение (6) с заданными начальными условиями однозначно разрешимо [6] и его решение представимо в виде

*

У(*) = У (*, 0)У(0) +1У (*, в)8(*№ , (7)

0

где У (*, ^) - функция Коши [6] уравнения (6).

Следующая лемма устанавливает соответствие между фундаментальным решением уравнения (1) и функцией Коши уравнения (6).

Лемма 3. Для любых (п, т) е АN, ае [0,1] и Ре (0,1] справедливы равенства:

У (п + а, 0) = аХ(п +1,0) + (1 - а)X(п, 0),

(8)

У(п + а, т + Ь) = аХ(п +1, т +1) + (1 - а)X(п, т +1).

Доказательство. Вначале докажем индукцией по п, что для любых (п, т) е А N и Ь е (0,1] справедливо равенство

У (п, т + Ь) = У (п, т +1) = X(п, т +1) . (9)

При п = т +1 имеем

т+1 N

У (т +1, т + Ь) = У (т + Р, т + Р) - | 2 Чк (5)У (5 - Гк (в), т + Р^

т+Р к=0

т+1 N

= У(т +1, т +1) - | 2 ак (И)У(в - Ък ([в]) - в + [в], т + Р)йв =

т+Рк=0

т+1 N

= У(т +1, т +1) - | 2 ак (т)У(т - Ък (т), т + Р)йв = У(т +1, т +1) = X(т +1, т +1) .

т+Р к=0

Допустим, что У (г, т + Р) = У (г, т +1) = X (г, т +1) для всех т +1 < I < п. Тогда

п+1 N

У(п +1, т + Р) = У(п, т + Р) - | 2 Чк (5)У(в - гк (в), т + Р)йв =

к'

п к=0

п+1 N

■у (n, т+1) -12 ак (м)У (в - ък (м)- в+[s], т+Р)^^:

п к=0

п+1 N

= У(п, т +1) - | 2 ак (п)У(п - Ък (п), т + Р)йв:

N п+1

ак (

= У (п, т +1) - 2 ак (п)У (п - Ък (п), т +1) | йв.

к=0 п

Теперь, с одной стороны, имеем

п+1 N

У (п +1, т + Р) = У(п, т +1) - | 2 Чк (5)У(в - гк (в), т + 1)йв = У (п +1, т +1) ;

п к=0

с другой стороны, учитывая представление (2), получаем

N

У (п +1, т + Р) = X(п, т +1) - 2 ак (п)X(п - кк (п), т +1) = X(п +1, т +1) .

к=0

Равенство (9) доказано. Далее,

п+а N

У (п + а, т + Р) = У (п, т + Р) - | 2 Чк (5)У (в - Гк (в), т + Р)йв =

«Т1Л N

-У(п,т + Р)- | 2ак(п)У(п-Ик(п),т + Р)йв

п к=0 п+1 N

У (п, т + Р) - а | 2 ак (п)У (п - кк (п), т + Р)й

п+1 N

=у (n, т+Р)-а 12 Чк(в)у (в - кк(s), т+Р)йв=

п к=0

= У (п, т + Р) + а(У (п +1, т + Р) - У (п, т + Р)).

Отсюда при т = 0 и Р = 0 получаем первое из равенств (8). При т > 0 и 0 <Р< 1, используя (9), получаем второе из равенств (8). ▲

Приведем несколько простых следствий леммы 3.

Следствие 1. Фундаментальное решение уравнения (1) подчинено оценке (5) тогда и только тогда, когда функция Коши уравнения (6) подчинена оценке

Бир | У (*, в) |< ¥ .

(* ,^)еАл

Следствие 2. Пусть уравнение (1) равномерно асимптотически устойчиво. Тогда для любого е> 0 существует I > 0, такое, что из неравенства * - в > I следует неравенство | У (*, в) |< е.

Следствие 3. Фундаментальное решение уравнения (1) для некоторых М, у > 0 подчинено оценке (3) тогда и только тогда, когда найдутся такие N, а > 0, что при любых (*, в) е Ак функция Коши уравнения (6) подчинена оценке

Устойчивости по правой части отводится особое место в нашей статье. Такое ее обособление не случайно. Уже при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений была обнаружена связь между устойчивостью по правой части (которая понимается как непрерывная зависимость от внешних возмущений), задачей

о накоплении возмущений и свойством экспоненциальной устойчивости уравнения [2, 7, 8]. Эти идеи получили мощное развитие в работах, посвященных устойчивости функционально-дифференциальных уравнений (см. монографию [3] и библиографию к ней).

Такая связь обусловлена прежде всего наличием интегрального представления (7), в котором определяющим является второе слагаемое - линейный интегральный оператор Вольтерра, действующий в пространствах суммируемых функций. Этот оператор обладает замечательным свойством: если он действует в указанных

пространствах, то он ограничен и, следовательно, непрерывен. Далее, поскольку ядро интегрального оператора также объект с рядом особых свойств, то действие оператора оказывается эквивалентным наличию экспоненциальной (или равномерной) оценки на ядро, то есть, в классических терминах, равномерной экспоненциальной (соответственно, равномерной) устойчивости исходного уравнения. Эти утверждения часто называют теоремами Боля-Перрона [3].

Приведенная цепочка эквивалентностей, безусловно, является очень ценной: углубляя наши представления о природе устойчивости, она также увеличивает арсенал методов, с помощью которых можно получать конкретные признаки устойчивости.

В этом разделе, пользуясь уже установленной связью между уравнениями (1) и (6), мы получим для разностного уравнения аналоги теорем Боля-Перрона.

Устойчивость по правой части означает, что малому изменению правой части соответствует малое изменение решения. В силу представления решения (2) очевидно, что, не нарушая общности, можно рассматривать устойчивость по правой части при нулевой начальной функции (включая и начальные условия). Нет необходимости также в подвижной начальной точке: понятно, что достаточно изучить ситуацию

с фиксированной начальной точкой т = 0. В результате этих упрощений уравнение (1) перейдет в уравнение

| У (*, в) |< N ехр(-а(* - в)).

(11)

Устойчивость по правой части

N

х(п +1)-х(п) + 2ак(п)х(п-hk(п)) = f (п) пе □ о, (12)

к=0

где функция х доопределяется нулем при отрицательных значениях аргумента и х (0) = 0. Решение этого уравнения будем обозначать х(п) .

Пусть S - линейное нормированное пространство функций целочисленного аргумента, определенных на □ 0 .

Определение 7. Будем говорить, что уравнение (12) устойчиво по правой части из S, если для любого е> 0 существует 8> 0, такое, что из неравенства || f |S£8 следует неравенство sup | х(п) |< e .

пе^ 0

п-1

Введем оператор K по следующему закону: (Kf )(п) = 2 -У (п, i + 1)f (i).

i=0

С учетом этого обозначения решение уравнения (12) можно записать в виде х = Kf . Устойчивость по правой части, очевидно, означает непрерывность оператора K, действующего из пространства S в пространство l¥, а с учетом линейности K -его ограниченность. Если же ограничить выбор правых частей уравнения (12) пространствами lp, то удается доказать более сильное утверждение.

Лемма 4. Уравнение (12) устойчиво по правой части из lp (1 £ p £ ¥ тогда и только тогда, когда K(lp ) с l¥.

Доказательство. С учетом сделанных выше замечаний лемма будет доказана, если из включения K(lp) с l¥ будет следовать ограниченность оператора K.

Рассмотрим семейство функционалов Kn : lp ® □ , задаваемое формулой

п-1

Kf = 2 х (пi+1)f ^ п е □.

п=0

Очевидно, что при любом п е □ функционал Kn определен на банаховом пространстве lp и ограничен. Из условий леммы следует, что sup | Knf | < ¥ при любом

пе^

f е lp. Таким образом, выполнены условия теоремы Банаха-Штейнхгауза, из которой следует, что L = sup || Kn || < ¥ . Значит,

пе^

|| Kf ||¥= SUP | (Kf ) (п) |= SUP | KJ |£ SUP || K |||| f || p = L || f || p ,

пе^ пе^ пеЛ

что и требовалось доказать. ▲

Чтобы установить эквивалентность устойчивости по правой части и экспоненциальной устойчивости, снова воспользуемся переходом к уравнению (6).

Следуя [6], введем оператор (Cg)(t) = |У(¿, я)g(я^я , который в теории

0

функционально-дифференциальных уравнений принято называть оператором Коши уравнения (6).

Лемма 5. Пусть 1 < р < ¥. Оператор К действует из /р в /¥ тогда и только тогда, когда оператор С действует из Ьр в Ь¥ .

п+1

Доказательство. Если имеет место равенство /(п) = | g(я)^я, то для любых

п

пе #0, а < 0 < 1 имеем

С)(п + а) = а(К/)(п +1) + (1 - а)(К/)(п) + а2/(п) . (13)

Действительно, используя (8), получаем цепочку равенств:

п+а

(Cg)(п + а) = | У (п + а, я)g(я=

0

п-1 *+1

= £ | (аХ(п + 1,п +1)+(1 - а)X(п, п +1)) g(я)ёя +

1=0 I

п+а

+ | (аХ(п +1,п +1) + (1 -а)X(п,п +1))g(я^я

п

п-1 |+1

= £ (аХ(п +1, I +1) + (1 - а)X(п, I +1)) | g(я)^ +

1=0 I

п+а

+ (аХ(п +1,п +1) + (1 -а)X(п,п +1)) | g(я^ =

п

п-1

= £ (аX(п +1, I +1) + (1 - а)X(п, I +1)) /(I) + а2/(п),

1=0

доказывающих равенство (13).

Пусть оператор К действует из 1р в /¥ . Возьмем произвольную функцию g е Ьр

п+1

и положим /(п) = | g(я)^я. Имеем

п

£|/ (')Г = £

!=0 ^0

^1

СI+1 \р ¥ !+1

I=0

< £ |1 g(я) 1 & <£ |1 g(я) 1 р ж <|1 g(я) 1 р ж < ¥,

I=0 I 0

V I У

следовательно, / е 1р с /¥ и, таким образом, К/ е /¥ .Отсюда в силу равенства (13) получаем Cg е £¥ .

t

со

Пусть теперь оператор С действует из Ьр в Ь¥. Возьмем произвольную

п+1

функцию / е /р и положим g^) = /(^]). Очевидно, что | g(я)ёя = /(п). Далее, имеем

11 g(я)|р ds = 11 /([я])|р ёя = £ | /(!)|р <¥, то есть g е Ьр, следовательно, Cg е Ь¥ .

0 0 !=0

Теперь, положив в равенстве (13) а = 0, получаем К/ е /¥ .▲

Для удобства чтения приведем здесь без доказательства ряд утверждений из теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений.

Теорема 6 [3]. Оператор С действует из пространства Ь1 в пространство Ь¥ тогда и только тогда, когда для функции Коши уравнения (6) выполнено условие (10).

Теорема 7 [3]. Пусть при любом к = 0,1,к,N функции дк и тк ограничены. Тогда эквивалентны следующие утверждения.

1. При некотором фиксированном р е (1, ¥] оператор С действует из пространства Ьр в пространство Ь¥ .

2. При любом р е (1, ¥] оператор С действует из пространства Ьр

в пространство Ь¥.

3. Для функции Коши уравнения (6) справедлива оценка (11).

4. Для любого е> 0 существует / > 0, такое, что при любых (^ я) е Ак из

неравенства t - я > / следует неравенство | У (^ я) |< е.

На основе этих теорем с учетом лемм 4 и 5 легко получить аналогичные результаты для разностных уравнений.

Теорема 8. Оператор К действует из пространства /1 в пространство /¥ тогда и только тогда, когда для фундаментального решения выполнено условие (5).

Доказательство. Последовательно применив лемму 5, теорему 6 и следствие 1, получаем требуемое утверждение. ▲

Теорема 9. Пусть при любом к = 0,1,к,N функции ак и Ик ограничены. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1. При некотором фиксированном р е (1, ¥] оператор К действует из пространства /р в пространство /¥ .

2. При любом р е (1, ¥] оператор К действует из пространства /р

в пространство /¥ .

3. Для фундаментального решения уравнения (1) справедлива оценка (3).

4. Для любого е> 0 существует / > 0, такое, что при любых (п, т) е А N из

неравенства п - т > / следует неравенство | X(п, т) |< е.

п

Доказательство. По условию теоремы функции ак и Ик ограничены,

следовательно, ограничены функции qk и тк. Последовательно применив лемму 5,

теорему 7 и вновь лемму 5, получим 1 ^ 2 . Далее, последовательно применив лемму 5, теорему 7 и следствие 3, получим 1 ^ 3 . Наконец, последовательно применив теорему

4, следствие 2, теорему 7 и следствие 3, получим 4 ^ 3. Импликация 3 ^ 4 очевидна. ▲

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Berezansky L., Braverman E. On Existence of positive solutions for linear difference equations wits several delays // Advances in Dynamical Systems and Applications. - 2006. - Vol. 1. - No 1. - Р. 29-47.

2. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1970. - 536 с.

3. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. - Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2001. - 229 c.

4. Berezansky L., Braverman E. On Bohl-Perron type theorems for difference equations // Func. Different. Equat. - 2004. - No 11. - Р.19-29.

5. Куликов А.Ю., Малыгина В.В. Об устойчивости неавтономных разностных уравнений с несколькими запаздываниями // Изв. вузов. Математика. - 2008. - № 3. -С.18-26.

6. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1991. - 277 c.

7. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. - М.: Наука, 1967. - 224 с.

8. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. - М.: Физматгиз, 1959. - 212 с.

Получено 01.05.2009